dạng pdf giangday duongminhduc

CHƯƠNG BỐN CÔNG THỨC ITÔ Định nghĩa Cho {W(t)} tiến trình Wiener khơng gian xác suất (Ω, A, P), F ∈ «1(0,T), G ∈ «2(0,T) {X(t)} tiến trình ngẫu nhiên cho r r s s X (r ) = X (s) + ∫ Fdt + ∫ GdW ∀ ≤ s < r ≤ T Lúc ta nói X có vi phân ngẫu nhiên [0,T] dX = Fdt + GdW Cho họ {F(t)} nonanticipating tiến trình Wiener {W(t)} khơng gian xác suất (Ω, A, P) Ta ký hiệu C họ hàm số thực G [a,b]×— có tính chất sau: • Có số C1 cho ∫ Ω | G(t, X (t, ω )) −G(s, X (s, ω )) | dP(ω ) ≤ ≤ C1[| t − s | + ∫ | X (t, ω ) −X (s, ω ) | dP(ω ) Ω ∀X ∈  (a, b,{F (t )}), s, t ∈ [a, b] • G(a,Y) ∈L2(Ω) với Y L2(Ω) Công thức Itô Cho (Ω, A, P) không gian xác suất với tiến trình Wiener {W(t)}, f g ST F C , cho sup{E(f 2(t) + g2(t)): ≤ t ≤ T} < ∞ Giả sử hàm sau thuộc C : 2 2 ∂F ∂F ∂ F ∂ F ∂ F ∂F ∂F ∂ F , , , , ,f ,g vaø g , ∂t ∂x ∂t∂x ∂t ∂x ∂x ∂x ∂x Cho X «2(0,T,{F(t)}) cho d(X)(t) = f(t,X(t))dt + g(t,X(t)) dW Đặt Y(t,ω) = F(t,X(t,ω)) ∀ t ∈ [0,T],ω ∈ Ω Lúc Y có vi phân ngẫu nhiên ∂F ∂F ∂ F ∂F d (Y ) = ( + f ) dt g dW , +2g + ∂t ∂x ∂x ∂x hay ∂F ∂ F ∂F d (Y ) = ( + g )dt + dX ∂t ∂x ∂x Phần chứng minh định lý tham khảo sách “Modeling with Itô stochastic differential equations” E Allen, Springer 2007 (trang76) Cơng thức Itơ viết dạng sau: cho f , g F định lý trên, với t ∈[a,b] t t a a X (t ) = X (a) + ∫ f (s, X (s)ds + ∫ g(s, X (s))dW (s) Ta có F (t, X (t )) = F (a, X (a)) ∂F ∂F + ∫ [ (s, X (s)) + f (s, X (s)) (s, X (s))]ds a ∂t ∂x t ∂ F + ∫ g (s, X (s)) (s, X (s))ds + a ∂x t ∂F + ∫ g(s, X (s)) (s, X (s))dW (s) ∀ t ∈[a, b] a ∂x t Thí dụ 4.1 Cho F(t,x) = xm , với số nguyên dương m Nếu t t a a X (t ) = X (a) + ∫ f (s, X (s)ds + ∫ g(s, X (s))dW (s) Ta có X m (t ) = X m (a) t + ∫ [mf (s, X (s)) X m −1 a t hay ( s) + + m ∫ g(s, X (s)) X a d ( X ) = (mfX m m −1 + m ( m −1) m −1 g (s, X (s)) X (s)dW (s) m ( m −1) 2 g X m −2 m −2 (s)]ds ∀ t ∈[a, b] )dt + mgX m −1 dW Cho {Wj(t)} m tiến trình Wiener độc lập với không gian xác suất (Ω, A, P), X0,i d hàm thực Ω, fi gij hàm thực [0,T] ×Ω {Xi(t)} d tiến trình ngẫu nhiên cho ∀ t ∈ (0,T ] t m t Xi (t, ω ) = X 0,i + ∫ fi (s, X (s, ω ))dt + ∑ ∫ gij (s, X (s, ω ))dWj j =1 hay X nghiệm hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên dW (t ) ⎧ dX (t ) = f (t, X (t )) + g(t, X (t )) ∀t ∈ (0, T ], ⎪ (S ) ⎨ dt dt ⎪⎩ X (0) = X X = (X1, .,Xd), f = (f1, .,fd), W = (W1, .,Wm) g = (gij) Cho u = (u1, , uk) ánh xạ từ [0,T]×—d vào —k với số tính chất Đặt Ym(t,x) = um(t,X(t,x)) ∀ (t,x) ∈ [0,T]×Ω, m = 1, .,k Lúc người ta chứng minh công thức Itô sau ∂um ∂um ∂ um d (Ym ) = [ + ∑ fi + ∑ aij ]dt ∂t ∂xi i , j =1 ∂xi ∂x j i =1 d d ∂um + ∑∑ gil dWl ∂xi l =1 i =1 m aij = d k ∑g g l =1 il lj ∀ m = 1," , k , CÁC ỨNG DỤNG CƠNG THỨC ITƠ Dùng cơng thức Itơ tìm lời giải xác cho phương trình vi phân ngẫu nhiên Bài tốn 4.1 Cho số thực a, b c Chúng minh X (t ) = ce − at +e − at ∫ t e bdW (s) as Là nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên dW (t ) ⎧ dX (t ) = − aX (t ) + b ⎪ (S ) ⎨ dt dt ⎪⎩ X (0) = c ∀t ∈ (0, T ], H.D Đặt F(t,s) = eats Y(t,x) =F(t,X(t,x)), dùng công thức Itô ∂F ∂ F ∂F d (Y ) = ( + g )dt + dX ∂t ∂x ∂x Ta có f = a g= b ∂F ∂F ∂ F d (e X (t )) = dt + dX + 2 g dt ∂t ∂x ∂x at at at = ae X (t )dt + e [− aX (t )dt + bdW (t )] = e bdW (t ) at Suy t e X (t ) − X (0) = ∫ e bdW (t ) at at Bài toán 4.6 Cho số thực c hai hàm số liên tục h1 h2 [0,T] Chứng minh t t X (t ) = c exp[∫ (h1 (s) − h (s))ds + ∫ h2 (s)dW (s)] 2 Là nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên dW (t ) ⎧ dX (t ) = h1 (t ) X (t ) + h2 (t ) X (t ) ∀t ∈ (0, T ], ⎪ dt ⎨ dt ⎪⎩ X (0) = c H.D Đặt g(t,X(t)) = h2(t)X(t) , F(t,s) = ln s Y(t,x) =F(t,X(t,x)), dùng công thức Itô ∂F ∂ F ∂F d (Y ) = ( + g )dt + dX ∂t ∂x ∂x Ta có ∂u ∂u ∂ u d (ln X (t )) = dt + dX + 2 g dt ∂t ∂x ∂x 1 2 = + − h t X t dt h t X t dW t h t X [ 1( ) ( ) ( )] (t )dt 2( ) ( ) 2( ) X (t ) X (t ) = [h1 (t ) − h2 (t )]dt + h2 (t )dW (t ) Suy t ln X (t ) − ln c = ∫ [h1 (s) − h2 (s)]ds + ∫ h2 (s)dW (s) 0 t Định nghĩa Cho X «m(Ω) , ta gọi E ( X (t )) = ∫ X (t, ω )dP(ω ) k k Ω ∀ t ∈ [0, T ] moment X Dùng công thức Itơ ta tính moment nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên Bài tập 4.3 Cho X nghiệm phương trình vi phân biến ngẫu nhiên dX(t) = dt + X(t)dW(t) , X(0) = Tính moment X HD Theo thí dụ 4.1, ta có d ( X ) = (mfX m m −1 + Với f = , g = X m ( m −1) 2 g X m −2 )dt + mgX m −1 dW Vậy d ( X m ) = (mX m −1 + m ( m −1) X )dt + mX dW m m hay t t m ( m −1) m m −1 m X (t ) = ∫ (mX (s) + X (s))ds + m ∫ X m (s)dW (s) 0 Đặt um(t) = E(X(t)), dùng toán 2.3 ta có t m ( m −1) um (t ) = ∫ (mum −1 (s) + um (s))ds Suy um′ (t ) = mum −1 (t ) + t t 0 m ( m −1) um (t ) t Để ý X (t ) = ∫ ds + ∫ X (s)dW (s) = t + ∫ X (s)dW (s) Do u1(t) = t Suy u2′ (t ) = 2t + u2 (t ) t 3t t u ( t ) = t + − e + u2(t) = -2t – +2e Tương tự 3 3e ... with Itô stochastic differential equations” E Allen, Springer 2007 (trang76) Cơng thức Itơ viết dạng sau: cho f , g F định lý trên, với t ∈[a,b] t t a a X (t ) = X (a) + ∫ f (s, X (s)ds + ∫ g(s,