dạng pdf giangday duongminhduc tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh v...
HÀM SỐ ĐO ĐƯỢC TÍCH PHÂN LEBESGUE Định nghĩa Cho (Ω,M,µ) khơng gian đo Cho f ánh xạ từ Ω vào Ta nói f ánh xạ đo không gian đo (Ω,M,µ) f -1((a,∞)) ∈M với số thực a Bài toán 2.1 Cho A tập đo khơng gian đo (Ω,M,µ) c số thực Đặt ∀ x ∈ A, ⎧1 χ A ( x) = ⎨ ⎩0 ∀ x ∈ Ω \ A f(x) = c χA (x) Chứng minh f đo (Ω,M,µ) ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH Định nghĩa Cho A tập đo không gian đo (Ω,M,µ) Đặt ∀ x ∈ A, ⎧1 χ A ( x) = ⎨ ⎩0 ∀ x ∈ Ω \ A Ta gọi χA hàm đặc trưng A Đặt A1 = A , A2 = Ω \ A , c1 = c2 = Ta có A1 A2 rời , A1∪ A2 = Ω χ A = c1 χ A + c2 χ A ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 2 Bài toán 2.2 Cho A1 , A2 , , Am m tập đo rời khơng gian đo (Ω,M,µ) c1 , c2 , , cm m số thực Giả sử c1 < c2 < < cm m Ω = ∪ Ak k =1 Đặt m f ( x) = ∑ ck χ Ak ( x) ∀ x∈Ω k =1 Chứng minh f đo (Ω,M,µ) Hàm số f có dạng bên gọi hàm đơn Nếu A1 , A2 , , Am Ω hội số hữu hạn khoảng , f gọi hàm số bậc thang ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH c1 < c2 < < cm m f ( x) = ∑ ck χ Ak ( x) ∀ x∈Ω k =1 ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH m f ( x) = ∑ ck χ Ak ( x) k =1 ⎧ φ ⎪m ⎪ −1 f ((a, ∞)) = ⎨∪ Ai ⎪ i=k ⎪⎩ Ω a ≥ cm , ck −1 ≤ a < ck ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH a < c1 Bài toán 2.3 Cho A1 , A2 , , Am , B1 , B2 , , Bn tập đo rời không gian đo (Ω,M,µ) a1 , a2 , , am , b1 , b2 , , bn số thực Giả sử a1 < a2 < < am , b1 < b2 < < m n k =1 k =1 bn ∪ Ak = ∪ Bk = Ω Đặt m n i =1 j =1 f ( x) = ∑ χ Ai ( x) + ∑ b j χ B j ( x) ∀ x∈Ω Chứng minh f đo (Ω,M,µ) ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH m n i =1 j =1 f ( x) = ∑ χ Ai ( x) + ∑ b j χ B j ( x) ∀ x∈Ω Tập {ai+bj : i = 1,2, ,m ; j = 1,2, ,n } có hữu hạn phần tử đánh số theo thứ tự tăng {d1, d2, ., dr} (Ai ∩ Aj ) ∩ (Ai ∩ Aj’) = Ai ∩ (Aj ∩ Aj’) = φ j ≠ j’ Đặt Ds = ∪ Ai ∩ B j ∀s = 1, , r + b j = d s r Ta thấy D1, , Dr rời , ∪ Ds = Ω s =1 r f ( x) = ∑ d s χ As ( x) s =1 ∀ x∈Ω ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH Bài toán 2.4 Cho A1 , A2 , , Am , B1 , B2 , , Bn tập đo rời không gian đo (Ω,M,µ) a1 , a2 , , am , b1 , b2 , , bn số thực Giả sử a1 < a2 < < am , b1 < b2 < < m n k =1 k =1 bn ∪ Ak = ∪ Bk = Ω Đặt m n i =1 j =1 f ( x) = [∑ χ Ai ( x)][∑ b j χ B j ( x)] ∀ x∈Ω Chứng minh f đo (Ω,M,µ) Định lý Tích tổng hàm đơn hàm đơn.8 ĐỘ ĐOcác VÀ XÁC SUẤT - CH Định lý 2.2 Cho f hàm đo không gian đo (Ω,M,µ) Lúc (i) Có dãy hàm đơn {tm} (Ω,M,µ) cho lim tm ( x) = f ( x) m →∞ ∀ x ∈ Ω (ii) Nếu f(x) ≥ với x Ω, ta có dãy hàm đơn {sm} (Ω,M,µ) cho : ≤ s1(x) ≤ s2(x) ≤ ≤ sm(x) ≤ f (x) ∀ x ∈ Ω lim sm ( x) = f ( x) m →∞ ∀ x ∈ Ω ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH Bài toán 2.5 Cho f hàm số thực đo không gian đo (Ω,M,µ), b , c d ba số thực cho b ≤ c < d Chứng minh tập sau đo : f -1([b , ∞)) , f -1((-∞ , b]) , f -1((-∞ , b)) , f -1([b , c]) , f -1([b , d)) , f -1((b , d)) , f -1((b , d]) f -1((a,∞)) ∈M với số thực a ∞ ∞ ∞ [b, ∞) = ∪ (b − , ∞) f (∪ (b − , ∞)) = ∪ f ((b − m1 , ∞)) m =1 m −1 m =1 m −1 m =1 (−∞, b] = \ (b, ∞) f −1 ( \ (b, ∞)) = Ω \ f −1 ((b, ∞)) [b, c] = (−∞, c] ∩ [b, ∞) −1 SUẤT,- c CH]) ∩ f f −1 ((−∞, c] ∩ [b, ∞)) ĐỘ=ĐOf VÀ−1XÁC ((−∞ ([b, ∞)) 10 MỘT SỐ ĐỘ ĐO DƯƠNG THÔNG DỤNG Cho Ω = {1,2,….,m}, M = P(Ω) (họ tất tập Ω) μ(E) số phần tử E với E ∈ M Cho f ánh xạ từ Ω vào Lúc f đo khả tích m ∫ Ω fd μ = ∑a i =1 i = f(i) với i ∈ {1,2,….,m} Đặt ν(E) = m-1μ(E) với E ∈ M Ta có ν(Ω) = m ∫ Ω fd μ = m −1 ∑a i =1 i ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 28 Cho Ω tập số nguyên dương {1,2,….,m, .}, M = P(Ω) (họ tất tập Ω) μ(E) số phần tử E với E ∈ M (có thể ∞) Cho f ánh xạ từ Ω vào Ta thấy f đo f khả ∞ tích ∑ | | < ∞ i =1 Lúc ∫ Ω fd μ = ∞ ∑a i =1 i = f(i) với i ∈ {1,2,….,m, , } ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 29 Cho a b hai số thực, a < b, μ độ đo Lebesgue Cho ϕ = (ϕ , ϕ , ϕ 3) đơn ánh khả vi liên tục từ (a,b) vào 3 Đặt Ω = ϕ((a,b)) Ta nói Ω đường cong thuộc lớp C1 E a b E’ Đặt M họ tập E Ω cho có tập Lebesgue đo E' (a,b) E = ϕ(E') ν ( E ) = ∫ | | ϕ1′ | + | ϕ2′ | + | ϕ3′ | d μ 2 E' ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 30 E a b E’ Đặt M họ tập E Ω cho có tập Lebesgue đo E' (a,b) E = ϕ(E') ν ( E ) = ∫ | | ϕ1′ | + | ϕ2′ | + | ϕ3′ | d μ 2 E' Lúc (Ω, M , ν) không gian đo ν độ dài thực đường cong Ω Phần chứng minh việc xin xem sách "Dương Minh Đức - Làm quen toán đại học máy tính II, NXB Giáo dục, 1998." ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 31 E a b E’ Đặt M họ tập E Ω cho có tập Lebesgue đo E' (a,b) E = ϕ(E') ν (E) = ∫ E' 2 ′ ′ ′ | | ϕ1 | + | ϕ | + | ϕ3 | d μ Cho f hàm số khả tích (Ω, M ,ν), ta có cơng thức tích phân đường sau : ∫ Ω fdυ = ∫ ( a ,b ) =∫ b a f (ϕ ( x)) | ϕ1′ | + | ϕ 2′ | + | ϕ3′ | d μ 2 2 2 ′ ′ ′ f (ϕ ( x)) ĐỘ| ϕĐO1 (VÀxXÁC ) | SUẤT + -|CHϕ22 ( x) | + | ϕ3 ( x) |32 dx Khi ta xe đạp lúc có gió lớn đường quanh co ngoằn ngoèo , ta thấy tác động gió tùy thuộc vào hướng xe đạp Ta thử diễn tả kiện toán học Cho đường cong Ω = ϕ ((a , b)) 3 Q tập mở 3 Q chứa Ω ánh xạ F từ Q vào 3 Tại điểm x ∈ Q ta coi F(x) vectơ (F1(x), F2(x),F3(x)) chiều cường độ lực F (thí dụ lực thổi gió) , cường độ F(x) F ( x) = | F1 ( x) | + | F2 ( x) | + | F3 ( x) | ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 2 33 Cho điểm x ∈ Ω, ta có t ∈ (a,b) cho x = ϕ(t) Tại điểm x hướng chuyển động ta xác định ϕ'(t) = (ϕ1'(t), ϕ2'(t), ϕ3'(t)) Ta thấy lực F(x) tác động thực lên di chuyển ta theo thành phần F (x ) f(x) F(x) chiếu lên ϕ’ (t ) vectơ ϕ’(t) f (x ) Với < , > tích vơ x hướng 3, ta ϕ( t ) có cơng thức < F ( x), ϕ '(t ) > < F (ϕ (t )), ϕ '(t ) > f (ϕ (t )) = f ( x) = = || ϕ '(t ) || || ϕ '(t ) || ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 34 Vậy công lực F tác động lên vật di chuyển đường Ω b b ∫Ω fdν = ∫a f (ϕ (t )) ϕ '(t ) dt = ∫a < F (ϕ (t )), ϕ '(t ) > dt b = ∫ [F1 (ϕ (t ))ϕ1 '(t ) + F2 (ϕ (t ))ϕ '(t ) + F3 (ϕ (t ))ϕ3 '(t )]dt a Trong học, ta dùng ký hiệu sau : M = F1 , N = F2 , Q = F3 , x(t) = ϕ1(t), y(t) = ϕ2(t) , z(t) = ϕ3(t) Vậy dx dy dz = ϕ1′ , = ϕ 2′ , = ϕ3′ dt dt dt hay ϕ'1(t)dt = dx, ϕ'2(t)dt = dy ,ϕ'3(t)dt = dz , cơng thức viết dạng cơng thức tích phân đường loại ∫ Ω b fdν =ĐỘ∫ ĐOMdx + Ndy + Qdx VÀ XÁC SUẤT - CH a 35 Cho D tập mở 2, μ độ đo Lebesgue 2 Cho ϕ = (ϕ , ϕ , ϕ 3) đơn ánh khả vi liên tục từ D vào 3 Đặt Ω = ϕ(D) Ta nói Ω mặt cong thuộc lớp C1 E E’ D Đặt M họ tập E Ω cho có tập Lebesgue đo E' D E = ϕ(E') Lúc M σ- đại số Ω ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 36 E E’ D Đặt M họ tập E Ω cho có tập Lebesgue đo E' D E = ϕ(E') Lúc M σ- đại số Ω Ta đặt ν ( E ) = ∫ | | w1 |2 + | w2 |2 + | w3 |2 d μ với ∂ϕ2 ∂x w1 = ∂ϕ2 ∂y E' ∂ϕ3 ∂ϕ3 ∂ϕ1 ∂ϕ1 ∂x ∂x ∂x ∂x , w2 = , w3 = ∂ϕ3 ∂ϕ3 ∂ϕ1 ∂ϕ1 ∂y ∂y ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT ∂y - CH 2∂y ∂ϕ2 ∂x ∂ϕ2 37∂y Lúc (Ω, M , ν) không gian đo ν độ đo diện thực mặt cong Ω Cho