Toán chuyên ngành kỹ thuật điện (chương 6a)

CHƯƠNG 6: PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE   §1 PHƯƠNG PHÁP CỦA PHÉP TÍNH TỐN TỬ Cho hai tập hợp A B Một ánh xạ T cho ứng phần tử A với phần tử xác định B, kí hiệu Tx, gọi tốn tử Phần tử Tx gọi ảnh x x gọi gốc hay nghịch ảnh Tx Ví dụ: Nếu A = B = R tốn tử T hàm số thực biến số thực Nếu A tập hợp số thực dương B = R Ánh xạ cho số a ∈ A thành số thực thuộc B Ta = lna gọi toán tử logarit Nhờ có tốn tử loga mà phép nhân gốc chuyển thành phép cộng ảnh: (1) T(a1.a2) = Ta1 + Ta2 Do muốn tính tích a1.a2, ta tìm ảnh theo (1) sau dùng bảng logarit tra ngược lại Cho A tập hợp hàm dao động hình sin có tần số góc ω, B tập hợp hàm biến số thực t lấy giá trị phức Cho ứng hàm v(t) = Vsin(ωt +ϕ) ∈ A với hàm Tv ∈ B theo công thức: Tv = V.ej(ωt + ϕ) toán tử Nhờ toán tử mà phép tính đạo hàm tích phân gốc chuyển thành phép tính đại số ảnh Trong chương ta nghiên cứu toán tử Laplace Bài tốn đặt biết gốc, tìm ảnh tốn tử Laplace ngược lại biết ảnh hàm, tìm lại gốc §2 ĐỊNH NGHĨA HÀM GỐC Ta gọi hàm f(t) biến thực t hàm gốc thoả mãn điều kiện sau: • Hàm f(t) liên tục khúc t ≥ 0, nghĩa lấy khoảng [a, b] nửa trục t ≥ 0, chia thành số hữu hạn khoảng nhỏ cho khoảng nhỏ f(t) liên tục mút khoảng nhỏ có giới hạn phía • Khi t → +∞, hàm f(t) tăng không nhanh hàm mũ, nghĩa tồn số M>0, so ≥ cho: f ( t ) ≤ Me s o t ∀t > (2) so gọi số tăng f(t) • f(t) = t < Điều kiện đặt ứng dụng thực tế t thường thời gian Ví dụ 1: Hàm: η( t ) = t < t > hàm gốc Thật | η(t) | ≤ nên điều kiện thoả mãn chọn M = 1, s0 = 0; dễ dàng kiểm tra điều kiện Ví dụ 2: Hàm: { 98 { t < f ( t ) = η( t ) sin t = sin t t > hàm gốc Thật | η(t).sint | ≤ nên điều kiện thoả mãn chọn M = 1, s0 = 0; dễ dàng kiểm tra điều kiện Ví dụ 3: Hàm: t < f ( t ) = η( t ).t = ⎧ ⎨ t t > ⎩ hàm gốc Thật | η(t).t2 | ≤ 2et nên điều kiện thoả mãn chọn M = 2, s0 = 1; dễ dàng kiểm tra điều kiện Quy ước: • Ta viết ϕ(t) thay cho η(t).ϕ(t) • giới hạn phải f(t), tức t → + viết f(0) §3 ĐỊNH LÝ CƠ BẢN Nếu f(t) hàm gốc có số tăng s0 tích phân: +∞ F( p) = ∫ e − pt f ( t )dt (3) p = s + jσ tham số phức hội tụ miền Rep = s > so (nửa mặt phẳng phức bên phải đường thẳng s = so) Tích phân (3) hàm biến số phức p Hàm biến phức F(p) giải tích miền Rep > so dần tới p → ∞ cho Rep = s → +∞ Chứng minh: Lấy p thuộc miền Rep > so, ta chứng minh tích phân (3) hội tụ Muốn ta chứng minh thừa nhận tích phân trội hội tụ tuyệt đối Thật f ( t ) ≤ Me s o t nên f ( t )e − pt ≤ Me s o t e − st = Me ( s o − s ) t Do đó: +∞ ∫ f ( t ).e − pt +∞ dt ≤ M ∫ e Vì s0 - s < nên lim e (s o −s ) t t → +∞ +∞ ∫ f ( t ).e − pt dt ≤ (so −s) t Me ( s o − s ) t dt = so − s +∞ = Do đó: M so − s (4) Điều chứng tỏ (3) hội tụ Khi p = s + jσ → +∞ cho s →+∞ M → nên so − s F(p) → Ta phải chứng minh F(p) giải tích miền Rep > so Muốn ta chứng minh +∞ đạo hàm F(p) tồn tại điểm miền Xét tích phân ∫ − t.e − pt f ( t )dt thu +∞ cách lấy đạo hàm cách hình thức ∫e − pt f ( t )dt dấu tích phân 99 Trong nửa mặt phẳng Rep ≥ s1 với s1 lớn so tích phân thừa nhận tích phân trội hội tụ không phụ thuộc tham số p: +∞ +∞ +∞ M (so −s) t − pt (5) dt < M ∫ t.e ( s o − s1 ) t dt = ∫ f ( t ).e dt ≤ M ∫ t.e (s1 − s o )2 0 Vậy theo định lý Weierstrass, tích phân hội tụ p miền vµ đạo hàm F(p) Tóm lại: +∞ F′( p) = ∫ − te − pt f ( t )dt (6) §4 ĐỊNH NGHĨA TỐN TỬ LAPLACE Tốn tử Laplace, cịn gọi phép biến đổi Laplace Nếu f(t) hàm gốc hàm F(p) xác định tích phân (3) hàm giải tích nửa mặt phẳng Rep>so Ta gọi ảnh f(t) qua phép biến đổi Laplace f(t) kí hiệu: F(p) = L{ f(t) } hay f(t) = F(p) Ta có: +∞ L{f ( t )} = ∫ e − pt f ( t )dt (7) Chú ý: ® Các điều kiện định nghĩa hàm gốc f(t) điều kiện đủ để ảnh tồn hàm gốc điều kiện cần Chẳng hạn hàm f ( t ) = t +∞ 1 lim = ∞ Tuy tích phân ∫ e − pt dt tồn t → +0 t t • Khơng phải hàm phức F(p) có nghịch ảnh hàm gốc Chẳng hạn F(p) = p2 ảnh hàm gốc lim F( p) = ∞ Điều mâu thuẫn p→∞ với kết luận định lí • Nếu F(p) giải tích ∞ F(p) → p → ∞ cách trường hợp p → ∞ cho Rep → +∞ Ví dụ 1: Tìm ảnh qua phép biến đổi Laplace (gọi tắt ảnh) hàm η(t): η( t ) = t < t > { e − pt L{f ( t )} = F( p) = ∫ e dt = − p +∞ ∞ − pt e − ( s + jσ ) t =− p p -st ∞ e − st e − jσt =− p p e (a −p) t at − pt (a − p) t dt = Ta có F( p) = ∫ e e dt = ∫ e a−p 0 (a-p)t Khi t → e Vậy: +∞ -st Nếu Rep = s > t → ∞, e → 0; t → 0, e → Vậy: F(p) = p Ví dụ 2: Tìm ảnh hàm f(t) = eat a = α + jβ = const +∞ ∞ (8) ∞ → Nếu Rep>Rea (s>α) t → +∞, e(a-p)t = e(α-s)tej(β−σ)t→ 100 p−a Ví dụ 3: Tìm ảnh f(t) = t F( p ) = (9) te − pt + ∞ − pt F( p) = ∫ te dt = − ∫ tde = − p p 0 +∞ ∞ − pt -pt -pt Khi t → e → Khi t → +∞, e F( p ) = p Ví dụ 4: Tìm ảnh f(t) = tn e − pt + ∞ − pt + ∫ te dt = − p p n → Vậy: + ∞ n − pt t n e − pt F( p) = ∫ t e dt = − ∫ t de = − p p Sau n lần tích phân phân đoạn ta có: n! F( p ) = n + p +∞ ∞ ∞ − pt + ∞ n −1 − pt + ∫ t e dt p §5 CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Tính chất tuyến tính toán tử: Giả sử f(t) g(t) hai hàm gốc A B hai số thực hay phức Nếu f(t) = F(p), g(t) = G(p) thì: (10) Af(t) + B g(t) = F(p) + G(p) Thật theo định nghĩa: +∞ L{Af ( t ) + Bg( t )} = ∫ e − pt [Af ( t ) + Bg( t )]dt Do tính chất tuyến tính tích phân ta có: +∞ +∞ ∫ e [Af ( t ) + Bg( t )]dt = A ∫ e − pt 0 − pt +∞ f ( t )dt + B ∫ e − pt g( t )dt Nhưng theo giả thiết : +∞ ∫e − pt f ( t )dt = F( p) ∫e − pt g( t )dt = G( p) +∞ Thay vào ta có: L{Af ( t ) + Bg( t )} = AF( p) + BG( p) Ví dụ 1:Tìm ảnh f(t) = sinat cosat Theo cơng thức Euler ta có: e jat − e − jat 1 sin at = = e jat − e − jat 2j 2j 2j Nhưng theo (9): 101 1 ; e − jat ↔ p − ja p + ja Sử dụng tính chất tuyến tính ta được: 1⎡ 1 ⎤ a sin at ↔ ⎢ − ⎥ = p2 + a 2 j ⎣ p − ja p + ja ⎦ ejat = 1⎡ 1 ⎤ a − = 2 j ⎢ p − ja p + ja ⎥ p + a ⎣ ⎦ jat − jat e +e 1 Tương tự cos at = = e jat + e − jat 2 1⎡ 1 ⎤ p + cos at ↔ ⎢ ⎥ = p2 + a 2 ⎣ p − ja p + ja ⎦ Ví dụ 2: Tìm ảnh ch(at) sh(at) e at + e − at at − at chat = = e + e 2 at − at e e 1 shat = = e at − e − at 2 1⎡ 1 ⎤ p + chat ↔ ⎢ ⎥ = p2 − a 2 ⎣p − a p + a⎦ (11) L{sin at } = 1⎡ 1 ⎤ a − = 2 ⎢p − a p + a⎥ p − a2 ⎣ ⎦ Ví dụ 3: Tìm ảnh sin(ωt + ϕ) cos(ωt + ϕ) Ta có sin(ωt + ϕ) = sinωtcosϕ + sinϕcosωt Do tính chất tuyến tính: ω p p sin ϕ + ω cos ϕ + cos ϕ = sin(ωt + ϕ) ↔ sin ϕ 2 p +ω p +ω p + ω2 p cos ϕ − ω sin ϕ Tương tự: cos(ωt + ϕ) ↔ s = p + ω2 Ví dụ 4: Tìm ảnh sin3t Ta có: sin t = (3 sin t − sin 3t ) 1⎛ 3 ⎞ 3⎛ 1 ⎞ − − Vậy: sin t ↔ ⎜ ⎟ ⎟= ⎜ ⎝ p +1 p + ⎠ ⎝ p +1 p + ⎠ shat ↔ (12) (13) (14) Tính chất đẳng cấp: Nếu L{ f(t) } = F(p) L{ af(t) } = aF(p) Tính chất đồng dạng: Giả sử λ số dương Nếu f(t) ↔ F(p) ⎛p⎞ f (λt ) ↔ F⎜ ⎟ (15) λ ⎝λ⎠ 102 Chứng minh: Theo định nghĩa ta có: +∞ f (λt ) ↔ ∫ e − pt f (λt )dt Trong tích phân vế phải, đổi biến λt = t1, dt = +∞ dt ta được: λ t +∞ − p 1 e f (λt )dt = ∫ e λ f ( t )dt = F( p) ∫ λ λ − pt Tính chất chuyển dịch ảnh: Cho a số phức Nếu L{ f(t) } = F(p) eatf(t) ↔ F(p - a) (16) Chứng minh: Theo định nghĩa ta có: +∞ +∞ e f ( t ) ↔ ∫ e e f ( t )dt = ∫ e − ( p − a ) t f ( t )dt = F( p − a ) at at − pt 0 at Ví dụ 1: Tìm ảnh e sinωt eatcosωt ω p Ta có sin ωt ↔ cos ωt ↔ p + ω2 p + ω2 ω Nên: e at sin ωt ↔ ( p − a ) + ω2 p−a e at cos ωt ↔ ( p − a ) + ω2 Ví dụ 2: Giả sử f(t) ↔ F(p) Tìm ảnh f(t)sinωt e jωt − e jωt f ( t ) sin ωt = f ( t ) Ta có: 2j Do cơng thức dịch chuyển ảnh: f(t)ejωt ↔ F(p - jω) f(t)e-jωt ↔ F(p + jω) Theo tính chất tuyến tính ta có: f(t)sinωt ↔ [ F(p - jω) + F(p + jω) ] 2j Tính chất trễ: a Trường hợp τ số dương: Nếu f(t) ↔ F(p) thì: η(t - τ)f(t - τ) ↔ e-pτF(p) (17) Trước hết ta thấy η(t)f(t) có đồ thị đường cong C đồ thị η(t-τ)f(t-τ) có cách dịch chuyển đường cong C sang đoạn τ theo trục hoành Nếu t τ đại lượng thời gian trình biếu diễn hàm η(t-τ)f(t - τ) xảy giống trình biếu diễn hàm η(t)f(t) chậm khoảng thời gian τ 103 η(t)f(t) η(t-τ)f(t-τ) t O O τ t Chứng minh: Theo định nghĩa ta có: +∞ η( t − τ)f ( t − τ) ↔ ∫ e − pt η( t − τ)f ( t − τ)dt Vì : { η( t − τ) = t < τ t > τ +∞ nên: η( t − τ)f ( t − τ) ↔ ∫ e − pt f ( t − τ)dt Trong tích phân bên vế phải, đổi biến t1 = t - τ ta được: +∞ ∫e − pt +∞ f ( t − τ)dt = ∫ e − p ( t1 + τ ) f ( t )dt = e Ví dụ: ta biết hàm f(t) = e2t có ảnh F( p) = − pτ +∞ ∫e − pt1 f ( t )dt = e − pτ F( p) Tìm ảnh hàm f(t - 1) = e2(t - 1) p−2 Theo (17) ta có: e −p ↔ f ( t − 1) = e p−2 b Biểu diễn hàm xung qua hàm η(t):Ta gọi hàm xung hàm có ( t −1) dạng: t < a ⎧0 ⎪ f ( t ) = ⎨ ϕ( t ) a < t < b ⎪0 t > b ⎩ Ta viết: f(t) = η(t - a)ϕ(t) - η(t - b)ϕ(t) Ví dụ 1: Tìm ảnh hàm η(t -τ) Vì η( t ) ↔ nên theo tính chất trễ thì: p η( t − τ) ↔ e − pτ p Ví dụ 2: Tìm ảnh hàm xung đơn vị t < a ⎧0 ⎪ f (t) = ⎨ a < t < b ⎪0 t > b ⎩ Theo (18) thì: f(t) = η(t - a) - η(t - b) Theo (19) thì: (18) (19) 104 − pb 1 − pa −e = (e − e − pb ) p p p Ví dụ 3: Tìm ảnh hàm: t < ⎧0 ⎪ f ( t ) = ⎨ sin t < t < π ⎪0 t > π ⎩ Theo (18) ta viết: f(t) = η(t)sint - η(t - π)sint Vì sint = sin(π - t) = -sin(t - π) nên: f(t) = η(t)sint + η(t - π)sin(π - t) Theo tính chất trễ ta có: η( t − π) sin( t − π) ↔ e − pπ p +1 Kết 1 (1 + e − pπ ) + e − pπ = f (t) ↔ p +1 p +1 p +1 Ví dụ 4: Tìm ảnh hàm bậc thang sau: t < ⎧0 < t < ⎪ ⎪ f (t) = ⎨ < t < < t < ⎪ ⎪0 t > ⎩ Đặt: t < ⎧0 ⎪ h1 ( t ) = ⎨ < t < ⎪0 t > ⎩ t < ⎧0 ⎪ h (t) = ⎨ < t < ⎪0 t > ⎩ f ( t ) ↔ e − pa (20) O t t < ⎧0 ⎪ h (t) = ⎨ < t < ⎪0 t > ⎩ Như vậy: f(t) = 2h1(t) + 4h2(t) + h3(t) Vì theo (20): 1 h ( t ) ↔ (1 − e − p ) ; h ( t ) ↔ (e − p − e − p ) ; h ( t ) ↔ (e − p − e − 3p ) p p p 1 nên: f ( t ) ↔ (2 − 2e − p + 4e − p − 4e − p + e − p − e − 3p ) = (2 + 2e − p − 3e − p − e − 3p ) p p Ví dụ 5: Tìm ảnh hàm f(t) hình vẽ 105 Hàm f(t) coi tổng hai hàm xung h1(t) h2(t): t < ⎧0 ⎪ t h1 ( t) = ⎨ < t < h h ⎪0 h O t > h ⎩ t < h h (t) = t > h Theo (18) ta có: t t h ( t ) = η( t ) − η( t − h ) h h h ( t ) = η( t − h ) t t t ⎛t−h⎞ f ( t ) = η( t ) − η( t − h ) + η( t − h ) = η( t ) − η( t − h ).⎜ ⎟ h h h ⎝ h ⎠ Vậy: = [η( t ).t − η( t − h ).( t − h )] h Theo tính chất trễ ta có: 1⎡ 1⎤ f ( t ) = ⎢ − e − hp ⎥ = (1 − e − hp ) h ⎣p p ⎦ hp { t §6 ẢNH CỦA MỘT HÀM TUẦN HOÀN Nếu f(t) hàm gốc, tuần hồn với chu kì T, nghĩa f(t) = f(t + T) ∀t > ảnh tính theo cơng thức: Φ ( p) (21) F( p ) = − e − pT T Trong đó: Φ ( p) = ∫ e − pt f ( t )dt ảnh hàm: t < ⎧0 ⎪ ϕ( t ) = ⎨ f ( t ) < t < T ⎪0 t > T ⎩ Chứng minh: Theo định nghĩa ta có: +∞ T +∞ F( p) = ∫ e f ( t )dt = ∫ e f ( t )dt + ∫ e − pt f ( t )dt − pt − pt T Trong tích phân thứ vế phải, đổi biến t = u + T ta có: +∞ ∫e − pt T +∞ f ( t )dt = ∫ e − p( u + T ) f ( u + T )du = e − pT +∞ ∫e − pu f ( u + T )du Do tính chất tuần hồn f(u + T) = f(u), nên: +∞ ∫e − pt f ( t )dt = e − pT T +∞ ∫e − pu f ( u )du = e − pT F( p) Thay vào ta được: 106 F(p) = Φ(p) + e-pTF(p) Từ rút ra: Φ ( p) F( p ) = − e − pT Ví dụ 1: Có hệ thống xung hình vẽ Tìm ảnh hàm đó: τ O t T Ta có: e − pt Φ ( p) = ∫ e f ( t )dt = ∫ e dt = −p 0 +∞ τ − pt τ − pt = (1 − e − pτ ) p − pt 1− e p − e − pT Ví dụ 2: Cho hệ thống xung hình sin hình vẽ Tìm ảnh Vậy: F( p) = O π π π t Ta thấy hàm f(t) = | sint | tuần hồn với chu kì T = π Trong ví dụ §5 ta biết: (1 − e − pπ ) Φ ( p) = p +1 ⎛ + e − pπ ⎞ pπ coth Vậy: F( p) = ⎜ ⎟= ⎜ ⎟ p + ⎝ − e − pπ ⎠ p + §7 ĐẠO HÀM GỐC Đạo hàm cấp 1: Giả sử f(t) hàm gốc, có đạo hàm f’(t) hàm gốc Nếu f(t)↔F(p) thì: f’(t) ↔ pF(p) - f(0) (22) Chứng minh: Theo định nghĩa: +∞ f ′( t ) ↔ ∫ e − pt f ′( t )dt Trong tích phân bên vế phải, dùng phương pháp tích phân phần, đặt u = e-pt ta có du = -p.e-pt, dv = f’(t)dt nên v= f(t) Thay vào ta có: 107 +∞ − pt − pt ∫ e f ′( t )dt = f ( t )e +∞ o +∞ + p ∫ e − pt f ( t )dt = f ( t )e − pt +∞ o + pF( p) Do | f(t) | ≤ M e nên Rep = s > so | f(t)e-pt | ≤ M e ( s o − s ) t → t→ +∞.Vậy: so t f ( t )e − pt +∞ o = − f ( 0) Thay vào ta có: +∞ ∫e − pt f ′( t )dt = pF( p) − f (0) Đạo hàm cấp cao: Nếu f(t) có đạo hàm tới cấp n đạo hàm hàm gốc cách áp dụng liên tiếp (22) ta có: (23) f(n)(t) = pnF(p) - pn-1f(0) - pn-2f’(0) - L - f(n-1)(0) Hệ quả: Nếu f(t) hàm gốc pF(p) giải tích ∞ thì: (24) lim pF( p) = f (0) p→ ∞ §8 TÍCH PHÂN GỐC t Nếu f(t) ↔ F(p) ∫ f ( t )dt hàm gốc t ∫ f ( t )dt ↔ F( p) p (25) t Chứng minh: đặt ϕ( t ) = ∫ f ( t )dt Rõ ràng ϕ(0) = Hàm ϕ(t) có đạo hàm hàm f(t) liên tục khúc Bởi vì: t t M sot t e ≤ M 1e s o t so 0 nên ϕ(t) hàm gốc số tăng với f(t) Gọi Φ(p) ảnh Ta phải tìm Φ(p) Vì ϕ’(t) = f(t) nên theo cơng thức đạo hàm gốc ta có: f(t) ↔ pΦ(p) - ϕ(0) Vậy F(p) = pΦ(p) hay F( p) Φ ( p) = p ϕ( t ) ≤ ∫ f ( t ) dt ≤ ∫ Me s o t dt = §9 ĐẠO HÀM ẢNH Nếu f(t) ↔ F(p) thì: 108 ... − pt + ∞ n −1 − pt + ∫ t e dt p §5 CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Tính chất tuyến tính toán tử: Giả sử f(t) g(t) hai hàm gốc A B hai số thực hay phức Nếu f(t) = F(p), g(t) = G(p) thì: