Forms and Docs Thieu Dinh Phong Bai giang Toan AT

Forms and Docs Thieu Dinh Phong Bai giang Toan AT tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn v...

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TS THIỀU ĐÌNH PHONG BÀI GIẢNG TỐN A1 Tài liệu lưu hành nội Nghệ An - 2015 MỤC LỤC Mục lục Đề cương môn học MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 10 1.1 Ma trận 10 1.1.1 Khái niệm ma trận 10 1.1.2 Các ma trận đặc biệt 10 1.1.3 Các phép toán ma trận 11 1.1.4 Các phép biến đổi sơ cấp ma trận Ma trận bậc thang 15 1.2 Định thức 17 1.2.1 Định nghĩa 17 1.2.2 Khai triển định thức 1.2.3 Định lí Laplace 22 1.2.4 Định thức tích ma trận vng 1.3 Ma trận nghịch đảo 21 22 23 1.3.1 Khái niệm ma trận nghịch đảo 23 1.3.2 Các tính chất ma trận nghịch đảo 24 1.3.3 Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo 25 1.4 Hạng ma trận 27 1.4.1 Khái niệm hạng ma trận 27 1.4.2 Các phương pháp tìm hạng ma trận 27 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 2.1 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát 29 29 2.1.1 Các khái niệm hệ phương trình tuyến tính 29 2.1.2 Nghiệm hệ phương trình tuyến tính tổng qt 30 2.1.3 Hệ phương trình tương đương, phép biến đổi tương đương 30 2.2 Hệ phương trình tuyến tính Cramer 31 2.2.1 Định nghĩa 31 2.2.2 Định lý Cramer 31 2.3 Giải hệ phương trình tuyến tính biến đổi sơ cấp 32 2.3.1 Điều kiện có nghiệm hệ phương trình tuyến tính 32 2.3.2 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính 32 2.3.3 Giải biện luận hệ phương trình tuyến tính 36 2.4 Hệ phương trình tuyến tính 37 2.4.1 Định nghĩa 37 2.4.2 Hệ nghiệm 37 2.4.3 Liên hệ nghiệm với hệ phương trình tuyến tính tổng qt 38 Phụ lục Một số mơ hình phân tích kinh tế 39 KHƠNG GIAN VECTƠ HỮU HẠN CHIỀU 58 3.1 Khái niệm không gian vectơ 58 3.1.1 Định nghĩa 58 3.1.2 Một số ví dụ 59 3.1.3 Một số tính chất đơn giản khơng gian vectơ 60 3.2 Cơ sở số chiều 61 3.2.1 Tổ hợp tuyến tính 61 3.2.2 Hệ sinh 61 3.2.3 Độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính 62 3.2.4 Cơ sở 64 3.2.5 Số chiều 64 3.2.6 Tọa độ véc tơ sở 65 3.2.7 Đổi sở phép biến đổi tọa độ 65 3.3 Không gian vectơ 66 3.3.1 Khái niệm không gian vectơ 66 3.3.2 Giao tổng không gian vectơ 67 3.3.3 Không gian sinh hệ véc tơ 68 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 69 4.1 Ánh xạ tuyến tính 69 4.1.1 Định nghĩa 69 4.1.2 Đồng cấu, tự đồng cấu 69 4.1.3 Ví dụ ánh xạ tuyến tính 69 4.1.4 Các tính chất ánh xạ tuyến tính 70 4.1.5 Sự xác định ánh xạ tuyến tính 4.1.6 Ảnh hạt nhân ánh xạ tuyến tính 72 71 4.2 Ma trận ánh xạ tuyến tính 73 4.2.1 Định nghĩa 73 4.3 Giá trị riêng vectơ riêng 74 4.3.1 Định nghĩa 74 4.3.2 Bài tốn tìm giá trị riêng vectơ riêng 75 DẠNG SONG TUYẾN TÍNH – DẠNG TỒN PHƯƠNG 5.1 Dạng song tuyến tính 77 77 5.1.1 Định nghĩa 77 5.1.2 Ma trận, hạng biểu thức tọa độ dạng song tuyến tính 78 5.2 Dạng toàn phương 78 5.2.1 Định nghĩa 78 5.2.2 Định nghĩa 79 5.2.3 Ma trận, hạng, biểu thức tọa độ dạng toàn phương 79 5.2.4 Dạng tắc dạng toàn phương 80 5.2.5 Phương pháp Lagrange 80 5.2.6 Dạng toàn phương xác định 83 5.2.7 Bất đẳng thức Cauchy - Schwartz 84 Ma trận, Định thức 94 1.1 Ma trận, phép toán ma trận 94 1.2 Định thức 95 1.3 Ma trận nghịch đảo 1.4 Hạng ma trận 96 98 Hệ phương trình tuyến tính 99 2.1 Hệ phương trình Cramer 99 2.2 Hệ phương trình tuyến tính tổng qt - Hệ 99 2.3 Giải biện luận hệ phương trình tuyến tính 