UBND HUYỆNYÊN LẠC PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN BẬC THCS NĂM HỌC 2011-2012 MƠN : TỐN ( Thời gian làm 150 phút không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1: (2 điểm) a, Cho A = x xy + x + + y yz + y + + z zx + z + Biết xyz=4, tính A b, Tính xác B= cos360 Câu 2: ( điểm) a, Giải phương trình − x + 10 + x = x + x + b, Vẽ đồ thị tìm giá trị nhỏ hàm số y = x − + x + Câu 3: (1,5 điểm) 1 1 1 a, Giải hệ phương trình : x − ÷ = y − ÷ = z − ÷ = xyz − y z x xyz 2 b, Cho a,b số nguyên dương thỏa mãn P = a + b số nguyên tố P − chia hết cho Giả sử số nguyên x,y thỏa mãn ax − by chia hết cho P Chứng minh hai số x,y chia hết cho P Câu 4: ( điểm) Cho đường tròn (O;R) điểm A ngồi đường tròn Từ điểm M di động đường thẳng d vng góc với OA A Vẽ tiếp tuyến MB,MC với đường tròn (O;R), B,C tiếp điểm Dây BC cắt OM OA H K a, Chứng minh OA.OK không đổi, từ suy BC ln qua điểm cố định b, Chứng minh H di động đường tròn cố định c, Cho biết OA=2R, xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác MBOC nhỏ Tính giá trị nhỏ Câu 5(1,5 điểm) a, Năm vận động viên mang số 1;2;3;4 chia cách thành hai nhóm Chứng tỏ hai nhóm ta ln có hai vận động viên mà hiệu số họ mang trùng với số mà người nhóm mang a b c b, Cho a, b, c > Chứng minh + + > b+c c+a a+b Hết Họ tên: SBD: UBND HUYỆNYÊN LẠC PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO Câu 1,a 1đ Nội dung ĐKXĐ x,y,z ≥ Kết hợp xyz=4 ⇒ x, y, z > 0; xyz = Điểm 0,25 Nhân tử mẫu hạng tử thứ hai với 0,25 A= 1,b 1đ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN BẬC THCS NĂM HỌC 2011-2012 MƠN : TỐN x , thay mẫu hạng tử thứ ba xyz ta x xy + x + + xy + xy + x + z ( z x + + xy ) =1 Suy A = ( A>0) µ =C µ = 720 Vẽ đường phân giác Vẽ tam giác cân ABC A, µA = 360 ,BC=1 ⇒ B CD, ta có tam giác ADC cân D, BCD cân C, AD=DC=CB=1 AH = x; Kẻ DH ⊥ AC Đặt AH=HC=x ⇒ cos36 = AD AB=AC=2x;BD=2x-1 Xét tam giác ABC , CD phân giác DA AC 1 ⇒ = ⇒ = x ⇒ 4x2 − 2x −1 = ⇒ x − ÷ = DB CB 2x −1 2 1+ ( Vì x>0) =± ⇒x= 2 1+ Vậy cos360 = ĐKXĐ phương trình là: −10 ≤ x ≤ Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có: 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 2x − 2,a 1đ − x + 10 + x ≤ (1 + 12 ) ( − x + 10 + x ) = 0,25 0,25 Mà x + x + = ( x + 1) + ≥ 0,25 − x = 10 + x ⇔ x = −1∈ ĐKXĐ Dấu = xảy ⇔ ( x + 1) = Vậy nghiệm phương trình x=-1 −2 x − 1( x ≤ −2 ) Tính y = 3 ( −2 ≤ x ≤ 1) x + 1( x ≥ ) Vẽ đồ thị: 0,25 2,b 1đ 0,25 0,25 0,5 y -3 x -2 -1 Quan sát đồ thị ta thấy y ≥ Vậy GTNN y=3 ⇔ −2 ≤ x ≤ 3,a ĐKXĐ hệ phương trình x; y; z ≠ 0,75đ 1 1 1 Đặt x − ÷ = y − ÷ = z − ÷ = xyz − =a y z x xyz a a a a3 1 1 ⇒ x− = ; y− = ;z− = ⇒ = xyz − −x+ − y+ −z+ y z x 36 xyz y z x a3 a a a 6a − a − 2a − 3a =a− − − = =0⇒a =0 36 6 ⇒ xy = yz = zx = ⇔ ( xyz ) = ⇒ xyz ∈ { −1;1} 0,25 0,25 ⇒ 0,25 Nếu xyz=1 x=y=z=1 Nếu xyz=-1 x=y=z=-1 Vậy nghiệm hệ phương trình (x;y;z) là: (1;1;1),(-1;-1;-1) 3,b Đặt P=8k+5 ( k số tự nhiên) 4k +2 0,75đ 4k +2 M( ax − bx ) ⇒ a k + x8 k +4 − b k + y k +4 MP − ( bx ) Ta có ( ax ) ⇒ ( a k + + b k +2 ) x8 k + − b k + ( x8k + + y8 k +4 ) MP Mà a k + + b k + = ( a ) k +1 + ( b2 ) k +1 Ma + b = P b