toán chuyên nghành kỹ thuật

Câu 2Ưu nhược điểm của pp lặp gải phương trình phi tuyến: xác, đơn giản Quá trình tính toán rất lâu, hội tụ chậm.. + Nhược: còn những nhược điểm như pp lặp đơn về độ hội tụ của bài toán

Lý thuyết :

Câu 1)Tại sao pp newton Rapshon còn gọi là pp tiếp tuyến:

Vì về ý nghĩa hình học yn+1 là giao điểm tiếp tuyến của đường cong y = F(x) tại điểm(xn, f(xn)) với trục hoành do đó……

Ta có pt nghiệm theo pp Newton- Raphson

Xn+1 = xn – f (xn)/f’ (xn)

Về mặt hình học, xn+1 chính là giao điểm của tiếp tuyến đối với đồ thị hàm f(xn) tại điểm (xn , f(xn)) Do đó, pp newton raphson còn được gọi là phương pháp tiếp tuyến

Câu 2)Ưu nhược điểm của pp lặp gải phương trình phi tuyến:

xác, đơn giản Quá trình tính toán rất lâu, hội tụ chậm

K tận dụng đc tính chất của hàm fx

Nhanh hơn pp lặp đơn

Hội tụ còn chậm, chỉ hội tụ tuyến tính

Newton rapshon Đạo hàm fx hội tụ nhanh

hơn Việc kiểm tra đk để áp dụng pp này là khó

Câu 3 Hãy nêu ưu nhược điểm của các phương pháp giải hệ đại tuyến (trực tiếp

và lặp) ?

 pp giải trực tiếp

- pp khử Gauss

 Ưu: thuật toán dễ hiểu, cách thức đơn giản.

 Nhược:+ số lương vòng lắp lớn, độ phức tạp bài toán cao

+ Thời gian chạy chương trình kéo dài, đối với các ma trận lớn kết quả còn ko chính xác

- Phân tích LU

 Ưu: Hạn chế được thời gian chạy của pp Gaus: thời gian rút ngắn 1 nửa, số vòng lặp giảm 1 nửa

 Nhược: + vấn mắc những lỗi của pp gauss về độ chính xác đối với ma trận hệ số lớn

+ sử dụng thêm 1 ma trận để lưu các bước khai triển Gauss gây loãng phí thêm 1 lượng ô nhớ bằng với ma trận đã cho

 Pp lặp

 Pp lặp đơn:

 Ưu: + tiết kiệm được bộ nhớ máy tính, đảm bảo thời gian thực hiện chương trình, số lần lặp cũng như thời gian chạy giảm đáng kể so với pp trên

+ Độ chính xác cao hơn các pp trk, nguyên do là do thực hiện kiểm tra độ chính xác sau mỗi lần lặp

 Nhược: + không phải tất cả các pp đều có nghiệm hội tụ ( chỉ áp dụng cho ma trận đường chéo trội )

+ Nếu hệ số hội tụ quá lớn thì ma trận sẽ lâu hội tụ về ma trận kết quả

 Pp seisel + ưu: cải tiến hơn sơ với pp lặp đơn: sử dụng ít bộ nhớ máy, thời gian tốc độ hội tụ về nghiệm nhanh hơn

+ Nhược: còn những nhược điểm như pp lặp đơn về độ hội tụ của bài toán đã cho

Câu 4) Tại sao pp Adam còn gọi là pp đa bước:

Vì tính thông qua nhiều bước trc đó.muốn Tính yi phải tính yi-1, yi-2,….