f hàm số khả tích (Ω, M ,ν), ta có cơng thức tích phân mặt sau : ∫ Ω fdυ = ∫ ( a ,b ) b f (ϕ (t )) | w1 | + | w2 | + | w3 | d μ 2 = ∫ f (ϕ (t )) | w1 (t ) | + | w2 (t ) | + | w3 (t ) | dt 2 a ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 38 Cho mặt cong Ω = ϕ (D) 3 Q tập mở 3 Q chứa Ω ánh xạ F từ Q vào 3 Tại điểm x ∈ Q ta coi F(x) vectơ (F1(x), F2(x),F3(x)) (thí dụ lực thổi gió) Ta thấy lực F(x) tác động thực lên Ω thành phần f(x) F(x) chiếu lên n (x ) vectơ pháp tuyến n(x) F (x ) f (x ) 2 Với < , > tích F ( x) = | F1 ( x) | + | F2 ( x) | + | xF=3 (ϕ( x)t|) vô hướng 3, ta có cơng thức D t < F ( x), n( x) > < F (ϕ (t )), n(ϕ (t )) > = f (ϕ (t )) = f ( x) = 39 ||ĐỘnĐO ( xVÀ) ||XÁC SUẤT - CH || n(ϕ (t )) || Ta thấy n( x) = n(ϕ (t )) = f ( x) = f (ϕ (t )) = ( w1 (t ), w2 (t ), w3 (t )) | w1 (t ) |2 + | w2 (t ) |2 + | w3 (t ) |2 F1 (ϕ (t )) w1 (t ) + F2 (ϕ (t )) w2 (t ) + F1 (ϕ (t )) w3 (t )) | w1 (t ) |2 + | w2 (t ) |2 + | w3 (t ) |2 Do cơng lực F mặt Ω tích phân ∫ Ω fdυ = ∫ f (ϕ (t )) | w1 (t ) |2 + | w2 (t ) |2 + | w3 (t ) |2 dt D = ∫ [ F1 (ϕ (t )) w1 (t ) + F2 (ϕ (t )) w2 (t ) + F3 (ϕ (t )) w3 (t )]dt D = ∫ F1dydz + F2 dxdz + F3 dxdy D Đây tích phân mặtĐỘ loại hai ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 40 Lý thuyết độ đo tích phân cho phép tiếp cận thứ phức tạp c d Cho c d mặt Ω Cứ đường cong S thuộc lớp C1 nằm Ω nối c d , ta tính độ dài của S Chặn lớn độ dài này, gọi khoảng cách δ(c,d) (metric) c d Trong số trường hợp có đường cong S có độ dài metric δ(c,d) Lúc S gọi đường egodic ΩĐỘ nối c d Đây định nghĩa 41 ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH đại "đường thẳng" Nếu Ω mặt cầu đơn vị 3, "đường thẳng" Ω vòng tròn giao tuyến Ω mặt phẵng qua tâm cầu đơn vị Với Ω = 3 {(0,0)}, x = (1,0) y = (-1,0) Khỗng cách (trong độ đo Lebesgue) khơng có đường thẳng Ω chứa x y y x ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 42 ... cm m Ω = ∪ Ak k =1 Đặt m f ( x) = ∑ ck χ Ak ( x) ∀ x∈Ω k =1 Chứng minh f đo (Ω,M,µ) Hàm số f có dạng bên gọi hàm đơn Nếu A1 , A2 , , Am Ω hội số hữu hạn khoảng , f gọi hàm số bậc thang ĐỘ ĐO... Ai tập hợp hàng bạn mua có giá ci s = ∑ ck χ 1≤ k ≤ m Lúc ta đưa tốn tính tổng số tiền phải trả dạng tích phân Ak ∫ s d μ = ∑ c μ( A ) Ω 1≤ k ≤ m k k Dĩ nhiên ta làm tốn mà khơng thơng qua lý