Toán chuyên ngành kỹ thuật điện (chương 2b)

Thật vậy, nghịch ảnh điểm w ≠ gồm vơ số điểm, z thuộc nghịch ảnh w , tức ez = w điểm z = 2jkπ thuộc nghịch ảnh w ez+2jkπ = ez y v 2π C2 C2 O O u x Hàm loga: a Định nghĩa: hàm ngược hàm z = ew gọi hàm loga kí hiệu là: w = Lnz b Phần thực phần ảo hàm w = Lnz: Đặt w = Lnz = u+ jv, theo định ta có: eu+jv = z Vậy eu = | z | hay u = ln| z | v = Argz Tóm lại: w = Lnz = ln| z | + jArgz (9) hay: w = ln| z | + j(argz + 2kπ) (10) Hàm w = Lnz hàm đa trị Với giá trị z có vơ số giá trị w Các giá trị có phần thực phần ảo bội số nguyên 2π Ảnh điểm z điểm w nằm đường thăng song song với trục ảo cách đoạn có độ dài bội số nguyên 2π b Tách nhánh đơn trị: Để tách nhánh đơn trị hàm w = Lnz, ta làm sau Trong công thức (10) ta giả sử k = k1 số nguyên cố định Khi ta có nhánh đơn trị hàm loga kí hiệu (w)1 Nhánh biến miền -π < argz < π mặt phẳng z (tức mặt phẳng z với lát cắt dọc theo nửa trục x < 0) lên băng (2k11)π < Imz < (2k1+1)π mặt phẳng w Nếu không vẽ lát cắt từ điểm z = ∞, điểm z vạch nên đường cong kín quanh gốc O theo hướng dương, argumen z tăng thêm 2π, ta từ nhánh đơn trị sang nhánh đơn trị khác Vậy điểm O điểm rẽ nhánh hàm đa trị w = Lnz đặc biệt, (10) ta chọn k = nhánh đơn trị gọi nhánh hàm đa trị w = Lnz Nhánh kí hiệu lnz: lnz = ln| z | + jargz (11) Nếu z số thực dương z = x > argz = 0, | z | = x nên lnz = lnx, nghĩa giá trị hàm loga trùng với hàm biến thực lnx Nói khác đi, lnz thác triển hàm thực lnx , từ trục thực x >0 mặt phẳng phức z Ví dụ: Tính Ln(-1); ln(-1) ; ln(1 + j) ; Lnj * Ln(-1) = ln| -1 | + j[arg(-1) + 2kπ] = j(π + 2kπ)= j(2k + 1)π * ln(-1) = ln| -1 | + jarg(-1) = jπ 38 π π π nên ln(1 + j) = ln + j = ln2 + j 4 π ⎛π ⎞ * Vì | j | = ; argj = nên Ln = j⎜ + 2kπ ⎟ ⎝2 ⎠ d Tính chất giải tích: Nhánh đơn trị w = lnz hàm giải tích mặt phẳng phức, bỏ lát cắt dọc theo nửa trục x < Theo cơng thức tính đạo hàm hàm ngược ta có: 1 (ln z)′ = w = w = (e )′ e z e Các phép tính: Hàm Lnz có tính chất: Ln (z1.z ) = Lnz1 + Lnz * Vì | + j | = Ln ; arg(1 + j) = z1 Lnz1 − Lnz z2 (12) Ln (z n ) = nLnz + jkπ Ta chứng minh, chẳng hạn, công thức đầu: Ln(z1.z ) = ln z1.z + jArg(z1.z ) = ln z1 + ln z + j Argz1 + Argz [ = (ln z1 + jArgz1 ) + (ln z + jArgz ) = Lnz1 + Lnz Hàm lượng giác: a Định nghĩa: Từ cơng thức Euler ta có: e jy + e − jy cos y = e jy + e − jy ⇒ cos y = jy e − e − jy − jy jy sin y = e − e ⇒ sin y = 2j Các hàm lượng giác biến số phức định nghĩa sau: e jz + e − jz e jz − e − jz cos z = sin z = 2j − jz ] (13) − jz