Phân tích các đa tuyến Su(M)¤Su(N)ЄSu(M+N)

Lời cảm ơn Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn ThS.Nguyễn Huy Thảo người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em suốt thời gian thực khóa luận tốt nghiệp Đồng thời em cảm ơn thầy giáo, cô giáo khoa Vật Lý trường Đại học Sư phạm Hà Nội bạn tạo điều kiện thuận lợi cho em trình học tập nghiên cứu Tuy nhiên, lần em nghiên cứu đề tài khoa học nên khơng tránh khỏi thiếu sót, kính mong thầy bạn đóng góp ý kiến để đề tài em hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2012 Sinh viên Hà Thị Xuân Lời cam đoan Em xin cam đoan đề tài: “Phân tích đa tuyến SU M  SU N  SU  M N  ” Đây đề tài thân em nghiên cứu hướng dẫn Th.S Nguyễn Huy Thảo, khoa Vật lý - trường ĐHSP Hà Nội 2 Đề tài không chép từ tài liệu có sẵn Kết nghiên cứu không trùng với tác giả khác Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2012 Sinh viên Hà Thị Xuân MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn Lời cam đoan PHẦN I: MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Phương pháp nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Cấu trúc khóa luận PHẦN II: NỘI DUNG Chương 1: Một số kiến thức sở 1.1 Nhóm đối xứng SU(2) 1.2 Nhóm biến đổi SU(2) 1.3 Các đa tuyến (Multiplets) 1.4 Các phản đa tuyến (Antimultiplets) .5 1.5 Các đa tuyến SU(2) 1.6 Nhóm U(1) 1.7 Nhóm đối xứng SU(3) 1.8 Nhóm đối xứng SU(N) 14 1.9 Bảng Young 17 1.9.1 Khai triển tích biểu diễn thành tổng .22 1.9.2 Bảng Young cho biểu diễn liên hợp (Conjugate representations) 24 Chương Phân tích đa tuyến 2.1 Nhóm SU M  SU N  SU  M N  SU  M  SU N  U 1 nhóm 26 SU  M N  .26 2.1.1 Định nghĩa 26  Biểu diễn bất khả quy nhóm SU M  N  26 2.2 Một số ví dụ cụ thể .26 2.2.1 Các đa tuyến nhóm SU   SU   U 1Y SU 5 mô hình thống lớn 27 2.2.2 Các đa tuyến nhóm 1 mơ hình ba SU 3 isospin SU Y 2 quark 31 2.2.3 Các đa tuyến nhóm SU 3C SU 3L U 1N SU 6 lý thuyết thống lớn .41 2.2.4 Nhân đa tuyến có tích U 1 X 43 PHẦN III: KẾT LUẬN .45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 PHẦN I: MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Vật lý lý thuyết môn chuyên sâu vào vấn đề xây dựng thuyết vật lý Dựa tảng mơ hình vật lý, nhà khoa học vật lý xây dựng thuyết vật lý Thuyết vật lý biểu diễn tổng quát người lĩnh vực, phạm vi định Dựa mơ hình vật lý tưởng tượng, nhà vật lý lý thuyết phương pháp suy diễn, phương pháp suy luận toán học đề hệ thống quy tắc, định luật, nguyên lý vật lý dùng làm sở để giải thích tượng, kiện vật lý để tạo khả tìm hiểu, khám phá tác động hiệu vào đời sống thực tiễn Các nhà khoa học nghiên cứu ngành khoa học vật lý hạt nhằm giải câu hỏi: giới vật chất xây dựng từ thành phần nào, quy luật chúng xuất phát sao? Thời tiền cổ người cho rằng: giới xây dựng từ đất, nước, khơng khí lửa Sau yếu tố thay phân tử, nguyên tử… Ngày nay, biết đến hạt gồm: quark, lepton , ,  , , … chúng thành phần cấu tạo nên vật e,e chất Một nội dung sở vật lý hạt cần tìm hiểu là" Phân tích đa tuyến SU M  SU N  SU  M N " Chúng ta tìm đa tuyến nhóm đối xứng SU (2) nhóm đối xứng nhiên nhóm SU (M ) SU (N ) SU (M N ) SU (3) , việc tìm đa tuyến chúng trở nên gặp khó khăn Vì vậy, tơi lựa chọn đề tài " Phân tích đa tuyến SU (M ) SU (N)SU (M N)" với mục đích xây dựng phân tích đa tuyến SU (M ) SU (N)SU (M N) mơ hình, mà nhà bác học đưa như: mơ hình thống lớn, mơ hình quark Gell-Mann để hiểu thêm vấn đề liên quan đến lý thuyết trường