Bai giang Toan A1 SPTN

Bai giang Toan A1 SPTN tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh vực kinh...

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TS THIỀU ĐÌNH PHONG BÀI GIẢNG TỐN A1 NHĨM NGÀNH SƯ PHẠM TỰ NHIÊN Tài liệu lưu hành nội Nghệ An – 2016 MỤC LỤC Mục lục 1 ÁNH XẠ - PHÉP THẾ 1.1 Ánh xạ 1.1.1 Định nghĩa ánh xạ 1.1.2 Ảnh nghịch ảnh tập 1.1.3 Đơn ánh, toàn ánh, song ánh, ánh xạ đồng 1.1.4 Tích ánh xạ 1.1.5 Ánh xạ ngược 1.1.6 Thu hẹp mở rộng ánh xạ 1.2 Phép 1.2.1 Khái niệm phép 1.2.2 Phép nhân phép bậc n 10 1.2.3 Dấu phép 11 MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 13 2.1 Ma trận 13 2.1.1 Khái niệm ma trận 13 2.1.2 Các ma trận đặc biệt 13 2.1.3 Các phép toán ma trận 14 2.1.4 Các phép biến đổi sơ cấp ma trận, Ma trận bậc thang 18 2.2 Định thức 20 2.2.1 Khái niệm định thức 20 2.2.2 Cách tính định thức cấp 21 2.2.3 Các tính chất định thức 22 2.2.4 Khai triển định thức 2.2.5 Định lí Laplace 24 2.2.6 Định thức tích ma trận vng 25 23 2.3 Ma trận nghịch đảo 26 2.3.1 Khái niệm ma trận nghịch đảo 26 2.3.2 Các tính chất ma trận nghịch đảo 27 2.3.3 Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo 27 2.4 Hạng ma trận 29 2.4.1 Khái niệm hạng ma trận 29 2.4.2 Các phương pháp tìm hạng ma trận 30 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 3.1 Hệ phương trình tuyến tính tổng qt 32 32 3.1.1 Các khái niệm hệ phương trình tuyến tính 32 3.1.2 Nghiệm hệ phương trình tuyến tính tổng qt 33 3.1.3 Hệ phương trình tương đương, phép biến đổi tương đương 33 3.2 Hệ phương trình tuyến tính Cramer 34 3.2.1 Định nghĩa 34 3.2.2 Định lý Cramer 34 3.3 Giải hệ phương trình tuyến tính biến đổi sơ cấp 35 3.3.1 Điều kiện có nghiệm hệ phương trình tuyến tính 35 3.3.2 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính 36 3.3.3 Giải biện luận hệ phương trình tuyến tính 39 3.4 Hệ phương trình tuyến tính 40 3.4.1 Định nghĩa 40 3.4.2 Hệ nghiệm 40 3.4.3 Liên hệ nghiệm với hệ phương trình tuyến tính tổng qt KHƠNG GIAN VECTƠ 4.1 Khái niệm không gian vectơ 41 43 43 4.1.1 Định nghĩa 43 4.1.2 Một số ví dụ 44 4.1.3 Một số tính chất đơn giản khơng gian vectơ 45 4.2 Cơ sở số chiều 46 4.2.1 Tổ hợp tuyến tính 46 4.2.2 Hệ sinh 47 4.2.3 Độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính 47 4.2.4 Cơ sở 49 4.2.5 Số chiều 49 4.2.6 Tọa độ véc tơ sở 4.2.7 Đổi sở phép biến đổi tọa độ 50 4.3 Không gian vectơ 50 52 4.3.1 Khái niệm không gian vectơ 52 4.3.2 Giao tổng không gian vectơ 52 4.3.3 Không gian sinh hệ véc tơ 53 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 54 5.1 Ánh xạ tuyến tính 54 5.1.1 Định nghĩa 54 5.1.2 Đồng cấu, tự đồng cấu 54 5.1.3 Ví dụ ánh xạ tuyến tính 54 5.1.4 Các tính chất ánh xạ tuyến tính 55 5.1.5 Sự xác định ánh xạ tuyến tính 56 5.1.6 Ảnh hạt nhân ánh xạ tuyến tính 57 5.2 Ma trận ánh xạ tuyến tính 58 5.2.1 Định nghĩa 58 5.2.2 Tính chất 59 5.3 Giá trị riêng vectơ riêng 59 5.3.1 Định nghĩa 59 5.3.2 Bài tốn tìm giá trị riêng vectơ riêng 60 DẠNG SONG TUYẾN TÍNH – DẠNG TỒN PHƯƠNG 6.1 Dạng song tuyến tính 62 62 6.1.1 Định nghĩa 62 6.1.2 Ma trận, hạng biểu thức tọa độ dạng song tuyến tính 63 6.2 Dạng toàn phương 63 6.2.1 Định nghĩa 63 6.2.2 Định nghĩa 64 6.2.3 Ma trận, hạng, biểu thức tọa độ dạng toàn phương 64 6.2.4 Dạng tắc dạng toàn phương 65 6.2.5 Phương pháp Lagrange 65 6.2.6 Dạng toàn phương xác định 68 6.2.7 Bất đẳng thức Cauchy - Schwartz 69 BÀI TẬP Ánh xạ, Phép 71 72 1.1 Ánh xạ 72 1.2 Phép 75 Ma trận, Định thức 70 2.1 Ma trận, phép toán ma trận 70 2.2 Định thức 71 2.3 Ma trận nghịch đảo 2.4 Hạng ma trận 72 74 Hệ phương trình tuyến tính 75 3.1 Hệ phương trình Cramer 75 3.2 Hệ phương trình tuyến tính tổng qt - Hệ 76 3.3 Giải biện luận hệ phương trình tuyến tính 77 Không gian vectơ 79 4.1 Không gian vectơ - Cơ sở, tọa độ số chiều 79 4.2 Ma trận chuyển sở, biến đổi tọa độ 4.3 Không gian vectơ 81 83 Ánh xạ tuyến tính 85 5.1 Ánh xạ tuyến tính 85 5.2 Ma trận ánh xạ tuyến tính 86 5.3 Giá trị riêng vectơ riêng 88 Dạng toàn phương 6.1 Dạng song tuyến tính 91 91 6.2 Dạng toàn phương 92 Tài liệu tham khảo 94 CHƯƠNG ÁNH XẠ - PHÉP THẾ 1.1 1.1.1 Ánh xạ Định nghĩa ánh xạ Định nghĩa 1.1.1 Cho X Y hai tập hợp tuỳ ý khác rỗng Ánh xạ f từ tập hợp X vào tập hợp Y , ký hiệu f : X → Y , quy tắc đặt tương ứng phần tử x ∈ X với phần tử xác định y ∈ Y Phần tử y gọi ảnh phần tử x, ký hiệu y = f (x) x → y Tập hợp X gọi tập xác định hay tập nguồn, tập hợp Y gọi tập giá trị hay tập đích ánh xạ f Nói riêng, X Y tập hợp số khái niệm ánh xạ trở thành khái niệm hàm số biết Ví dụ 1.1.2 Mỗi tương ứng sau tập hợp xác định ánh xạ: 1) Tương ứng f : {1, 2} → {a, b, c} cho f (1) = a, f (2) = c 2) Tương ứng f : {1, 2, 3} → {a, b} cho f (1) = f (2) = a, f (3) = c 3) Tương ứng f : N → N cho n → f (n) = 2n 4) Tương ứng f : R → R cho x → f (x) = sin x 5) Tương ứng f : R → R cho x → f (x) = ex 6) Tương ứng f : R → R cho x → f (x) = 2x + 7) Tương ứng f : [a, b] → [c, d] cho x → f (x) = 1.1.2 c−d a−b x + ad−bc a−b Ảnh nghịch ảnh tập Định nghĩa 1.1.3 Cho f : X → Y ánh xạ từ X vào Y ; A ⊆ X tập X ; B ⊆ Y tập Y Ta gọi ảnh A f tập Y xác định f (A) = {f (x) | x ∈ A} Đặc biệt f (X), ảnh tập xác định X , gọi miền giá trị ảnh ánh xạ f ký hiệu Im(f ) Như vậy: Im(f ) = {y ∈ Y | ∃x ∈ X : y = f (x)} ⊆ Y Nghịch ảnh tập B ⊆ Y ánh xạ f tập X xác định bởi: f −1 (B) = {x ∈ X | f (x) ∈ B } Nói riêng, f −1 (Y ) = X tập xác định ánh xạ f Khi A = {x} ta viết f (x) thay chof ({x}) gọi ảnh x KhiB = {y}ta viết f −1 (y) thay cho f −1 ({y}) gọi nghịch ảnh y Chú ý rằng, f −1 (B) , B = ∅ tập rỗng 1.1.3 Đơn ánh, tồn ánh, song ánh, ánh xạ đồng Định nghĩa 1.1.4 Cho f : X → Y ánh xạ Ta nói: a) f đơn ánh hai phần tử khác thuộc tập xác định có ảnh khác qua f Nói cách khác, f đơn ánh khi: ∀x1 , x2 ∈ X : x1 = x2 ⇒ f (x1 ) = f (x2 ); hay ∀x1 , x2 ∈ X : f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 ; hay phương trình f (x) = y ẩn x có nhiều nghiệm với y ∈ Y b) f toàn ánh phần tử thuộc tập giá trị có tạo ảnh thuộc tập xác định f Nói cách khác, f toàn ánh khi: ∀y ∈ Y, ∃x ∈ X : f (x) = y; hay f (X) = Y ; hay phương trình f (x) = y ẩn x có nghiệm với y ∈ Y c) f song ánh f vừa đơn ánh vừa toàn ánh Nói cách khác, phần tử thuộc tập giá trị có tạo ảnh thuộc tập xác định f , tức là: ∀y ∈ Y, ∃!x ∈ X : f (x) = y; hay phương trình f (x) = y ẩn x có nghiệm với y ∈ Y Ánh xạ f : X → X cho f (x) = x, ∀x ∈ X gọi ánh xạ đồng tập X , ký hiệu idX Ta có idX song ánh Trường hợp X = R tập số thực idR hàm số bậc thông thường: y = x Giả sử X ⊆ Y , ánh xạ f : X → Y cho f (x) = x, ∀x ∈ X gọi ánh xạ nhúng tập X vào tập Y Ví dụ 1.1.5 1) Ánh xạ f : R → R cho x → sin x khơng đơn ánh, khơng tồn ánh 2) Ánh xạ f : R → R cho x → ex đơn ánh khơng tồn ánh 3) Ánh xạ f : {1, 2} → {a, b, c} cho f (1) = a, f (2) = c đơn ánh khơng tồn ánh 4) Ánh xạ f : R → R cho x → 2x + song ánh 5) Ánh xạ f : N → N∗ cho n → n + song ánh Một số hình ảnh minh họa ánh xạ, đơn ánh, tồn ánh, song ánh: 1.1.4 Tích ánh xạ Định nghĩa 1.1.6 Cho ánh xạ f : X → Y ; g : Y → Z Ánh xạ h : X → Z xác định ∀x ∈ X, h (x) = g (f (x)) gọi hợp thành hay tích ánh xạ f g , ký hiệu h = g ◦ f Ví dụ 1.1.7 Giả sử f g ánh