Toán Cao Cấp 1 Nguyễn Quốc Tiến 36 2 1 1 dx arctgx x C 2 2 1 1 ( 0) , x dx arctg a a x a a C 1 lndx a x a x C 2 2 1 1 ln ( 0) 2 , x a dx a x a a x a C 2 2 1 ln dx x x a C x a 2 2 2 2 2 arcsin 2 2 x a x a x dx a x a C 2 2 2 ln 2 2 x a x a dx x a x x a C 1 ln sin 2 x dx tg C x 1 ln cos 2 4 x dx tg C x 2 1 1 ( ) ,( 0) cos ( ) dx tg ax b C a ax b a 2 1 1 ( ) ,( 0) sin ( ) dx cotg ax b C a ax b a 1 1 ln , ( 0) dx ax b C a ax b a 1 , ( 0) ax b ax b e d e C a a x 3.1.7 Hai phương pháp tính tích phân bất định Trong nhiều trường hợp hàm dưới dấu tích phân không đơn giản, không có dạng như những hàm cơ bản nêu trên, ta phải biến đổi hàm dưới dấu tích phân sao cho có thể áp dụng được các tích phân cơ bản. Có hai phương pháp để biến đổi tích phân trong trường hợp này. 1) Phương pháp đổi biến Phương pháp đổi biến trong tích phân bất định có hai dạng: Dạng 1: Đặt ( ) x t , trong đó ( ) t là hàm khả vi và đơn điệu đối với biến t . Ta có: ( ) [ ( )] '( ) f x dx f t t dt Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Toán Cao Cấp 1 Nguyễn Quốc Tiến 37 Ví dụ 1: Tính 3 3 2 sin x dx x Đặt 3 x t , x khả vi và đơn điệu với mọi t , suy ra 2 '( ) 3 dx x t dt t dt 2 3 3 2 2 3 sin 3 sin 3 sin 3cos 3cos x t t dx tdt t C x C t x Ví dụ 2: Tính 2 1 x dx Đặt sin , arcsin ,( 1 1) 2 2 x t t t x x . Ta có '( ) cos dx x t dt tdt 2 2 2 1 1 sin cos cos cos (cos 0 ) 2 2 x t t t t t do t Suy ra 2 2 1 cos2 1 1 cos sin2 2 2 4 t t x dx tdt dt t C thay 2 2 1 1 arcsin 1 arcsin 1 2 2 t x x dx x x x C Dạng 2: Đặt ( ) u u x trong đó ( ) u x là hàm khả vi. Ta có ( ) [ ( )] '( ) ( ) f x dx f u x u x dx f u du Ví dụ 3: Tính 5 2 1 x x e dx e Đặt '( ) x x u e du u x dx e dx . Suy ra 5 4 2 2 2 2 3 3 1 ( 1 ) 1 1 1 ( ) 3 3 x x x x x e dx u du u du e u u u e u arctg u e arctg e C Ví dụ 4: Tính 4 sin 2 cos 4 xdx x Đặt 2 cos '( ) 2sin cos u x du u x dx x xdx . Suy ra 4 2 2 2 sin2 1 2 ln cos 4 4 4 2 1 cos 2 ln 4 cos 2 xdx du u C x u u x C x Ví dụ 5: Tính 2 1 4 2 1 1 x x I dx x Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Toán Cao Cấp 1 Nguyễn Quốc Tiến 38 Đặt 2 2 u x du xdx , khi đó: 2 2 2 2 4 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 ln( 1) 2 2 1 1 ln( 1) ( ) 2 2 u udu du I du u u u u arctgu C x arctg x C 2) Phương pháp tích phân từng phần Nếu ( ), ( ) u u x v v x là hai hàm khả vi liên tục trên một khoảng nào đó, khi đó: udv uv vdu côngthức này gọi là côngthức tích phân từng phần, thay vì tính tích phân biểu thức udv ta đi tính tích phân biểu thức vdu có thể đơn giản hơn. Để tính ( ) f x dx bằng phương pháp tích phân từng phần ta cần phân tích ( ) ( ) ( ) f x g x h x sau đó đặt ( ) ( ) u g x dv h x dx Việc chọn u và dv ở trên, cần thực hiện sao cho ' u đơn giản và ( ) v h x dx (lấy 0 C ) dễ tính. Các dạng tích phân sau đây được tính bằng phương pháp tích phân từng phần với cách đặt tương ứng: ( )sin , ( )cos , ( ) : ax n n n P x axdx P x axdx P x e dx đặt ( ) n u P x ( )ln , ( ) , ( ) cot , ( )arcsin , ( )arccos , : n n n n n P x xdx P x arctgxdx P x arc gxdx P x xdx P x xdx đặt ( ) n dv P x dx với ( ) n P x là đa thức bậc n theo x Ví dụ 6: Tính 2 (2 3) x I x e dx Đặt 2 2 2 2 3 1 2 x x du dx u x dv e dx v e 2 2 2 2 2 2 3 2 3 1 ( 1) 2 2 2 x x x x x x x I e e dx e e C x e C Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Toán Cao Cấp 1 Nguyễn Quốc Tiến 39 3.2 Đổi biến số và tích phân từng phần trong tích phân xác định Tương tự như trong tích phân bất định ta có hai dạng đổi biến trong tích phân xác định ( ) b a f x dx . 3.2.1 Phương pháp đổi biến số Dạng 1: Đặt ( ) x t với ( ) t có đạo hàm liên tục trên [ , ] và [ ( ) , ( ) a b khi t biến thiên trong [ , ] thì x biến thiên trong [ , ] a b . Khi đó ( ) ( ( )) '( ) b a f x dx f t t dt Ví dụ 1: Tính 2 1 2 0 1 I x x dx Đặt sin , (0 ) cos 2 x t t dx tdt Ta có 0 0 x t , 1 2 x t Do đó: 2 2 2 1 2 2 2 2 2 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 1 sin 1 sin .cos sin cos 1 1 1 sin4 sin 2 (1 cos 4 ) 4 8 8 4 16 I x x dx t t tdt t tdt t tdt t dt x Dạng 2: Đặt ( ) u u x với ( ) u x đơn điệu, khả vi liên tục trên [ , ] a b và ( ) f x dx trở thành ( ) g u du thỏa ( ) g u liên tục trên [ ( ), ( )] u a u b . Khi đó : ( ) ( ) ( ) ( ) u b b a u a f x dx g u du Ví dụ 2: Tính 3 2 3 4 cos sin x x I dx Ta có 2 2 1 3 3 4 4 2 2 cos 1 sin cos cos sin (sin ) x x I xdx x dx x x Đặt sin cos u x du xdx và 2 ( ) , ( ) 1 4 2 2 u u . Khi đó 1 1 1 5 2 3 3 1 3 2 2 2 2 1 ( ) u I du u u du u Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Toán Cao Cấp 1 Nguyễn Quốc Tiến 40 3.2.2 Phương pháp tích phân từng phần: Nếu ( ), ( ) u x v x là hai hàm khả vi liên tục trên [ , ] a b . Khi đó b b b a a a udv uv vdu Cách đặt u và dv tương tự như trong tích phân bất định. Ví dụ 3: Tính các tích phân sau: (1) 1 ln e I xdx Đặt ln dx u x du x dv dx v x Khi đó: 1 1 ln ln ( 1) 1 e e I x x dx e e e (2) 2 0 cos x J e xdx Đặt sin cos x x u e du e dx v x dv xdx Khi đó: 2 2 0 0 sin sin x x J e x e xdx . Đặt 2 1 0 sin x J e xdx , ta tiếp tục tích phân từng phần 1 J Đặt cos sin x x u e du e dx v x dv xdx 2 2 2 1 0 0 0 cos cos cos x x x J e x e xdx e x J 2 2 2 1 0 0 0 sin sin cos x x x J e x J e x e x J . Vậy ta được 2 2 0 0 2 2 1 1 sin cos 2 2 1 1 1 ( 1) 2 2 2 x x J e x e x J e e Như vậy qua 3.1 và 3.3 ta đã xây dựng khái niệm và chỉ ra cách tính tích phân trong trường hợp các cận lấy tích phân là hữu hạn và hàm lấy tích phân liên tục . Dưới đây chúng ta sẽ mở Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com . 2 2 2 1 2 2 2 2 2 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 1 sin 1 sin .cos sin cos 1 1 1 sin4 sin 2 (1 cos 4 ) 4 8 8 4 16 I x x dx t t tdt t tdt t tdt t dt x . and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Toán Cao Cấp 1 Nguyễn Quốc Tiến 38 Đặt 2 2 u x du xdx , khi đó: 2 2 2 2 4 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 ln( 1) 2 2 1