1. Trang chủ
  2. » Thể loại khác

dạng pdf giangday duongminhduc

42 52 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 42
Dung lượng 410,62 KB

Nội dung

dạng pdf giangday duongminhduc tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh v...

HÀM SỐ ĐO ĐƯỢC TÍCH PHÂN LEBESGUE Định nghĩa Cho (Ω,M,µ) khơng gian đo Cho f ánh xạ từ Ω vào  Ta nói f ánh xạ đo không gian đo (Ω,M,µ) f -1((a,∞)) ∈M với số thực a Bài toán 2.1 Cho A tập đo khơng gian đo (Ω,M,µ) c số thực Đặt ∀ x ∈ A, ⎧1 χ A ( x) = ⎨ ⎩0 ∀ x ∈ Ω \ A f(x) = c χA (x) Chứng minh f đo (Ω,M,µ) ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH Định nghĩa Cho A tập đo không gian đo (Ω,M,µ) Đặt ∀ x ∈ A, ⎧1 χ A ( x) = ⎨ ⎩0 ∀ x ∈ Ω \ A Ta gọi χA hàm đặc trưng A Đặt A1 = A , A2 = Ω \ A , c1 = c2 = Ta có A1 A2 rời , A1∪ A2 = Ω χ A = c1 χ A + c2 χ A ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 2 Bài toán 2.2 Cho A1 , A2 , , Am m tập đo rời khơng gian đo (Ω,M,µ) c1 , c2 , , cm m số thực Giả sử c1 < c2 < < cm m Ω = ∪ Ak k =1 Đặt m f ( x) = ∑ ck χ Ak ( x) ∀ x∈Ω k =1 Chứng minh f đo (Ω,M,µ) Hàm số f có dạng bên gọi hàm đơn Nếu A1 , A2 , , Am Ω hội số hữu hạn khoảng , f gọi hàm số bậc thang ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH c1 < c2 < < cm m f ( x) = ∑ ck χ Ak ( x) ∀ x∈Ω k =1 ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH m f ( x) = ∑ ck χ Ak ( x) k =1 ⎧ φ ⎪m ⎪ −1 f ((a, ∞)) = ⎨∪ Ai ⎪ i=k ⎪⎩ Ω a ≥ cm , ck −1 ≤ a < ck ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH a < c1 Bài toán 2.3 Cho A1 , A2 , , Am , B1 , B2 , , Bn tập đo rời không gian đo (Ω,M,µ) a1 , a2 , , am , b1 , b2 , , bn số thực Giả sử a1 < a2 < < am , b1 < b2 < < m n k =1 k =1 bn ∪ Ak = ∪ Bk = Ω Đặt m n i =1 j =1 f ( x) = ∑ χ Ai ( x) + ∑ b j χ B j ( x) ∀ x∈Ω Chứng minh f đo (Ω,M,µ) ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH m n i =1 j =1 f ( x) = ∑ χ Ai ( x) + ∑ b j χ B j ( x) ∀ x∈Ω Tập {ai+bj : i = 1,2, ,m ; j = 1,2, ,n } có hữu hạn phần tử đánh số theo thứ tự tăng {d1, d2, ., dr} (Ai ∩ Aj ) ∩ (Ai ∩ Aj’) = Ai ∩ (Aj ∩ Aj’) = φ j ≠ j’ Đặt Ds = ∪ Ai ∩ B j ∀s = 1, , r + b j = d s r Ta thấy D1, , Dr rời , ∪ Ds = Ω s =1 r f ( x) = ∑ d s χ As ( x) s =1 ∀ x∈Ω ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH Bài toán 2.4 Cho A1 , A2 , , Am , B1 , B2 , , Bn tập đo rời không gian đo (Ω,M,µ) a1 , a2 , , am , b1 , b2 , , bn số thực Giả sử a1 < a2 < < am , b1 < b2 < < m n k =1 k =1 bn ∪ Ak = ∪ Bk = Ω Đặt m n i =1 j =1 f ( x) = [∑ χ Ai ( x)][∑ b j χ B j ( x)] ∀ x∈Ω Chứng minh f đo (Ω,M,µ) Định lý Tích tổng hàm đơn hàm đơn.8 ĐỘ ĐOcác VÀ XÁC SUẤT - CH Định lý 2.2 Cho f hàm đo không gian đo (Ω,M,µ) Lúc (i) Có dãy hàm đơn {tm} (Ω,M,µ) cho lim tm ( x) = f ( x) m →∞ ∀ x ∈ Ω (ii) Nếu f(x) ≥ với x Ω, ta có dãy hàm đơn {sm} (Ω,M,µ) cho : ≤ s1(x) ≤ s2(x) ≤ ≤ sm(x) ≤ f (x) ∀ x ∈ Ω lim sm ( x) = f ( x) m →∞ ∀ x ∈ Ω ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH Bài toán 2.5 Cho f hàm số thực đo không gian đo (Ω,M,µ), b , c d ba số thực cho b ≤ c < d Chứng minh tập sau đo : f -1([b , ∞)) , f -1((-∞ , b]) , f -1((-∞ , b)) , f -1([b , c]) , f -1([b , d)) , f -1((b , d)) , f -1((b , d]) f -1((a,∞)) ∈M với số thực a ∞ ∞ ∞ [b, ∞) = ∪ (b − , ∞) f (∪ (b − , ∞)) = ∪ f ((b − m1 , ∞)) m =1 m −1 m =1 m −1 m =1 (−∞, b] = \ (b, ∞) f −1 ( \ (b, ∞)) = Ω \ f −1 ((b, ∞)) [b, c] = (−∞, c] ∩ [b, ∞) −1 SUẤT,- c CH]) ∩ f f −1 ((−∞, c] ∩ [b, ∞)) ĐỘ=ĐOf VÀ−1XÁC ((−∞ ([b, ∞)) 10 MỘT SỐ ĐỘ ĐO DƯƠNG THÔNG DỤNG Cho Ω = {1,2,….,m}, M = P(Ω) (họ tất tập Ω) μ(E) số phần tử E với E ∈ M Cho f ánh xạ từ Ω vào  Lúc f đo khả tích m ∫ Ω fd μ = ∑a i =1 i = f(i) với i ∈ {1,2,….,m} Đặt ν(E) = m-1μ(E) với E ∈ M Ta có ν(Ω) = m ∫ Ω fd μ = m −1 ∑a i =1 i ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 28 Cho Ω tập số nguyên dương {1,2,….,m, .}, M = P(Ω) (họ tất tập Ω) μ(E) số phần tử E với E ∈ M (có thể ∞) Cho f ánh xạ từ Ω vào  Ta thấy f đo f khả ∞ tích ∑ | | < ∞ i =1 Lúc ∫ Ω fd μ = ∞ ∑a i =1 i = f(i) với i ∈ {1,2,….,m, , } ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 29 Cho a b hai số thực, a < b, μ độ đo Lebesgue  Cho ϕ = (ϕ , ϕ , ϕ 3) đơn ánh khả vi liên tục từ (a,b) vào 3 Đặt Ω = ϕ((a,b)) Ta nói Ω đường cong thuộc lớp C1 E a b E’ Đặt M họ tập E Ω cho có tập Lebesgue đo E' (a,b) E = ϕ(E') ν ( E ) = ∫ | | ϕ1′ | + | ϕ2′ | + | ϕ3′ | d μ 2 E' ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 30 E a b E’ Đặt M họ tập E Ω cho có tập Lebesgue đo E' (a,b) E = ϕ(E') ν ( E ) = ∫ | | ϕ1′ | + | ϕ2′ | + | ϕ3′ | d μ 2 E' Lúc (Ω, M , ν) không gian đo ν độ dài thực đường cong Ω Phần chứng minh việc xin xem sách "Dương Minh Đức - Làm quen toán đại học máy tính II, NXB Giáo dục, 1998." ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 31 E a b E’ Đặt M họ tập E Ω cho có tập Lebesgue đo E' (a,b) E = ϕ(E') ν (E) = ∫ E' 2 ′ ′ ′ | | ϕ1 | + | ϕ | + | ϕ3 | d μ Cho f hàm số khả tích (Ω, M ,ν), ta có cơng thức tích phân đường sau : ∫ Ω fdυ = ∫ ( a ,b ) =∫ b a f (ϕ ( x)) | ϕ1′ | + | ϕ 2′ | + | ϕ3′ | d μ 2 2 2 ′ ′ ′ f (ϕ ( x)) ĐỘ| ϕĐO1 (VÀxXÁC ) | SUẤT + -|CHϕ22 ( x) | + | ϕ3 ( x) |32 dx Khi ta xe đạp lúc có gió lớn đường quanh co ngoằn ngoèo , ta thấy tác động gió tùy thuộc vào hướng xe đạp Ta thử diễn tả kiện toán học Cho đường cong Ω = ϕ ((a , b)) 3 Q tập mở 3 Q chứa Ω ánh xạ F từ Q vào 3 Tại điểm x ∈ Q ta coi F(x) vectơ (F1(x), F2(x),F3(x)) chiều cường độ lực F (thí dụ lực thổi gió) , cường độ F(x) F ( x) = | F1 ( x) | + | F2 ( x) | + | F3 ( x) | ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 2 33 Cho điểm x ∈ Ω, ta có t ∈ (a,b) cho x = ϕ(t) Tại điểm x hướng chuyển động ta xác định ϕ'(t) = (ϕ1'(t), ϕ2'(t), ϕ3'(t)) Ta thấy lực F(x) tác động thực lên di chuyển ta theo thành phần F (x ) f(x) F(x) chiếu lên ϕ’ (t ) vectơ ϕ’(t) f (x ) Với < , > tích vơ x hướng 3, ta ϕ( t ) có cơng thức < F ( x), ϕ '(t ) > < F (ϕ (t )), ϕ '(t ) > f (ϕ (t )) = f ( x) = = || ϕ '(t ) || || ϕ '(t ) || ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 34 Vậy công lực F tác động lên vật di chuyển đường Ω b b ∫Ω fdν = ∫a f (ϕ (t )) ϕ '(t ) dt = ∫a < F (ϕ (t )), ϕ '(t ) > dt b = ∫ [F1 (ϕ (t ))ϕ1 '(t ) + F2 (ϕ (t ))ϕ '(t ) + F3 (ϕ (t ))ϕ3 '(t )]dt a Trong học, ta dùng ký hiệu sau : M = F1 , N = F2 , Q = F3 , x(t) = ϕ1(t), y(t) = ϕ2(t) , z(t) = ϕ3(t) Vậy dx dy dz = ϕ1′ , = ϕ 2′ , = ϕ3′ dt dt dt hay ϕ'1(t)dt = dx, ϕ'2(t)dt = dy ,ϕ'3(t)dt = dz , cơng thức viết dạng cơng thức tích phân đường loại ∫ Ω b fdν =ĐỘ∫ ĐOMdx + Ndy + Qdx VÀ XÁC SUẤT - CH a 35 Cho D tập mở 2, μ độ đo Lebesgue 2 Cho ϕ = (ϕ , ϕ , ϕ 3) đơn ánh khả vi liên tục từ D vào 3 Đặt Ω = ϕ(D) Ta nói Ω mặt cong thuộc lớp C1 E E’ D Đặt M họ tập E Ω cho có tập Lebesgue đo E' D E = ϕ(E') Lúc M σ- đại số Ω ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 36 E E’ D Đặt M họ tập E Ω cho có tập Lebesgue đo E' D E = ϕ(E') Lúc M σ- đại số Ω Ta đặt ν ( E ) = ∫ | | w1 |2 + | w2 |2 + | w3 |2 d μ với ∂ϕ2 ∂x w1 = ∂ϕ2 ∂y E' ∂ϕ3 ∂ϕ3 ∂ϕ1 ∂ϕ1 ∂x ∂x ∂x ∂x , w2 = , w3 = ∂ϕ3 ∂ϕ3 ∂ϕ1 ∂ϕ1 ∂y ∂y ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT ∂y - CH 2∂y ∂ϕ2 ∂x ∂ϕ2 37∂y Lúc (Ω, M , ν) không gian đo ν độ đo diện thực mặt cong Ω Cho f hàm số khả tích (Ω, M ,ν), ta có cơng thức tích phân