xạ từ R vào R cho bởi: f (x) = sin x; g (x) = x2 Khi (g ◦ f ) (x) = g (f (x)) = g (sin x) = (sin x)2 = sin2 x Còn (f ◦ g) (x) = f (g(x)) = f x2 = sin x2 = sin x2 Từ định nghĩa tích ánh xạ, ta suy tính chất sau: Tính chất 1.1.8 a) Nếu f : X → Y ; g : Y → Z;k : Z → S ánh xạ k ◦ (g ◦ f ) = (k ◦ g) ◦ f Nói khác đi, phép nhân ánh xạ có tính chất kết hợp phép nhân thực Do tính chất này, mở rộng phép toán hợp ánh xạ từ hai sang số hữu hạn ánh xạ cho trước ký hiệu k ◦ g ◦ f có ý nghĩa hồn toàn xác định b) Giả sử f : X → Y g : Y → Z ánh xạ, ta có: - Nếu f g đơn ánh g ◦ f đơn ánh - Nếu f g tồn ánh g ◦ f toàn ánh - Nếu f g song ánh g ◦ f song ánh c) Nếu f : X → Y đơn ánh f : X → Im(f ) tồn ánh f : X → Y đơn ánh f : X → Im(f ) song ánh Phép chứng minh ba tính chất xem tập 1.1.5 Ánh xạ ngược Định nghĩa 1.1.9 Giả sử f : X → Y ánh xạ Nếu tồn ánh xạ g : Y → X cho g ◦ f = idX ; f ◦ g = idY ta gọi g ánh xạ ngược f Nhận xét 1.1.10 1) Ánh xạ ngược ánh xạ có Thật vậy, giả sử ánh xạ f có ánh xạ ngược g k Khi đó, ta có g = idX ◦ g = (k ◦ f ) ◦ g = k ◦ (f ◦ g) = k ◦ idY = k Từ nhận xét trên, f có ánh xạ ngược g : Y → X ta ký hiệu g = f −1 ta có: f −1 ◦ f = idX ; f ◦ f −1 = idY 2) Ánh xạ f −1 ánh xạ ngược f hay f −1 −1 = f Vậy f f −1 cặp ánh xạ ngược Nói riêng, Y = X f −1 = f nghĩa f −1 (x) = f (x) , ∀x ∈ X f gọi ánh xạ đối hợp Định lí 1.1.11 Ánh xạ f : X → Y có ánh xạ ngược f song ánh Chứng minh Giả sử f : X → Y song ánh Thế với y ∈ Y , tồn phần tử x ∈ X cho f (x) = y Do đó, ánh xạ g : Y → X xác định bởi: g (y) = x ánh xạ ngược ánh xạ f Thật vậy, với ∀x ∈ X; ∀y ∈ Y , ta có: (g ◦ f ) (x) = g (f (x)) = x; (f ◦ g) (y) = f (g(y)) = y Ngược lại, giả sử f : X → Y có ánh xạ ngược g : Y → X , ta chứng minh f : X → Y song ánh Thật vậy, với x1 , x2 ∈ X : f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ g (f (x1 )) = g (f (x2 )) ⇒ idX (x1 ) = idX (x2 ) ⇒ x1 = x2 Do f đơn ánh Bây giả sử y ∈ Y , tồn phần tử x = g(y) ∈ X cho f (x) = f (g(y)) = (f ◦ g)(y) = idY (y) = y hay f toàn ánh Vậyf : X → Y song ánh định lý chứng minh Ví dụ 1.1.12 1) Ánh xạ f : R∗ → R∗ xác định bởif (x) = x ánh xạ đối hợp tức f = f −1 2) Ánh xạ f : R → R cho f (x) = x3 có ánh xạ ngược f −1 : R → R √ cho f −1 (x) = x 3) Ánh xạ f : − π2 ; π2 → [−1; 1] cho f (x) = sin x có ánh xạ ngược f −1 : [−1; 1] → − π2 ; π2 cho f −1 (x) = arcsin x Nhận xét 1.1.13 1) Nếu f : X → Y song ánh ánh xạ f −1 ◦ f ánh xạ đồng X, tức f −1 ◦ f = idX Tương tự f ◦ f −1 = idY ánh xạ đồng Y 2) Nếu f : X → Y , g : Y → Z song ánh g ◦ f song ánh ta có cơng thức tính nghịch đảo song ánh tích: (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1 Phép chứng minh chúng xem tập dành cho bạn đọc 1.1.6 Thu hẹp mở rộng ánh xạ Định nghĩa 1.1.14 Giả sử f : X → Y ánh xạ, A ⊂ X tập thực X Ánh xạ g : A → Y cho g (x) = f (x) ; ∀x ∈ A gọi thu hẹp ánh xạ f : X → Y vào tập A X , ký hiệu g = fA Nếu X ⊃ X , X = X ánh xạ h : X → Y cho h (x) = f (x) ; ∀x ∈ X gọi mở rộng ánh xạ f : X → Y lên tập X Chú ý rằng, với ánh xạ f : X → Y cho trước tồn nhiều mở rộng tập X hoàn toàn xác định 1.2 1.2.1 Phép Khái niệm phép Định nghĩa 1.2.1 Cho X = {0, 1, 2, , n} tập hợp có n phần tử Một song ánh f : X → X gọi phép bậc n (trên X ) Ký hiệu Sn tập Trong R− không gian vectơ R3 , hệ vétơ sau hệ sở R3 Tìm tọa độ vectơ x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 sở (a) = {a1 = (1, −3, −2), a2 = (1, 2, 3), a3 = (2, −1, 0)}, (b) = {b1 = (1, 1, 1), b2 = (0, 1, 1), b3 = (0, 0, 1)}, (c) = {c1 = (2, 1, 1), c2 = (1, 2, 0), c3 = (0, 1, 1)} (d) = {d1 = (0, 1, 1), d2 = (1, −2, 1), d3 = (−3, 1, 0)} (e) = {e1 = (1, 1, 1), e2 = (2, −2, 0), e3 = (−3, 5, 7)} Bài tập 4.5 Hãy xác định λ cho x tổ hợp tuyến tính u, v, w? a) u = (2, 3, 5); v = (3, 7, 8); w = (1, −6, 1); x = (7, −2, λ) b) u = (4, 4, 3); v = (7, 2, 1); w = (4, 1, 6); x = (5, 9, λ) c) u = (3, 4, 2); v = (6, 8, 7); x = (9, 12, λ) d) u = (3, 2, 5); v = (2, 4, 7); w = (5, 6, λ); x = (1, 3, 5) −1 , B = , C = tổ hợp tuyến tính A, B, C −1 a) b) 0 −1 c) 0 d) −8 −8 Bài tập 4.6 Cho A = −2 −2 Ma trận Bài tập 4.7 Mỗi họ vectơ có sinh R3 hay không? a) v1 = (1, 1, 1), v2 = (2, 2, 0), v3 = (3, 0, 0) b) v1 = (2, −1, 3), v2 = (4, 1, 2), v3 = (8, −1, 8) c) v1 = (3, 1, 4), v2 = (2, −3, 5), v3 = (5, −2, 9), v4 = (1, 4, −1) d) v1 = (1, 3, 3), v2 = (1, 3, 4), v3 = (1, 4, 3), v4 = (6, 2, 1) Bài tập 4.8 Các vectơ sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? a) u1 = (1, 2), u2 = (−3, −6) R2 ; b) u1 = (2, 3), u2 = (−5, 8), u3 = (6, 1) R2 ; c) p1 = + 3x − x2 ; p2 = + 9x − 3x2 P2 ; −1 −3 d) A = ; B = −2 M2 (R) Bài tập 4.9 Các vectơ sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? a) u1 = (1, 2, 3), u2 = (3, 6, 7) R3 ; b) u1 = (4, −2, 6), u2 = (6, 3, 9) R3 ; 80 c) u1 = (2, −3, 1), u2 = (3, −1, 5), (1, −4, 3) R3 ; c) u1 = (5, 4, 3), u2 = (3, 3, 2), (8, 1, 3) R3 Bài tập 4.10 Tìm λ ∈ R cho vectơ sau phụ thuộc tuyến tính R3 1 1 1 v1 = (λ, − , − ), v2 = (− , λ, − ), v3 = (− , − , λ) 2 2 2 Bài tập 4.11 Giải thích tập sau sở không gian tương ứng: a) u1 = (1, 2), u2 = (0, 3), u3 = (2, 7) R2 ; b) u1 = (−1, 3, 2), u2 = (6, 1, 1) R3 ; c) p1 = + x + x2 , p2 = x − P2 ; 1 ,B = M2 (R) d) A = −1 , C = ,D = ,E = Bài tập 4.12 Họ sở R2 : a) (2, 1), (3, 0); b) (4, 1), (−7, −8) c) (0, 0), (1, 3); d) (3, 9), (−4, −12) Bài tập 4.13 Họ sở R3 : b) (3, 1, −4), (2, 5, 6), (1, 4, 8) a) (1, 0, 0), (2, 2, 0), (3, 3, 3) c) (2, −3, 1), (4, 1, 1), (0, −7, 1) d) 1, 6, 4), (2, 4, −1), (−1, 2, 5) Bài tập 4.14 Chứng minh họ sau sở M2 (R) a) −1 −8 , , , −6 −1 −12 −4 −1 b) 0 0 0 0 , 0 , , Bài tập 4.15 Trong R− không gian vectơ R2 [x], hệ vectơ sau hệ sở R2 [x] Tìm tọa độ vectơ f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 ∈ R2 [x] sở (a) = {a1 = + 6x + 2x2 , a2 = − x + 4x2 , a3 = + 10x − 4x2 }, (b) = {b1 = + x + x2 , b2 = − 5x + 5x2 , b3 = − 3x2 }, (c) = {c1 = − 3x + 2x2 , c2 = + 2x + 3x2 , c3 = − x + 5x2 } 4.2 Ma trận chuyển sở, biến đổi tọa độ Bài tập 4.16 Trong R− không gian vectơ M2 (R) gồm ma trận vuông cấp 2, phần tử thực, cho hệ vectơ 81 0 0 0 A1 = 0 , A2 = 0 , A3 = , A4 = , −1 −8 (B) = B1 = −6 , B2 = −1 , B3 = −12 −4 , B4 = −1 1 0 (C) = C1 = 0 , C2 = 0 ; C3 = , C4 = 1 Chứng minh hệ vectơ sở M2 (R) (A) = , Tìm ma trận chuyển từ: a Cơ sở (A) qua sở (B) b Cơ sở (B) qua sở (C) Biết tọa độ vectơ X0 sở (B) (0, 1, 0, 2) Tìm tọa độ vectơ X0 sở (A) Biết tọa độ vectơ P0 sở (C) (0, 1, 0, 2) Tìm tọa độ vectơ P0 sở (B) Tìm tọa độ vectơ X0 = ∈ M2 (R) sở Bài tập 4.17 Trong K− không gian vectơ V cho sở (e) = {e1 , e2 , e3 } hệ vectơ (u) = {u1 = e1 , u2 = e1 + e2 , u3 = e1 + e2 + e3 } Chứng minh (u) sở V Tìm ma trận chuyển từ sở (e) qua sở (u) ngược lại Giả sử vectơ x ∈ V có tọa độ sở (u) (1, 5, 9) Tìm tọa độ x sở (e) Bài tập 4.18 Trong R− không gian vectơ R3 cho sở (e) = {e1 = (1, 1, 0), e2 = (1, 0, 1), e3 = (1, −2, 0)}, (u) = {u1 = (1, 2, 0), u2 = (2, 1, 3), u3 = (0, 1, 3)} (p) = {p1 = (1, −3, −2), p2 = (1, 2, 3), p3 = (2, −1, 0)}, (q) = {q1 = (2, 1, 1), q2 = (1, 2, 0), q3 = (0, 1, 1)} a) Tìm ma trận chuyển từ sở (e) qua sở (u), từ sở (p) qua sở (q) b) Biết vectơ x ∈ R3 có tọa độ sở (u) (1, 1, 1) Tìm tọa độ vectơ x sở (e) c) Biết vectơ x ∈ R3 có tọa độ sở (q) (−1, 0, 2) Tìm tọa độ vectơ x sở (p) d) Biết vectơ x ∈ R3 có tọa độ sở (e) (0, −1, 2) Tìm tọa độ vectơ x sở (u) 82 Bài tập 4.19 Trong R− không gian vectơ R3 cho sở (b) = {b1 = (1, 1, 1), b2 = (0, 1, 1), b3 = (0, 0, 1)}, (c) = {c1 = (2, 1, 1), c2 = (1, 2, 0), c3 = (0, 1, 1)} a) Tìm ma trận chuyển từ sở (b) qua sở (c) b) Biết vectơ x ∈ R3 có tọa độ sở (c) (1, 0, 1) Tìm tọa độ vectơ x sở (b) 4.3 Không gian vectơ Bài tập 4.20 Hỏi tập có khơng gian R3 hay khơng? Tìm sở chiều khơng gian a) Tập vectơ có dạng (a, 0, 0)? b) Tập vectơ có dạng (a, 1, 1)? c) Tập vectơ có dạng (a, b, c) với b = a + c d) Tập vectơ có dạng (a, b, c) với b = a + c + Bài tập 4.21 Hỏi tập có khơng gian Rn hay khơng? Tìm sở chiều khơng gian a) V = {(x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn | x1 + 2x2 + nxn = 0}? x1 + 2x2 + nxn = a) V = {(x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn | 2x1 + 3x2 + (n + 1)xn = }? Bài tập 4.22 Gọi M2 (R) không gian ma trận vuông cấp hai phần tử thực với phép cộng ma trận nhân số với ma trận Hỏi tập có khơng gian M2 (R) hay khơng? Tìm sở chiều khơng gian a c a b) Tập ma trận có dạng b d , a, b, c, d ∈ Z? b c , a, b, c ∈ R? a b c) Tập ma trận cấp hai có dạng −b c a, b, c ∈ R? d) Tập ma trận cấp hai có định thức 0? a) Tập ma trận có dạng Bài tập 4.23 Xác định sở không gian R3 a) Mặt phẳng 3x− 2y + 5z = 0; b) Mặt phẳng x − y = x = 2t c) Đường thẳng y = t ;  z = 4t d) Các vectơ có dạng (a, b, c) b = a + c 83 Bài tập 4.24 Xác định số chiều sở không gian R4 a) Các vectơ có dạng (a, b, c, 0); b) Các vectơ có dạng (a, b, c, d) d = a + b c = a − b; c) Các vectơ có dạng (a, b, c, d) a = b = c = d Bài tập 4.25 Tìm sở số chiều khơng gian R3 sinh vectơ sau b) (2, 4, 1), (3, 6, −2), (−1, 2, − 21 ) a) (1, −1, 2), (2, 1, 3), (−1, 5, 0); Bài tập 4.26 Tìm sở số chiều không gian R4 sinh vectơ sau a) (1, 1, −4, −3), (2, 0, 2, −2), (2, −1, 3, 2); b) (−1, 1, −2, 0), (3, 3, 6, 0), (9, 0, 0, 3) c) (1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1), (−2, 0, 2, 2), (0, −3, 0, 3); d) (1, 0, 1, −2), (1, 1, 3, −2), (2, 1, 5, −1), (1, −1, 1, 4) Bài tập 4.27 Xác định số chiều sở không gian nghiệm hệ sau:  2x1 + x2 + 3x3 = a) x1 + 2x2 =  x2 + x3 =  3x1 + x2 + 2x3 = c) 4x1 + 5x3 =  x1 − 3x2 + 4x3 = b) 3x1 + x2 + x3 + x4 = 5x1 − x2 + x3 − x4 =  x1 − 3x2 + x3 = d) 2x1 − 6x2 = x3 =  3x1 − 9x2 + 3x3 = Bài tập 4.28 Trong R− không gian vectơ R3 cho tập hợp A = {x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 \x1 + x2 + x3 = 0}, B = {x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ R3 \ − x1 + x2 − x3 = 0} C = {x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ R3 \3x1 + 2x2 + x3 = 0} Chứng minh A, B, C không gian vectơ R3 Tìm sở số chiều A, B, C, A ∩ B, A ∩ C, B ∩ C Tập A ∪ B có phải khơng gian vectơ R3 khơng? Vì sao? Véctơ r ∈ R3 , biểu thị r = a + b, với a ∈ A, b ∈ B có khơng? Vì sao? 84 CHƯƠNG ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5.1 Ánh xạ tuyến tính Bài tập 5.1 Ánh xạ f : R2 −→ R2 sau có tuyến tính khơng? a) f (x, y) = (2x, y); b) f (x, y) = (y, x + 1); c) f (x, y) = (x2 , y); d) f (x, y) = (0, y) Bài tập 5.2 Ánh xạ f : R3 −→ R2 sau có tuyến tính khơng? a) f (x, y, z) = (x, x + y + z); b) f (x, y, z) = (1, 1); c) f (x, y, z) = (2x + y, 3y − 4z) Bài tập 5.3 Kí hiệu M2 khơng gian ma trận vng cấp với hệ số thực Ánh xạ f : M2 −→ R sau có tuyến tính khơng? a b a b a b a b a) f c d = 2a + d; b) f c d = det c d ; c) f c d = a2 + b Bài tập 5.4 Kí hiệu P2 khơng gian véc tơ đa thức có bậc không với hệ số thực (ta quy ước ∈ P2 ) Ánh xạ f : P2 −→ P2 sau có tuyến tính khơng? a) f (ax2 + bx + c) = (3a + b)x2 + (a + c)x + b; b) f (ax2 + bx + c) = 0; c) f (ax2 + bx + c) = (a + 1)x2 + bx Bài tập 5.5 Cho f : V −→ W ánh xạ tuyến tính x1 , , xn ∈ V phụ thuộc tuyến tính Chứng minh f (x1 ), , f (xn ) phụ thuộc tuyến tính Bài tập 5.6 Cho f : V −→ W ánh xạ tuyến tính x1 , , xn ∈ V độc lập tuyến tính Chứng minh f đơn cấu f (x1 ), , f (xn ) độc lập tuyến tính Bài tập 5.7 Cho f : V −→ W ánh xạ tuyến tính dim V = dim W = n Chứng minh f đơn cấu f toàn cấu, f đẳng cấu Bài tập 5.8 Cho sở {v1 , v2 , v3 } R3 , v1 = (1, 2, 3), v2 = (2, 5, 3), v3 = (1, 0, 10) Cho biết f : R3 −→ R2 xác định f (v1 ) = (1, 0), f (v2 ) = (1, 0) f (v3 ) = (0, 1) Tính f (1, 1, 1) Tìm biểu diễn f (x, y, z) (theo x, y, z ) Bài tập 5.9 Tính dim Ker(f ), a) f : R5 −→ R7 có hạng 3; b) f : R6 −→ R3 có Im(f ) = R3 ; c) f : M2 −→M2 có hạng 5.2 Ma trận ánh xạ tuyến tính Bài tập 5.10 Cho A ma trận cấp × có hạng a) Tìm số chiều khơng gian nghiệm Ax = b) Phương trình Ax = b có nghiệm với b ∈ R5 khơng? Vì Bài tập 5.11 Cho f ánh xạ tuyến tính có ma trận sở tắc A cho duới Tìm chiều sở Im(f ) Ker(f )  −1 −1  −2 c) A = −1 b) A = −2 ; a) A = −4 ; 0 2 −1  −1 −1 Bài tập 5.12 Cho f : R2 −→ R3 cho f (x, y) = (x + y, x, y) Tìm ma trận f sở B = {(1, 1), (2, 0)} R2 sở B = {(1, 1, 0), (1, 0, 0), (2, 1, 1)} R3 Bài tập 5.13 Tìm ma trận phép biến đổi tuyến tính sau sở tắc a) f : R2 −→ R2 cho f (x, y) = (2x − y, x + y) b) f : R3 −→ R3 cho f (x, y, z) = (x + 2y + z, x + 5y, z) Bài tập 5.14 Tìm ma trận ánh xạ tuyến tính sau sở tắc a) f : R2 −→ R4 cho f (x, y) = (y, −x, x + 3y, x − y) b) f : R4 −→ R5 cho f (x, y, z, t) = (t, x, z, y, y − z) Bài tập 5.15 Cho f : R3 −→ R3 xác định f (x, y, z) = (x−y, y −x, x−z) Tìm ma trận f sở B = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0)} Hãy tính f (2, 0, 0) theo cách: tính trực tiếp dùng ma trận f 86 −2 ma trận ánh xạ tuyến tính f : R −→ R2 sở B = {(1, 3), (−1, 4)} Bài tập 5.16 Cho A = a) Tìm tọa độ véc tơ f (1, 3) f (−1, 4) sở tắc sở B R2 b) Hãy tìm toạ độ véc tơ (1, 1) sở B tính f (1, 1) Bài tập 5.17 Tìm ma trận A f sở B từ suy ma trận A f sở B trường hợp sau a) f : R2 −→ R2 xác định f (x, y) = (x − 2y, −y); B = {(1, 0), (0, 1)}, B = {(2, 1), (−3, 4)} b) f : R3 −→ R3 cho f (x, y, z) = (x + 2y − z, −y, x + 7z); B sở tắc R3 B = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)} Bài tập 5.18 Cho ánh xạ f : R3 → R3 , xác định f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + 2x2 + x3 , 2x1 + 4x2 + 2x3 , 3x1 + x3 ) Chứng minh f phép biến đổi tuyến tính khơng gian vectơ R3 Tìm ma trận phép biến đổi tuyến tính f sở tắc R3 Tìm Ker f (tìm chiều, sở, mơ tả phần tử) Tìm Im f (tìm chiều, sở, mơ tả phần tử) f có phải đẳng cấu tuyến tính khơng? Bài tập 5.19 Cho ánh xạ f : R3 −→ R3 , xác định f (x1 , x2 , x3 ) = (3x1 +5x2 +6x3 , x1 +2x2 +2x3 , 3x1 +8x2 +6x3 ), ∀x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 Chứng minh f phép biến đổi tuyến tính R3 Tìm ma trận f sở tắc R3 Tìm Ker(f ) Im(f ) Phép biến đổi tuyến tính f có phải đẳng cấu khơng? Vì sao? Bài tập 5.20 Cho ánh xạ f : R3 −→ R3 , xác định f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 +2x2 +x3 , 2x1 +4x2 +2x3 , 3x1 +x3 ), ∀x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 Chứng minh f phép biến đổi tuyến tính R3 Tìm ma trận f sở tắc R3 Tìm Ker(f ) Im(f ) Phép biến đổi tuyến tính f có phải đẳng cấu khơng? Vì sao? 87 Bài tập 5.21 Cho ánh xạ f : R2 −→ R3 , xác định f (x1 , x2 ) = (2x1 − x2 , x1 + x2 , x1 − 2x2 + a), ∀x = (x1 , x2 ) ∈ R2 Tìm a để f ánh xạ tuyến tính Trong trường hợp f ánh xạ tuyến tính: a Tìm ma trận f sở tắc R2 R3 b Tìm Kerf Imf 5.3 Giá trị riêng vectơ riêng Bài tập 5.22 Tìm giá trị riêng sở không gian riêng ma trận sau a) −1 ; b) 10 −9 −2 ; c) Bài tập 5.23 Tìm giá trị riêng sở không gian riêng ma trận sau −1 −3 ; a) −1 −2 b) −4 ; −2 c) −5 −7 −9 Bài tập 5.24 Cho A = (aij ) ma trận chéo cấp n Hãy tìm đa thức đặc trưng A Tìm giá trị riêng A Bài tập 5.25 Chứng minh λ = giá trị riêng ma trận A A ma trận suy biến Bài tập 5.26 Cho A ma trận cấp Chứng minh A At có giá trị riêng Bài tập 5.27 Cho A ma trận khả nghịch Chứng minh λ giá trị riêng A λ = giá trị riêng A−1 λ Bài tập 5.28 Cho A B hai ma trận vuông cỡ Chứng minh AB BA có giá trị riêng Bài tập 5.29 Cho f : M2 (R) −→ M2 (R) phép biến đổi tuyến tính cho f a b 3a − 2b −2a + 3b 5c c d = a) Tìm giá trị riêng f b) Tìm sở khơng gian riêng f 88 Bài tập 5.30 Cho phép biến đổi tuyến tính f : R3 −→ R3 , xác định f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 +2x2 −3x3 , −x1 −3x2 +4x3 , 2x1 +x2 −x3 ), ∀x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 Tìm ma trận f sở tắc R3 Tìm Ker(f ) Im(f ) Từ suy f có đẳng cấu khơng? Vì sao? Tìm giá trị riêng vectơ riêng f Bài tập 5.31 Cho ánh xạ f : R3 −→ R3 , xác định f (x1 , x2 , x3 ) = (2x1 +a, −2x1 +3x2 −x3 , 3x1 −2x2 +2x3 ), ∀x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 Tìm a để f tự đẳng cấu tuyến tính R3 Cho (e) = {e1 = (1, 1, 0), e2 = (1, 0, 1), e3 = (0, 1, 1)} sở R3 Với a = 0, tìm ma trận f sở (e) Với a = 0, tìm giá trị riêng vectơ riêng f Bài tập 5.32 Cho phép biến đổi tuyến tính f : R3 −→ R3 , xác định ∀x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 f (x1 , x2 , x3 ) = (x2 , −4x1 + 4x2 , −2x1 + x2 + 2x3 ), Tìm ma trận f sở tắc R3 Tìm giá trị riêng vectơ riêng f Tìm Imf Kerf Xét tính đơn cấu toàn cấu f Bài tập 5.33 Cho ánh xạ f : R3 −→ R3 , xác định f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + x2 , x2 , 5x1 + 3x2 − 2x3 ), ∀x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 Chứng minh f phép biến đổi tuyến tính R3 Tìm ma trận f sở tắc R3 Tìm giá trị riêng vectơ riêng f Bài tập 5.34 Cho ánh xạ f : R3 −→ R3 , xác định f (x1 , x2 , x3 ) = (2x1 −x2 +2x3 , 5x1 −3x2 +3x3 , −x1 −2x3 ), ∀x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 a Chứng minh f phép biến đổi tuyến tính R3 b Tìm ma trận f sở tắc R3 c Tìm giá trị riêng vectơ riêng f Cho f : V −→ V phép biến đổi tuyến tính K− khơng gian vectơ V Giả sử x vectơ riêng f ∀α ∈ K, α = Chứng minh αx vectơ riêng f 89 Bài tập 5.35 Cho ánh xạ f : R3 −→ R3 , xác định ∀x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + 2x2 + 5x3 , 2x2 + 4x3 , x1 + x3 ), Chứng minh f phép biến đổi tuyến tính R3 Tìm ma trận f sở tắc R3 Tìm giá trị riêng vectơ riêng f Bài tập 5.36 Cho phép biến đổi tuyến tính f : R3 sở tự nhiên R f có ma trận A = −1 Viết biểu thức toạ độ ánh xạ tuyến tính f −→ −1 −3 R3 , biết −2 Tìm Kerf Từ suy f đẳng cấu tuyến tính khơng? Vì sao? Tìm giá trị riêng vectơ riêng củaf 2x1 − x2 + 2x3 = Giải biện luận hệ phương trình 5x1 − 3x2 + ax3 = a  −x1 − 2x3 = theo a Bài tập 5.37 Cho phép biến đổi tuyến tính f : R3 −→ R3 , biết −1 −5 sở tắc R3 f có ma trận A = −2 −1 −1 Hãy viết biểu thức tọa độ phép biến đổi tuyến tính f Tìm Imf Kerf Từ có suy f đẳng cấu khơng? Vì sao? Tìm vectơ riêng giá trị riêng ánh xạ tuyến tính f Tìm sở (u) R3 , cho ma trận f sở (u) có dạng đường chéo Viết dạng đường chéo Giải biện luận hệ phương trình sau theo tham số a  8x1 − x2 − 5x3 = −2x1 + 3x2 + x3 =  4x1 − x2 − ax3 = a Bài tập 5.38 Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 , xác định f (x1 , x2 , x3 ) = (2x1 +x2 +x3 , 3x1 +2x2 +x3 , x1 +x2 +2x3 ), ∀x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 Chứng minh hệ vectơ (e) = {e1 = (2, 3, 4), e2 = (3, 5, 7), e3 = (4, 4, 6)} sở R3 tìm toạ độ vectơ u = (2, −3, −4) sở (e) Tìm ma trận f sở (e) Tìm giá trị riêng vectơ riêng f 90 CHƯƠNG DẠNG TOÀN PHƯƠNG 6.1 Dạng song tuyến tính Bài tập 6.1 Cho ma trận A = [aij ]n×n với aij ∈ R, ∀i, j = 1, n Chứng minh ánh xạ ϕ : Rn × Rn −→ R xác định n ϕ((x1 , , xn ), (y1 , , yn )) = aij xi yj i,j=1 dạng song tuyến tính Rn ϕ có ma trận A sở tắc Rn Bài tập 6.2 Ánh xạ f : K → K cho f (x1 , x2 ) = x1 − x2 có dạng song tuyến tính K không? Bài tập 6.3 Cho f dạng song tuyến tính K cho f (x, y) = 2x1 y1 − 3x1 y2 + 7x2 y1 − x1 y3 + 9x3 y1 − x2 y2 + 4x2 y3 − x3 y2 + x3 y3 Viết ma trận biểu diễn f ma trận biểu diễn dạng cực dạng toàn phương sinh f theo sở tự nhiên Bài tập 6.4 Cho f dạng song tuyến tính K cho f (x1 , x2 ; y1 , y2 ) = x1 y1 − x1 y2 + x2 y2 Viết ma trận biểu diễn f theo sở v1 = (2, 1), v2 = (1, 2) Bài tập 6.5 Trong khơng gian R3 cho dạng song tuyến tính ϕ có ma trận sở tắc −1 −1 −1 a) Viết biểu thức tọa độ ϕ sở = (3, −2, 1) b) Tìm hạng ϕ 91 = (1, −1, 2), = (0, 1, −1), Bài tập 6.6 Chứng minh f : V × V −→ R dạng song tuyến tính có hạng khơng gian véc tơ thực hữu hạn chiều V tồn ánh xạ tuyến tính g, h : V −→ R cho f (x, y) = g(x)h(y), ∀x, y ∈ V Bài tập 6.7 Cho f : V × V −→ R dạng tuyến tính khơng gian véc tơ thực V có số chiều Ma trận f sở chọn V −1 −2 h : V −→ V ánh xạ tuyến tính có ma trận sở E −1 1 −3 −4 −2 −3 Chứng minh ánh xạ g : V ×V −→ R xác định g(x, y) = f (x, h(y)), ∀x, y ∈ V dạng song tuyến tính Tìm ma trận g sở E Bài tập 6.8 Kí hiệu L2 (U, V ) dạng song tuyến tính U × V Chứng tỏ tập hợp trở thành không gian véc tơ với phép toán sau: (f + g)(x, y) := f (x, y) + g(x, y), (αf )(x, y) := αf (x, y), với f, g ∈ L2 (U, V ) x ∈ U, y ∈ V Bài tập 6.9 Cho f ánh xạ song tuyến tính khơng suy biến khơng gian véc tơ hữu hạn chiều V Chứng minh a) Nếu p : V −→ R ánh xạ tuyến tính tồn phần tử vp thuộc V cho p(x) = f (x, vp ), ∀x ∈ V b) Ánh xạ ϕ : HomK (V, R) −→ V xác định ϕ(p) = vp , ∀p ∈ HomK (V, R) đẳng cấu tuyến tính Bài tập 6.10 Cho A ma trận dạng song tuyến tính f khơng suy biến khơng gian véc tơ thực n chiều V với n lẻ Chứng minh −A ma trận f sở V 6.2 Dạng tồn phương Bài tập 6.11 Trong khơng gian véc tơ R3 trường số thực cho dạng toàn phương với biểu thức tọa độ có sở tắc a) ω(x1 , x2 , x3 ) = x21 + 5x22 − 4x23 + 2x1 x2 − 4x1 x3 92 b) ω(x1 , x2 , x3 ) = x1 x2 + 4x1 x3 + x2 x3 1) Viết dạng song tuyến tính chúng 2) Bằng phương pháp Lagrange đưa dạng cho dạng tắc 3) Tìm hạng dạng tồn phương Bài tập 6.12 Xác định giá trị λ để dạng toàn phương sau xác định dương a) 5x21 + x22 + λx23 + 4x1 x2 − 2x1 x3 − 2x2 x3 b) 2x21 + x22 + 3x23 + 2λx1 x2 + 2x1 x3 c) x21 + x22 + 5x23 + 2λx1 x2 − 2x1 x3 + 4x2 x3 Bài tập 6.13 Tìm dạng tắc dạng toàn phương sau Q: a) x21 + x22 + 2x23 + 4x1 x2 + 4x1 x3 + x2 x3 b) x21 − x22 − x23 + 4x1 x2 − 2x1 x3 + 3x2 x3 c) x1 x2 + x1 x3 + x2 x4 + x3 x4 Bài tập 6.14 Tìm dạng tắc phép biến đổi tuyến tính biến dạng tồn phương sau dạng tắc (xét Q): a) x21 − 5x22 + 4x23 + 4x1 x2 − 2x1 x3 , b) 4x21 − x22 + x23 + 4x1 x2 − 8x1 x3 + 3x2 x3 c) x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 Bài tập 6.15 Tìm dạng tắc phép biến đổi tuyến tính biến dạng tồn phương sau dạng tắc (xét Q): a) b) n i,j=1 aj xi xj , a1 , , an n i=1 xi + 1≤i