Hệ phương trình toán tử tham số hiệu chỉnh và sự hội tụ (Luận văn thạc sĩ)

Hệ phương trình toán tử tham số hiệu chỉnh và sự hội tụ (Luận văn thạc sĩ)Hệ phương trình toán tử tham số hiệu chỉnh và sự hội tụ (Luận văn thạc sĩ)Hệ phương trình toán tử tham số hiệu chỉnh và sự hội tụ (Luận văn thạc sĩ)Hệ phương trình toán tử tham số hiệu chỉnh và sự hội tụ (Luận văn thạc sĩ)Hệ phương trình toán tử tham số hiệu chỉnh và sự hội tụ (Luận văn thạc sĩ)Hệ phương trình toán tử tham số hiệu chỉnh và sự hội tụ (Luận văn thạc sĩ)Hệ phương trình toán tử tham số hiệu chỉnh và sự hội tụ (Luận văn thạc sĩ)Hệ phương trình toán tử tham số hiệu chỉnh và sự hội tụ (Luận văn thạc sĩ)Hệ phương trình toán tử tham số hiệu chỉnh và sự hội tụ (Luận văn thạc sĩ)Hệ phương trình toán tử tham số hiệu chỉnh và sự hội tụ (Luận văn thạc sĩ)Hệ phương trình toán tử tham số hiệu chỉnh và sự hội tụ (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THỊ PHƢỢNG HỆ PHƢƠNG TRÌNH TỐN TỬ: THAM SỐ HIỆU CHỈNH VÀ SỰ HỘI TỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THỊ PHƢỢNG HỆ PHƢƠNG TRÌNH TỐN TỬ: THAM SỐ HIỆU CHỈNH VÀ SỰ HỘI TỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 60 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Lâm Thùy Dƣơng THÁI NGUYÊN - 2017 iii Mục lục Bảng ký hiệu Mở đầu Chương Hệ phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh khơng gian Banach 1.1 Phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh phương pháp hiệu chỉnh 1.1.1 Một số tính chất hình học khơng gian Banach tốn tử đơn điệu Phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh phương 1.1.2 pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov 10 1.2 Hệ phương trình tốn tử không gian Banach 19 1.2.1 Phương trình tốn tử tốn cực trị 19 1.2.2 Hiệu chỉnh hệ phương trình tốn tử đơn điệu 20 Chương Nguyên lý tựa độ lệch chọn tham số hiệu chỉnh 2.1 2.2 25 Nguyên lý tựa độ lệch tốc độ hội tụ 25 2.1.1 Chọn tham số hiệu chỉnh theo nguyên lý tựa độ lệch 25 2.1.2 Tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh 30 Phương pháp hiệu chỉnh lặp ví dụ minh họa 32 2.2.1 2.2.2 Phương pháp hiệu chỉnh lặp 32 Ví dụ số minh họa 39 iv Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 Bảng ký hiệu R H tập hợp số thực không gian Hilbert thực X không gian Banach X∗ Lp [a, b], < p < ∞ không gian đối ngẫu X khơng gian hàm khả tích bậc p lp , < p < ∞ đoạn [a, b] không gian dãy số khả tổng bậc p ∅ ∀x tập rỗng với x D(A) R(A) miền xác định toán tử A miền ảnh toán tử A I xn → x0 toán tử đồng dãy {xn } hội tụ mạnh x0 xn dãy {xn } hội tụ yếu x0 x0 Jq J ánh xạ đối ngẫu tổng quát ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị Mở đầu Nhiều toán thực tiễn khoa học, công nghệ kinh tế đưa việc giải hệ phương trình tốn tử: Ai x = fi , i = 0, 1, , N, (1) đây, Ai : X → Y tốn tử từ khơng gian X vào không gian Y , fi ∈ Y cho trước N số dương cố định Trong thời gian dài người ta cho toán đặt giải Nhưng thực tế quan niệm sai lầm Trong tính tốn tốn thực tế máy tính ln diễn q trình làm tròn số Chính làm tròn dẫn đến sai lệch đáng kể nghiệm, tức có thay đổi nhỏ kiện đầu vào dẫn đến sai khác lớn nghiệm, chí làm cho tốn trở lên vơ nghiệm vơ định Người ta nói tốn đặt khơng chỉnh Bài tốn tìm nghiệm hệ phương trình tốn tử (1), nói chung, tốn đặt khơng chỉnh theo nghĩa thay đổi nhỏ liệu tốn dẫn đến sai khác lời giải Việc xây dựng phương pháp hữu hiệu giải toán nhà tốn học ngồi nước quan tâm nghiên cứu Mục đích đề tài luận văn trình bày phương pháp hiệu chỉnh phương pháp hiệu chỉnh lặp giải hệ phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh (1) không gian Banach, nêu cách chọn tham số hiệu chỉnh theo nguyên lý tựa độ lệch đưa ví dụ minh họa Nội dung đề tài viết sở báo [6] Nguyễn Bường, Trần Thị Hương Nguyễn Thị Thu Thủy công bố năm 2016 vấn đề sau: Phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh (1) không gian Banach; hội tụ phương pháp; tham số hiệu chỉnh chọn theo nguyên lý tựa độ lệch tốc độ hội tụ phương pháp Phương pháp hiệu chỉnh lặp giải hệ (1) kết số minh họa Ngoài phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, nội dung luận văn trình bày hai chương Chương trình bày khái niệm tính chất khơng gian Banach phản xạ lồi chặt, tốn tử đơn điệu, đơn điệu cực đại, ngược đơn điệu mạnh, toán tử liên tục Lipschitz; giới thiệu phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình tốn tử đơn điệu đặt khơng chỉnh, trình bày chứng minh hội tụ mạnh phương pháp Chương giới thiệu cách chọn tham số hiệu chỉnh theo nguyên lý tựa độ lệch, trình bày định lý đánh giá tốc độ hội tụ phương pháp; giới thiệu phương pháp hiệu chỉnh lặp, hội tụ phương pháp, đồng thời đưa ví dụ số minh họa cho phương pháp giới thiệu Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình TS Lâm Thùy Dương Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Cơ Trong q trình học tập nghiên cứu trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên tác giả nhận quan tâm giúp đỡ động viên Giáo sư Viện Tốn học, Viện Cơng nghệ Thông tin - Viện Hàn lâm Khoa học Cơng nghệ Việt Nam, thầy khoa Tốn – Tin Trường Đại học Khoa học Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy cô Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Trung học phổ thông Bắc Mê - Hà Giang anh chị em đồng nghiệp tạo điều kiện tốt cho tác giả thời gian học Cao học Xin cảm ơn anh chị em học viên lớp cao học K9C bạn bè đồng nghiệp trao đổi, động viên khích lệ tác giả q trình học tập làm luận văn trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên Thái Nguyên, tháng 10 năm 2017 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Phượng Chương Hệ phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh không gian Banach Chương giới thiệu hệ phương trình tốn tử đơn điệu khơng gian Banach, giới thiệu phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình tốn tử đơn điệu đặt không chỉnh hội tụ mạnh phương pháp Nội dung chương trình bày mục Mục 1.1 giới thiệu phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov Mục 1.2 giới thiệu hệ phương trình tốn tử đơn điệu không gian Banach phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh Nội dung chương tổng hợp từ tài liệu [1], [2], [3], [4] [6] 1.1 Phương trình tốn tử đặt không chỉnh phương pháp hiệu chỉnh 1.1.1 Một số tính chất hình học khơng gian Banach tốn tử đơn điệu Cho X khơng gian Banach với không gian đối ngẫu ký hiệu X ∗ Ta dùng ký hiệu cho chuẩn X X ∗ viết tích đối ngẫu x∗ , x thay cho giá trị phiếm hàm tuyến tính x∗ ∈ X ∗ điểm x ∈ X, tức x∗ , x = x∗ (x) Định nghĩa 1.1.1 Không gian Banach X gọi phản xạ, với phần tử x∗∗ ∈ X ∗∗ , không gian liên hợp thứ hai X, tồn phần tử x ∈ X cho x∗ (x) = x∗∗ (x∗ ) với x∗ ∈ X ∗ Định lý 1.1.2 (xem [3]) Cho X khơng gian Banach Khi đó, khẳng định sau tương đương: (i) X không gian phản xạ (ii) Mọi dãy bị chặn X có dãy hội tụ yếu Ví dụ 1.1.3 Các không gian lp , không gian Lp [a, b], < p < ∞ không gian Banach phản xạ Ký hiệu SX := {x ∈ X : x = 1} mặt cầu đơn vị không gian Banach X Định nghĩa 1.1.4 Không gian Banach X gọi lồi chặt với điểm x, y ∈ X, x = y, mà x = 1, y = x+y < Ví dụ 1.1.5 Không gian X = Rn với chuẩn x n x xác định 1/2 x2i = , x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn i=1 không gian lồi chặt Không gian X = Rn , n ≥ với chuẩn x xác định n x |xi |, = x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn i=1 không gian lồi chặt Thật vậy, lấy x = (1, 0, , 0), y = (0, 1, 0, , 0) ∈ Rn Ta thấy x = y, x = y = x + y = Định nghĩa 1.1.6 Không gian Banach X gọi không gian trơn với điểm x nằm mặt cầu đơn vị SX X tồn phiếm hàm gx ∈ X ∗ cho gx , x = x gx = ... sau: Phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh (1) không gian Banach; hội tụ phương pháp; tham số hiệu chỉnh chọn theo nguyên lý tựa độ lệch tốc độ hội tụ phương pháp Phương. .. giới thiệu phương trình tốn tử đặt không chỉnh phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov Mục 1.2 giới thiệu hệ phương trình tốn tử đơn điệu không gian Banach phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình. .. giới thiệu hệ phương trình tốn tử đơn điệu không gian Banach, giới thiệu phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình tốn tử đơn điệu đặt không chỉnh hội tụ mạnh phương pháp Nội dung chương trình bày