101 3 Không gian vectơ 103 3.1 Không gian vectơ - Cơ sở, tọa độ số chiều 103 3.2 Ma trận chuyển sở, biến đổi tọa độ 3.3 Không gian vectơ 105 107 Ánh xạ tuyến tính 109 4.1 Ánh xạ 109 4.2 Ánh xạ tuyến tính 111 4.3 Giá trị riêng vectơ riêng 114 Dạng toàn phương 5.1 Dạng song tuyến tính 118 118 5.2 Dạng toàn phương 119 Tài liệu tham khảo 121 ĐỀ CƯƠNG CHI TIẾT MƠN HỌC TỐN A1 NHĨM NGÀNH KINH TẾ Thông tin giảng viên: Các giảng viên tham gia giảng dạy: PGS.TS Lê Quốc Hán, PGS.TS Nguyễn Thành Quang, TS Nguyễn Thị Hồng Loan, TS Đào Thị Thanh Hà, TS Nguyễn Quốc Thơ, TS Thiều Đình Phong, TS Nguyễn Thị Ngọc Diệp - Địa chỉ: Bộ môn Đại số - Khoa Toán - Trường Đại học Vinh - Điện thoại quan 038.3855329 2.Tên mơn học: Tốn A1 (Đại số tuyến tính) Mã mơn học: TN10014 Số tín chỉ: (36/9/90) Loại mơn học: Bắt buộc, tiên - Môn học tiên quyết: - Môn học kế tiếp: Đại số đại cương Giờ tín hoạt động môn học: + Nghe giảng lý thuyết: 36 tiết + Bài tập lớp: tiết + Tự học, tự nghiên cứu: 90 tiết Mục tiêu môn học: 7.1 Kiến thức sinh viên cần nắm vững: Ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính, khơng gian véctơ hữu hạn chiều, ánh xạ tuyến tính, giá trị riêng, dạng tồn phương 7.2 Kỹ năng: Sinh viên thành thạo kỹ tính tốn ma trận, tính định thức, giải biện luận hệ phương trình tuyến tính; chứng minh khơng gian con, tìm sở, số chiều khơng gian con; tìm toạ độ véctơ, đổi sở, kiểm tra phép biến đổi tuyến tính, tìm giá trị riêng; biến đổi dạng tồn phương dạng tắc, kiểm tra dạng toàn phương xác định dương, xác định âm hay không xác định 7.3 Thái độ: Qua môn học bồi dưỡng cho sinh viên lực tư khoa học, tư lơgíc, cung cấp cho họ cơng cụ tốn học cao cấp để vận dụng vào việc giải toán kinh tế, xã hội đặt từ thực tế Sinh viên phải thấy môn học cung cấp cho họ kiến thức toán học cao cấp để tiếp tục học mơn tốn khác hay mơn chun ngành khác Tóm tắt nội dung mơn học: Ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính, khơng gian véctơ hữu hạn chiều, ánh xạ tuyến tính, dạng tồn phương Nội dung chi tiết môn học: Chương I MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 1.1 Ma trận 1.1.1 Khái niệm ma trận Các dạng ma trận 1.1.2 Các phép toán ma trận 1.1.3 Các phép biến đổi ma trận Ma trận bậc thang 1.2 Định thức 1.2.1 Định nghĩa định thức 1.2.2 Tính chất định thức 1.2.3 Khai triển định thức 1.2.4 Định lý Laplace 1.2.5 Định thức tích hai ma trận vng 1.3 Ma trận nghịch đảo 1.3.1 Định nghĩa, điều kiện tồn 1.3.2 Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo 1.3.3 Ứng dụng ma trận nghịch đảo 1.4 Hạng ma trận 1.4.1 Khái niệm hạng ma trận 1.4.2 Các phương pháp tìm hạng ma trận Chương II HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 2.1 Các khái niệm hệ phương trình tuyến tính 2.1.1 Các dạng biểu diễn hệ phương trình tuyến tính 2.1.2 Nghiệm hệ phương trình tuyến tính 2.1.3 Hệ tương đương phép biến đổi tương đương 2.2 Hệ phương trình Cramer 2.2.1 Định nghĩa 2.2.2 Định lý Cramer 2.3 Giải hệ phương trình tuyến tính biến đổi sơ cấp 2.4 Điều kiện có nghiệm hệ phương trình tuyến tính Giải biện luận hệ phương trình tuyến tính 2.5 Hệ phương trình tuyến tính 2.5.1 Điều kiện có nghiệm khơng tầm thường 2.5.2 Hệ nghiệm 2.5.3 Mối liên hệ với hệ không 2.6 Một số mơ hình tuyến tính phân tích kinh tế 2.6.1 Mơ hình cân thị trường 2.6.2 Mơ hình cân kinh tế vĩ mơ 2.6.3 Mơ hình IS-LM 2.6.4 Mơ hình Input-Output Leontief Chương III KHÔNG