Một số vấn đề về đường tròn Mixtilinear (Luận văn thạc sĩ)Một số vấn đề về đường tròn Mixtilinear (Luận văn thạc sĩ)Một số vấn đề về đường tròn Mixtilinear (Luận văn thạc sĩ)Một số vấn đề về đường tròn Mixtilinear (Luận văn thạc sĩ)Một số vấn đề về đường tròn Mixtilinear (Luận văn thạc sĩ)Một số vấn đề về đường tròn Mixtilinear (Luận văn thạc sĩ)Một số vấn đề về đường tròn Mixtilinear (Luận văn thạc sĩ)Một số vấn đề về đường tròn Mixtilinear (Luận văn thạc sĩ)Một số vấn đề về đường tròn Mixtilinear (Luận văn thạc sĩ)Một số vấn đề về đường tròn Mixtilinear (Luận văn thạc sĩ)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ HẰNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐƯỜNG TRÒN MIXTILINEAR LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, 10/2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ HẰNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐƯỜNG TRÒN MIXTILINEAR LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS TRẦN VIỆT CƯỜNG Thái Nguyên, 10/2017 i Mục lục Danh mục ký hiệu ii Danh sách hình vẽ iii Mở đầu Chương Đường tròn Mixtilinear 1.1 Một số kiến thức liên quan 1.2 Đường tròn Mixtilinear 1.2.1 Định nghĩa cách dựng 1.2.2 Một số tính chất đường tròn Mixtilinear 1.2.3 Ứng dụng đường tròn Mixtilinear 4 10 10 12 23 Chương Đường tròn Thebault 33 2.1 Định nghĩa cách dựng 33 2.2 Một số tính chất đường tròn Thebault 35 2.3 Ứng dụng đường tròn Thebault 41 Kết luận 56 Tài liệu tham khảo 57 ii Danh mục ký hiệu (O) Đường tròn tâm O (O, a) Đường tròn tâm (O) bán kính a (O, AB) Đường tròn tâm (O) bán kính AB (ABC) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (ABCD) Đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD wa , wb , wc Đường tròn Mixtilinear ứng với góc A, B, C (ABCD) = −1 Tỉ số kép −1 I(ABCD) = −1 Chùm điều hòa V(O,k) Phép vị tự tâm O, tỉ số k PA/(O) Phương tích điểm A với đường tròn (O) rABC Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC SABC Diện tích tam giác ABC p(ABC) Nửa chu vi tam giác ABC iii Danh sách hình vẽ 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 1.18 1.19 1.20 1.21 1.22 1.23 1.24 1.25 1.26 AP BQ tứ giác điều hòa Hai đường tròn (I, R) (I , R ) có O1 tâm vị tự ngoài, O2 tâm vị tự Các tâm vị tự A1 , A2 , A3 thẳng hàng Phương tích điểm P với đường tròn (O) P A · P B Tâm đẳng phương P đường tròn (O1 ), (O2 ), (O3 ) Định lý Menelaus Định lý Pascal Ba đường tròn Mixtilinear (OA ), (OB ), (OC ) tam giác ABC Cách dựng đường tròn Mixtilinear thứ Cách dựng đường tròn Mixtilinear thứ hai Cách dựng đường tròn Mixtilinear thứ ba Cách dựng đường tròn Mixtilinear thứ tư I trung điểm Ab Ac XI qua điểm cung BAC Ab Ac , BC, XD, Ob Oc , Y Z đồng quy điểm AL song song với BC AEKF hình bình hành AF XE tứ giác điều hòa, (I1 ) (I2 ) tiếp xúc M N AI (XIN ) tiếp xúc với (O) AX, AP hai đường đẳng giác góc BAC XOb , XOc hai đường đẳng giác góc BXC Ba Ab Cb Bc Ac Ca lục giác ngoại tiếp đường tròn (I) RS tiếp tuyến wa U V tiếp tuyến chung (I) (Ia ) A4 D trục đẳng phương wb wc Z, Y, K, J thuộc đường tròn 6 8 10 11 11 12 12 13 13 14 15 15 16 18 19 19 20 21 21 22 24 iv 1.27 1.28 1.29 1.30 1.31 1.32 1.33 1.34 (QM N ) qua điểm J T E phân giác góc AT B E, I, F thẳng hàng K, T, I thẳng hàng, K, Q, R thẳng hàng, Ma Q vng góc BC IQ qua điểm X cố định P, I, D thẳng hàng M N P Q cắt (O) M, T, X thẳng hàng 25 25 26 27 28 29 30 31 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.18 2.19 2.20 Đường tròn Thebault Cách dựng đường tròn Thebault I, E, F thẳng hàng I, O1 , O2 thẳng hàng (O1 ) tiếp xúc với (O2 ) Hai đường tròn (O1 ) (O2 ) Đường tròn nội tiếp hai tam giác EDB EDC G, E, L, X thuộc đường tròn A J trục đẳng phương (O1 ) (O2 ) (XY Z) tiếp xúc với (O) (XY Z) tiếp xúc với (O) ABCD hình vng M tâm ngoại tiếp tam giác BCN I trung điểm HE LK đường trung trực AI M N qua tâm bàng tiếp ứng với đỉnh B tam giác ABC 2EGF = DAB + DCB Đường tròn đường kính M N ln qua điểm J cố định R nằm đường tròn cố định Trục đẳng phương (K) (L) chia đôi cung AB CD (O) SM T N cắt E thuộc (O) P I phân giác góc DP C O1 O2 , I1 I2 , BC đồng quy R nằm phân giác BAC M P BC 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 44 45 46 47 48 49 50 2.21 2.22 2.23 2.24 51 52 53 54 55 Mở đầu Các toán hình học phẳng nghiên cứu từ lâu đến ln có sức hấp dẫn, niềm đam mê nhiều nhà toán học giới, thu hút yêu thích thầy dạy tốn học sinh Chúng thường xun xuất tạp chí tốn học, blog toán học, đề thi học sinh giỏi hay kì thi Olympic Trong kỳ thi học sinh giỏi, thường xuất tốn hình học có ứng dụng tính chất đường tròn Mixtilinear đường tròn Thebault (đường tròn Mixtilinear mở rộng) để giải Đường tròn Mixtilinear nội tiếp đường tròn tiếp xúc với hai cạnh tam giác tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác Đường tròn Mixtilinear vấn đề hình học phẳng, bắt đầu nghiên cứu người Nhật Bản từ kỷ XVII, toán khắc đền cổ Từ định nghĩa đường tròn tạo nhiều điều thú vị ẩn chứa bên Đến năm 1983, Bankoff [7] người giới thiệu thuật ngữ đường tròn Mixtilinear thiết lập cơng thức để biểu diễn bán kính đường tròn Mixtilinear theo bán kính đường tròn nội tiếp tam giác Từ đến có nhiều cơng trình nghiên cứu đường tròn Mixtilinear phát triển thêm thành đường tròn Mixtilinear ngoại tiếp, đường tròn Thebault Các tốn đường tròn đa dạng ln tốn nâng cao đòi hỏi tư logic, sáng tạo, kỹ chứng minh khéo léo kết hợp với kiến thức rộng khắp để áp dụng với kết khác hình học phẳng Nhắc đến đường tròn Mixtilinear đường tròn Thebault không nhắc đến định lý Thebault Đây định lý đẹp hình học phẳng Nguyên liệu chủ yếu chứng minh định lý Bổ đề Sawayama Vì vậy, chúng gộp chung thành tên gọi định lý Sawayama Thebault Định lý Sawayama Thebault coi bổ đề thơng dụng tốn Olympic khó, đơi việc dùng thơng dụng hiển nhiên tới mức khó nhận vai trò [3] Ở Việt Nam, tốn đường tròn Mixtilinear ứng dụng nhiều quan tâm, ý thầy cô, bạn học sinh yêu toán Chúng xuất rải rác tạp chí tốn học tạp chí Tốn học Tuổi trẻ, tạp chí Epsilon, tạp chí Mathley Một số blog toán học tiếng blog thầy Trần Quang Hùng, Nguyễn Văn Linh dành nhiều chuyên đề đề tài Trong tài liệu ôn tập đề thi tuyển chọn học sinh giỏi tỉnh, trường chun ln có tập liên quan đến đường tròn Mixtilinear đường tròn Thebault Với tầm quan trọng đường tròn Mixtilinear, đường tròn Thebault ứng dụng, mục đích tìm hiểu đường tròn Mixtilinear, chọn đề tài Một số vấn đề đường tròn Mixtilinear để nghiên cứu, trình bày làm luận văn cao học Luận văn tài liệu tổng hợp kiến thức liên quan đến đường tròn Mixtilinear định nghĩa, cách dựng, tính chất Luận văn tổng hợp toán ứng dụng liên quan nhằm cung cấp tài liệu tham khảo đầy đủ, trọn vẹn cho học thầy cô, em học sinh người u tốn Ngồi phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, luận văn chia thành chương Chương 1: Đường tròn Mixtilinear Chương trình bày số khái niệm, số định lý, kiến thức sở hình học phẳng mà chúng xuất chứng minh tính chất hay giải tốn liên đường tròn Mixtilinear Sau chúng tơi trình bày khái niệm, cách dựng, tính chất đường tròn Mixtilinear số ứng dụng Chương 2: Đường tròn Thebault Chương trình bày khái niệm đường tròn Thebault, cách dựng, tính chất đường Thebault Dựa vào đó, chúng tơi trình bày số tốn khó mà thường xuất hình kì thi học sinh giỏi liên quan đến đường tròn Thebault Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Ngun Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn tới PGS TS Trần Việt Cường, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn, cho tơi nhận xét q báu để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy cô, người tận tâm giảng dạy bảo tác giả suốt trình học tập thực luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết chân thành tới phòng Sau Đại học, khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên giúp đỡ tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập nghiên cứu khoa học Cuối xin gửi làm cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho học tập nghiên cứu Thái Nguyên, tháng 10 năm 2017 Người viết luận văn Nguyễn Thị Hằng Chương Đường tròn Mixtilinear Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm, số định lý, kết hình học phẳng mà chúng xuất chứng minh tính chất hay giải tốn liên đường tròn Mixtilinear Sau chúng tơi trình bày khái niệm, cách dựng, tính chất đường tròn Mixtilinear số ứng dụng Các tài liệu tham khảo [4, 6, 10, 11] 1.1 Một số kiến thức liên quan Định nghĩa 1.1.1 ([1]) Bốn điểm A, B, C, D gọi hàng điểm điều hòa CA DA =− Ký hiệu (ABCD) = −1 CB DE Tính chất 1.1.2 ([1]) Bốn điểm gọi hàng điểm điều hòa hệ thức sau thỏa mãn: 1 = + (hệ thức Descarter) AB CA DA 2 IA = IC · ID (với I trung điểm AB) (hệ thức Newton) Gọi J trung điểm CD, ta có AC · AD = AB · AJ (hệ thức Maclaurin) Định nghĩa 1.1.3 ([1]) Tứ giác ABCD nội tiếp thỏa mãn AB CB = AD CD gọi tứ giác điều hòa Ví dụ, cho đường tròn (O) điểm M nằm ngồi đường tròn M A M B tiếp tuyến vẽ từ M đến (O) Một cát tuyến qua M cắt (O) P Q Khi đó, AP BQ tứ giác điều hòa (Hình 1.1) ... đường tròn Mixtilinear đường tròn Thebault Với tầm quan trọng đường tròn Mixtilinear, đường tròn Thebault ứng dụng, mục đích tìm hiểu đường tròn Mixtilinear, chọn đề tài Một số vấn đề đường tròn. .. Chương Đường tròn Mixtilinear 1.1 Một số kiến thức liên quan 1.2 Đường tròn Mixtilinear 1.2.1 Định nghĩa cách dựng 1.2.2 Một số tính chất đường tròn Mixtilinear. .. Mixtilinear mở rộng) để giải Đường tròn Mixtilinear nội tiếp đường tròn tiếp xúc với hai cạnh tam giác tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác Đường tròn Mixtilinear vấn đề hình học phẳng, bắt