mặt sau : ∫ Ω fdυ = ∫ ( a ,b ) b f (ϕ (t )) | w1 | + | w2 | + | w3 | d μ 2 = ∫ f (ϕ (t )) | w1 (t ) | + | w2 (t ) | + | w3 (t ) | dt 2 a ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 38 Cho mặt cong Ω = ϕ (D) 3 Q tập mở 3 Q chứa Ω ánh xạ F từ Q vào 3 Tại điểm x ∈ Q ta coi F(x) vectơ (F1(x), F2(x),F3(x)) (thí dụ lực thổi gió) Ta thấy lực F(x) tác động thực lên Ω thành phần f(x) F(x) chiếu lên n (x ) vectơ pháp tuyến n(x) F (x ) f (x ) 2 Với < , > tích F ( x) = | F1 ( x) | + | F2 ( x) | + | xF=3 (ϕ( x)t|) vô hướng 3, ta có cơng thức D t < F ( x), n( x) > < F (ϕ (t )), n(ϕ (t )) > = f (ϕ (t )) = f ( x) = 39 ||ĐỘnĐO ( xVÀ) ||XÁC SUẤT - CH || n(ϕ (t )) || Ta thấy n( x) = n(ϕ (t )) = f ( x) = f (ϕ (t )) = ( w1 (t ), w2 (t ), w3 (t )) | w1 (t ) |2 + | w2 (t ) |2 + | w3 (t ) |2 F1 (ϕ (t )) w1 (t ) + F2 (ϕ (t )) w2 (t ) + F1 (ϕ (t )) w3 (t )) | w1 (t ) |2 + | w2 (t ) |2 + | w3 (t ) |2 Do cơng lực F mặt Ω tích phân ∫ Ω fdυ = ∫ f (ϕ (t )) | w1 (t ) |2 + | w2 (t ) |2 + | w3 (t ) |2 dt D = ∫ [ F1 (ϕ (t )) w1 (t ) + F2 (ϕ (t )) w2 (t ) + F3 (ϕ (t )) w3 (t )]dt D = ∫ F1dydz + F2 dxdz + F3 dxdy D Đây tích phân mặtĐỘ loại hai ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 40 Lý thuyết độ đo tích phân cho phép tiếp cận thứ phức tạp c d Cho c d mặt Ω Cứ đường cong S thuộc lớp C1 nằm Ω nối c d , ta tính độ dài của S Chặn lớn độ dài này, gọi khoảng cách δ(c,d) (metric) c d Trong số trường hợp có đường cong S có độ dài metric δ(c,d) Lúc S gọi đường egodic ΩĐỘ nối c d Đây định nghĩa 41 ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH đại "đường thẳng" Nếu Ω mặt cầu đơn vị 3, "đường thẳng" Ω vòng tròn giao tuyến Ω mặt phẵng qua tâm cầu đơn vị Với Ω = 3 {(0,0)}, x = (1,0) y = (-1,0) Khỗng cách (trong độ đo Lebesgue) khơng có đường thẳng Ω chứa x y y x ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 42 ... cm m Ω = ∪ Ak k =1 Đặt m f ( x) = ∑ ck χ Ak ( x) ∀ x∈Ω k =1 Chứng minh f đo (Ω,M,µ) Hàm số f có dạng bên gọi hàm đơn Nếu A1 , A2 , , Am Ω hội số hữu hạn khoảng , f gọi hàm số bậc thang ĐỘ ĐO... Ai tập hợp hàng bạn mua có giá ci s = ∑ ck χ 1≤ k ≤ m Lúc ta đưa tốn tính tổng số tiền phải trả dạng tích phân Ak ∫ s d μ = ∑ c μ( A ) Ω 1≤ k ≤ m k k Dĩ nhiên ta làm tốn mà khơng thơng qua lý

Ngày đăng: 27/01/2018, 10:20

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

  • Đang cập nhật ...

TÀI LIỆU LIÊN QUAN