GIAN VECTƠ HỮU HẠN CHIỀU 3.1 Khái niệm không gian vectơ 3.1.1 Định nghĩa không gian vectơ 3.1.2 Ví dụ 3.1.3 Các tính chất đơn giản 3.2 Cơ sở số chiều 3.2.1 Tổ hợp tuyến tính 3.2.2 Độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính 3.2.3 Cơ sở, chiều, toạ độ 3.2.4 Đổi sở phép biến đổi toạ độ 3.3 Không gian 3.3.1 Định nghĩa không gian 3.3.2 Chiều không gian sinh hệ vectơ 3.3.3 Không gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính Chương IV ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 4.1 Ánh xạ 4.1.1 Khái niệm ánh xạ: định nghĩa, ảnh tạo ảnh, loại ánh xạ đặc biệt 4.1.2 Tích ánh xạ 4.1.3 Ánh xạ ngược 4.2 Ánh xạ tuyến tính 4.2.1 Định nghĩa, ví dụ tính chất đơn giản 4.2.2 Sự xác định ánh xạ tuyến tính 4.2.3 Ảnh hạt nhân ánh xạ tuyến tính 4.2.4 Hạng, số khuyết ánh xạ tuyến tính 4.2.5 Ma trận ánh xạ tuyến tính 4.3 Véctơ riêng giá trị riêng Chương V DẠNG TOÀN PHƯƠNG 5.1 Dạng song tuyến tính 5.1.1 Định nghĩa ví dụ 5.1.2 Ma trận, hạng biểu thức tọa độ 5.2 Dạng toàn phương 5.2.1 Định nghĩa ví dụ 5.2.2 Ma trận, hạng biểu thức tọa độ 5.2.3 Dạng tắc dạng toàn phương 5.2.4 Phương pháp đưa dạng toàn phương dạng tắc 5.2.5 Luật quán tính Phân loại dạng tồn phương 10 Học liệu Tài liệu [1] Nguyễn Thành Quang, Lê Quốc Hán, Giáo trình Tốn A1 (Đại số tuyến tính), NXB Trường ĐH Vinh, 2013 Tài liệu tham khảo [2] Lê Đình Th, Tốn cao cấp cho nhà kinh tế, Phần 1, Đại số tuyến tính, NXB ĐH Kinh tế quốc dân, 2008 [3] Nguyễn Văn Giám, Mai Quý Năm, Nguyễn Hữu Quang, Nguyễn Sum, Ngơ Sỹ Tùng; Tốn cao cấp , Tập 1, Đại số tuyến tính; NXBGD; 1998 [4] Lê Tuấn Hoa, Đại số tuyến tính qua ví dụ tập, NXB ĐHQG Hà Nội, 2005 [5] Nguyễn Hữu Việt Hưng; Đại số tuyến tính; NXB ĐHQG Hà Nội, 2001 [6] Nguyễn Đình Trí (Chủ biên); Tốn học cao cấp, Tập 1, Đại số Hình học giải tích; NXB Giáo dục, 2003 [7] Ngơ Việt Trung; Giáo trình Đại số tuyến tính; NXB ĐHQG Hà Nội, 2001 11 Hình thức tổ chức dạy học - Số tín phải thực hiện: - Thời gian, địa điểm, thực hình thức dạy học - Nội dung hoạt động dạy học u cầu cơng việc sinh viên LỊCH TRÌNH CHUNG Lên lớp Nội dung Chương Chương Chương Chương Chương Tổng Lý thuyết Bài tập 8 36 2 2 Hình thức tổ chức dạy học Thực hành Tự học, Thí nghiệm, tự nghiên Thảo luận Tham quan cứu 0 10 0 18 0 16 22 0 24 0 0 90 Tổng 20 28 24 33 30 135 LỊCH TRÌNH DẠY HỌC CỤ THỂ Hìnhthức TC dạy học Nội dung Giảng LT 1.1 Ma trận Giảng LT 1.2 Định thức Giảng LT 1.3 Ma trận nghịch đảo 1.4 Hạng ma trận Bài tập Chương Chữa BT Giảng LT Giảng LT Giảng LT Chữa BT Yêu cầu sinh viên chuẩn bị 2.1 Các khái niệm hệ phương trình tuyến tính 2.2 Hệ phương trình Cramer 2.3 Giải hệ phương trình tuyến tính phương pháp biến đổi sơ cấp 2.4 Điều kiện có nghiệm hệ phương trình tuyến tính, giải biện luận hệ phương trình tuyến tính 2.5 Hệ phương trình tuyến tính 2.6 Một số mơ hình tuyến tính phân tích kinh tế Bài tập Chương Làm tập [1] Đọc trước Mục 1.2 Làm tập [1] Đọc trước Mục 1.3, 1.4 Làm tập [1] Tuần Ôn tập lý thuyết làm tập nhà trước đến lớp Đọc trước mục 2.1, 2.2 Làm tập [1] Đọc trước mục 2.3, 2.4 Tuần Làm tập [1] trước mục 2.5, 2.6 Tuần Đọc Làm tập [1], [2] Ôn tập lý thuyết làm tập nhà trước đến lớp Thời gian Tuần Tuần Tuần Tuần 6,7 Tuần Giảng LT 3.1 Khái niệm không gian vectơ Giảng LT 3.2 Cơ sở số chiều Giảng LT 3.3 Không gian Chữa BT Bài tập Chương Kiểm tra kỳ Chương 1, 2, Giảng LT 4.1 Ánh xạ Giảng LT 4.2 Ánh xạ tuyến tính 4.3 Véctơ riêng giá trị riêng Bài tập Chương Chữa BT Giảng LT Chữa BT Làm tập [1] trước Mục 3.2 Làm tập [1] trước Mục 3.3 Làm tập [1] Đọc Tuần Đọc Tuần Ôn tập lý thuyết làm tập nhà trước đến lớp Tự ôn tập phần từ Chương đến Chương Đọc trước Mục 4.1 Làm tập [1] Đọc trước Mục 4.2, 4.3 Làm tập [1] Đọc trước Mục 5.1 Ôn tập lý thuyết làm tập nhà trước đến lớp Làm tập [1] 5.1 Dạng song tuyến tính 5.2 Dạng tồn phương Bài tập chương Ơn tập Làm tập nhà trước đến lớp Tuần 10 Tuần 10 Tuần 11 Tuần 11 Tuần 12, 13 Tuần 13 Tuần 14,15 Tuần 15 12 Quy định môn học yêu cầu khác giảng viên Dạy chủ yếu theo tài liệu [1], [2] Để nắm nội dung môn học, thiết sinh viên phải đọc trước nội dung phần học giáo trình theo hướng dẫn giáo viên Trên lớp giáo viên trình bày vấn đề khái quát, trọng tâm hướng dẫn sinh viên tự nghiên cứu Ngoài giáo trình quy định, sinh viên phải đọc thêm tài liệu tham khảo khác Sinh viên phải làm hết tất tập giáo trình chính, ngồi phải làm thêm tập tài liệu khác 13 Phương thức kiểm tra, đánh giá môn học - Kiểm tra, đánh giá thường xuyên: Một kiểm tra lớp - Kiểm tra, đánh giá định kỳ: Kết thúc mơn học có thi kết thúc học phần 120 phút 14 Cấp phê duyệt: Trường Đại học Vinh 15 Ngày phê duyệt: Bài tập 3.24 Xác định số chiều sở khơng gian R4 a) Các vectơ có dạng (a, b, c, 0); b) Các vectơ có dạng (a, b, c, d) d = a + b c = a − b; c) Các vectơ có dạng (a, b, c, d) a = b = c = d Bài tập 3.25 Tìm sở số chiều không gian R3 sinh vectơ sau b) (2, 4, 1), (3, 6, −2), (−1, 2, − 21 ) a) (1, −1, 2), (2, 1, 3), (−1, 5, 0); Bài tập 3.26 Tìm sở số chiều khơng gian R4 sinh vectơ sau a) (1, 1, −4, −3), (2, 0, 2, −2), (2, −1, 3, 2); b) (−1, 1, −2, 0), (3, 3, 6, 0), (9, 0, 0, 3) c) (1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1), (−2, 0, 2, 2), (0, −3, 0, 3); d) (1, 0, 1, −2), (1, 1, 3, −2), (2, 1, 5, −1), (1, −1, 1, 4) Bài tập 3.27 Xác định số chiều sở không gian nghiệm hệ sau:  2x1 + x2 + 3x3 = a) x1 + 2x2 =  x2 + x3 =  3x1 + x2 + 2x3 = c) 4x1 + 5x3 =  x1 − 3x2 + 4x3 = b) 3x1 + x2 + x3 + x4 = 5x1 − x2 + x3 − x4 =  x1 − 3x2 + x3 = d) 2x1 − 6x2 = x3 =  3x1 − 9x2 + 3x3 = Bài tập 3.28 Trong R− không gian vectơ R3 cho tập hợp A = {x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 \x1 + x2 + x3 = 0}, B = {x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ R3 \ − x1 + x2 − x3 = 0} C = {x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ R3 \3x1 + 2x2 + x3 = 0} Chứng minh A, B, C không gian vectơ R3 Tìm sở số chiều A, B, C, A ∩ B, A ∩ C, B ∩ C Tập A ∪ B có phải khơng gian vectơ R3 khơng? Vì sao? Véctơ r ∈ R3 , biểu thị r = a + b, với a ∈ A, b ∈ B có khơng? Vì sao? 108 CHƯƠNG ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 4.1 Ánh xạ Bài tập 4.1 Nhắc lại số hữu tỷ a/b, c/d ∈ Q ad = bc a) Quy tắc f : Q −→ Q cho ứng a/b với số ab có ánh xạ khơng? b) Quy tắc f : Q −→ Q cho ứng a/b với 5a/3b có ánh xạ không? Bài tập 4.2 Cho f : R −→ R ánh xạ cho f (x) = x2 − 2x + Hãy tìm f (0), f (1), f (−1); f ([0, 1]), f −1 (1), f −1 (4), f −1 ([1, 4]), vẽ đồ thị f Bài tập 4.3 Cho X = {1, 2, 3} Gọi f, g : X −→ X ánh xạ cho f (1) = 1, f (2) = 3, f (3) = g(1) = 2, g(2) = 1, g(3) = Tìm ánh xạ gf f g Bài tập 4.4 Cho ánh xạ f : X −→ Y, g : Y −→ T ánh xạ tích ϕ = g ◦ f : X −→ T Chứng minh nếu: ϕ đơn ánh f đơn ánh ϕ tồn ánh g tồn ánh ϕ song ánh f tồn ánh f g song ánh Bài tập 4.5 Cho ánh xạ f : E −→ F A, B ⊂ E Chứng minh rằng: A ⊆ B ⇒ f (A) ⊆ f (B) f (A ∩ B) ⊆ f (A) ∩ f (B) Nếu f đơn ánh f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B) f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B) Bài tập 4.6 Cho ánh xạ f : X −→ Y B ⊆ Y Chứng minh f (f −1 (B)) ⊆ B , f tồn ánh f (f −1 (B)) = B Bài tập 4.7 Cho ánh xạ f : R −→ R Hãy xác định Im(f ) biết: a f (x) = x2 − 5x + b f (x) = x5 + c f (x) = x3 − 7x2 + 10x − Bài tập 4.8 Cho ánh xạ f : R −→ R, xác định f (x) = 3x + , ∀x ∈ R + x2 a Hãy xét tính đơn ánh, tồn ánh song ánh f b Tìm tạo ảnh toàn phần b1 = −2, b2 = B = [−1, 1] 5x , ∀x ∈ R Cho ánh xạ f : R −→ R, xác định f (x) = + x2 a Hãy xét tính đơn ánh, tồn ánh song ánh f b Tìm tạo ảnh tồn phần b1 = −2, b2 = B = [−1, 1] Bài tập 4.9 Cho ánh xạ f : R −→ R, xác định f (x) = x2 +2x−3, ∀x ∈ R a Hãy xét tính đơn ánh, tồn ánh song ánh f b Tìm f −1 ([−1, 1]) Cho ánh xạ f : R −→ R, xác định f (x) = x2 + 1, ∀x ∈ R a Tìm f −1 ([−1, 3]) b Tìm f ([−2, 5]) c Tìm f −1 ([−2, 5]) Bài tập 4.10 Xét ánh xạ f : N −→ N cho f (k) = n+k n−k k ≥ n k < n n số tự nhiên cho trước Xét tính đơn ánh, tồn ánh song ánh f Bài tập 4.11 Cho ánh xạ f : C −→ C, xác định f (x) = xn − 1, ∀x ∈ C, ∀n ∈ N∗ \ {1} Chứng minh f tồn ánh khơng phải đơn ánh Tìm f −1 (0) Bài tập 4.12 Cho ánh xạ f : C −→ C, xác định f (x) = xn + 1, ∀x ∈ C, ∀n ∈ N∗ \ {1} Chứng minh f toàn ánh khơng phải đơn ánh Tìm f −1 (0) Cho ánh xạ ϕ : C −→ C, xác định ϕ(a + bi) = a − bi, ∀x = a + bi ∈ C a Chứng minh ϕ song ánh b Tìm tạo ảnh phần tử b1 = 1, b2 = i b3 = + 2i 110 Bài tập 4.13 Cho tập hợp V = a b A = −b a \a, b ∈ R số phức Xét ánh xạ f : V −→ C, xác định f Chứng minh f song ánh Tìm tạo ảnh toàn phần phần tử x1 = √ C tập hợp a b −b c = a + bi + i x2 = i qua f Tìm tất X ∈ V, cho X n = I2 , ∀n ∈ N I2 ma trận đơn vị cấp Bài tập 4.14 Chứng minh ánh xạ f song ánh tìm ánh xạ ngược f trường hợp sau: Ánh xạ f : [4, 9] −→ [21, 96] xác định f (x) = x2 + 2x − 3, ∀x ∈ R Ánh xạ f : (−∞, 0] −→ [5, +∞), xác định f (x) = x2 +5, ∀x ∈ (−∞, 0] Ánh xạ f : R −→ R+ , xác định f (x) = 10x , ∀x ∈ R ex − e−x Ánh xạ f : R −→ R, xác định f (x) = ex − e−x Ánh xạ f : [0, +∞) −→ [1, +∞), xác định f (x) = Ánh xạ f : (−∞, 0] −→ [4, +∞), xác định f (x) = x2 + 4.2 Ánh xạ tuyến tính Bài tập 4.15 Ánh xạ f : R2 −→ R2 sau có tuyến tính khơng? a) f (x, y) = (2x, y); b) f (x, y) = (y, x + 1); c) f (x, y) = (x2 , y); d) f (x, y) = (0, y) Bài tập 4.16 Ánh xạ f : R3 −→ R2 sau có tuyến tính khơng? a) f (x, y, z) = (x, x + y + z); b) f (x, y, z) = (1, 1); c) f (x, y, z) = (2x + y, 3y − 4z) Bài tập 4.17 Kí hiệu M2 khơng gian ma trận vuông cấp với hệ số thực Ánh xạ f : M2 −→ R sau có tuyến tính không? a b a b a b a b a) f c d = 2a + d; b) f c d = det c d ; c) f c d = a2 + b2 Bài tập 4.18 Kí hiệu P2 khơng gian véc tơ đa thức có bậc không với hệ số thực (ta quy ước ∈ P2 ) Ánh xạ f : P2 −→ P2 sau có tuyến tính khơng? a) f (ax2 + bx + c) = (3a + b)x2 + (a + c)x + b; c) f (ax2 + bx + c) = (a + 1)x2 + bx 111 b) f (ax2 + bx + c) = 0; Bài tập 4.19 Cho f : V −→ W ánh xạ tuyến tính x1 , , xn ∈ V phụ thuộc tuyến tính Chứng minh f (x1 ), , f (xn ) phụ thuộc tuyến tính Bài tập 4.20 Cho f : V −→ W ánh xạ tuyến tính x1 , , xn ∈ V độc lập tuyến tính Chứng minh f đơn cấu f (x1 ), , f (xn ) độc lập tuyến tính Bài tập 4.21 Cho f : V −→ W ánh xạ tuyến tính dim V = dim W = n Chứng minh f đơn cấu f toàn cấu, f đẳng cấu Bài tập 4.22 Cho sở {v1 , v2 , v3 } R3 , v1 = (1, 2, 3), v2 = (2, 5, 3), v3 = (1, 0, 10) Cho biết f : R3 −→ R2 xác định f (v1 ) = (1, 0), f (v2 ) = (1, 0) f (v3 ) = (0, 1) Tính f (1, 1, 1) Tìm biểu diễn f (x, y, z) (theo x, y, z ) Bài tập 4.23 Tính dim Ker(f ), a) f : R5 −→ R7 có hạng 3; b) f : R6 −→ R3 có Im(f ) = R3 ; c) f : M2 −→M2 có hạng Bài tập 4.24 Cho A ma trận cấp × có hạng a) Tìm số chiều không gian nghiệm Ax = b) Phương trình Ax = b có nghiệm với b ∈ R5 khơng? Vì Bài tập 4.25 Cho f ánh xạ tuyến tính có ma trận sở tắc A cho duới Tìm chiều sở Im(f ) Ker(f )  −1 −1  −2 a) A = −4 ; b) A = −2 ; c) A = −1 0 −1  −1 −1 Bài tập 4.26 Cho f : R2 −→ R3 cho f (x, y) = (x + y, x, y) Tìm ma trận f sở B = {(1, 1), (2, 0)} R2 sở B = {(1, 1, 0), (1, 0, 0), (2, 1, 1)} R3 Bài tập 4.27 Tìm ma trận phép biến đổi tuyến tính sau sở tắc a) f : R2 −→ R2 cho f (x, y) = (2x − y, x + y) b) f : R3 −→ R3 cho f (x, y, z) = (x + 2y + z, x + 5y, z) 112 Bài tập 4.28 Tìm ma trận ánh xạ tuyến tính sau sở tắc a) f : R2 −→ R4 cho f (x, y) = (y, −x, x + 3y, x − y) b) f : R4 −→ R5 cho f (x, y, z, t) = (t, x, z, y, y − z) Bài tập 4.29 Cho f : R3 −→ R3 xác định f (x, y, z) = (x−y, y −x, x−z) Tìm ma trận f sở B = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0)} Hãy tính f (2, 0, 0) theo cách: tính trực tiếp dùng ma trận f −2 ma trận ánh xạ tuyến tính f : R −→ R2 sở B = {(1, 3), (−1, 4)} Bài tập 4.30 Cho A = a) Tìm tọa độ véc tơ f (1, 3) f (−1, 4) sở tắc sở B R2 b) Hãy tìm toạ độ véc tơ (1, 1) sở B tính f (1, 1) Bài tập 4.31 Tìm ma trận A f sở B từ suy ma trận A f sở B trường hợp sau a) f : R2 −→ R2 xác định f (x, y) = (x − 2y, −y); B = {(1, 0), (0, 1)}, B = {(2, 1), (−3, 4)} b) f : R3 −→ R3 cho f (x, y, z) = (x + 2y − z, −y, x + 7z); B sở tắc R3 B = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)} Bài tập 4.32 Cho ánh xạ f : R3 → R3 , xác định f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + 2x2 + x3 , 2x1 + 4x2 + 2x3 , 3x1 + x3 ) Chứng minh f phép biến đổi tuyến tính khơng gian vectơ R3 Tìm ma trận phép biến đổi tuyến tính f sở tắc R3 Tìm Ker f (tìm chiều, sở, mơ tả phần tử) Tìm Im f (tìm chiều, sở, mơ tả phần tử) f có phải đẳng cấu tuyến tính khơng? Bài tập 4.33 Cho ánh xạ f : R3 −→ R3 , xác định f (x1 , x2 , x3 ) = (3x1 +5x2 +6x3 , x1 +2x2 +2x3 , 3x1 +8x2 +6x3 ), ∀x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 Chứng minh f phép biến đổi tuyến tính R3 Tìm ma trận f sở tắc R3 Tìm Ker(f ) Im(f ) Phép biến đổi tuyến tính f có phải đẳng cấu khơng? Vì sao? 113 Bài tập 4.34 Cho ánh xạ f : R3 −→ R3 , xác định ∀x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 +2x2 +x3 , 2x1 +4x2 +2x3 , 3x1 +x3 ), Chứng minh f phép biến đổi tuyến tính R3 Tìm ma trận f sở tắc R3 Tìm Ker(f ) Im(f ) Phép biến đổi tuyến tính f có phải đẳng cấu khơng? Vì sao? Bài tập 4.35 Cho ánh xạ f : R2 −→ R3 , xác định f (x1 , x2 ) = (2x1 − x2 , x1 + x2 , x1 − 2x2 + a), ∀x = (x1 , x2 ) ∈ R2 Tìm a để f ánh xạ tuyến tính Trong trường hợp f ánh xạ tuyến tính: a Tìm ma trận f sở tắc R2 R3 b Tìm Kerf Imf 4.3 Giá trị riêng vectơ riêng Bài tập 4.36 Tìm giá trị riêng sở không gian riêng ma trận sau a) −1 ; b) 10 −9 −2 ; c) Bài tập 4.37 Tìm giá trị riêng sở không gian riêng ma trận sau −1 −3 ; a) −1 −2 b) −4 ; −2 c) −5 −7 −9 Bài tập 4.38 Cho A = (aij ) ma trận chéo cấp n Hãy tìm đa thức đặc trưng A Tìm giá trị riêng A Bài tập 4.39 Chứng minh λ = giá trị riêng ma trận A A ma trận suy biến Bài tập 4.40 Cho A ma trận cấp Chứng minh A At có giá trị riêng Bài tập 4.41 Cho A ma trận khả nghịch Chứng minh λ giá trị riêng A λ = giá trị riêng A−1 λ 114 Bài tập 4.42 Cho A B hai ma trận vuông cỡ Chứng minh AB BA có giá trị riêng Bài tập 4.43 Cho f : M2 (R) −→ M2 (R) phép biến đổi tuyến tính cho f a b 3a − 2b −2a + 3b = 5c c d a) Tìm giá trị riêng f b) Tìm sở khơng gian riêng f Bài tập 4.44 Tìm giá trị riêng vectơ riêng phép biến đổi tuyến tính cho đây; a f ; R3 → R3 , f (x1 , x2 , x3 ) = (2x1 − x2 + 2x3 , 5x1 − 3x2 + 3x3 , −x1 − 2x3 ) b f ; R3 → R3 , f (x1 , x2 , x3 ) = (x2 , −4x1 + 4x2 , −2x1 + x2 + 2x3 ) Bài tập 4.45 Cho phép biến đổi tuyến tính f : R3 −→ R3 , xác định f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 +2x2 −3x3 , −x1 −3x2 +4x3 , 2x1 +x2 −x3 ), ∀x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 Tìm ma trận f sở tắc R3 Tìm Ker(f ) Im(f ) Từ suy f có đẳng cấu khơng? Vì sao? Tìm giá trị riêng vectơ riêng f Bài tập 4.46 Cho ánh xạ f : R3 −→ R3 , xác định f (x1 , x2 , x3 ) = (2x1 +a, −2x1 +3x2 −x3 , 3x1 −2x2 +2x3 ), ∀x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 Tìm a để f tự đẳng cấu tuyến tính R3 Cho (e) = {e1 = (1, 1, 0), e2 = (1, 0, 1), e3 = (0, 1, 1)} sở R3 Với a = 0, tìm ma trận f sở (e) Với a = 0, tìm giá trị riêng vectơ riêng f Bài tập 4.47 Cho phép biến đổi tuyến tính f : R3 −→ R3 , xác định ∀x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 f (x1 , x2 , x3 ) = (x2 , −4x1 + 4x2 , −2x1 + x2 + 2x3 ), Tìm ma trận f sở tắc R3 Tìm giá trị riêng vectơ riêng f Tìm Imf Kerf Xét tính đơn cấu toàn cấu f Bài tập 4.48 Cho ánh xạ f : R3 −→ R3 , xác định f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + x2 , x2 , 5x1 + 3x2 − 2x3 ), 115 ∀x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 Chứng minh f phép biến đổi tuyến tính R3 Tìm ma trận f sở tắc R3 Tìm giá trị riêng vectơ riêng f Bài tập 4.49 Cho ánh xạ f : R3 −→ R3 , xác định f (x1 , x2 , x3 ) = (2x1 −x2 +2x3 , 5x1 −3x2 +3x3 , −x1 −2x3 ), ∀x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 a Chứng minh f phép biến đổi tuyến tính R3 b Tìm ma trận f sở tắc R3 c Tìm giá trị riêng vectơ riêng f Cho f : V −→ V phép biến đổi tuyến tính K− khơng gian vectơ V Giả sử x vectơ riêng f ∀α ∈ K, α = Chứng minh αx vectơ riêng f Bài tập 4.50 Cho ánh xạ f : R3 −→ R3 , xác định ∀x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + 2x2 + 5x3 , 2x2 + 4x3 , x1 + x3 ), Chứng minh f phép biến đổi tuyến tính R3 Tìm ma trận f sở tắc R3 Tìm giá trị riêng vectơ riêng f Bài tập 4.51 Cho phép biến đổi tuyến tính f : R3 sở tự nhiên R3 f có ma trận A = −1 Viết biểu thức toạ độ ánh xạ tuyến tính f −→ −1 −3 R3 , biết −2 Tìm Kerf Từ suy f đẳng cấu tuyến tính khơng? Vì sao? Tìm giá trị riêng vectơ riêng củaf 2x1 − x2 + 2x3 = Giải biện luận hệ phương trình 5x1 − 3x2 + ax3 = a  −x1 − 2x3 = theo a Bài tập 4.52 Cho phép biến đổi tuyến tính f : R3 −→ R3 , biết −1 −5 −2 sở tắc R f có ma trận A = −1 −1 Hãy viết biểu thức tọa độ phép biến đổi tuyến tính f Tìm Imf Kerf Từ có suy f đẳng cấu khơng? Vì sao? Tìm vectơ riêng giá trị riêng ánh xạ tuyến tính f Tìm sở (u) R3 , cho ma trận f sở (u) có dạng đường chéo Viết dạng đường chéo 116 Giải biện luận hệ phương trình sau theo tham số a  8x1 − x2 − 5x3 = −2x1 + 3x2 + x3 =  4x1 − x2 − ax3 = a Bài tập 4.53 Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 , xác định f (x1 , x2 , x3 ) = (2x1 +x2 +x3 , 3x1 +2x2 +x3 , x1 +x2 +2x3 ), ∀x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 Chứng minh hệ vectơ (e) = {e1 = (2, 3, 4), e2 = (3, 5, 7), e3 = (4, 4, 6)} sở R3 tìm toạ độ vectơ u = (2, −3, −4) sở (e) Tìm ma trận f sở (e) Tìm giá trị riêng vectơ riêng f 117 CHƯƠNG DẠNG TOÀN PHƯƠNG 5.1 Dạng song tuyến tính Bài tập 5.1 Cho ma trận A = [aij ]n×n với aij ∈ R, ∀i, j = 1, n Chứng minh ánh xạ ϕ : Rn × Rn −→ R xác định n ϕ((x1 , , xn ), (y1 , , yn )) = aij xi yj i,j=1 dạng song tuyến tính Rn ϕ có ma trận A sở tắc Rn Bài tập 5.2 Ánh xạ f : K → K cho f (x1 , x2 ) = x1 − x2 có dạng song tuyến tính K khơng? Bài tập 5.3 Cho f dạng song tuyến tính K cho f (x, y) = 2x1 y1 − 3x1 y2 + 7x2 y1 − x1 y3 + 9x3 y1 − x2 y2 + 4x2 y3 − x3 y2 + x3 y3 Viết ma trận biểu diễn f ma trận biểu diễn dạng cực dạng toàn phương sinh f theo sở tự nhiên Bài tập 5.4 Cho f dạng song tuyến tính K cho f (x1 , x2 ; y1 , y2 ) = x1 y1 − x1 y2 + x2 y2 Viết ma trận biểu diễn f theo sở v1 = (2, 1), v2 = (1, 2) Bài tập 5.5 Trong không gian R3 cho dạng song tuyến tính ϕ có ma trận sở tắc −1 −1 −1 a) Viết biểu thức tọa độ ϕ sở = (3, −2, 1) b) Tìm hạng ϕ 118 = (1, −1, 2), = (0, 1, −1), Bài tập 5.6 Chứng minh f : V × V −→ R dạng song tuyến tính có hạng khơng gian véc tơ thực hữu hạn chiều V tồn ánh xạ tuyến tính g, h : V −→ R cho f (x, y) = g(x)h(y), ∀x, y ∈ V Bài tập 5.7 Cho f : V × V −→ R dạng tuyến tính khơng gian véc tơ thực V có số chiều Ma trận f sở chọn V −1 −2 h : V −→ V ánh xạ tuyến tính có ma trận sở E −1 1 −3 −4 −2 −3 Chứng minh ánh xạ g : V ×V −→ R xác định g(x, y) = f (x, h(y)), ∀x, y ∈ V dạng song tuyến tính Tìm ma trận g sở E Bài tập 5.8 Kí hiệu L2 (U, V ) dạng song tuyến tính U × V Chứng tỏ tập hợp trở thành khơng gian véc tơ với phép tốn sau: (f + g)(x, y) := f (x, y) + g(x, y), (αf )(x, y) := αf (x, y), với f, g ∈ L2 (U, V ) x ∈ U, y ∈ V Bài tập 5.9 Cho f ánh xạ song tuyến tính khơng suy biến khơng gian véc tơ hữu hạn chiều V Chứng minh a) Nếu p : V −→ R ánh xạ tuyến tính tồn phần tử vp thuộc V cho p(x) = f (x, vp ), ∀x ∈ V b) Ánh xạ ϕ : HomK (V, R) −→ V xác định ϕ(p) = vp , ∀p ∈ HomK (V, R) đẳng cấu tuyến tính Bài tập 5.10 Cho A ma trận dạng song tuyến tính f khơng suy biến khơng gian véc tơ thực n chiều V với n lẻ Chứng minh −A ma trận f sở V 5.2 Dạng tồn phương Bài tập 5.11 Trong khơng gian véc tơ R3 trường số thực cho dạng tồn phương với biểu thức tọa độ có sở tắc a) ω(x1 , x2 , x3 ) = x21 + 5x22 − 4x23 + 2x1 x2 − 4x1 x3 b) ω(x1 , x2 , x3 ) = x1 x2 + 4x1 x3 + x2 x3 119 1) Viết dạng song tuyến tính chúng 2) Bằng phương pháp Lagrange đưa dạng cho dạng tắc 3) Tìm hạng dạng toàn phương Bài tập 5.12 Xác định giá trị λ để dạng toàn phương sau xác định dương a) 5x21 + x22 + λx23 + 4x1 x2 − 2x1 x3 − 2x2 x3 b) 2x21 + x22 + 3x23 + 2λx1 x2 + 2x1 x3 c) x21 + x22 + 5x23 + 2λx1 x2 − 2x1 x3 + 4x2 x3 Bài tập 5.13 Tìm dạng tắc dạng tồn phương sau Q: a) x21 + x22 + 2x23 + 4x1 x2 + 4x1 x3 + x2 x3 b) x21 − x22 − x23 + 4x1 x2 − 2x1 x3 + 3x2 x3 c) x1 x2 + x1 x3 + x2 x4 + x3 x4 Bài tập 5.14 Tìm dạng tắc phép biến đổi tuyến tính biến dạng tồn phương sau dạng tắc (xét Q): a) x21 − 5x22 + 4x23 + 4x1 x2 − 2x1 x3 , b) 4x21 − x22 + x23 + 4x1 x2 − 8x1 x3 + 3x2 x3 c) x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 Bài tập 5.15 Tìm dạng tắc phép biến đổi tuyến tính biến dạng tồn phương sau dạng tắc (xét Q): a) b) n i,j=1 aj xi xj , a1 , , an n i=1 xi + 1≤i