Câu 5)Đk sơ đồ sai phân đc chấp nhận:

Zjn+1 =(1-r) Zjn + rZjn-1

Ta nói 1 lược đồ sai phân là ổn định khi:” Nếu tập hợp vô hạn các nghiệm tính đc là bị chặn đều, ngược lại là k ổn định”

Định lý courant: Nếu lược đồ sai phân nhất quán với pt vi phân và bản thân lược đồ đó là

ổn định thì nghiệm của pt sai phân sẽ hội tụ đén nghiệm của pt vi phân

Câu 6) Các ứng dụng cơ học của pp sai phân trong tính toán các hiện tượng:

Pt vi phân dạng elip: trong bài toán truyền nhiệt, thẩm thấu cơ học chất lỏng,

Pt vi phân dạng pararabol: khuyết tán chất ô nhiễm

Pt vi phân hypebol: pt dao động của dây U=U( x,t) với x là tọa độ,t là thời gian

Câu 7) PP phần tử hữu hạn # pp biến phân:

PP phần tử hh sử dụng thuật toán biến phân áp dụng cho 1 miền chia thành nhiều miền con Nên pppthh có ưu điểm áp dụng cho miền có dạng hình học phức tạp

Câu 8) Ưu, nhược điểm của các sai phân hiện, sai phân ẩn:

Ưu điểm:

 Sai phân hiện: từ phương trình sai phân tiến theo thời gian t ta tìm đc ngay giá trị

Uk+1

ij từ các giá trị Uk

i-1,j, Uk i,j, Uk i,j-1, Uk i,j+1

 Sai phân ẩn: Tìm đc Uk

ij theo sai phân lùi theo thời gian t qua các giá trị Uk+1

i-1,j,

Uk+1

i,j, Uk+1

i,j-1, Uk+1

i,j+1

Nhược điểm: Phải thiết lập tất cả các phương trình cho tất cả các nút bên trong miền bài

toán và giải đồng thời các hệ pt này nên gây khó khan trong việc tính toán

Câu 9) So sánh PPPTHH và PPSP:

 PPSP xấp xỉ bài toán phương trình vi phân; còn PPPTHH thì xấp xỉ lời giải của bài toán này

 Điểm đặc trưng nhất của PPPTHH là nó có khả năng áp dụng cho những bài toán hình học và những bài toán biên phức tạp với mối quan hệ rời rạc Trong khi đó PPSP

về căn bản chỉ áp dụng được trong dạng hình chữ nhật với mối quan hệ đơn giản, việc vận dụng kiến thức hình học trong PPPTHH là đơn giản về lý thuyết

 Điểm đặc trưng của phương pháp sai phân hữu hạn là có thể dễ dàng thực hiện được

 Trong một vài trường hợp, PPSP có thể xem như là một tập con của PPPTHH xấp

xỉ Việc lựa chọn hàm cơ sở là hàm không đổi từng phần hoặc là hàm delta Dirac Trong cả hai phương pháp xấp xỉ, việc xấp xỉ được tiến hành trên toàn miền, nhưng miền đó không cần liên tục Như một sự lựa chọn, nó có thể xác định một hàm trên một miền rời rạc, với kết quả là toán tử vi phân liên tục không sinh ra chiều dài hơn, tuy nhiên việc xấp xỉ này không phải là PPPTHH

 Có những lập luận để lưu ý đến cơ sở toán học của việc xấp xỉ phần tử hữu hạn trở lên đúng đắn hơn, ví dụ, bởi vì trong PPSP đặc điểm của việc xấp xỉ những điểm lưới còn hạn chế

 Kết quả của việc xấp xỉ bằng PPPTHH thường chính xác hơn PPSP, nhưng điều này còn phụ thuộc vào nhiều vấn đề khác và một số trường hợp đã cho kết quả trái ngược

Nói chung, PPPTHH là một phương pháp thích hợp để phân tích các bài toán về kết cấu (giải các bài toán về biến dạng và ứng suất của vật thể dạng khối hoặc động lực học kết cấu), trong khi đó phương pháp tính trong động lực học chất lỏng có khuynh hướng sử dụng PPSP hoặc những phương pháp khác (như phương pháp khối lượng hữu

hạn).Những bài toán của động lực học chất lỏng thường yêu cầu phải rời rạc hóa bài toán thành một số lượng lớn những "ô vuông" hoặc những điểm lưới (hàng triệu hoặc hơn), vì

vậy mà nó đòi hỏi cách giải phải đơn giản hơn để xấp xỉ các "ô vuông" Điều này đặc biệt đúng cho các bài toán về dòng chảy ngoài, giống như dòng không khí bao quanh xe hơi hoặc máy bay, hoặc việc mô phỏng thời tiết ở một vùng rộng lớn Có rất nhiều bộ phần mềm về phương pháp phần tử hữu hạn, một số miễn phí và một số được bán