hạt nói riêng, chuyên ngành vật lý lý thuyết nói chung Phương pháp nghiên cứu Phương pháp vật lý lý thuyết Phương pháp đọc nghiên cứu tài liệu Đối tượng nghiên cứu Các đa tuyến SU  M  SU N  SU M N  Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Phân tích đa tuyến Cấu trúc khóa luận SU  M  SU N  SU M N  Chương Một số kiến thức sở Chương Phân tích đa tuyến SU  M  SU N  SU  M N  PHẦN II: NỘI DUNG Chương 1: Một số kiến thức sở 1.1 Nhóm đối xứng SU(2) Định nghĩa: tập hợp tất ma trận 2x2, Unita, có định thức thỏa mãn tính chất nhóm tạo thành nhóm đối xứng SU(2) Tính chất nhóm gồm: → chứng tỏ hình chiếu spin đồng vị p lên trục hoàn toàn phù hợp với thực nghiệm Cách tính tương tự hạt baryon lại ta thấy chúng có hình chiếu spin đồng vị hồn tồn phù hợp với thực nghiệm Vì M đồng với tốn tử siêu tích nên ta viết M8 C.Y với C constant → phải tìm hệ số C → tìm tốn tử siêu tích Để tìm hệ số C ta công nhận hàm trường p là: p  P  4 Hệ số i  5    pY ,p  1. 1  M i 1. ,  p   C   , 1. i ,  M   M   C 8 p C M , j F 4 j  4   Vì  M ,5    Vì   suy từ điều kiện chuẩn hóa từ thực nghiệm đo Yp 1 tức ⟹ i   1    1 C  p 2C p 2C 2 Vậy: Y  M8 Siêu tích proton Ta tính siêu tích notron: n 6   2 Ta có: Y , n     M , n   n  ,       i7  M8 ,     i7    i7     , ,   M   i  M  8  = Cách tính tương tự hạt baryon lại ta thấy siêu tích chúng phù hợp với thực nghiệm ⟹ Hàm trường gán cho hạt hoàn toàn phù hợp với thực nghiệm Sử dụng cách biểu diễn hạt đa tuyến biểu diễn quy vào ma trận có số chiều số chiều ma trận biểu diễn sở Khi hàm trường viết dạng:   aa a 1,8 số lặp lại hiểu lấy tổng theo chúng Nhân hai vế (2.25) với a lấy trace hai vế ta được: (2.25) Tr(a Tr   ) Tr()  a a a  Tr(a )  2aa a a             1 2 3 4 a   55  66 77 88  2 0  0 1      1 0   0 0 1 0  0  0 i  i      1  0  0        i            0 0  0 0  1 0 0 i         0  0   0 1       0  i     0 2 8 0      0 0       i        1  i       i  1    i    8 6 i    i 5   6    i7    1    p      1     n  Hay                    Thực cách hoàn toàn tương tự đa tuyến baryon Với đa tuyến meson P J 0  J    1 ta thu kết quả:    0   K     1      K    K  P       K   Các ma trận , thỏa mãn điều a Chẳng hạn kiện TrTr0 Biểu diễn quy  a b = a a b a 1  2,1 3   3    a b  a  1,  2 2 1    = a    b 1  3, 2  1   a  b a a -  2, 1 1 2 2   3   2,11, 03, 02, 1 Ta thấy tổng siêu tích tất thành phần đa tuyến không 2.2.3 SU 3C SU 3 L U 1 N  SU  6 Các đa tuyến nhóm lý thuyết thống lớn Trong năm gần đây, có nhiều nhóm tác giả xây dựng phát triển mơ hình mở rộng từ mơ hình chuẩn, đặt sở nhóm gauge   , SU SU nhóm đối xứng màu tương  3 C SU 3 L U 1  3 N C tác mạnh, tác động quark boson chuẩn mang tương tác mạnh; SU  3 L nhóm đối xứng phân cực trái tương tác yếu, tác động lên fermion phân cực trái; U 1 liên quan đến nhóm siêu tích, mà số lượng tử N N định nghĩa charge mở rộng từ hypercharge gọi chung mơ hình – – 2.2.3.1 Biểu diễn sở - lục tuyến Đối với nhóm SU 6, bảng Young có năm hàng, nên  1 , 2 , 3 , 4 , 5 11  12  13 14  15  d 1 2     3 4   5          2 2        1 2 3  2 3   1   3 1  5      3 3      1 2 3 4  2 3 4 5  1                  4       d 1, 0, 0, 0, 06 =   -1  = (3, 1, -1) (1, 3, 1) 2.2.3.2 Biểu diễn đối xứng – 21 tuyến d 2, 0, 0, 0, 021 a a = a a (6, 1, -2 = 2.(-1))  -2 a  a a a   (3, 3, = -1 + 1) (1, 6, = 2.1) 21 = (6, 1, -2) (3, 3, 0) (1, 6, 2) 2.2.3.3 Biểu diễn quy – 35 tuyến d 1, 0, 0, 0,135 a b c d e a a b c = a d e c d e  a b a d e a ~ (3, 3 , -2 = -4.1 + 2.1) ~ a b  a (1, 8, = -3.1 + 3.1)  a b c d e a a b a a  ( , 3, = 2.(-1) + 4.1) -1  d e ~ c d e ~ a b a  0 (8, 1, = 3.(-1) + 3.1)   a b c  a d e ~ (1, 1, = -3.1 + 3.1),  35 = (3, , -2) (1, 8, 0) ( 3 , 3, 2) (8, 1, 0) (1, 1, 0) Nhận xét: giản ước cột N (của nhóm tích chúng  SU N ), phải tính Nhân đa tuyến có tích U 1 X Các đa tuyến thường mang số lượng tử điện tích Q , siêu tích Y X tích (tích nhóm U 1X ) tích liên hệ với điện tích sau: Q ii X , i ma trận Gell-Mann Do (2.26) nên TrQ TrX Tri 0 Trong phép nhân tensơ tích X Q tổng tích tương ứng thành phần N1, X1    N2 , X N1  N , X X  N1 , N2 (2.27) đa tuyến, X1 , X tích X tương ứng Y Ví dụ 1: Giả sử có lưỡng tuyến nhóm SU   U (2, 1), (2, -1) siêu tích lưỡng tuyến Khi đó: 1 (2, 1) (2, 1) = (3, 2) + (1, 2), (2, 1) (2, -1) = (3, 0) + (1, 0) Ví dụ 2: Ngũ tuyến SU 5 SU 3  tách đa tuyến S  sau: Y U 2 U  1 C  1    3,1,   1, 2, L     3  2  nhóm      3,1,   1, 2,  3,1,  Khi  đó: 5    1, 2,                          3,1,    3,1,    3,1,   1,12,     1, 2,  3,1,   1, 2,  1, 2,          3 2                                 9,1,   3, 2,  3, 2, 1, 4,1      6           2 6,1,  3 , 2 3, 2,    1,1,1 1,3,1 1,       S A 3    A   (2.28) S Mặt khác, ta có: 10A 15S 5  (2.29) Kết hợp (2.28) (2.29) ta thu việc tách thập tuyến (phản xứng) 15 tuyến (đối xứng) sau:  10   3, 2,    ,1,  (1,1,1) A     6  3     15 2  6,1,  3, 2,  (1, 3,1)   S   6  (2.30) (2.31)  3 PHẦN III: KẾT LUẬN Đề tài giới thiệu bảng Young đa tuyến nhóm đối xứng SU M  SU N  SU  M N  Ta dùng bảng Young để xác định số tensơ độc lập (số lượng bảng chuẩn) dựa vào bảng Young ta tìm đa tuyến nhóm đối xứng SU  M  SU N  SU  M N  Ở trường hợp cụ thể đề tài xây dựng được: + Các đa tuyến nhóm SU   SU   U 1 thống lớn + Các đa tuyến nhóm quark S Y U  5 1 SU 3 isospin SU Y mơ hình mơ hình ba 2 + Các đa tuyến nhóm SU 3   C SU 3 L  S lý thuyết U 1 U  6 N thống lớn Qua cho thấy bảng Young có vai trò quan trọng cần nhớ qui tắc bảng Young để áp dụng vào việc tìm đa tuyến nhóm SU  M  SU N  SU  M N  Tôi hi vọng đề tài tài liệu tham khảo cho bạn bước đầu làm quen với chuyên ngành vật lý lý thuyết Do thời gian nghiên cứu có hạn nên nghiên cứu đề tài chắn tránh khỏi thiếu sót Tơi mong góp ý, dẫn thầy cô, động viên góp ý bạn sinh viên để đề tài hoàn thiện TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Tạ Quang Bửu (1987), Hạt bản, NXB Giáo dục, Hà Nội [2] Đăng Xuân Hải (1987), Bài giảng vật lý hạt nhân hạt [3] Hoàng Ngọc Long (2003), Nhập mơn lý thuyết trường mơ hình thống tương tác điện yếu, NXB Khoa học kĩ thuật 50 [4] Hoàng Ngọc Long (2006), Cơ sở vật lý hạt bản, NXB Khoa học Tự nhiên công nghệ, Hà Nội 50 [5] H.Georgi (1999), Lie Algebras in Paricle Physics, From Isospin to Unified Theories, Perseus Books, Massachusetts [6] W.Greiner and B Muller (1995), Gauge Theory of Weak Interactions, 2nd edition, Springer 51 ... có m = 22 -1 = tham số thực độc lập 1.3 Các đa tuyến Các định nghĩa đa tuyến phản đa tuyến chung cho tất nhóm Nhóm SU(2) trường hợp cụ thể Định nghĩa đa tuyến: Giả sử ta có p hạt đó, chúng tứng... với đa tuyến Nếu đa tuyến p ứng với hàm có số i số  ( i i i phản đa tuyến p mơ tả hàm có   ) , pp   iconstant i Phản đa tuyến (dạng cột) xác định tổ hợp hàm mà với hàm đa tuyến. .. 1.2 Nhóm biến đổi SU(2) 1.3 Các đa tuyến (Multiplets) 1.4 Các phản đa tuyến (Antimultiplets) .5 1.5 Các đa tuyến SU(2) 1.6 Nhóm U(1)