Toán Cao Cấp 1 Nguyễn Quốc Tiến 16 nó là một đường nối liền từ điểm ( , ( )) A a f a đến điểm ( , ( )) B b f b . Xem hình 1.6 1.4.2 Tính chất của hàm số liên tục Giả sử ( ), ( ) f x g x là hai hàm liên tục trên [ , ] a b . Khi đó: 1) ( ) ( ) f x g x và ( ) ( ) f x g x liên tục trên [ , ] a b , nếu ( ) 0 g x thì ( ) ( ) f x g x liên tục trên [ , ] a b . 2) ( ) f x liên tục trên [ , ] a b . 3) Nếu ( ) u x liên tục tại 0 x và ( ) f u liên tục tại 0 0 ( ) u u x thì hàm 0 ( ) f u x liên tục tại 0 x . 4) ( ) f x liên tục trên [ , ] a b thì đạt giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất trên đoạn đó. 1.4.3 Điểm gián đoạn Nếu ( ) f x không liên tục tại 0 x D thì ta nói ( ) f x gián đoạn tại 0 x và điểm 0 x gọi là điểm gián đoạn. Hàm ( ) f x gián đoạn tai 0 x nhưng tồn tại giới hạn của f(x) tại - 0 0 , x x thì 0 x được gọi là điểm gián đoạn loại 1. Các điểm gián đoạn khác gọi là điểm gián đoạn loại 2. Ví dụ 1 Xét tính liên tục của hàm (1) 1, 0 ( ) sin , 0 2 x f x x x x Ta có 0 0 sin 1 lim ( ) lim (0) 1 2 2 x x x f x f x . Vậy ( ) f x gián đoạn tại 0 x ,và 0 x là điểm gián đoạn loại 1 (2) 1 , 0 ( ) -1 , 0 x x f x x x Hàm số gián đoạn tại 0 x và 0 0 lim ( ) 1, lim ( ) 1 x x f x f x nên 0 x là điểm gián đoạn loại 1 (3) 2 3 ( ) 2 x f x x , có điểm gián đoạn tại 0 2 x Hình 1.6 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Toán Cao Cấp 1 Nguyễn Quốc Tiến 17 Ta có 2 lim ( ) x f x 2 lim ( ) x f x Suy ra 0 2 x là điểm gián đoạn loại 2 BÀI TẬP CHƯƠNG I Hàm số Câu 1. Tìm miền xác định của hàm số a) 2 1ln xy ; ds )1;1( b) 1 1 arctan x y ; ds );1( c) 2 1 1 x x x ; ds ( ; ) d) 2 1 x x e ; ds ( ; ) c) 2 sin 2 3 x x x ; ds ( 3;1) Câu 2. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau: a) y x b) 2 4 4 y x x c) 2 y x x d) 2 x x e e y e) 2 x x e e y Giới hạn HS Câu 1. Tính giới hạn của các dãy số sau: a) )(lim 2 nnn n ; ds 1 2 b) 2 4 1 lim n nnn n ;ds 1 c) nn nn n 7 2 43 lim ;ds 0 d) 1 1 1 lim 1.2 2.3 .( 1) n n n Câu 2. Tính giới hạn sau: a) 2 2 2 1 lim 2 3 x x x x x x ;ds 1/ 2 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Toán Cao Cấp 1 Nguyễn Quốc Tiến 18 b) 2 2 1 1 lim 4 3 x x x x ;ds 1 d) 3 2 1 1 lim 1 x x x ;ds 1/6 e) 4 4 3 3 lim x a x a x a ;ds 4 3 a f) 2 lim( 2 ) x x x x ; ds : không tồn tại giới hạn g) 2 lim(2 2 ) x x x x ;ds Câu 3. Tính giới hạn sau: a) 2 2 0 (1 cos ) lim sin tan x x x x x ; ds 1/4 b) 2 0 1 cos2 lim sin x x x ; ds 1 c) 0 1 lim(cot ) x x x ds ; 0 d) 0 sin3 lim ln(2 1) x x x ; ds 3/2 e) 3 0 sin lim x tgx x x ; ds 1/2 Câu 4. Tính giới hạn sau: a) cot 0 lim(sin cos ) x x x x ; ds e b) 0 lim ln x x x ; ds 0 c) lim x x xe ; ds 0 d) 1 2( 1) 1 lim x x x ; ds e e) 3 5 2 6 0 sin tan lim 3 9 x x x x x x x ;ds 1/3 Hàm số liên tục Câu 1. Tìm a để các hàm số sau liên tục trên tập xác định của chúng. a) sin 2 ( 0) ( 0) x x y x a x ; ds 2 b) 2 2 1 cos ( 0) 2 ( 0) 2 x x x y a x x ; ds 1 c) 2 ln ( 0) ( 0) x x x y a x Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Toán Cao Cấp 1 Nguyễn Quốc Tiến 19 Câu 2. Tìm các điểm gián đoạn của hàm số và chúng thuộc loại nào a) 1 2 5 x y x b) 2 2 2 x x y x c) 0 0 1 0 x y x 2 CHƯƠNG 2. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 2.1 Đạo hàm 2.1.1 Đạo hàm tại một điểm 1) Cho hàm số ( ) y f x xác định tại 0 x và tại lân cận 0 x . Khi đó nếu tỉ số 0 0 ( ) ( ) f x f x x x có giới hạn khi 0 x x thì ta nói ( ) f x khả vi tại 0 x hay ( ) f x có đạo hàm tại 0 x và giới hạn đó được gọi là đạo hàm của ( ) f x tại 0 x . Ký hiệu là 0 '( ) f x hay 0 '( ) y x .Vậy 0 0 0 ( ) ( ) '( ) lim f x f x f x x x x x . Nếu đặt 0 0 0 0 x x x x x x x x x Lúc đó 0 0 0 0 ( ) ( ) '( ) lim x f x x f x f x x 2) Đạo hàm trái, đạo hàm phải Đạo hàm trái của ( ) f x tại 0 x là: 0 0 0 0 ( ) ( ) '( ) lim x f x x f x f x x Đạo hàm phải của ( ) f x tại 0 x là 0 0 0 0 ( ) ( ) '( ) lim x f x x f x f x x Nhận xét: Hàm số ( ) f x có đạo hàm tại 0 x khi và chỉ khi 0 0 '( ) '( ) f x f x . Khi đó: 0 0 0 '( ) '( ) '( ) f x f x f x . Nếu ( ) f x có đạo hàm tại 0 x thì ( ) f x liên tục tại 0 x . Ví dụ Xét tính liên tục và tính có đạo hàm của hàm số ( ) f x x tại 0 0 x Xét tính liên tục: Ta có 0 0 0 0 lim( ) 0 (0) lim ( ) lim lim( ) 0 (0) x x x x x f f x x x f Suy ra ( ) f x liên tục bên trái và liên tục bên phải tại 0 0 x . Do đó ( ) f x liên tục tại 0 0 x . Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Toán Cao Cấp 1 Nguyễn Quốc Tiến 20 Xét sự tồn tại '(0) f : Ta có: 0 0 0 0 0 ( ) ( ) (0 ) (0) ( ) (0) lim lim lim x x x f x x f x f x f f x f x x x 0 0 0 lim 1 '(0 ) lim lim 1 '(0 ) x x x x f x x x x f x Do đó ( ) f x không có đạo hàm tại 0 0 x Vậy hàm số ( ) | | f x x liên tục nhưng không có đạo hàm tại 0 0 x 3) Hàm số ( ) y f x được gọi là có đạo hàm trên khoảng ( , ) a b nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm 0 ( , ) x a b . Khi đó đạo hàm của hàm số ( ) f x là một hàm số xác định trên ( , ) a b . Cho nên ký hiệu của đạo hàm của ( ) y f x trên ( , ) a b là '( ) f x hoặc ' y Vậy 0 ( ) ( ) ' '( ) lim x f x x f x y f x x Ví dụ Xét hàm số 2 ( ) y f x x Ta có miền xác định của hàm số là R . Đạo hàm của hàm số trên tập xác định là 2 2 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ' lim lim ( )( ) lim lim(2 ) 2 x x x x f x x f x x x x y x x x x x x x x x x x x Do đó 2 ' '( ) ( )' 2 y f x x x 2.1.2 Ý nghĩa hình học của đạo hàm tại một điểm Cho đường cong ( ) : ( ) C y f x . Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến của ( ) C tại 0 0 ( , ) ( ) M x y C bằng đạo hàm của ( ) f x tại điểm 0 x và phương trình tiếp tuyến của đường cong ( ) C tại 0 0 ( , ) M x y là 0 0 0 - '( )( - ) y y f x x x . Minh họa hình 2.1 2.1.3 Bảng đạo hàm cơ bản ' 1 1 ' 0 ( ) 1 ( )' , 1 ln ' 1 (log )' ln ( )' n n n a x C C const x x R x n x x x x x a e e Hình 2.1 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com . Nguyễn Quốc Tiến 18 b) 2 2 1 1 lim 4 3 x x x x ;ds 1 d) 3 2 1 1 lim 1 x x x ;ds 1/6 e) 4 4 3 3 lim x a x a x a ;ds 4 3 a f) 2 lim( 2 ) x x x x ;. b) 2 4 4 y x x c) 2 y x x d) 2 x x e e y e) 2 x x e e y Giới hạn HS Câu 1. Tính giới hạn của các dãy số sau: a) )(lim 2 nnn n ; ds 1 2 b) 2 4 1 lim n nnn n . x thì hàm 0 ( ) f u x liên tục tại 0 x . 4) ( ) f x liên tục trên [ , ] a b thì đạt giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất trên đoạn đó. 1 .4. 3 Điểm gián đoạn Nếu ( ) f x không liên tục