10) Tại sao trong sách ppt thường sử dụng pp runghe – kutta bậc 4 mà k gọi bậc cao hơn, thấp hơn:

Tại vì pp Runghe – kutta bậc 4 cho lời giải xấp xỉ chính xác và thuật toán không phức tạp

Câu11 Hãy cho ví dụ về bài toán nào đó trong thực tế kỹ thuật có ma trận thưa (dạng BAND hay dạng bất kỳ) ?

Ma trận thưa là một ma trận trong đó hầu hết các yếu tố này là không số lượng ko có giá trị nguyên tố chia cho tổng sản lượng của các yếu tố ( vd: m x n)

Ma trận thưa thớt thường xuất hiện trong khoa học và kĩ thuật khi giải quyết các pt vi phân từng phần

Vd 11 12 0 0 0 0 0

1 33 44 0 0 0 0

0 0 55 66 77 0 0

0 0 0 0 0 88 0

0 0 0 0 0 0 99

Ma trận thưa chỉ chứa 9 yếu tố khác 0 với số 0 nguyên tố của nó là 74% và mật độ của

nó là 25%

12 Trình bày cách giải hệ phương trình phi tuyến theo công thức lặp Newton-Raphson?

Từ khai triển taylor cho bài toán 1 biến ta có

Xn+1 = xi – f(xi)/f’(xi) vì f(xi+1)=0

FTổng quát cho bài toán 2 biến

Định thức Jacobien detJ = det ui/xi ui/yi

vi/xi vi/yi

một cách tổng quát cho phương trình: f(x) = 0

với x= [x1, x2, xn] và f [ f1, f2,…fn]

phương pháp lặp Newton- Raphson cho hệ phương trình n ẩn này là:

x(n+1) = x(k) – Fx-1(xk).f(xk) f1/x1 …f1/xn

với ma trận jacobien như sau Fx = f2/x …f2/xn

… …

fn/x1 … fn/xn

Câu 13 Hãy cho một ví dụ cụ thể về ma trận A xác định dương ?

Ma trận đối xứng nxm gọi là xác định dương nếu với mọi vecto khác 0, x thuộc Rn

dạng toàn phương xác định bởi Q(x) = xT Ax chỉ nhận các giá trị dương

Chương 5: Các phương pháp số của đại số tuyến tính

5.1 Phương pháp lặp đơn hệ phương trình

Trong đó: (Bx)i = , x(0) cho trước.

5.2 Phương pháp lặp Seiden

Giả sử cho hệ:  xi = i + với i = 1, 2, , n

Lấy xấp xỉ ban đầu là x1(0) , x2(0) , , xn(0)

Tiếp theo, giả sử ta đã biết xấp xỉ thứ k là xi(k) theo Seiden, ta sẽ tìm xấp xỉ thứ ( k+1) của nghiệm theo công thức:







) 0 (

) 1 m ( )

m (

x

g Bx

x





n 1 j

j

ijx b

Chương 6 NGHIỆM GẦN ĐÚNG CỦA HỆ

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

6.2.1 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp Pica

Mục đích của phương pháp này là xây dựng nghiệm cần tìm là y= y(x)

Từ (6.2.1) ta có:

Hay: (6.2.4)

Giả sử f(x,y) là hàm liên tục theo x,y và < K.

Để tìm xấp xỉ liên tiếp, trong (6.2.4) thay y bằng y0, ta có xấp xỉ thứ nhất: ,

Tương tự có xấp xỉ thứ hai:

Tổng quát, ta có: , với n = 1,2,3,…

Như vậy ta sẽ có:

Sai số: , trong đó = M

Với: < a  , < b   , thì C = min

6.2.2 Phương pháp Euler

Ta có Xi=i.h,yi+1=Yi+h.f(x,y)

Xét phương trình vi phân: u’ = f(x , u)

 ui +1 = ui +

Với sai số:

6.2.4 Phương pháp Adam

Giả sử cần giải phương trình vi phân:

Y’ = f(x , y), với điều kiện ban đầu: y(x0) = y0

Cho biến số thay đổi bởi bước h nào đó; xuất phát từ điều kiện ban đầu Y(x0)

= Y0 bằng phương pháp nào đó (ví dụ: phương pháp Runghe-Kutta bậc 4), ta tìm được 3 giá trị tiếp theo của hàm cần tìm y(x): Y1 = Y(x1) = Y(x0+h), Y2 = Y(x0+2h), Y3 = Y(x0 + 3h)

Nhờ các giá trị x0 , x1 , x2 , x3 và Y0 , Y1 , Y2 , Y3 , ta tính được q0, q1, q2, q3

Trong đó: q0 = h.Y0’ = h.f(x0 , y0), q1 = h.f(x1 , y1), q2 = h.f(x2 , y2),

q3 = h.f(x3 , y3), sau đó ta lập bảng sai phân hữu hạn của các đại lượng y và q

x y y q q 2q 3q

xo yo qo yo q0 x1 y1 q1 2q0 y1 q1 3q0 x2 y2 q2 2q1

y2 q2

x3 y3 q3

-

-

-

-

-

-

-

-Biết các số ở đường chéo dưới, ta tìm y3 theo công thức Adam như sau:

Tiếp đó ta có: Y4 = Y3 + Y3  q4 = h.f(x4, Y4) Sau đó viết đường chéo tiếp theo như sau: q3 = q4 - q3 , 2q2= q3 - q2 , 3q1 = 2.q2 - 2.q Đường chéo mới cho phép ta tính Y4 : Y4 = q4 + 1/2 q3 + 5/12 2q2 + 3/8 3q1 Vì vậy ta có: Y 5 = Y 4 + Y 4 .

1.Ưu nhược điểm của các phương pháp nội suy:

* Nội suy lagrange

+ Ưu : đơn giản

+ Nếu thêm nút nội suy thì phải tính toàn bộ

*Nội suy Newton

+Ưu : khi tăng số nút nội suy ta ko cần tính lại mà chỉ cần bổ sung thêm

+ Nhược: số điểm góc rất lớn, mặc khác có nhiều hiện tượng vật lý thì sẽ gây ra sai

số lớn.

*Phương pháp nội suy spline

+ Ưu: có thể đáp ứng được một số bài trong thực tế phù hợp với hiện tượng vật lý quan sát và không quá phức tạp thuật toán.

+ Nhược: trong thực tế có những hiện tượng chính xác, do đó việc tìm con đường qua các cặp điểm này không hẳn là phù hợp.

2.Trương hợp cụ thể và cách chọn phương pháp nội suy thích hợp:

_ Nội suy Newton: đề cập đến đa thức nội suy khi biết các mẫu quan sát rời rạc (xi;yi) sao cho sao cho mỗi lần bổ sung thêm số liệu thì mẫu kế thừa được đa thức nội suy đã tính trước đó.

_ Nội suy Spline: các đa thức nội suy có bậc rất lớn, có nhiều hiện tượng vật lý khác nhau như sự phân bố.

* Sai số tuyệt đối và sai số tương đối

* Định nghĩa sai số tuyệt đối:

Giá trị ước lượng Δa sao cho:

| a-a0| ≤ Δa (1) được gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a.

Sai số tuyệt đối nhỏ nhất có thể biết được gọi là sai số tuyệt đối giới hạn của a Thông thường ước lượng sai số tuyệt đối giới hạn là rất khó và nhiều khi không cần thiết nên người ta chỉ cần ước lượng sai số tuyệt đối đủ nhỏ và dùng từ 1 đến 3 chữ số có nghĩa (là số chữ số bắt đầu từ chữ số khác không đầu tiên từ trái sang phải) để biểu diễn sai số tuyệt đối của số gần đúng.

Thay cho biểu thức (1) người ta còn dùng biểu diễn sau để chỉ sai số tuyệt đối: a= a0 ± Δa

*Đ ịnh nghĩa sai số tương đối: Sai số tương đối của số gần đúng a (được ký hiệu

là δa) là tỷ số giữa sai số tuyệt đối và giá trị tuyệt đối của nó: δa=Δa/∣a∣ Thường sai số tương đối được biễu diễn dưới dạng % với 2 hoặc 3 chữ số

Dễ thấy: Δa = |a| δa

nên chỉ cần biết một trong hai loại sai số là tính đ ư ợc loại kia.

Khi giải một bài toán phức tạp ta phải thay bài toán đó bằng bài toán đơn giản hơn để có thể tính toán bằng tay hoặc bằng máy Phương pháp thay bài toán phức tạp bằng một phương pháp đơn giản tính được như vậy gọi là phương pháp gần đúng Sai số do phương pháp gần đúng tạo ra gọi là sai số phương pháp

Mặc dầu bài toán đã ở dạng đơn giản, có thể tính toán được bằng tay hoặc trên máy tính, nhưng trong quá trình tính toán ta thường xuyên phải làm tròn các kết quả trung gian Sai số tạo ra bởi tất cả những lần quy tròn như vậy được gọi là sai

số tính toán Trong thực tế việc đánh giá các loại sai số, nhất là sai số tính toán nhiều khi là bài toán rất khó thực hiện

Để hiểu rõ hơn bản chất của sai số phương pháp và sai số tính toán ta xét ví dụ sau:

Công thức này có thể dùng để tính giá trị ex Tuy nhiên đây là tổng vô hạn, nên trong thực tế ta chỉ tính được tổng nghĩa là chúng ta đã dùng phương pháp gần đúng Khi tính tổng Sn ta lại thường xuyên phải làm tròn, do đó ta lại gặp sai số khi tính toán Sn.

1.Trình bày cách giải hệ phương trình phi tuyến theo ct lặp Newton

Ý tưởng:

-Thay ptpt f(x)=0 bằng một pttt với x

-Yêu cầu biết nghiệm xấp xỉ ban đầu

-Dựa trên khai triển taylor

2.Tại sao phương pháp lặp New còn được gọi là phương pháp phi tuyến

Ý chủ đạo của phương pháp Newton là thay phương trình phi tuyến đối với x bằng phương trình gần đúng, tuyến tính đối với x Trước hết ta nhắc lại định lý về khai triển Taylo của một hàm như sau:

Định lý Cho hàm số f(x) xác định và có đạo hàm đến cấp n+1 tại x0 và lân cận của x0 Giả sử h là một giá trị sao cho x0 + h cũng thuộc lân cận này Ta có công thức sau đây được gọi là khai triển Taylor bậc n của f(x) tại x0:

f(x0 +h) = f(x0) + h/1! f'(x0) + h/2! f''(x0) + + h^n/n f^(n)(x0) + h^(n+1)/(n+1)!f^(n+1)(c)

Trong đó c∈ (x0,x0+h)

Dựa vào khai triển Taylo, ta sẽ xác định một hàm ϕ(x) và tìm nghiệm của f(x0)=0 bằng phép lặp: xn+1 = ϕ(xn) Giả sử x là nghiệm đúng của (4.1), còn xn là nghiệm xấp xỉ tại bước lặp thứ n Ta đặt x=xn+Δxn Theo khai triển Taylo ta có f(x) = f(xn + Δxn) = f(xn) + Δxnf'(xn) + !2 2 n Δx f''(c) = 0 Nếu Δxn đủ nhỏ thì ta có công thức gần đúng: f(xn) + Δxnf'(xn) ≈ f(x) = 0

Từ đây Δxn ≈ -f(xn)/f’(xn).

Vì Δxn = x – xn Do đó x ≈ xn -f(xn)/f’(xn).

Và ta suy ra công thức lặp cho phép lặp Newton: xn+1 = xn -f(xn)/f’(xn).

Về ý nghĩa hình học xn+1 chính là giao điểm của tiếp tuyến đường cong y = f(x) tại điểm (xn,f(xn)) với

trục hoành Do đó phương pháp này còn được gọi là phương pháp tiếp tuyến.

3 Ưu nhược điểm pp lặp:

Nhược: khả năng tốc độ hội tụ của phương pháp Newton phụ thuộc nhiều vào giá trị ban đầu Giá trị càng gần nghiệm thực của phương trình thì phương pháp này càng hội tụ nhanh chóng Trong trường hợp xấu (khi vô nghiệm, hoặc khi giá trị không cùng nằm trên một đoạn biến thiên của hàm số) thì phương pháp sẽ khó hội tụ nhanh Trong trường hợp phương trình không có nghiệm, phương pháp này cũng không thể phát hiện.

Một điểm hạn chế nữa là do yêu cầu tính tích phân của hàm số, phương pháp này sẽ khó khăn trong trường hợp việc tính đạo hàm trở nên phức tạp.

PP chia đôi:

Ưu: đơn giản

Nhược: tốc độ hội tụ chậm, không tận dụng được tính chất của hàm số f(x) Dù hàm số có dạng gì thì chúng ta cũng chỉ chia đôi, xét giá trị của hàm tại các điểm chia rồi quyết định chọn đoạn nào để chia tiếp Nếu khoảng [a,b] ban đầu lớn thì phải khá nhiều bước mới đạt được độ chính xác cần thiết.

PP dây cung:

Ưu: là thuật toán đơn giản

Nhược: tuy có nhanh hơn thuật toán chia đôi nhưng vẫn còn hội tụ chậm, chỉ hội tụ tuyến tính.

PP Newton Nhờ việc sử dụng đạo hàm của hàm số f(x) nên nói chung phương pháp Newton hội tụ nhanh

hơn phương pháp chia đôi và phương pháp dây cung

Nhược: Khả năng tốc độ hội tụ của phương pháp Newton phụ thuộc nhiều vào giá trị ban đầu xo Giá trị xo càng gần nghiệm thực của phương trình thì phương pháp này càng hội tụ nhanh chóng Trong trường hợp xấu (khi f(x)=0 vô nghiệm, hoặc khi giá trị x0 không cùng nằm trên một đoạn biến thiên của hàm số) thì phương pháp sẽ khó hội tụ nhanh Trong trường hợp phương trình không có nghiệm, phương pháp này cũng không thể phát hiện.

Một điểm hạn chế nữa là do yêu cầu tính tích phân của hàm số, phương pháp này sẽ khó khăn trong trường hợp việc tính đạo hàm trở nên phức tạp.

PP lặp đơn

Ưu: Phương pháp lặp đơn có tính chất tự điều chỉnh, nghĩa là nếu tại một vài bước tính toán trung gian ta mắc phải sai số thì dãy  n n 0, x   vẫn hội tụ đến * x , tất nhiên chỉ một vài bước sai và sai số mắc phải không vượt ra ngoài đoạn Một tính chất đặc biệt của phép lặp này là có thể đánh giá ngay từ đầu số bước lặp mà ta cần phải làm để có được độ chính xác theo yêu cầu.

Nhược: không có phương pháp để tìm phương trình tương đương.

1 Ma trận xác định dương:

Ma trận [A] gọi là xác định dương nếu với vec tơ [x] bất kì ta có: [ X]^T [A ][X ]>0

Ma trận đối xứng là xác định dương nếu và chỉ nếu mọi trị riêng của nó có giá trị dương,

VD: 1 -1 1;-1 2 -2;1 -2 3.

2 Ưu nhược điểm của các phương pháp giải hệ đại tuyến:

_ Pp trực tiếp:

-Pp khử Gass:

+Ưu: thuật toán dễ hiểu, cách thức đơn giản

+Nhược: số lượng vòng lặp nhiều, độ phức tạp bài toán cao

Time chạy ctrinh kéo dài, đối với các ma trận lớn kq còn k chính xác

-Pp LU:

+Ưu: hạn chế đc time chạy của pp Gass, time rút ngắn 1 nửa, số vòng lặp giảm 1 nửa

+Nhược: vẫn mắc lỗi của Gauss về độ chính xác đối với mt hệ số lớn

Sử dụng thêm 1 MT để lưu các bước khai triển Gauss gây lãng phí thêm 1 lượng ổ nhớ= vs MT đã chọn.

_Pp lặp:

-LẶp đơn: