Toán chuyên ngành kỹ thuật điện (chương 2a)

CHƯƠNG 2: PHÉP BIẾN HÌNH BẢO GIÁC VÀ CÁC HÀM SƠ CẤP CƠ BẢN   §1.  KHÁI NIỆM VỀ BIẾN HÌNH BẢO GIÁC Phép biến hình bảo giác: a Định nghĩa: Một phép biến hình gọi bảo giác z có tính chất: - Bảo tồn góc hai đường cong qua điểm z (kể độ lớn hướng) - Có hệ số co dãn khơng đổi điểm đó, nghĩa đường cong qua z có hệ số co dãn qua phép biến hình Nếu phép biến hình bảo giác điểm miền G gọi bảo giác miền G b Phép biến hình thực hàm giải tích: Cho hàm w = f(z) đơn diệp, giải tích miền G Do ý nghĩa hình học f’(z) ta thấy phép biến hình thực hàm w = f(z) bảo giác điểm mà f’(z) ≠ Nếu xét lân cận nhỏ điểm z, phép biến hình bảo giác phép đồng dạng tính chất bảo tồn góc Các góc tương ứng hai hình Mặt khác xem hệ số co dãn khơng đổi tỉ số hai cạnh tương ứng không đổi Ngược lại người ta chứng minh phép biến hình w = f(z) đơn diệp bảo giác miền G hàm w = f(z) giải tích G có đạo hàm f’(z) ≠ Bổ đề Schwarz: Giả sử hàm f(z) giải tích hình trịn | z | < R f(0) = Nếu | z) | ≤ M với z mà | z | < R ta có: M f (z) ≤ z , |z |< R R Me jα z , α thực Trong đẳng thức xảy z1 với < | z | < R f (z) = R Nguyên lí đối xứng: Trước hết ta thừa nhận tính chất đặc biệt hàm biến phức mà hàm biến số thực khơng có, tính nhất, phát biểu sau: Giả sử hai hàm f(z) g(z) giải tích miền D thoả mãn f(z) = g(z) cung L nằm D, f(z) = g(z) toàn miền D Giả sử D1 D2 nằm kề có biên chung L y v D1 z O L D2 x O w B1 T B2 u 23 Giả sử f1(z) giải tích D1 f2(z) giải tích D2 Nếu f1(z) = f2(z) L ta gọi f2(z) thác triển giải tích f1(z) qua L sang miền D2 Theo tính hàm giải tích f3(z) thác triển giải tích f1(z) qua L sang miền D2 ta phải có f3(z) = f2(z) D2 Cách nhanh để tìm thác triển giải tích hàm cho trước áp dụng nguyên lí đối xứng sau đây: Giả sử biên miền D1 chứa đoạn thẳng L f1(z) biến bảo giác D1 lên B1 L chuyển thành đoạn thẳng T thuộc biên B1 Khi tồn thác triển giải tích f2(z) f1(z) qua L sang miền D2 nằm đối xứng với D1 L Hàm f2(z) biến bảo giác D2 lên B2nằm đối xứng với B1 T hàm: ⎧f1 (z) D1 ⎪ f (z) = ⎨f1 (z) = f (z) L ⎪f (z) D ⎩2 biến bảo giác D thành B Nguyên lí đối xứng thường dùng để tìm phép biến hình bảo giác hai miền đối xứng cho trước §2.  CÁC PHÉP BIẾN HÌNH QUA CÁC HÀM SƠ CẤP Phép biến hình tuyến tính: Xét hàm tuyến tính w = az + b a, b số phức Giả thiết a ≠ Nếu a = | a |ejα w = | a |ejαz + b Phép biến hình tuyến tính bảo giác tồn mặt phẳng phức f’(z) = a ≠ ∀z ∈ C Hàm tuyến tính coi hợp hàm sau: - ζ = kz (k = | a | > 0) - ω = ejα.ζ (α = Arga) y -w=ω+b w Nếu biểu diễn điểm ζ, ω, w mặt ζ phẳng dựa vào ý nghĩa hình học phép nhân ω phép cộng số phức ta suy rằng: α - điểm ζ nhận từ điểm z phép co dẫn z với hệ số k x O - điểm ω nhận từ điểm ζ phép quay tâm O, góc quay α - điểm w nhận từ điểm ω phép tịnh tiến xác định vec tơ biểu diễn số phức b Như muốn ảnh w z ta phải thực liên tiếp phép co dãn, phép quay phép tịnh tiến Tích phép biến hình phép đồng dạng Vậy phép biến hình tuyến tính phép đồng dạng Nó biến hình thành hình đồng dạng với hình Đặc biệt, ảnh đường tròn đường tròn, ảnh đường thẳng đường thẳng Ví dụ: Tìm hàm w = f(z) biến hình tam giác vng cân A(3+ 2j), B(7 + 2j), C(5 + 4j) thành tam giác vng cân có đỉnh O1, B1(-2j) C1(1 - j) 24 y y C x O1 A O C1 B x B1 Vì tam giác ABC O1B1C1 đồng dạng nên phép biến hình thực hàm bậc w = az + b Phép biến hình phân tích thành phép biến hình liên tiếp sau đây: * phép tịnh tiến từ A gốc, xác định vec tơ (-3 - 2j) Phép tịnh tiến xác định hàm ζ = z - (3 + 2j) π −j π * phép quay quanh gốc góc − , ứng với hàm ω = ζe 2 OB * phép co dãn tâm O, hệ số k = 1 = = , thực hiên hàm AB w= ω π j − j2 Vậy: w = e (z − − j) = − (z − − j) = − jz + j − 2 2 Phép nghịch đảo: a Định nghĩa: Hai điểm A B gọi đối xứng đường tròn C’ tâm O, bán kính R chúng nằm nửa đường thẳng xuất phát từ O thoả mãn đẳng thức: OA.OB = R2 R2 R ⎛ R ⎞ > 1⎟ OB > R Ngược lại = R nên OA < R ⎜ Dĩ nhiên, OB = OA OA ⎝ OA ⎠ OA > R OB < R Nghĩa hai điểm A B điểm nằm điểm nằm ngồi đường trịn Nếu A nằm đường trịn muốn B kẻ đường AH ⊥ OA sau vẽ tiếp tuyến HB H H A O B O B A 25 Nếu A nằm ngồi đường trịn muốn điểm B ta vẽ tiếp tuyến AH, sau kẻ HB ⊥ OA b Định lí 1: Nếu A B đối xứng với đường tròn C’ C” đường trịn qua A B C’ C” trực giao với Chứng minh: Gọi I tâm r bán kính C” Kí hiệu PC”O phương tích điểm O đường trịn C” Theo giả thiết A B đối xứng qua C’ nên D OA.OB = R2 Mặt khác theo cách tính phương tích ta có: B O A PC”O = OA.OB = OI2 - r2 C’ I Từ suy ra: 2 R = OI - r hay: OI2 = R2 + r2 = OD2 + ID2 C” Vậy OD ⊥ DI c Định lí 2: Giả sử hai đường trịn C’ C” trực giao với đường tròn C Nếu C’ C” cắt A B hai điểm A B đối xứng qua C Chứng minh: Gọi I1 I2 tâm đường tròn C’ C”; r1 r2 bán kính C’ chúng Gọi R bán kính đường trịn C Ta có: PC’O = OI1 − r12 B O A 2 PC”O = OI − r2 C Nhưng giả thiết trực giao ta có: OI1 − r12 = R2 C” OI − r22 = R2 Vây: PC’O = PC”O Vì điểm O có phương tích với hai đường tròn C’ C” nên O nằm trục đẳng phương AB cặp vịng trịn Mặt khác PC’O = OA.OB = R2 nên A B đối xứng qua C d Phép biến hình w = : Phép biến hình đơn z w= z diệp, biến mặt phẳng phức mở rộng z (tức mặt phẳng z phức có bổ sung thêm điểm z = ∞) lên mặt phẳng phức mở rộng w Ảnh điểm z = điểm w = ∞ Ngược lại O ảnh điểm z = ∞ điểm w = Vì w’ = − nên z z phép biến hình bảo giác z ≠ z ≠ ∞ 26 = w đối z 1 xứng qua đường tròn đơn vị Arg = − Argz = Argz Mặt khác z = z z Vậy muốn w, ta dựng w đối xứng với z qua đường tròn đơn vị lấy đối xứng qua trục thực Nói khác đi, phép biến hình w = tích hai phép đối xứng: z * phép đối xứng qua đường tròn đơn vị * phép đối xứng qua trục thực e Tính chất phép biến hình: Phép biến hình w = biến: z * đường tròn qua gốc toạ độ thành đường thẳng * đường trịn khơng qua gốc toạ độ thành đường tròn * đường thẳng qua gốc toạ độ thành đương thẳng * đường thẳng không qua gốc toạ độ thành đường tròn qua gốc toạ độ Nếu coi đường thẳng đường trịn có bán kính vơ hạn tính chất phát biểu gọn lại là: Phép biến hình w = biến đường trịn thành z đường tròn Chứng minh: Xét đường cong C’ có phương trình: A(x2 + y2) + 2Bx + 2Cy + D = Trong A, B, C, D số thực Viết phương trình dạng phức ta có: Azz + Ez + Ez + D = (1) Trong E = B - jC Nếu A ≠ 0, D = C’ đường tròn qua gốc toạ độ Nếu A = C’ đường thẳng Nếu A = D = C’ đường thẳng qua gốc toạ độ Ảnh C’ qua phép biến hình w = đường cong L có phương trình: z 1 E E A + + +D=0 w w w w (2) hay: Dww + Ew + Ew + A = Nếu D = L đường thẳng Nếu D = A = L đường thẳng qua gốc toạ độ Nếu A = L đường trịn qua gốc toạ độ Giả sử z1 z2 hai điểm đối xứng với qua đường tròn C’ Khi gọi w1 w2 L ảnh z1, z2 C’ qua phép biến hình w = w1 w2 đối z xứng qua C Nói khác đi, phép biến hình w = bảo tồn tính đối xứng qua z đường trịn Ta nêu cách tìm ảnh điểm z Chú ý hai điểm z 27 Chứng minh: Lấy đường tròn P Q qua z1 z2.Theo định lí P Q trực giao với C’ Qua phép biến hình, P Q biến thành hai đường tròn L1 L2 cắt w1 w2 Vì phép biến hình bảo giác nên L1 L2 trực giao với C’ Theo định lí w1 w2 đối xứng với qua L Ví dụ 1: Tìm ảnh hình trịn | z | < qua phép biến hình w = z Dễ dàng thấy ảnh đường tròn | z | = a (0 < a < 1) đường tròn 1 w = Khi a biến thiên từ đến 1, giảm từ +∞ đến Trong đường tròn | a a z | = a qt nên hình trịn | z | < ảnh qt nên miền | w | > Tóm lại ảnh miền | z | < miềm | w | > Ảnh đường tròn | z | = đường trịn | w | + Ví dụ 2: Tìm ảnh bán kinh OB: argz = π/6; | z | < qua phép biến hình w = 1/z y y M O B x O x B’ N Lấy M OB Thực liên tiếp phép đối xứng qua đường tròn đơn vị phép đối xứng qua trục thực ta ảnh N nằm nửa đường thẳng cho: OM.ON = Khi M chạy từ O đến B, N chạy từ ∞ đến B’ az + b : Phép biến hình có ý nghĩa c cz + d d không đồng thời triệt tiêu Ta khơng xét trường hợp ad = bc trường hợp tầm thường Thật ad = bc ta viết: az + b adz + bd b b w= = = cz + d cbz + db d d d b Tức z ≠ − có ảnh w = c d Vậy ta xét trường hợp ad - bc ≠ Nếu c = ta hàm tuyến tính xét: a b w = z+ d d az + b ta giả thiết c ≠ Phép biến hình w = đơn diệp biến toàn mặt cz + d Phép biến hình phân tuyến tính w = 28 d có ảnh điểm c az + b − dw + b w= Ngược lại, giải z theo w, ta hàm ngược z = ; tức cz + d cw − a a d − dw + b điểm w ≠ có nghịch ảnh z = Ảnh điểm z = − điểm w = ∞ c cw − a c a Ảnh điểm z = ∞ w = c ad − bc nên phép biến hình phân tuyến tính bảo giác điểm Vì w ′ = (cz + d ) d z ≠ − z ≠ ∞ Phân tích biểu thức w ta được: c az + b acz + bc acz + ad + bc − ad a (cz + d) + bc − ad = = = w= cz + d c(cz + d) c(cz + d) c(cz + d) a bc − ad = + c c cz + d Từ suy phép biến hình phân tuyến tính tích phép biến hình: ζ = cz + d phép biến hình tuyến tính phép nghịch đảo ω= ζ bc − ad a w= ω + phép biến hình tuyến tính c c Vì phép biến hình thành phần biến đường trịn thành đường trịn bảo tồn tính đối xứng điểm đường tròn nên phép biến hình phân tuyến tính có tính chất Phép biến hình phân tuyến tính tổng qt chứa tham số a, b, c, d thực chất có tham số độc lập Thật vậy, với giả thiết c ≠ 0, ta có: a b z+ c w= c d z+ c a b d Nếu ta đặt a = , b1 = , d1 = ta có: c c c a z + b1 w= z + d1 Vậy muốn phép biến hình phân tuyến tính hồn tồn xác định, ta phải cho điều kiện Chẳng hạn ta buộc biến điểm cho trước z1, z2 z3 thành điểm w1, w2 w3 Khi tham số a1, b1 d1 nghiệm hệ: phẳng mở rộng z lên mặt phẳng mở rộng w Mỗi điểm z ≠ − 29 ⎧ a 1z1 + b1 ⎪ z + d = w1 ⎪ ⎪ a 1z + b1 = w2 ⎨ z + d1 ⎪ ⎪ a 1z + b1 = w3 ⎪ z + d1 ⎩ Giải hệ ta tính a1, b1 d1 thay vào w = a1z + b1 ta hàm phải tìm z + d1 dạng đối xứng: w − w w1 − w z − z z1 − z = w − w w1 − w z − z z1 − z (4) Ví dụ 1: Tìm phép biến hình bảo giác biến nửa mặt phẳng lên hình tròn đơn vị cho z = a với Ima > thành w = Theo tính bảo tồn vị trí điểm đối xứng điểm z = a phải chuyển thành điểm w=∞ Vậy phép biến hình phải tìm có dạng: z−a w=k z−a Vì z = chuyển thành điểm đường trịn | w | = nên suy | k | = hay k = ejα Vậy: z−a w = e jα z−a Ví dụ 2: Biến hình trịn đơn vị thành cho z = a với | a | < thành w = Theo tính bảo tồn vị trí đối xứng điểm b = nằm đối xứng với a qua đường tròn a | z | = 1phải chuyển thành điểm w = ∞ Phép biến hình cần tìm có dạng: z−a z−a w=k =K − az z−b Trong k K số Vì z = | w | = nên ta có: 1− a K =| K |= nên K = eiα 1− a z−a và: w = e jα − az Ví dụ 3: Biến nửa mặt phẳng thành Phép biến hình thực hàm phân tuyến tính biến điểm z1, z2 z3 trục thực theo chiều dương mặt phẳng z thành điểm w1, w2, w3 trục thực theo chiều dương mặt phẳng w 30 1⎛ 1⎞ Phép biến hình Giucovski: Ta gọi hàm phức w = ⎜ z + ⎟ hàm Giucovski 2⎝ z⎠ hàm có nhiều ứng dụng kĩ thuật Nó có điểm bất thường hữu hạn 1⎛ 1⎞ z = Đạo hàm w ′ = ⎜1 − ⎟ , w’ = điểm z = ±1 Vậy phép biến 2⎝ z ⎠ hình Giucovski bảo giác điểm z hữu hạn khác với điểm O ±1 Ta tìm miền đơn diệp hàm Giả sử z1 ≠ z2 nhưng: ⎛ 1⎛ ⎞ 1⎛ 1⎞ ⎞ ⎜ z1 + ⎟ = ⎜ z + ⎟ hay (z1 − z ) ⎜1 − (5) ⎜ ⎟ 2⎜ ⎟ ⎜ z z ⎟=0 ⎟ 2⎝ z1 ⎠ z2 ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ Ta thấy đẳng thức (5) xảy z1.z2 = Vậy phép biến hình đơn diệp miền không chứa hai điểm nghịch đảo Chẳng hạn miền | z | < miền đơn diệp hàm số; miền | z | > miền đơn diệp khác Ví dụ 1: Tìm ảnh phép biến hình Giucovski của: * đường tròn | z | = h 0 Bờ lát cắt ảnh tia argz = bờ lát cắt ảnh tia 2π arg z = n π 3π miền đơn diệp khác hàm Ảnh Miền quạt < arg z < n n miền quạt qua phép biến hình mặt phẳng w, bỏ lát cắt dọc theo nửa trục thực âm Hàm w = zn giải tích tồn mặt phẳng, ta có: dw = nz n −1 ∀z ∈ C dz Phép biến hình w = zn bảo giác điểm z ≠ Hàm w = n z : Đây hàm ngược hàm w = zn Nó hàm đa trị với số phức z = r(cosϕ + jsinϕ) ≠ có n bậc n cho bởi: ϕ + 2kπ ϕ + 2kπ ⎤ ⎡ k = 0,1,K, n − w = n r ⎢cos + j sin n ⎥ n ⎦ ⎣ Toạ vị n số phức đỉnh đa giác n cạnh tâm O Giả zử điểm z vạch thành đường cong kín L khơng bao quanh gốc toạ độ O, xuất phát từ zo y y L w1 C zo O Γo Γ1 x O wo x Γ2 w2 Khi điểm w = n z n z giá trị thức mà ta chọn trước vạch nên đường cong kín Γo, xuất phát từ w o = n z o z xuất phát từ zo chạy vòng C Argz biến thiên từ giá trị ban đầu Argzo quay giá trị Các giá trị thức khác với giá trị chọn vạch nên đường cong kín Γk, suy từ Γo cách quay góc 2π/n quanh gốc toạ độ 34 Bây ta giả thiết điểm z vạch nên đường cong kín C bao quanh gốc toạ độ vòng theo hướng dương, xuất phát từ điểm zo Trong trường hợp này, z chạy vịng arumen z tăng thêm 2π Do argumen w tăng thêm 2π/n Điểm w vạch nên đường cong liên tục từ điểm wo tới 2π 2π ⎞ ⎛ w = w o ⎜ cos + j sin ⎟ Nghĩa w từ giá trị wo thức tới giá trị n n ⎠ ⎝ khác thức Do điểm w trở vị trí xuất phát sau z chạy n vịng C Điều chứng tỏ muốn tách hàm đơn trị liên tục từ hàm đa trị w = n z miền xác định E hàm đơn trị không chứa đường cong kín bao quanh gốc O Muốn ta lấy E mặt phẳng phức z cắt di lát cắt γ từ gốc toạ độ ∞ Chẳng hạn, chọn γ nửa trục Ox dương Khi hàm đơn trị tách từ hàm đa trị w = n z , mà ta thường gọi nhánh đơn trị cuả hàm w = n z hàm biến phức biến E(mặt phẳng phức với lát cắt dọc theo nửa trục Ox dương) lên hình quạt: 2π < arg z < n 4π 2π < arg z < n n LL Muốn chọn nhánh xác định n nhánh ta buộc nhánh phải lấy giá trị wo z = zo với wo bậc n zo Mỗi nhánh đơn trị hàm w = n z miền xác định E có đạo hàm: 1 1 n −1 n ( z )′ = n = = z ( w )′ nw n −1 n nên hàm giải tích E Nếu ta khơng dùng lát cắt γ khơng thể tách nhánh đơn trị điểm z vạch nên đường cong kín điểm w chuyển từ nhánh sang nhánh Vì O gọi điểm rẽ nhánh hàm đa trị w = n z Ví dụ: Xét hàm đa trị w = z 2π 4π Những nhánh đơn trị của hàm ; Ot2 tia Argw = Gọi Ot1 tia Argw = 3 w = z phép biến hình đơn diệp, biến mặt phẳng phức z, bỏ lát cắt dọc theo nửa trục Ox dương lên góc uOt1, t1Ot2, t2Ou ϕ ϕ⎞ ⎛ Nhánh w = z = r (cos ϕ + j sin ϕ) = r ⎜ cos + j sin ⎟ với < ϕ < 2π biến 3⎠ ⎝ hai điểm A B nằm bờ bờ lát cắt thành hai điểm A’ thuộc 2π Điều chứng tỏ nửa trục Ox đường gián tia argw = B’ thuộc tia arg w = đoạn nhánh 35 y t1 B’ O A O B v x A’ u t2 Hàm mũ: a Định nghĩa: Ta gọi hàm phức có phần thực u(x,y) = excosy phần ảo v(x,y)=exsiny hàm mũ biến phức kí hiệu ez w = ez = ex + jy = ex(cosy + jsiny) (1) x x Cho y = ta có w = e , nghĩa z = x thực ta có hàm biến thực e biết Ta nói hàm mũ w = ez thác triển hàm mũ thực ex từ trục thực toàn mặt phẳng phức Theo định nghĩa ta có: (2) | w | = ex Argw = y + 2kπ, k nguyên b Các phép tính hàm mũ: e z1 e z2 = e z1+z2 e z1 = e z1−z2 (3) z1 e (e z ) n = e nz , n nguyên Ta chứng minh công thức Các công thức sau tương tự Ta có: z1 = x1 + jy1 ; z2 = x2 + jy2 Theo định nghĩa ta có: e z1 = e x1 (cos y1 + jsin y1 ) e z = ex2 (cos y + j sin y ) Vậy: e z1 e z2 = e x1 (cos y1 + j sin y1 ) e x (cos y + j sin y ) Hay: e z1 e z = e x1 + x [cos( y1 + y ) + jsin( y1 + y )] Theo định nghĩa hàm mũ phức ta có: e z1 e z2 = e( x1+ x2 )+ j( y1+ y2 ) = e z1+z2 c Chu kỳ hàm mũ: Theo đinh nghĩa, ta có: e2jkπ = cos2kπ + jsin2kπ = ( k nguyên) Theo (3) thì: (4) e2jkπ+z = ez e2jkπ = ez z Công thức cho thấy hàm w = e hàm tuần hoàn với chu kỳ 2jπ Vậy hai điểm nằm đường song song với trục ảo khoảng bội số 2jπ có ảnh Cần ý e z1 = e z2 thì: 36 e z1 = e z2 = z = z1 + jkπ (5) e z1 = e z1−z2 = = e jkπ z1 - z2 = 2jkπ vì: z1 e d Cơng thức Euler: Trong (1), cho x = ta có cơng thức Euler: e jy = cos y + jsin y (6) Thay y -y ta có: e − jy = cos y − jsin y (7) Nhờ có cơng thức Euler mà số phức z = r(cosϕ + jsinϕ) viết dạng mũ z = z = r(cosϕ + jsinϕ) = rejϕ rejϕ Ta có: Ví dụ: = cos0 + jsin0 = ej0 π j π π j = cos + j sin = e 2 π j π π⎞ ⎛ + j = ⎜ cos + j sin ⎟ = 2e 4 4⎠ ⎝ jarctg ⎞⎤ 4⎞ ⎡ ⎛ ⎛ + j = 5⎢cos⎜ arctg ⎟ + j sin ⎜ arctg ⎟⎥ = 5e 3 ⎠⎦ 3⎠ ⎝ ⎣ ⎝ e2+3j = e2(cos3 + jsin3) e-2j = cos2 - jsin2 f Tính giải tích hàm w = ez: Hàm w = ez giải tích tồn mặt phẳng ∀z, điều kiện C - R thoả mãn: ∂ x (e cos y ) = ∂ (e x sin y ) ∂y ∂x ∂ x (e cos y) = − ∂ (e x sin y ) ∂x ∂y ∂ x (e cos y ) + j ∂ (e x sin y ) w ′(z) = ∂x ∂x g Phép biến hình w = ez: Vì | w | = ex nên ảnh đường thẳng x = C1 đường trịn w = e C1 Vì y giá trị Argw, nên đường thẳng y = C2 có ảnh tia Argw= C2 Khi C2 biến thiên từ đến 2π (0 < C2 < 2π) đường y = C2 quét nên miền G băng < y < 2π Ảnh đường thẳng y = C2 tia Argw = C2 quét nên miền ∆ ảnh G Rõ ràng ∆ mặt phẳng w, bỏ lát cắt dọc theo nửa trục thực u dương; bờ lát cắt ứng với đường y = 0, bờ lát cắt ảnh đường y = 2π Phép biến hình từ băng G lên miền ∆ phép biến hình đơn diệp Tương tự, phép biến hình w = ez biến băng 2kπ < y < 2(k+1)π( k nguyên), có chiều rộng k, lên miền ∆ nói Phép biến hình w = ez biến mặt phẳng z lên mặt phẳng w, không đơn diệp 37 ... Phép biến hình Giucovski: Ta gọi hàm phức w = ⎜ z + ⎟ hàm Giucovski 2⎝ z⎠ hàm có nhiều ứng dụng kĩ thuật Nó có điểm bất thường hữu hạn 1⎛ 1⎞ z = Đạo hàm w ′ = ⎜1 − ⎟ , w’ = điểm z = ±1 Vậy phép biến