www.thuvienhoclieu.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI OLIMPIC LỚP 10 CẤP TỈNH Năm học 2016 – 2017 Môn thi : Thời gian: Ngày thi : ĐỀ CHÍNH THỨC TỐN 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) 25/3/2017 Câu (5,0 điểm) a) Giải phương trình x − x − + ( x − 1) x + = 3 x + xy + x = y + yx + y b) Giải hệ phương trình x − y + x + y + = xy − x + Câu (4,0 điểm) a) Cho parabol (P) có phương trình y = x − x + , đường thẳng d có phương trình y = (2m + 1) x + điểm M(3;3) Tìm tất các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt parabol (P) điểm phân biệt A, B cho tam giác MAB vuông cân M b) Tìm tất các giá trị của tham số m để hàm số y = x2 − x + − có tập xác định R x − 2mx + Câu (4,0 điểm) Cho số thực dương x, y , z thỏa x + y + z ≤ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức H= y z x + + x + y + y + 2z + z + 2x + Câu (4,0 điểm) a) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho điểm A(3; −3) đường thẳng d có phương trình x − y + = Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với d B(1;1) qua A b) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông A, H chân đường cao vẽ từ A của tam giác ABC; D E hình chiếu vng góc của H lên AB AC; I giao điểm của AH DE Điểm A nằm đường thẳng ∆ có phương trình x − y − = , phương trình đường 5 thẳng DE 3x + y − = ; M − ; − ÷ trung điểm của BC, I có hồnh đợ nhỏ 1, E có hồnh 4 đợ dương tứ giác ADHE có diện tích Tìm tọa đợ điểm A, D, H, E Câu (3,0 điểm) Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC BD cắt O; I J trung điểm của AD BC uuuu r uuur r uuur uuur r a) Gọi M N nằm DJ DC cho: MD + MJ = NC + ND = Chứng minh rằng: B, M, N thẳng hàng b) Gọi H K trực tâm của ∆ OAB ∆ OCD Chứng minh HK vng góc với IJ –––––––––––– Hết –––––––––––– Họ tên thí sinh: … …………………………………….; Sớ báo danh: ………………… www.thuvienhoclieu.com Page www.thuvienhoclieu.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI OLIMPIC LỚP 10 CẤP TỈNH Năm học 2016 – 2017 ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Mơn thi: TỐN (Đáp án – Thang điểm gồm trang) Câu Đáp án Câu a) Giải phương trình x − x − + ( x − 1) x + = (5,0 Điều kiện: x ≥ −1 điểm) + Đặt t = x + ( t ≥ ) Suy x = t − Điểm 2,5 0,25 0,25 + P hương trình đã cho trở thành : 2t + t − 9t − 2t = 0,5 t = ⇔ 2t + t − 9t − = 0,25 - Với t = suy x = −1 - Xét phương trình 2t + t − 9t − = 2t + t − 9t − = ⇔ (t − 2)(2t + 5t + 1) = 0,25 ⇔ t = (vì 2t + 5t + > 0, ∀t ≥ ) Với t = −2 suy x = Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = −1 x = 0,25 0,25 0,25 0,25 3 x + xy + x = y + yx + y b) Giải hệ phương trình x − y + x + y + = xy − 3x + Điều kiện: x − y ≥ x + y + ≥ - Xét phương trình thứ nhất hệ: x + xy + x = y + yx + y ⇔ ( x − y )( x + y + 1) = ⇔ x = y (vì x + y + > ) + Với x = y thay vào phương trình thứ hai ta được: Điều kiện: x ≥ Khi đó, ta có: 2,5 0,25 0,25 0,25 x + x + = x − 3x + 0,25 x + x + = x − x + ⇔ ( x − 2) + ( x + − 3) = x − 3x − ⇔ x−4 2( x − 4) + − ( x + 1) = + = ( x + 1)( x − 4) ⇔ ( x − ) 2x +1 + x +2 2x + + x +2 x = ⇔ + = x + (*) 2x + + x + * Với x ≥ ta có 2 + ≤ + = ≤ x + (dấu xảy x=0) x +2 2x + + + 0,5 0,25 0,5 Do pt (*) có mợt nghiệm nhất x = www.thuvienhoclieu.com Page www.thuvienhoclieu.com x = x = Vậy nghiệm của hệ phương trình là: y = y = Câu a) Cho parabol (P) có phương trình y = x − 3x + , đường thẳng d có phương (4,0 trình y = (2m + 1) x + điểm M(3 ;3) Tìm tất giá trị của tham số m để điểm) đường thẳng d cắt parabol (P) điểm phân biệt A, B cho tam giác MAB vuông cân M + Phương trình hồnh đợ giao điểm của (P) d là: x − 2(m + 2) x − = (*) + Phương trình (*) ln có hai nghiệm phân biệt (vì a.c < ) Suy d cắt parabol (P) điểm phân biệt A, B với mọi giá trị của m + Gọi A ( x1 ;(2m + 1) x1 + ) B ( x2 ;(2m + 1) x2 + ) (với x1 x2 hai nghiệm của phương trình (*)) uuur uuur + MA = ( x1 − 3;(2m + 1) x1 − 1) MB = ( x2 − 3;(2m + 1) x2 − 1) +uu Tam giác MAB vuông M suy ra: ur uuur MA.MB = ⇔ ( x1 − 3) ( x2 − ) + [ (2m + 1) x1 − 1] [ (2m + 1) x2 − 1] = 0,25 2,0 0,25 0,25 0,25 0,25 ⇔ x1 x1 − 3( x1 + x2 ) + + (2m + 1) x1 x1 − (2m + 1)( x1 + x2 ) + = ⇔ −1 − 6(m + 2) + − (2m + 1) − (2m + 1)2( m + 2) + = m = −2 ⇔ −8m − 20m − = ⇔ m = − + Với m = −2 Suy x1 = −1 , x2 = uuur uuur uuur uuur Khi đó: MA = ( −4; ) , MB = ( −2; −4 ) Suy MA = MB − 13 + 13 + Với m = − Suy x1 = , x2 = 2 uuur −3 − 13 uuur uuur uuur −3 + 13 ; −1 ÷ MB = ; − MA ≠ MB Khi đó: MA = , Suy ÷ ÷ ÷ 2 (không thỏa) Vậy với m = −2 , tam giác MAB vuông cân M www.thuvienhoclieu.com 0,5 0,25 0,25 0,25 Page www.thuvienhoclieu.com b) Tìm tất giá trị của tham sớ m để hàm số y = x2 − x + − có tập xác x − 2mx + 2,0 định R Hàm số y = x2 − x + − có tập xác định D=R x − 2mx + 2x2 − x + − ≥ 0, ∀x ∈ R x − 2mx + ⇔ 0,25 2x2 − x + ≥ 1, ∀x ∈ R (vì x − x + > 0, ∀x ∈ R ) x − 2mx + x − 2mx + ≠ 0, ∀x ∈ R ⇔ 2 x − 2mx + ≤ x − x + 2, ∀x ∈ R x − 2mx + ≠ 0, ∀x ∈ R ⇔ 2 −(2 x − x + 2) ≤ x − 2mx + ≤ x − x + 2, ∀x ∈ R x − 2mx + ≠ 0, ∀x ∈ R ⇔ x + (2m − 1) x + ≥ 0, ∀x ∈ R 3 x − (2m + 1) x + ≥ 0, ∀x ∈ R ∆ '1 = m − < ⇔ ∆ = (2m − 1) − ≤ ∆ = (2m + 1) − 36 ≤ ⇔ − ≤ m Với ta có : + + ≥ m n k m+n+k 2 2 b c a a b c ≤ + + ( a + b + c ) = m + n + k Thật vậy: ÷ m n k ÷( m + n + k ) n k m 4,0 1,0 0,25 Ta chứng minh ⇒ 0,5 0,5 a b c a b c (a + b + c) (dấu xảy : = = ) + + ≥ m n k m n k m+n+k Khi đó: VT (*) = ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) + + ( x + 1)( x + y + 1) ( y + 1)( y + z + 1) ( z + 1)( z + x + 1) ≥ ( x + y + z + 3) ( x + 1)( x + y + 1) + ( y + 1)( y + z + 1) + ( z + 1)( z + x + 1) Lại có: ( x + 1)( x + y + 1) + ( y + 1)( y + z + 1) + ( z + 1)( z + x + 1) = x + y + z + xy + yz + zx + 3( x + y + z ) + = ( x + y + z + xy + yz + zx ) + 6( x + y + z ) + ( x + y + z ) + ≤ ( x + y + z + xy + yz + zx) + 6( x + y + z ) + + (vì x + y + z ≤ ) 1 = ( x + y + z ) + 2( x + y + z )3 + = ( x + y + z + 3) 2 1,0 ( x + y + z + 3) ( x + y + z + 3) ≥ =2 Suy ( x + 1)( x + y + 1) + ( y + 1)( y + z + 1) + ( z + 1)( z + x + 1) ( x + y + z + 3) x +1 y +1 z +1 + + ≥ Suy x + y +1 y + z +1 z + x +1 0,5 www.thuvienhoclieu.com Page www.thuvienhoclieu.com Suy H ≤ , dấu xảy x = y = z = Vậy max H = x = y = z = 0,25 Câu a) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho điểm A(3; −3) đường thẳng d có (4,0 phương trình x − y + = Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với d điểm) B(1;1) qua A 2,0 + Tâm I của đường tròn (C) nằm đường thẳng d’ vng góc với d B + Viết phương trình đường thẳng d’ x + y − = + I ∈ d ' ⇒ I ( a;3 − 2a ) + IA = IB ⇒ a = ⇒ I (2; −1) + Bán kính của đường tròn (C) R = 0,25 0,5 0,25 0,5 0,25 Suy phương trình đường tròn (C) là: ( x − 2) + ( y + 1) = b) Cho tam giác ABC vuông A, H chân đường cao vẽ từ A của tam giác ABC; D E hình chiếu vng góc của H lên AB AC; I giao điểm của AH DE Điểm A nằm đường thẳng ∆ có phương trình x − y − = , phương trình 5 đường thẳng DE 3x + y − = ; M − ; − ÷ trung điểm của BC, I có hồnh 4 đợ nhỏ 1, E có hồnh đợ dương tứ giác ADHE có diện tích Tìm tọa đợ điểm A, D, H, E 0,25 2,0 (∆):2x-3y-4=0 A E _ 3x+y-2=0 K D B I \ // H ( M - ;- ) // C + Gọi K giao điểm của DE AM · · · + ECH (cùng phụ với HAC ) = IAD · · · · Mà IAD = IDA Suy ECH = IDA · · · · Mà ECH Do IDA = MAC = MAC · · · · Lại có MAC + MAD = 900 nên IDA + MAD = 900 Suy tam giác AKD vuông K + Viết phương trình đường thẳng (AM):x-3y-2=0 Suy A(2;0) + S ADHE = ⇒ S IAE = , AK = d ( A, DE ) = 10 10 Suy IE = ⇒ AI = 10 2 0,5 0,25 0,25 + Gọi I(a;2-3a) nằm DE, với a