sin z e −e cos z e + e = cot gz = = jz − jz cos z j(e + e ) sin z e jz − e − jz Vì ejz e-jz hàm đơn trị nên hàm lượng giác biến phức hàm đơn trị b Đạo hàm hàm lượng giác: Vì ejz e-jz hàm giải tích tồn C nên hàm lượng giác biến phức w = cosz w = sinz hàm giải tích tồn C Ta có: jz 1 (sin z)′ = (e )′ − (e − jz )′ = je jz + je − jz = e jz + e − jz = cos z 2j 2j Tương tự ta có: (cosz)’ = -sinz jz tgz = [ jz ] [ ] [ ] 39 Hàm w = tgz giải tích điểm có cosz ≠ Xét phương trình cosz = Ta có: cos z = = e jz = −e − jz hay: e2jz = ejπ Do đó: 2jz = jπ + 2jkπ Phương trình có nghiệm là: π z = + kπ π Như tgz giải tích điểm z ≠ + kπ Ta dễ dàng tính được: ( tgz)′ = cos z Tương tự : (cot gz)′ = − sin z c Tính chất: Hàm lương giác biến số phức có tính chất sau: cos(-z) = cosz sin(-z) = -sinz tg(-z) = -tgz cos(z + 2π) = cosz sin(z + 2π) = sin z trong(z + π) = tgz 1 Thật vậy: cos( − z ) = [e j( − z ) + e − j( − z ) ] = [e − jz + e jz ] = cos z 2 1 cos( z + 2π) = [e j( z+2 π ) + e − j( z+ π ) ] = [e − jz + e jz ] = cos z 2 2jπ -2jπ e =e =1 Tương tự ta chứng minh tính chất cịn lại d Các phép tính: Ta có công thức quen biết: sin2z + cos2z = sin(z1 + z2) = sinz1cosz2 + sinz2cosz1 cos2z = cos2z - sin2z (15) z + z2 z + z2 sin z1 + sin z = sin cos 2 Ta chứng minh, chẳng hạn, công thức đầu tiên: sin2z + cos2z = cos2z - j2sin2z = (cosz + jsinz)(cosz - jsinz) = ejz.e-jz = Ví dụ 1: Tính cosj Theo định nghĩa: e −1 + e1 ⎛ ⎞ cos j = = ⎜ + e ⎟ ≈ 1,543 2⎝e ⎠ Qua ví dụ ta thấy có số phức có | cosz | > Điều xảy số thực Ví dụ 2: Giải phương trình sinz = sinzo với zo số phức cho trước Phương trình viết thành: sinz - sin zo = 0, hay: z − zo z + zo sin z1 − sin z o = sin cos =0 2 40 Cho sin z − zo Cho cos z + zo = ta có = ta có z − zo z + zo = kπ Vậy nghiệm phương trình z = zo + 2kπ = π + kπ , nghiệm phương trình z =π - zo + 2kπ Tóm lại nghiệm phương trình là: z = zo + 2kπ z = π - zo + 2kπ 10 Hàm hyperbol: a Định nghĩa: Các hàm hyperbol biến phức định nghĩa theo công thức sau: ez + e−z ez − e−z shz chz chz = shz = thz = coth z = (16) chz shz 2 Những hàm thác triển hàm hyperbol biến thực từ trục thực mặt phẳng phức Dễ dàng thấy hàm chz hàm chẵn hàm shz, thz, cothz hàm lẻ Vì ez tuần hồn với chu kì 2jπ nên hàm shz chz tuần hồn với chu kì 2jπ Hàm thz tuần hồn với chu kì jπ Thật vậy: shz e z − e − z e z − thz = = = (17) chz e z + e −z e z + Dễ dàng kiểm tra thấy th(z + jπ) = thz b Các phép tính: Ta có cơng thức giống giải tích thực: ez = chz + shz e-z = chz - shz ch2z - sh2z = (18) sh(z1 + z2) = shz1chz2 + shz2chz1 ch2z = ch2z + sh2z c Quan hệ với hàm lượng giác: Từ định nghĩa ta suy ra: sinjz = jshz cosjz = chz d Tách phần thực phần ảo hàm lượng giác hàm hyperbol: Ta có: sinz = sin(x + jy) = sinxcosjy + sinjycosx = sinxchy + jshycosx Tương tự: cosz = cosxchy - jsinxshy shz = shxcosy + jsinychx (20) chz = chxcosy + jsinxshy e Đạo hàm hàm hyperbol: Các hàm w = shz w = chz giải tích tồn mặt phẳng có đạo hàm: (shz)’ = chz (chz)’ = shz Hàm w = thz giải tích tồn mặt phẳng trừ điểm z mà e2z + = hay e2z = -1 = e2π, tức là: 41 ⎛π ⎞ z = j⎜ + kπ ⎟ ⎝2 ⎠ Ta có: ( thz )′ = ch z Ví dụ 1: Tính sin(1 - 2j) Ta có: sin(1 - 2j) = sin1.cos2j - sin2jcos1 = sin1.ch2 - jsh2.cos1 Theo (19) cos2j = ch2, sin2j = sh2 Tra bảng số ta có sin1 ≈ sin57o19’ ≈ 0,8415 cos1 ≈ 0,5463 ch2 ≈ 3,7622 sh2 ≈ 3,6269 Kết là: sin(1 - 2j) = 0,8415×3,7622 - j×0,5463×3,6269 = 3,1659 - 1,9595j π π Ví dụ 2: Cho phép biến hình w = sinz Tìm ảnh băng − < x < 2 Trước hết ta tìm ảnh đường thẳng x = C Theo (20): u(x, y) = Re(sinz) = sinxchy v(x, y) = Im(sinz) = cosxshy nên phương trình tham số đường thẳng x = C là: ⎧u ( x, y) = sin Cchy y tham số -∞ < y < ∞ (21) ⎨ v( x, y) = cos Cshy ⎩ Nếu C = phương trình (21) biểu diễn trục ảo u Nếu C ≠ biểu diễn cung hyperbol Thật vậy, khử C (21) ta được: u2 v2 − =1 (22) sin C cos C π cung hyperbol bên trái Ta cung hyperbol bên phải < C < π − < C < Hyperbol (22) có tiêu trục trục thực, tiêu điểm F1(w = -1) F2(w = 1), bán trục | sinC | | cosC | Tiệm cận cặp đường thẳng v = ±cotgCu π π π π Cho C biến thiên từ − đến , đường thẳng x = C quét băng − < x < Ảnh 2 2 π π C mặt phẳng w quét nên miền G ảnh băng − < x < Chú ý 2 π theo (21) ảnh đường thẳng x = có phương trình tham số u = chy, v = π tia F2u.Tương tự ta có ảnh đường thẳng x = − tia F1u’ Vậy miền G mặt phẳng w bỏ hai tia F2u F1u’ y v 42 11 Hàm lượng giác ngược:Hàm ngược z = sinw kí hiệu w = Arcsinz Ta có: e jw − e − jw e jw − z = sin w = = 2j je jw hay: e2jw - 2jzejw - = Ta xem phương trình bậc hai ejw Giải ta có: e jw = jz + − z Vậy hay: ( ( jw = Ln jz + − z w = Ln jz + − z j ) ) Như vậy: w = Arc sin z = − jLn ( jz + − z ) (23) Tính đa trị hàm w = Arcsinz suy từ tính lưỡng trị thức tính đa trị hàm loga Tương tự ta định nghĩa: w = Arccosz hàm ngược z = cosw w = Arctgz hàm ngược z = tgw w = Arccotgz hàm ngược z = cotgw Lập luận tương tự ta có: w = Arc cos z = − jLn (z + z − 1) j + jz (24) w = Arctgz = − Ln − jz j z− j w = Arc cot gz = Ln z+ j Ví dụ 1: Tính Arcsinj Theo (23) ta có: Arc sin