Trắc nghiệm Giới hạn có lòi giải chi tiết bao gồm giới hạn dãy số, hàm số và hàm số liên tục. Bài tập trắc nghiệm có phương pháp giải cho từng dạng toán. PHẦN I – ĐỀ BÀI 4 GIỚI HẠN DÃY SỐ 4 A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP 4 B – BÀI TẬP 4 DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA 4 DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN 7 GIỚI HẠN HÀM SỐ 15 A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT 15 B – BÀI TẬP 15 DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG BẰNG ĐỊNH NGHĨA HOẶC TẠI MỘT ĐIỂM 15 DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH 18 DẠNG 3: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH 23 DẠNG 4: GIỚI HẠN MỘ BÊN VÀ CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH KHÁC 27 DẠNG 5 : GIỚI HẠN LƯỢNG GIÁC 29 HÀM SỐ LIÊN TỤC 32 A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP 32 B – BÀI TẬP 32 DẠNG 1: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 32 DẠNG 2: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH 37 DẠNG 3: ÁP DỤNG TÍNH LIÊN TỤC XÉT SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH 41 ÔN TẬP CHƯƠNG IV 42 PHẦN II – HƯỚNG DẪN GIẢI 50 GIỚI HẠN DÃY SỐ 50 A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP 50 B – BÀI TẬP 50 DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA 50 DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN 55 GIỚI HẠN HÀM SỐ 78 A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT 78
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Trang Giới hạn – ĐS> 11 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Giới hạn – ĐS> 11 MỤC LỤC PHẦN I – ĐỀ BÀI GIỚI HẠN DÃY SỐ B – BÀI TẬP DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN GIỚI HẠN HÀM SỐ 14 A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT 14 B – BÀI TẬP 15 DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG BẰNG ĐỊNH NGHĨA HOẶC TẠI MỘT ĐIỂM 15 DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VƠ ĐỊNH 18 DẠNG 3: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VƠ ĐỊNH 23 DẠNG 4: GIỚI HẠN MỘ BÊN VÀ CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH KHÁC 27 DẠNG : GIỚI HẠN LƯỢNG GIÁC .29 HÀM SỐ LIÊN TỤC 32 A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP 32 B – BÀI TẬP 32 DẠNG 1: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 32 DẠNG 2: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH 37 DẠNG 3: ÁP DỤNG TÍNH LIÊN TỤC XÉT SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH .41 ƠN TẬP CHƯƠNG IV 42 PHẦN II – HƯỚNG DẪN GIẢI 50 GIỚI HẠN DÃY SỐ 50 B – BÀI TẬP 50 DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA .50 DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN 55 GIỚI HẠN HÀM SỐ 77 A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT 77 B – BÀI TẬP 77 DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG BẰNG ĐỊNH NGHĨA HOẶC TẠI MỘT ĐIỂM 77 DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH 84 DẠNG 3: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VƠ ĐỊNH 94 Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Giới hạn – ĐS> 11 DẠNG 4: GIỚI HẠN MỘ BÊN VÀ CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH KHÁC 105 DẠNG : GIỚI HẠN LƯỢNG GIÁC 109 HÀM SỐ LIÊN TỤC 117 A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP 117 B – BÀI TẬP .117 DẠNG 1: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 117 DẠNG 2: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH .125 DẠNG 3: ÁP DỤNG TÍNH LIÊN TỤC XÉT SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH 133 ĐÁP ÁN ÔN TẬP CHƯƠNG IV 135 Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Giới hạn – ĐS> 11 PHẦN I – ĐỀ BÀI GIỚI HẠN DÃY SỐ A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIỚI HẠN HỮU HẠN Giới hạn đặc biệt: 1 lim = (k ∈ ¢ + ) lim = ; k n →+∞ n→+∞ n n n lim q = ( q < 1) ; n→+∞ lim C = C n→+∞ Định lí : a) Nếu lim un = a, lim = b • lim (un + vn) = a + b • lim (un – vn) = a – b • lim (un.vn) = a.b u a • lim n = (nếu b ≠ 0) b b) Nếu un ≥ 0, ∀n lim un= a a ≥ lim un = a c) Nếu un ≤ ,∀n lim = lim un = d) Nếu lim un = a lim un = a Tổng cấp số nhân lùi vô hạn u S = u1 + u1q + u1q2 + … = ( q < 1) 1− q GIỚI HẠN VÔ CỰC Giới hạn đặc biệt: lim n = +∞ limnk = +∞ (k ∈ ¢ + ) limqn = +∞ (q > 1) Định lí: a) Nếu lim un = +∞ lim =0 un b) Nếu lim un = a, lim = ±∞ lim c) Nếu lim un = a ≠ 0, lim = u +∞ nế u a.vn > lim n = neá u a.vn < −∞ un =0 d) Nếu lim un = +∞, lim = a +∞ nế u a> lim(un.vn) = neá u a< −∞ * Khi tính giới hạn có dạng vơ ∞ định: , , ∞ – ∞, 0.∞ phải tìm cách khử ∞ dạng vơ định B – BÀI TẬP DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA Phương pháp: • Để chứng minh lim un = ta chứng minh với số a > nhỏ tùy ý tồn số na cho un < a ∀n > na • Để chứng minh lim un = l ta chứng minh lim(un − l ) = • Để chứng minh lim un = +∞ ta chứng minh với số M > lớn tùy ý, tồn số tự nhiên nM cho un > M ∀n > nM • Để chứng minh lim un = −∞ ta chứng minh lim(−un ) = +∞ • Một dãy số có giới hạn giới hạn Câu Chọn mệnh đề mệnh đề sau: A Nếu lim un = +∞ , lim un = +∞ Trang B Nếu lim un = +∞ , lim un = −∞ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word C Nếu lim un = , lim un = Câu Giá trị lim bằng: n +1 A B 1 Câu Giá trị lim k ( k ∈ ¥ *) bằng: n A B 2 sin n Câu Giá trị lim bằng: n+2 A B Câu Giá trị lim(2n + 1) bằng: A +∞ B −∞ 1− n Câu Giá trị lim bằng: n A +∞ B −∞ Câu Giá trị lim bằng: n +1 A +∞ B −∞ cos n + sin n Câu Giá trị lim bằng: n2 + A +∞ B −∞ n +1 bằng: n+2 B −∞ 3n + n bằng: lim n2 B −∞ 2−n lim bằng: n +1 B −∞ 2n + A = lim bằng: n−2 B −∞ 2n + B = lim bằng: n +1 B −∞ Giới hạn – ĐS> 11 D Nếu lim un = − a , lim un = a C D C D C D C D C D C D C D C D C D C D C D C D C D 1 D Câu Giá trị lim A +∞ Câu 10 Giá trị A +∞ Câu 11 Giá trị A +∞ Câu 12 Giá trị A +∞ Câu 13 Giá trị A +∞ n +1 bằng: n +1 A +∞ B −∞ n−2 n Câu 15 Giá trị A = lim bằng: 2n Câu 14 Giá trị C = lim A +∞ Câu 16 Giá trị B = lim Trang B −∞ n sin n − 3n bằng: n2 C http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word A +∞ Câu 17 Giá trị A +∞ Câu 18 Giá trị A +∞ Câu 19 Giá trị A +∞ Câu 20 Giá trị A +∞ Trang B −∞ C = lim bằng: n +2 n +7 B −∞ 4n + D = lim bằng: n + 3n + B −∞ n a lim = bằng: n! B −∞ n lim a với a > bằng: B −∞ Giới hạn – ĐS> 11 C −3 D C D C D C D C D http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Giới hạn – ĐS> 11 DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN Phương pháp: • Sử dụng định lí giới hạn, biến đổi đưa giới hạn f ( n) • Khi tìm lim ta thường chia tử mẫu cho n k , k bậc lớn tử g ( n) mẫu • Khi tìm lim k f ( n) − m g ( n) lim f (n) = lim g ( n) = +∞ ta thường tách sử dụng phương pháp nhân lượng liên + Dùng đẳng thức: ( a − b) ( a + b) = a − b; ( a − b) ( a2 + ab + b2 ) = a − b • Dùng định lí kẹp: Nếu un ≤ ,∀n lim = lim un = Khi tính giới hạn dạng phân thức, ta ý số trường hợp sau đây: • Nếu bậc tử nhỏ bậc mẫu kết giới hạn • Nếu bậc từ bậc mẫu kết giới hạn tỉ số hệ số luỹ thừa cao tử mẫu • Nếu bậc tử lớn bậc mẫu kết giới hạn +∞ hệ số cao tử mẫu dấu kết –∞ hệ số cao tử mẫu trái dấu Câu Cho dãy số ( un ) với un = n cos 2n Câu Kết lim − ÷ là: n +1 A un +1 n < Chọn giá trị lim un số sau: n un A Câu Giá trị A = lim B C D B C –4 D 2n + bằng: − 3n A +∞ B −∞ C − D 4n + 3n + Câu Giá trị B = lim bằng: (3n − 1)2 A +∞ Câu Kết lim A − Câu Giới hạn dãy số ( un ) Trang B −∞ C D − n + 2n + 3n + 2 B − 3n − n với un = là: 4n − C − D http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word A −∞ B +∞ Câu Chọn kết lim C 2n + 3n + Câu Giá trị A = lim bằng: 3n − n + B C −∞ A +∞ B −∞ C n + 2n n − 3n2 + A +∞ A +∞ Câu 11 Giá trị D = lim A +∞ + 1) ( n + 2) Câu 15 Giá trị D = lim A +∞ Câu 16 Giá trị E = lim A +∞ Câu 17 Giá trị F = lim A +∞ Trang D C 1− 3 −1 D 3n3 + − n bằng: 2n + 3n + + n A +∞ B −∞ (n − 2)7 (2n + 1)3 Câu 13 Giá trị F = lim bằng: (n + 2)5 A +∞ B −∞ n3 + C = lim Câu 14 Giá trị bằng: n(2n + 1) A +∞ C 16 bằng: B −∞ Câu 12 Giá trị C = lim D 2n + n + − n 1− C bằng: n + − 3n + D n17 + B −∞ 2 D +∞ bằng: B −∞ 2n Câu 10 Giá trị C = lim ( D n − 2n + : + 5n A Câu Giá trị B = lim Giới hạn – ĐS> 11 C D C D B −∞ C D n3 − 3n + bằng: n + 4n + B −∞ C D n + 2n + bằng: n+2 B −∞ C D n − n + + 2n 3n3 + n − n B −∞ bằng: C 3 −1 D http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Câu 18 Cho dãy số un với un = ( n − 1) A −∞ Câu 19 lim A +∞ B 10 n4 + n2 + 2n + Chọn kết lim un là: n + n2 − C.1 D +∞ : B 10 n +1 − Câu 20 Tính giới hạn: lim n +1 + n B A Câu 21 Tính giới hạn: lim A Giới hạn – ĐS> 11 + + + + ( 2n + 1) 3n + B C D −∞ C −1 D 2 C D C D n2 − 1 Câu 22 Chọn kết lim + − + n 2n A Câu 23 Giá trị D = lim B ak n k + + a1n + a0 (Trong k , p số nguyên dương; ak bp ≠ ) bp n p + + b1n + b0 bằng: A +∞ B −∞ − 5n − Câu 24 Kết lim n là: + 2.5n A − B − 50 n n −1 − 4.2 − Câu 25 lim bằng: 3.2n + 4n A +∞ B −∞ 3.2n − 3n Câu 26 Giá trị C = lim n +1 n+1 bằng: +3 A +∞ B −∞ n n Câu 27 Giá trị lim ( − ) là: A −∞ B +∞ 3.2 n − 3n Câu 28 Giá trị K = lim n +1 n +1 bằng: +3 A − B −∞ 5n − Câu 29 lim n : +1 A +∞ B Trang C Đáp án khác D D − C D D C C − 25 C D −2 C D C D −∞ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Câu 30 lim Giới hạn – ĐS> 11 4n + 2n +1 : 3n + n + B 3.3n + 4n Câu 31 Giá trị C = lim n +1 n +1 bằng: +4 A +∞ B A C D +∞ C D 1 + a + a + + a Câu 32 Cho số thực a,b thỏa a < 1; b < Tìm giới hạn I = lim + b + b2 + + b n 1− b A +∞ B −∞ C D 1− a ak n k + ak −1n k −1 + + a1n + a0 Câu 33 Tính giới hạn dãy số A = lim với ak bp ≠ : bp n p + b p −1n p −1 + + b1n + b0 A +∞ B −∞ C Đáp án khác D nπ − n3 ÷ bằng: Câu 34 lim n sin A +∞ B C −2 D −∞ n + 6n − n bằng: ( n + n + − n bằng: B −∞ A +∞ Câu 36 Giá trị H = lim A +∞ ( Bài 40 Giá trị K = lim n B −∞ ( Câu 40 Giá trị B = lim A +∞ Câu 41 Giá trị D = lim ) C D 1 D C ) n − − 3n + là: ) C D C D C D 3 D n + 6n − n bằng: B −∞ ( A +∞ Câu 42 Giá trị M = lim Trang 10 D ) B −∞ ( ( n + − n bằng: ( Câu 38 Giá trị lim Câu 39 Giá trị A = lim D C B −∞ A +∞ C 2n + − n bằng: A +∞ A +∞ ) B −∞ A +∞ Câu 37 Giá trị B = lim ) ( Câu 35 Giá trị M = lim n ) n3 + 9n − n bằng: B −∞ n + 2n − n + 2n 3 ) bằng: B −∞ ( C ) − n − 8n3 + 2n bằng: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Giới hạn – ĐS> 11 x − 3x + + x > x −1 Câu 10 Cho hàm số f ( x) = Khẳng định sau 3 x + x − x ≤ A Hàm số liên tục x = B Hàm số liên tục điểm C Hàm số không liên tục x = D Tất sai Hướng dẫn giải: Chọn C ( x − 1)( x − 2) lim f ( x) = lim+ + 2 = x →1 x −1 lim− f ( x) = lim− x + x − = ≠ lim+ f ( x) x →1+ x →1 x →1 ( ) x →1 Hàm số không liên tục x = πx x ≤ cos Câu 11 Cho hàm số f ( x ) = Khẳng định sau x −1 x > A Hàm số liên tục tại x = x = −1 B Hàm số liên tục x = , không liên tục điểm x = −1 C Hàm số không liên tục tại x = x = −1 D Tất sai Hướng dẫn giải: Chọn B Hàm số liên tục x = , không liên tục điểm x = − 2x +1 −1 liên tục điểm x = x( x + 1) Câu 12 Chọn giá trị f (0) để hàm số f ( x) = A Hướng dẫn giải: B C D Chọn A 2x + −1 2x = lim =1 x →0 x ( x + 1) x( x + 1) x + + f ( x ) = lim Ta có : lim x →0 x →0 ( ) Vậy ta chọn f (0) = Câu 13 Chọn giá trị f (0) để hàm số f ( x ) = A B 2x + − liên tục điểm x = 3x + − 2 C D 9 Hướng dẫn giải: Chọn C f ( x) = lim Ta có : lim x→0 x →0 Vậy ta chọn f (0) = Trang 121 ( ( 3x + + ) (2 x + 8) + x + + ) = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Giới hạn – ĐS> 11 x+ x+2 x > −1 Câu 14 Cho hàm số f ( x) = x + Khẳng định sau 2 x + x ≤ −1 A Hàm số liên tục tại x0 = −1 B Hàm số liên tục điểm C Hàm số không liên tục tại x0 = −1 D Tất sai Hướng dẫn giải: Chọn C f ( x) = lim− ( x + 3) = Ta có: f (−1) = xlim →−1− x →−1 x+ x+2 x2 − x − = lim+ x →−1 x →−1 x →−1 ( x + 1)( x − x +1 x + 2) x−2 lim+ = x →−1 x − x+2 Suy lim+ f ( x) ≠ lim− f ( x ) lim+ f ( x) = lim+ x →−1 x →−1 Vậy hàm số không liên tục x0 = −1 x +1+ x −1 x ≠ Câu 15 Cho hàm số f ( x) = Khẳng định sau x 2 x = A Hàm số liên tục x0 = B Hàm số liên tục điểm gián đoạn x0 = C Hàm số không liên tục x0 = D Tất sai Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có: f (0) = lim f ( x) = lim x →0 x →0 1+ x −1 x + + x −1 = lim 1 + ÷ ÷ x →0 x x = lim 1 + ÷ = = f (0) x →0 − x −1 + x −1 Vậy hàm số liên tục x = x −1 x ≠ x − Câu 16 Cho hàm số f ( x) = Khẳng định sau 1 x = A Hàm số liên tục x = B Hàm số liên tục điểm C Hàm số không liên tục tại x = D Tất sai Hướng dẫn giải: Chọn C Trang 122 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Giới hạn – ĐS> 11 x −1 1 = lim = = f (1) x → x −1 x + x +1 Hàm số liên tục điểm x = x2 − x − + x x > Câu 17 Cho hàm số f ( x) = x − x2 − x + x ≤ Ta có : lim f ( x ) = lim x →1 x →4 Khẳng định sau A Hàm số liên tục x0 = B Hàm số liên tục điẻm C Hàm số không liên tục x0 = D Tất sai Hướng dẫn giải: Chọn C ( x + 1)( x − 2) + 2x = x−2 Ta có : lim+ f ( x) = lim+ x→2 x →2 lim− f ( x) = lim− ( x − x + ) = ≠ lim+ f ( x) x→2 x→2 x→2 Hàm số không liên tục x0 = x + 2a x < Câu 18 Tìm a để hàm số f ( x ) = liên tục x = x + x + x ≥ 1 A B C D Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có : lim+ f ( x) = lim+ ( x + x + 1) = x →0 x→0 lim− f ( x) = lim− ( x + 2a) = 2a x →0 x →0 4x + −1 x ≠ Câu 19 Tìm a để hàm số f ( x ) = ax + (2a + 1) x liên tục x = 3 x = 1 A B C − D Suy hàm số liên tục x = ⇔ a = Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có : lim f ( x) = lim x→0 = lim x →0 x →0 4x + −1 x ( ax + 2a + 1) ( ax + 2a + 1) ( Hàm số liên tục x = ⇔ Trang 123 ) 4x +1 +1 = 2a + =3⇔ a =− 2a + http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Giới hạn – ĐS> 11 3x + − x > x2 −1 a f ( x ) = Câu 20.Tìm để hàm số liên tục x = a( x − 2) x ≤ x −3 1 A B C D 4 Hướng dẫn giải: Chọn C 3x + − = x →1 x →1 x2 −1 a ( x − 2) a lim− f ( x) = lim− = x →1 x →1 x −3 a 3 Suy hàm số liên tục x = ⇔ = ⇒ a = Ta có : lim+ f ( x) = lim+ Trang 124 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Giới hạn – ĐS> 11 DẠNG 2: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH Phương pháp: + Sử dụng định lí tính liên tục hàm đa thức, lương giác, phân thức hữu tỉ … + Nếu hàm số cho dạng nhiều cơng thức ta xét tính liên tục khoảng chia điểm chia khoảng Câu Tìm khẳng định khẳng định sau: ( I ) f ( x ) = liên tục ¡ x −1 sin x có giới hạn ( II ) f ( x ) = x → x ( III ) f ( x ) = − x liên tục đoạn [ −3;3] A Chỉ ( I ) ( II ) B Chỉ ( II ) ( III ) C Chỉ ( II ) D Chỉ ( III ) Hướng dẫn giải: Chọn B Dễ thấy kđ (I) sai, Kđ (II) lí thuyết Hàm số: f ( x ) = − x liên tục khoảng ( −3;3) Liên tục phải liên tục trái −3 Nên f ( x ) = − x liên tục đoạn [ −3;3] Câu Tìm khẳng định khẳng định sau: ( I ) f ( x ) = x + liên tục với x ≠ x −1 ( II ) f ( x ) = sin x liên tục ¡ x ( III ) f ( x ) = liên tục x = x A Chỉ ( I ) B Chỉ ( I ) ( II ) C Chỉ ( I ) ( III ) D Chỉ ( II ) ( III ) Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có ( II ) hàm số lượng giác liên tục khoảng tập xác định x , x ≥ x x = Ta có ( III ) f ( x ) = x x − , x < x f ( x ) = lim− f ( x ) = f ( 1) = Khi xlim →1+ x →1 x liên tục x = x x2 − ,x≠ Câu Cho hàm số f ( x ) = x − Tìm khẳng định khẳng định sau: 2 ,x= ( I ) f ( x ) liên tục x = Vậy hàm số y = f ( x ) = Trang 125 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word ( II ) f ( x ) gián đoạn x = ( III ) f ( x ) liên tục ¡ A Chỉ ( I ) ( II ) C Chỉ ( I ) ( III ) Giới hạn – ĐS> 11 B Chỉ ( II ) ( III ) D Cả ( I ) , ( II ) , ( III ) Hướng dẫn giải: Chọn C ( Với x = ta có f ) ( ) x2 − 3; +∞ , ( 1) liên tục khoảng −∞; x− x2 − 3 = lim f ( x ) = lim = = f nên hàm số liên tục x→ x→ x − Với x ≠ ta có hàm số f ( x ) = ( ) ( ) x = , ( 2) Từ ( 1) ( ) ta có hàm số liên tục ¡ Câu Tìm khẳng định khẳng định sau: ( I ) f ( x ) = x5 – x + liên tục ¡ ( II ) f ( x ) = liên tục khoảng ( –1;1) x −1 ( III ) f ( x ) = x − liên tục đoạn [ 2; +∞ ) A Chỉ ( I ) B Chỉ ( I ) ( II ) C Chỉ ( II ) ( III ) Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có ( I ) f ( x ) = x − x + hàm đa thức nên liên tục ¡ Ta có ( III ) f ( x ) = [ 2; +∞ ) D Chỉ ( I ) ( III ) f ( x ) = f ( ) = nên hàm số liên tục x − liên tục ( 2; +∞ ) xlim → 2+ 3 − − x , 0< x ⇒ f ( x) = − x ⇒ hàm số liên tục • Tại x = ta có : f (2) = lim f ( x) = lim+ ( − x ) = ; x→2 x → 2+ ( x − 2)( x − 3) =− ≠ lim f ( x) x →2 x → 2( x − 2)( x + x + 4) 24 x →2+ Hàm số không liên tục x = x −1 x > x −1 Câu Cho hàm số f ( x) = Khẳng định sau 1− x + x ≤ x + A Hàm số liên tục ¡ B Hàm số không liên tục ¡ C Hàm số không liên tục ( 1: +∞ ) lim− f ( x) = lim− D Hàm số gián đoạn điểm x = Hướng dẫn giải: Chọn A Hàm số xác định với x thuộc ¡ • Với x < ⇒ f ( x) = − x + ⇒ hàm số liên tục x+2 x −1 • Với x > ⇒ f ( x ) = ⇒ hàm số liên tục x −1 • Tại x = ta có : f (1) = Trang 127 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word lim+ f ( x) = lim+ x →1 x →1 Giới hạn – ĐS> 11 x −1 ( x − 1)( x + 1) = lim+ = ; 3 x − x →1 ( x − 1)( x + x + 1) 1− x + 2 = = lim+ f ( x) = f (1) x →2 x →1 x+2 x →1 Hàm số liên tục x = Vậy hàm số liên tục ¡ π tan x , x ≠ ∧ x ≠ + kπ , k ∈ ¢ Câu Cho hàm số f ( x ) = x Hàm số y = f ( x ) liên tục khoảng 0 ,x=0 lim− f ( x ) = lim− sau đây? A 0; π ÷ 2 B −∞; π ÷ 4 π π ; ÷ 4 D ( −∞; +∞ ) C − Hướng dẫn giải: Chọn A π + kπ , k ∈ ¢ 2 Với x = ta có f ( ) = TXĐ: D = ¡ \ tan x sin x f ( x ) ≠ f ( 0) = lim lim = hay lim x→ x → x → x x cos x Vậy hàm số gián đoạn x = a x , x ≤ 2, a ∈ ¡ Câu 10 Cho hàm số f ( x ) = Giá trị a để f ( x ) liên tục ¡ là: ( − a ) x , x > A B –1 C –1 D –2 lim f ( x ) = lim x →0 x →0 Hướng dẫn giải: Chọn D TXĐ: D = ¡ ( ) Với x > 2 ta có hàm số f ( x ) = a x liên tục khoảng Với x < 2 ta có hàm số f ( x ) = ( − a ) x liên tục khoảng −∞; Với x = ta có f 2; +∞ ( ) = 2a ( ) lim+ f ( x ) = lim+ ( − a ) x = ( − a ) ; lim− f ( x ) = lim− a x = 2a x→ x→ x→ x→ Để hàm số liên tục x = f ( x ) = lim− f ( x ) = f ⇔ xlim + → x→ ( ) ⇔ 2a = ( − a ) ⇔ a2 + a − = a = ⇔ a = −2 Vậy a = a = −2 hàm số liên tục ¡ x2 , x ≥1 2x , ≤ x < Tìm khẳng định khẳng định sau: Câu 11 Cho hàm số f ( x ) = + x x sin x , x < A f ( x ) liên tục ¡ B f ( x ) liên tục ¡ \ { 0} Trang 128 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Giới hạn – ĐS> 11 C f ( x ) liên tục ¡ \ { 1} D f ( x ) liên tục ¡ \ { 0;1} Hướng dẫn giải: Chọn A TXĐ: TXĐ: D = ¡ Với x > ta có hàm số f ( x ) = x liên tục khoảng ( 1; +∞ ) ( 1) x3 liên tục khoảng ( 0;1) ( ) 1+ x Với x < ta có f ( x ) = x sin x liên tục khoảng ( −∞; ) ( 3) Với < x < ta có hàm số f ( x ) = 2 x3 f x = lim x = ( ) Với x = ta có f ( 1) = ; xlim ; lim f x = lim =1 ( ) − − →1+ x →1+ x →1 x →1 f ( x ) = = f ( 1) Suy lim x →1 1+ x Vậy hàm số liên tục x = Với x = ta có f ( ) = ; lim+ f ( x ) = lim+ x →0 x →0 f ( x ) = = f ( 0) suy lim x →0 x3 f ( x ) = lim− ( x.sin x ) = lim x lim sin x = = ; xlim → 0− x→0 x → 0− x → 0− x 1+ x Vậy hàm số liên tục x = ( ) Từ ( 1) , ( ) , ( 3) ( ) suy hàm số liên tục ¡ Câu 12 Cho hàm số f ( x ) = x+2 Khẳng định sau x − x−6 A Hàm số liên tục ¡ B TXĐ : D = ¡ \ { 3; −2} Ta có hàm số liên tục x ∈ D hàm số gián đoạn x = −2, x = C Hàm số liên tục x = −2, x = D Tất sai Hướng dẫn giải: Chọn B TXĐ : D = ¡ \ { 3; −2} Ta có hàm số liên tục x ∈ D hàm số gián đoạn x = −2, x = Câu 13 Cho hàm số f ( x ) = 3x − Khẳng định sau A Hàm số liên tục ¡ ; +∞ ÷ B Hàm số liên tục điểm x ∈ −∞; − ÷∪ 3 C TXĐ : D = −∞; ∪ ; +∞ ÷ 2 D Hàm số liên tục điểm x ∈ − 1 ; ÷ 3 Hướng dẫn giải: Chọn B TXĐ : D = −∞; − ∪ ; +∞ ÷ 3 Ta có hàm số liên tục điểm x ∈ −∞; − Trang 129 ; +∞ ÷ ÷∪ 3 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word lim − x → − ÷ 3 Giới hạn – ĐS> 11 f ( x) = = f − ÷ ⇒ hàm số liên tục trái x = − 3 lim + f ( x ) = = f ⇒ hàm số liên tục phải x = ÷ 3 x → ÷ 1 ; ÷ 3 Câu 14 Cho hàm số f ( x) = 2sin x + tan x Khẳng định sau A Hàm số liên tục ¡ B Hàm số liên tục điểm π π C TXĐ : D = ¡ \ + k , k ∈ ¢ D Hàm số gián đoạn điểm 2 π π x = + k ,k ∈¢ Hàm số gián đoạn điểm x ∈ − Hướng dẫn giải: Chọn D π π + k , k ∈¢ 4 TXĐ : D = ¡ \ Ta có hàm số liên tục điểm thuộc D gián đoạn điểm x= π π + k ,k ∈¢ x − 3x + x ≠ x −1 Câu 15 Cho hàm số f ( x ) = Khẳng định sau a x = A Hàm số liên tục ¡ B Hàm số không liên tục ¡ C Hàm số không liên tục ( 1: +∞ ) D Hàm số gián đoạn điểm x = Hướng dẫn giải: Chọn D Hàm số liên tục điểm x ≠ gián đoạn x = 2x + −1 x ≠ Câu 16 Cho hàm số f ( x ) = Khẳng định sau x x = A Hàm số liên tục ¡ B Hàm số không liên tục ¡ C Hàm số không liên tục ( 0; +∞ ) D Hàm số gián đoạn điểm x = Hướng dẫn giải: Chọn D Hàm số liên tục điểm x ≠ gián đoạn x = 2 x + x ≤ Câu 17 Cho hàm số f ( x ) = ( x − 1) < x < Khẳng định sau x − x ≥ A Hàm số liên tục ¡ B Hàm số không liên tục ¡ 2; +∞ C Hàm số không liên tục ( ) D Hàm số gián đoạn điểm x = Hướng dẫn giải: Trang 130 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Giới hạn – ĐS> 11 Chọn D Hàm số liên tục điểm x ≠ gián đoạn x = 2 2 x + x + x ≤ Câu 18 Cho hàm số f ( x ) = Khẳng định sau x − x > A Hàm số liên tục ¡ B Hàm số không liên tục ¡ C Hàm số không liên tục ( 2; +∞ ) D Hàm số gián đoạn điểm x = ±1 Hướng dẫn giải: Chọn D Hàm số liên tục điểm x ≠ ±1 gián đoạn x = ±1 π sin x x ≤ Câu 19 Xác định a, b để hàm số f ( x ) = liên tục ¡ ax + b x > π 2 2 a = a = a = a = A B C D π π π π b = b = b = b = Hướng dẫn giải: Chọn D π a + b = a = ⇔ Hàm số liên tục ¡ ⇔ π π − a + b = −1 b = x3 − 3x + x x( x − 2) ≠ x( x − 2) a , b f ( x ) = x = Câu 20 Xác định để hàm số liên tục ¡ a b x = a = 10 a = 11 a = a = 12 A B C D b = −1 b = −1 b = −1 b = −1 Hướng dẫn giải: Chọn C a = b = −1 Hàm số liên tục ¡ ⇔ x − + 2x −1 x ≠ Câu 21 Tìm m để hàm số f ( x ) = liên tục ¡ x −1 3m − x = A m = B m = C m = D m = Hướng dẫn giải: Chọn B Trang 131 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Giới hạn – ĐS> 11 x − + x −1 nên hàm số liên tục khoảng ¡ \ { 1} x −1 Do hàm số liên tục ¡ hàm số liên tục x = Ta có: f (1) = 3m − Với x ≠ ta có f ( x ) = lim f ( x) = lim x →1 x →1 x − + 2x −1 x −1 x3 + x − = lim 1 + x →1 2 3 ( x − 1) x − x x − + ( x − 2) ( ) x2 + x + = lim 1 + =2 x →1 x − x x − + ( x − 2) Nên hàm số liên tục x = ⇔ 3m − = ⇔ m = Vậy m = 4 giá trị cần tìm x +1 −1 x > Câu 22 Tìm m để hàm số f ( x) = liên tục ¡ x 2 x + 3m + x ≤ A m = B m = − C m = D m = Hướng dẫn giải: Chọn B x + −1 nên hàm số liên tục ( 0; +∞ ) x • Với x < ta có f ( x) = x + 3m + nên hàm số liên tục (−∞; 0) Do hàm số liên tục ¡ hàm số liên tục x = Ta có: f (0) = 3m + • Với x > ta có f ( x) = x +1 −1 = lim+ x →0 x 1 = x→0 x →0 x +1 +1 lim− f ( x) = lim− x + 3m + = 3m + lim+ f ( x ) = lim+ x →0 x→ ( ) Do hàm số liên tục x = ⇔ 3m + = 1 ⇔m=− hàm số liên tục ¡ 2x − + x ≥ m f ( x ) = Câu 23 Tìm để hàm số liên tục ¡ x +1 x < x − 2mx + 3m + A m = B m = − C m = D m = Vậy m = − Hướng dẫn giải: Chọn C Với x > ta có hàm số liên tục Trang 132 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Giới hạn – ĐS> 11 Để hàm số liên tục ¡ hàm số phải liên tục khoảng ( −∞; ) liên tục x = • Hàm số liên tục ( −∞; ) tam thức g ( x ) = x − 2mx + 3m + ≠ 0, ∀x ≤ ∆ ' = m − 3m − ≤ TH 1: g (2) = − m + ≠ ⇔ − 17 + 17 ≤m≤ 2 m − 3m − > ∆ ' = m − 3m − > ⇔ m > TH 2: ∆ ' < ( m − 2) x1 = m − ∆ ' > + 17 + 17 m > ⇔ ⇔ , ( ) Từ ( 1) ( ) ta chưa thể kết luận nghiệm phương trình f ( x ) = khoảng ( 1; ) Trang 134 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Giới hạn – ĐS> 11 ĐÁP ÁN ÔN TẬP CHƯƠNG IV Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu 10 C D A B C D B C A C Câu 11 Câu 12 Câu 13 Câu 14 Câu 15 Câu 16 Câu 17 Câu 18 Câu 19 Câu 20 A B C D B D B C D A Câu 21 Câu 22 Câu 23 Câu 24 Câu 25 Câu 26 Câu 27 Câu 28 Câu 29 Câu 30 C C B A C D A D C B Câu 31 Câu 32 Câu 33 Câu 34 Câu 35 Câu 36 Câu 37 Câu 38 Câu 39 Câu 40 B B A C D B C D B A Câu 41 Câu 42 Câu 43 Câu 44 Câu 45 Câu 46 Câu 47 Câu 48 Câu 49 Câu 50 C A D D B C C D D A Câu 51 Câu 52 Câu 53 Câu 54 Câu 55 Câu 56 Câu 57 Câu 58 Câu 59 Câu 60 D A D C B A B D B B Câu 61 Câu 62 Câu 63 Câu 64 Câu 65 Câu 66 Câu 67 Câu 68 Câu 69 Câu 70 A C D A B B D B C D Câu 71 Câu 72 Câu 73 Câu 74 Câu 75 Câu 76 Câu 77 Câu 78 Câu 79 Câu 80 B A C C D B C B D A Câu 81 Câu 82 Câu 83 Câu 84 Câu 85 Câu 86 Câu 87 Câu 88 Câu 89 Câu 90 C A C B D A C D D A Câu 91 B Trang 135 ... 133 ĐÁP ÁN ƠN TẬP CHƯƠNG IV 135 Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Giới hạn – ĐS> 11 PHẦN I – ĐỀ BÀI GIỚI HẠN DÃY SỐ A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIỚI... −∞ Giới hạn – ĐS> 11 C −3 D C D C D C D C D http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Giới hạn – ĐS> 11 DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI...http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Giới hạn – ĐS> 11 MỤC LỤC PHẦN I – ĐỀ BÀI GIỚI HẠN DÃY SỐ B – BÀI TẬP DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH