dạng pdf giangday duongminhduc

TẬP ĐO ĐƯỢC - ĐỘ ĐO DƯƠNG HÀM SỐ ĐO ĐƯỢC Chúng ta cân, đong, đo, đếm , có nghĩ đến câu hỏi sau: có phải cân, đong, đo, đếm thứ ? Có phải đo độ dài tập hợp  ? Ơng Lebesgue có tập  đo theo cách đo thông thường Ta dùng chử “đo” để việc cân, đong, đo, đếm Cho Ω tập hợp khác trống Để thực phép đo Ω , trước hết phải xác định ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤTcủa - CH Ω đối tượng đo : họ tập P(Ω ) họ tất tập Ω , M tập P(Ω ) Giả sử M họ tất đối tượng phép đo Ta thấy tập rỗng φ đo có độ đo khơng Nên φ phần tử M Ta thấy tập Ω đo có độ đo lớn độ đo phần tử M Nên Ω phân tử M có độ đo ∞ Thí dụ độ dài  ∞ ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH Giả sử M họ tất đối tượng phép đo Cho A B M , nghĩa A B đo Nếu A B rời nhau, ta phải có C = A ∪ B đo A B Nếu m(A) m(B) độ đo A B , m(A ∪ B ) = m(A) + m(B ) ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH Cho A1 , , An n tập rời M Đặt A = ∪ n i =1 Ai Dùng qui nạp tốn học ta có cơng thức sau m( A) = n ∑ m( A ) i =1 i ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH Cho A1 , , An , họ đếm tập rời M Đặt A = ∪ ∞ A i =1 i Lý luận tương tự định nghĩa chuỗi số, ta chấp nhận A ∈ M m( A) = ∞ ∑ m( A ) i =1 ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH i Nay cho { Ai }i∈I họ tập rời M, A = ∪ Ta tính độ đo A dựa A i i∈I độ đo Ai hay không ? Nếu I = [0,1] Ai = {i} ∀ i ∈ I Ta thấy độ dài Ai , đô dài A Như vấn đề tính độ đo phần hợp họ tập dựa độ đo tập không đơn giản Ta thấy đếm I có ý nghĩa lý thuyết độ đo ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH Từ nhận xét xét định nghĩa lý thuyết đô đo sau Định nghĩa Cho M họ tập tập khác trống Ω Ta nói M σ-đại số Ω M có tính chất sau (D1) Ω ∈ M (D2) Ω \ A ∈ M ∞ (D3) ∪ n =1 An ∈ M ∀A ∈ M ∀ {An } ∈ M Lúc ta nói (Ω,M) không gian đo Nếu A ∈ M , ta nói A tập M-đo Ω7 ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH Bài toán 1.1 Cho (Ω, M) không gian đo Cho A1 , A2 , , Am , ∈ M Đặt m A = ∪ An n =1 Chứng minh A tập M-đo Ω (D3) ∞ ∪A n ∈ M n ∈ M n =1 m ∪A n =1 (D3) ∀ {An } ∈ M ∞ ∪B n =1 n ∈ ∀ {A1 , A2 , , Am } ∈ M M ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH ∀ {Bn } ∈ M (D3) ∞ ∪B n ∈ n =1 m ∪A n ∈ M n =1 (D3) ∀ {Bn } ∈ M M ∞ ∪B n ∈ ∀ {A1 , A2 , , Am } ∈ M M n =1 ∀ {B1 , B2 , , Bm, Bm+1 , Bm+2 , } ∈ M m ∪A n =1 Đặt n ∈ M ∀ {A1 , A2 , , Am } ∈ M B1 = A1 , B2 = A2 , , Bm = Am, Bm+1 = φ, Bm+2 = φ, ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH Bài tốn 1.2 Cho (Ω, M) khơng gian đo Cho A, B ∈ M Chứng minh A∩ B tập M-đo Ω (D1) Ω ∈ M (D2) Ω \ A ∈ M ∞ (D3) ∪ An ∈ ∀A ∈ M ∀ {An } ∈ M M n =1 Biến giao thành hội : Ω \( A∩ B) = (Ω \ A) ∪ (Ω \ B) Để ý : A∩ B = Ω \ [Ω \( A∩ B) ] ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 10 Định nghĩa Cho (Ω,M) không gian đo đươc, cho μ ánh xạ từ M vào [0 , ∞] Ta nói μ độ đo dương M μ có tính sau (i) (COUNTABLE ADDITIVE) Nếu {An } dãy phần tử rời M ∞ μ (∪ An ) n =1 = ∞ ∑ μ(A ) n =1 n (ii) có B M μ (B) < ∞ Ta thường dùng (Ω, M, μ) để tập hợp Ω khác trống, σ-đại số M, Ω độ dương μ M Ta gọi (Ω, M, μ) không gian đo ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 11 Bài toán 1.3 Cho khơng gian đo (Ω, M, µ) Chứng minh µ(φ) = (i) (COUNTABLE ADDITIVE) Nếu {An } dãy phần tử rời M ∞ μ (∪ An ) n =1 = ∞ ∑ μ(A ) n n =1 (ii) có B M μ (B) < ∞ Đặt A1 = B , A2 = φ, A3 = φ, A4 = φ, ∞ ∞ n =1 n =1 m μ ( B) = μ (∪ An ) = ∑ μ ( An ) = lim ∑ μ ( An ) m →∞ n =1 = lim[ μ ( B ) + (m − 1) μ (φ )] = μ ( B) + lim[(m − 1) μ (φ )] m →∞ ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH m →∞ 12 Bài tốn 1.4 Cho (Ω, M,µ) không gian đo Cho A1 , A2 , , Am tập rời m m M Chứng minh μ (∪ An ) = ∑ μ ( An ) n =1 n =1 (i) (COUNTABLE ADDITIVE) Nếu {An } dãy phần tử rời M ∞ μ (∪ An ) n =1 = ∞ ∑ μ(A ) n =1 n Đặt Am+1 = φ, Am+2 = φ, ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 13 Bài tốn 1.5 Cho khơng gian đo (Ω, M,µ) Cho C D M Giả sử C ⊂ D Chứng minh µ(C) ≤ µ(D) Đặt A = C C A∩B=φ B=D\C D A B A∪B=D μ ( D) = μ ( A ∪ B) = μ ( A) + μ ( B) ≥ μ ( A) = μ (C ) ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 14 Có σ-đại số M độ đo dương µ khơng gian n có tính chất sau (i) Các tập mở tập đóng n phần tử M (ii) Cho E ∈ M cho µ(E) < ∞ Lúc với ε > 0, có tập đóng F tập mở U n có tính chất sau: F ⊂ E ⊂ U , µ(U \ F ) < ε ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 15 (iii) Cho E tập n cho có A B M cho : A ⊂ E ⊂ B , µ(B \ A ) = Lỳc ú E M (iv) à([a1,b1]ìì [an,bn]) = (b1 - a1)× …× (bn - an) b3 a a2 b2 a b1 ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 16 ∀ E ∈ M , a ∈ n (v) µ(E + a) = µ(E) (vi) µ(cE) = cµ(E) O E+a a E E ∀ E ∈ M , c ∈(0, ∞) cE Định nghĩa 1.1 Ta gọi M µ σ-đại số Lebesgue độ đo Lebesgue n ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 17 Bài toán 1.6 Cho Ω tập hợp Lebesgue đo khác trống n Đặt N = { A ∈ M : A ⊂ Ω } Chứng minh N σ-đại số Ω (D1) Ω ∈ N (D2) Ω \ A ∈ N ∞ (D3) ∪ An ∈ ∀A ∈ N ∀ {An } ∈ N N n =1 (D1)’ n ∈ M (D2)’ n \ A ∈ M ∞ (D3)’ ∪ n =1 An ∈ M ∀A ∈ M ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH ∀ {An } ∈ M 18 (D1) Ω∈N (D1)’ Ω∈M (D1) X ∈ N = { A ∈ M : A ⊂ Ω } (D2) Ω\A ∈ N (D2)’ n \ A ∈ M ∀A ∈ N ∀A ∈ M Ω \ A = { x : x ∈ Ω x ∉ A } = Ω ∩ (n \ A ) ⊂ Ω ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 19 ∞ (D3)’ ∪ An ∈ M An ∈ N ∀ {An } ∈ M n =1 ∞ (D3) ∪ ∀ {An } ∈ N n =1 (D3) Cho An ⊂ Ω cho An ∈ M, ∀ n ∈ Chứng minh ∞ ∞ ∪A n =1 n ⊂ X ∪A n ∈ M n =1 (D3)’ Cho An ∈ M, ∀ n ∈ Ta có ∞ ∪A n ∈ M n =1 ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 20 Bài toán 1.7 Cho Ω tập hợp Lebesgue đo khác trống n Đặt N = { A ∈ M : A ⊂ Ω} ν(A) = µ(A) ∀ A ∈ N Chứng minh ν độ đo dượng không gian đo (Ω , N) (i) Nếu {An } dãy phần tử rời ∞ ∞ M ta có μ (∪ An ) = ∑ μ ( An ) n =1 n =1 (i) phần tử rời (ii)Nếu có B {A Mmột đểdãy cho μ (B) < ∞ n } ∞ ∞ N chứng minh μ (∪ An ) = ∑ μ ( An ) n =1 n =1 ĐỘ ĐO VÀ XÁC (ii) có B N μSUẤT (B)- CH