j = jLn(−1 ± ) Nếu trước lấy dấu + ta có: Arc sin j = jLn(−1 + 2n ) = j ln( − 1) + j(0 + 2kπ) = 2kπ − j ln( − 1) Nếu trước lấy dấu - ta có: Arc sin j = − jLn(−1 − ) = − j ln( + 1) + j(π + 2kπ) = 2(k + 1)π − j ln( + 1) [ ] [ ] 43 Viết gộp lại ta có: Arc sin j = nπ − j ln − (−1) n n nguyên [ ] Ví dụ: Tính Arctg2j Theo (24) ta có: j⎡ j ⎛ 1⎞ j 1− ⎤ (2k + 1)π ln = − Ln⎜ − ⎟ = − ⎢ln + j(π + 2kπ)⎥ = Arctg2 j = − Ln +j 2 2⎣ ⎝ 3⎠ 1+ ⎦ Ví dụ 2: Giải phương trình 4cosz + = ⎛ 5 25 ⎞ ⎛ 5⎞ ⎛ 3⎞ − ⎟ = − jLn⎜ − ± ⎟ Ta có: cos z = − , z = Arc cos⎜ − ⎟ = − jLn⎜ − ± ⎜ 4 16 ⎟ ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ ⎠ Nếu trước lấy dấu + ta có: ⎛ 3⎞ ⎛ 1⎞ ⎡ ⎤ z = − jLn⎜ − + ⎟ = − jLn⎜ − ⎟ = − j⎢ln + j(π + 2kπ)⎥ = (2k + 1)π + j ln ⎝ 4⎠ ⎝ 2⎠ ⎣ ⎦ Nếu trước lấy dấu - ta có: ⎛ 3⎞ z = − jLn⎜ − − ⎟ = − jLn(− 2) = − j[ln + j(π + 2kπ)] = (2k + 1)π − j ln ⎝ 4⎠ Tóm lại: z = (2k + 1)π ± j ln 12 Hàm hyperbol ngược: Ta gọi w = Arshz hàm ngược z = shw w = Arshz hàm ngược z = shw w = Arshz hàm ngược z = shw Biểu diễn hàm qua logarit ta có: Arshz = Ln (z + z + 1) Archz = Ln (z + z − 1) 1+ z Archz = Ln 1− z ⎛π ⎞ Ví dụ: Arshj = Lnj = j⎜ + 2kπ ⎟ ⎝2 ⎠ 13 Hàm luỹ thừa phức tổng quát w = zn: Giả sử a số phức bất kỳ, a = α + jβ Ta định nghĩa: za = eaLnz (25) jϕ Đặt z = re ta có: Lnz = lnr + j(ϕ + 2kπ) Do đó: za = eαlnr-β(ϕ+2kπ)ej[(αϕ+2kπ)+βlnr] Trong k số nguyên tuỳ ý Từ biểu thưc ta thấy, β ≠ hàm za có vơ số trị.Toạ vị chúng nằm đường tròn | w | = eαlnr-β(ϕ+2kπ) , k = 0, ±1, ±2, ±3, 44 argumen chúng là: α(ϕ + 2kπ) + βlnr , , k = 0, ±1, ±2, ±3, Nếu β = 0, nghĩa a số thực toạ vị za nằm vịng trịn | w | = eαlnr = rα argumen zα αϕ + 2kπα p Có thể chứng minh α số hữu tỉ, chẳng hạn α = , có q q α α toạ vị khác z Trong trường hợp hàm w = z hữu hạn trị Nếu α số vơ tỷ hàm w = zα vơ số trị Ta có thẻ tách nhánh đơn trị hàm w = za Điểm z = điểm rẽ nhánh Ví dụ: Tìm jj 32+j Theo định nghĩa ta có: ⎛π ⎞ j⎜ + kπ ⎟ j ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ −⎜ + kπ ⎟ ⎝2 ⎠ j =e =e =e 2+ j ( 2+ j) Ln ( 2+ j)(ln 3+ jkπ ) =e =e = e ( ln 3−2 kπ )+ j(ln 3+ kπ ) = e ( ln 3−2 kπ ) [cos(ln 3) + j sin(ln 3)] j jLnj §3.  MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ PHÉP BIẾN HÌNH BẢO GIÁC Muốn làm tốn phép biến hình bảo giác ta phải biết vận dụng phép biến hình Nếu phép đồng dạng, ta dùng hàm tuyến tính Muốn biến cung trịn thành cung trịn (hay đường thẳng) ta dùng hàm phân tuyến tính Muốn biến góc thành nửa mặt phẳng ta dùng hàm luỹ thừa Muốn biến băng song song với trục thực lên nửa mặt phẳng ta nghĩ tới hàm mũ Công thức Schwartz - Christophell cho phép biến đa giác thành nửa mặt phẳng Hàm Giucovski biến miền đường tròn đơn vị lên mặt phẳng bỏ lát cắt dọc theo đoạn [ -1, ] π Ví dụ 1: Tìm phép biến hình đơn diệp bảo giác biến miền hình quạt < arg z < jπ 12 lên hình trịn đơn vị | w | < cho ảnh điểm z1 = e , z = điểm w1 = w2 = j v y w ω B z O1 u π/6 O x O A A B 45 π lên nửa mặt phẳng ω ( < arg z < π ) Mặt khác ta lại biết phép biến hình, biến nửa mặt phẳng lên hình trịn đơn vị | w | < là: ω−a w = e jϕ ω− a π Vậy phép biến hình miền quạt < arg z < lên hình trịn đơn vị có dạng 6 z −a w = e jϕ z −a Ta xác định ϕ a cho điều kiện phụ thỏa mãn Từ w(ejϕ/12) = hay Dễ dàng thấy hàm ω = z6 biến miền quạt < arg z < w =e jϕ jπ e −a jπ jπ = suy a = e = j, a = − j Vậy: e −a z6 − j z6 + j Cuối cùng, phép biến hình phải tìm là: z6 − j w = −j z +j Ví dụ 2: Tìm phép biến hình, biến nửa mặt phẳng hình trịn đơn vị G={| z | < Imz > 0} lên mặt phẳng y ′ A1 B z B1 ζ A’ A ′ A1 O A1 x O -1 w = e jϕ v A′2 A2 O w ω A′2 B2 O1 u 46 z −1 biến điểm z = thành điểm ζ = 0, điểm z = -1 z +1 thành điểm ζ = ∞ Như đoạn AA’ biến thành nửa trục thực âm Do tính chất z −1 bảo giác, cung tròn ABA’ biến nửa trục ảo Vậy hàm ζ = biến z +1 π π miền G thành góc phần tư thứ hai < arg ζ < π Thực phép quay góc − 2 quanh gốc toạ độ phép biến đổi ω = -jζ ta góc phần tư thứ π < arg ζ < Sau ta đặt w = ω2 ta tăng góc đỉnh A lên gấp đơi để biến thành nửa mặt phẳng Imw > Tóm lại phép biến hình phải tìm là: ⎛ z −1⎞ 2 w = (− jζ ) = −ζ = −⎜ ⎟ ⎝ z + 1⎠ Ví dụ 3: Tìm phép biến hình bảo giác biến miền G ⎧ z ⎩ tức miền giới hạn đường tròn đơn vị tâm O đường tròn tâm w = 0.5j, bán v kính 0.5, thành miền D băng -1 < Rew < Ta dùng hàm phân tuyến tính ζ = B(j) y z w ζ I A A’ B1 A′2 ′ A1 x CR -1 O1 u O B’ Nếu ta dùng hàm phân tuyến tính biến điểm z = j thành điểm w = ∞ hai j đường trịn | z | =1 z − = biến thành hai đường thẳng song song Hàm phân 2 tuyến tính chọn ζ = z− j 1 j −1 Ta có ζ (1) = = (1 + j), ζ (−1) = = (− + j), ζ (0) = j, ζ (− j) = 1− j 1+ j 2 Từ ta suy ảnh đường tròn | z | = đường thẳng Im ζ = , ảnh đường 47 tròn z− j = đường thẳng Im ζ = Miền G biến thành băng 2 < Im ζ < Bây ta cần thực phép đồng dạng tức phép biến hình tuyến tính để biến miền D thành mặt phẳng w: 3j⎞ ⎛ w = j⎜ ζ − ⎟ = jζ + 4⎠ ⎝ 3z + j Tóm lại w = j phép biến hình phải tìm +3= z− j z− j Ví dụ 4: Trong mặt phẳng z cho cung tròn AB: A toạ vị z = a, B toạ vị z = -a, trung điểm H cung tròn AB tạo vị z = jh Trong mặt phẳng w cho đường tròn Γ qua hai điểm w = ±a tâm w = jh Hãy tìm phép biến hình bảo giác biến miền G cung AB(tức mặt phẳng z có lát cắt dọc theo cung AB) thành miền D miền bên ngồi hình trịn Γ Chú ý với giả thiết cho , tiếp tuyến mút B với cung AB tạo với trục h Ox góc (π - α) với α = arctg Còn mặt phẳng w tiếp tuyến với đường tròn a ⎛π−α⎞ Γ w = a tạo với trục Ou góc ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ z−a Ta dùng hàm ζ = biến cung AB thành tia B1A1 mặt phẳng ζ Qua z+a phép biến hình ảnh B B1 trùng với gốc toạ độ Ảnh A A1 = ∞ Vì dζ dζ = > arg = nên tia A1B1 nghiêng với trục thực góc dz z=a 2a dz z=a (π-α) Qua phép biến hình này, miền ngồi cung trịn AB biến thành miền G1 miền tia B1A1 (tức mặt phẳng ζ có lát cắt dọc theo A1B1) v y A a O Γ π-α H(jh) α/2 B -a E w π/2-α/2 x N(-a) O1 α/2 u C(a) z 48 A1 N1 ζ E1 π/2-α/2 O η-α C1 O B1 ω N1 Về phía mặt phẳng w, ta thực phép biến hình phân tuyến tính để biến cung trịn Γ thành đường thẳng Phép biến hình chọn là: w −a ω= w+a Qua phép biến hình này, đường trịn Γ biến thành đường thẳng C1E1N1 qua gốc dζ = > nên Ảnh C C1 trùng với gốc toạ độ Ảnh N N1 = ∞ Vì dw w =a 2a ⎛π−α⎞ đường thẳng C1E1N1 tạo với trục thực góc ⎜ ⎟ Miền ngồi đường tròn ⎝ ⎠ Γ biến thành miền D1 nửa mặt phẳng ω nằm bên phải đường thẳng N1C1E1 Nhờ phép biến hình ζ = ω2 miền D1 biến thành miền G1 Qua phép bình phương đường thẳng C1N1 gộp lại thành tia B1A1 Tóm lại, miền G bên ngồi cung trịn AB mặt phẳng z biến thành miền D miền đường trịn Γ nhờ phép biến hình: z−a ⎛w −a⎞ =⎜ ⎟ z+a ⎝w+a⎠ Từ rút ra: 1⎛ a2 ⎞ z = ⎜ w + ⎟ hay w = z + z − a 2⎜ w⎟ ⎝ ⎠ Ví dụ 5: Tìm phép biến hình biến miền D = { -V < Imw < V } mặt phẳng w lên miền G mặt phẳng z bỏ hai lát cắt Imz = ±jh Rez < Ta tìm phép biến hình biến băng < Imw < V lên nửa mặt phẳng Imw > bỏ lát cắt I = jh cho ảnh trục thực Imw = Imz = Sau dùng ngun lí đối xứng v E w C V O1 B Cu A1 A1 E1 ω C1 π O B1 C1 49 y z ζ C2 E2 O A2 B2 C2 C3 A3 A3 E3 O jh B3 C3 x π w biến băng < Imw < V thành V băng < Imω lên nửa mặt phẳng Imw > 0, bỏ lát cắt Imz = jh, ta dùng hàm : h z = (ζ + + ln ζ ) π Qua phép biến hình nửa trục thực dương mặt phẳng ζ biến thành trục thực mặt phẳng z Tóm lại để biến băng < Imw < V lên nửa mặt phẳng Imz > 0, bỏ lát cắt Imz = jh, Rez < 0, ta dùng phép biến hình: πw πw ⎞ h ω h⎛ V ω ⎜e +1+ ⎟ z = (e + + ln e ) = ⎜ (17) V ⎟ π π⎝ ⎠ Dùng nguyên lí đối xứng ta thấy phép biến hình (17) biến băng -V < Imw < V lên miền G Trước hết ta dùng phép biến hình tuyến tính ω = 50