Phân tích các đa tuyến su(m)¤su(n)єsu(m+n)

Lời cảm ơn Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn ThS.Nguyễn Huy Thảo người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em suốt thời gian thực khóa luận tốt nghiệp Đồng thời em cảm ơn thầy giáo, cô giáo khoa Vật Lý trường Đại học Sư phạm Hà Nội bạn tạo điều kiện thuận lợi cho em trình học tập nghiên cứu Tuy nhiên, lần em nghiên cứu đề tài khoa học nên không tránh khỏi thiếu sót, kính mong thầy cô bạn đóng góp ý kiến để đề tài em hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2012 Sinh viên Hà Thị Xuân Lời cam đoan Em xin cam đoan đề tài: “Phân tích đa tuyến SU  M   SU  N   SU  M  N  ” Đây đề tài thân em nghiên cứu hướng dẫn Th.S Nguyễn Huy Thảo, khoa Vật lý - trường ĐHSP Hà Nội 2 Đề tài không chép từ tài liệu có sẵn Kết nghiên cứu không trùng với tác giả khác Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2012 Sinh viên Hà Thị Xuân MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn Lời cam đoan PHẦN I: MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Phương pháp nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Cấu trúc khóa luận PHẦN II: NỘI DUNG Chương 1: Một số kiến thức sở 1.1 Nhóm đối xứng SU(2) 1.2 Nhóm biến đổi SU(2) 1.3 Các đa tuyến (Multiplets) 1.4 Các phản đa tuyến (Antimultiplets) 1.5 Các đa tuyến SU(2) 1.6 Nhóm U(1) 1.7 Nhóm đối xứng SU(3) 1.8 Nhóm đối xứng SU(N) 14 1.9 Bảng Young 17 1.9.1 Khai triển tích biểu diễn thành tổng 22 1.9.2 Bảng Young cho biểu diễn liên hợp (Conjugate representations) 24 Chương Phân tích đa tuyến SU  M   SU  N   SU  M  N  26 2.1 Nhóm SU  M   SU  N  U 1 nhóm SU  M  N  26 2.1.1 Định nghĩa 26 2.1.2 Biểu diễn bất khả quy nhóm SU  M  N  26 2.2 Một số ví dụ cụ thể 26 2.2.1 Các đa tuyến nhóm SU  3  SU  2 U 1Y  SU  5 mô hình thống lớn 27 2.2.2 Các đa tuyến nhóm SU  3  SU  isospin U 1Y mô hình ba quark 31 2.2.3 Các đa tuyến nhóm SU  3C  SU  3 L U 1 N  SU  6 lý thuyết thống lớn 41 2.2.4 Nhân đa tuyến có tích U 1 X 43 PHẦN III: KẾT LUẬN 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 PHẦN I: MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Vật lý lý thuyết môn chuyên sâu vào vấn đề xây dựng thuyết vật lý Dựa tảng mô hình vật lý, nhà khoa học vật lý xây dựng thuyết vật lý Thuyết vật lý biểu diễn tổng quát người lĩnh vực, phạm vi định Dựa mô hình vật lý tưởng tượng, nhà vật lý lý thuyết phương pháp suy diễn, phương pháp suy luận toán học đề hệ thống quy tắc, định luật, nguyên lý vật lý dùng làm sở để giải thích tượng, kiện vật lý để tạo khả tìm hiểu, khám phá tác động hiệu vào đời sống thực tiễn Các nhà khoa học nghiên cứu ngành khoa học vật lý hạt nhằm giải câu hỏi: giới vật chất xây dựng từ thành phần nào, quy luật chúng xuất phát sao? Thời tiền cổ người cho rằng: giới xây dựng từ đất, nước, không khí lửa Sau yếu tố thay phân tử, nguyên tử… Ngày nay, biết đến hạt gồm: quark, lepton e,  e ,  ,   ,  ,  … chúng thành phần cấu tạo nên vật chất Một nội dung sở vật lý hạt cần tìm hiểu là" Phân tích đa tuyến SU  M   SU  N   SU  M  N  " Chúng ta tìm đa tuyến nhóm đối xứng SU (2) nhóm đối xứng SU (3) , nhiên nhóm SU (M )  SU ( N )  SU (M  N ) việc tìm đa tuyến chúng trở nên gặp khó khăn Vì vậy, lựa chọn đề tài " Phân tích đa tuyến SU ( M )  SU ( N )  SU ( M  N ) " với mục đích xây dựng phân tích đa tuyến SU ( M )  SU ( N )  SU ( M  N ) mô hình, mà nhà bác học đưa như: mô hình thống lớn, mô hình quark Gell-Mann để hiểu thêm vấn đề liên quan đến lý thuyết trường hạt nói riêng, chuyên ngành vật lý lý thuyết nói chung Phương pháp nghiên cứu Phương pháp vật lý lý thuyết Phương pháp đọc nghiên cứu tài liệu Đối tượng nghiên cứu Các đa tuyến SU  M   SU  N   SU  M  N  Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Phân tích đa tuyến SU  M   SU  N   SU  M  N  Cấu trúc khóa luận Chương Một số kiến thức sở Chương Phân tích đa tuyến SU  M   SU  N   SU  M  N  PHẦN II: NỘI DUNG Chương 1: Một số kiến thức sở 1.1 Nhóm đối xứng SU(2) Định nghĩa: tập hợp tất ma trận 2x2, Unita, có định thức thỏa mãn tính chất nhóm tạo thành nhóm đối xứng SU(2) Tính chất nhóm gồm: + Tính kín: a, b  G ⟹ a.b = c  G + Tính kết hợp: (a.b).c = a.(b.c) +  phần tử đơn vị a.e = a  a  G +  phần tử nghịch đảo  aG gg   I , det g = Bất kì phần tử nhóm SU(2) viết dạng g    e i  a a e ia a a = 1, 2, (1.1) Ở số lặp lại hiểu lấy tổng theo chúng Trong ζa ma trận Pauli thỏa mãn hệ thức giao hoán c  a  b  ,  i  , abc  2    (1.2) với ε123 = hoàn toàn phản đối xứng Hằng số εabc gọi số cấu trúc nhóm SU(2) Dạng tường minh ma trận Pauli sau: 0 1   1 1  0 i   0 0 2   i 1    1 3   1.2 Nhóm biến đổi SU(2)  Các biến đổi SU(2) với tham số thực    có dạng: U    e i  a I a a  eia I a (1.3) Trong Ia ma trận 2x2, ωa tham số thực cô bé Điều kiện để khai triển thành chuỗi Furiê Đặt ia I a  x khai triển quanh vị trí nhỏ dừng lại số hạng bậc U    I  ia I a  U     eia Ia  I  ia I a   Từ điều kiện Unita UU   I   I  ia I a    I  ia I a    I  I  ia I a  ia I a  a2 I a I a   I Vì ωa (a = 1, 2, 3) vô bé nên ta bỏ qua a so với ωa Do đó: UU   I  ia  I a  I a   I  ia  I a  I a    I a  I a (1.4) Do Ia hermit Tr ln A =e Ta có: Tr ln e = e Nên ia I a Tr ln  I ia I a   e Tria I a  e Vì ωa (a = 1, 2, 3) vô bé nên Từ điều kiện = ta có: Tria I a  e   Tr ia I a    iaTr I a    Tr I a   (1.5) Nhóm đối xứng SU(2) có m = -1 = tham số thực độc lập 1.3 Các đa tuyến Các định nghĩa đa tuyến phản đa tuyến chung cho tất nhóm Nhóm SU(2) trường hợp cụ thể Định nghĩa đa tuyến: Giả sử ta có p hạt đó, chúng tứng ứng với n toán tử trường ψi(x) (i = 1, p ) Giả sử tác động nhóm biến đổi SU(2) biến đổi sau:  i  x   i  x   U i  x U 1  ei t   x i a a (1.6) Trong tham số biến đổi ω thực, ta (a = 1, 2, 3) ma trận pxp thỏa mãn điều kiện: ta  ta , ta , tb   i abc tc Ta nói p hạt lập thành đa tuyến( biểu diễn ) nhóm đối xứng SU(2) Điều kiện để khai triển chuỗi Furiê: Đặt ia I a  x khai triển quanh vị trí nhỏ, dừng lại số hạng thứ ta được: U  I  ia I a  U 1  I  ia I a  Từ (1.6) ta có: Vế phải =  I  ia I a   i  x  I  ia I a   =  i  x   ia i  x  I a  ia I a i  x   a2 I a i  x  I a  =  i  x   ia [I a i  x   i  x  I a ]+ =  i  x   ia [I a , i  x  ]+ Vế trái  ei t  i  x i   I  iata    x i   i  x   iata i  x  a a Do đó:  i  x   ia  I a , i  x      i  x   iata i  x     I a , i  x    ta i  x  Trong Ia toán tử spin đồng vị, ta ma trận pxp  I a , i  x    (ta )ij j  x  Lấy Hermite ta được:  I a , i  x      j  x  (ta )ij (1.7) (1.8) Chú ý để định vị yếu tố ma trận số hàng đánh dưới, số cột đánh 1.4 Các phản đa tuyến Giả sử p-tuyến nhóm G mô tả hàm  i  x  , i = 1, 2, …p Phản tuyến tương ứng ký hiệu p hàm kết hợp với  i  x  tạo thành bất biến Do phản đa tuyến biến đổi ngược lại với đa tuyến Nếu đa tuyến p ứng với hàm có số  i phản đa tuyến p mô tả hàm có i i  i số  (  i ) , pp    i  constant Phản đa tuyến (dạng cột) xác định tổ hợp hàm mà với hàm đa tuyến tương ứng tạo thành bất biến theo cách hoàn toàn phản đối xứng 1.5 Các đa tuyến SU(2) Giả sử có p hạt mà hàm trường tương ứng  i ( i = 1, p ) biến đổi sau tác dụng nhóm biến đổi SU(2)  i  x   i  x   U i  x U 1  ei t   x  i a a Trong ta (a = 1, 2, 3) ma trận pxp thỏa mãn điều kiện: ta  ta , ta , tb   i abc tc Ta nói p hạt lập thành đa tuyến (biểu diễn) nhóm đối xứng SU(2) Từ U i  x U 1  ei t  i  x i a a eia Ia i  x  eia I a  eiata i  x  i  I  ia I a   i  x  I  ia I a     I  iata    x i  i  x   ia  I a , i  x      i  x   iata i  x   j   I a , i  x     (ta )i  j  x Lấy Hermite ta được:  I a , i  x      j  x  (ta )ij a Chọn ta = ⟹ =  i  x   i  x    i  x  Như ta có hạt đơn tuyến Rõ ràng đơn tuyến thỏa mãn tính chất thực Đơn tuyến nhóm bất biến biến đổi nhóm có ma trận biểu diễn không b Chọn ta = a ta ma trận pxp, ζa ma trận 2x2, số hạt số nhóm có hai hạt  ,  lập thành biểu diễn sở nhóm đối xứng SU(2) hàm trường biến đổi sau:  ia 2a  1   i  x    i  x   U i  x U  e   x   i    I a , i  x      a   j  x   i j 10 (i= 1, 2) I I Y Q B S u  q1 2 3 d  q2 s  q3    3  3 1 Khái niệm phản tam tuyến 3 : phản tam tuyến 3 mô tả hàm  i có tính chất biến đổi sau:  i  x    i  x   U ij* j  x    j  x U ij (2.17) Phản tam tuyến có số lượng tử ngược với tam tuyến Trong bảng Young tam tuyến biểu thị hình vuông phản tam tuyến biểu thị Từ công thức cấu tạo hạt baryon cộng hưởng N  với spin ta thấy ba hạt quark u trạng thái Như vi phạm nguyên lí Pauli Để giải vấn đề quark phải có số lượng tử mới, quark màu Có thể thấy quark có ba màu, toán tử quark phải có hai số qi i số đơn vị: i  u, d , s, c, b, t ;  số màu Khi tổ hợp ba quark thành baryon quan sát không gian màu trắng Các hạt quan sát phải đơn tuyến (vô hướng) nhóm SU (3) màu 2.2.2.2 Tam tuyến quark  =   3 =  1  2,   3   2.2.2.3 Phản tam tuyến quark 37 2  1,   3  a b a b = 1  1,   3    a b   2  1   3 =  1,    2, 3  3  2   2,     3 3  2.2.2.4 Biểu diễn đối xứng – lục tuyến  Lục tuyến (Sextet) Lục tuyến xuất tích hai tam tuyến  = 3  (2.18) Và mô tả hàm có hai số đối xứng S  ~ α β , α, β = 1, ,3 số nhóm SU  3 Để hiểu rõ áp dụng lục tuyến ta xét mô hình SU 3C  SU  3L U 1N với neutrino phân cực phải Trong mô hình lepton xếp vào tam tuyến ( 2.19) Giả thiết , biến đổi chuẩn đa , tuyến biến đổi sau: = , = , + 38 (2.20) tương ứng số tương tác nhóm SU  3 L U 1 N , với – tích tam tuyến Ta xây dựng tương tác Yukawa bất biến từ tích lục tuyến với hai phản tam tuyến liên hợp hermitic chúng:      3.6.3  , 3.6.3 Hay bảng Young α β 3  3  ~ (2.21) = Từ (2.21) thấy QN   3  8 Toán tử điện tích có dạng: 1 0 1 0     với 3   1  , 8    , 3 0 0     0 2  N 1 3N  nên Q  N        N     = diag    N   Điện tích trường thành phần 1    N,  N,  N  3 3  (2.22) (hàng α, cột β) có điện tích xác định sau: k k  1  1 Q, S   Q    Sk   Q    S k     Ví dụ: qS    0, qS  1  1, qS  0, qS  11 12 13 22 Vì trường thành phần lục tuyến có dạng sau: 39 (2.23)   1   h S   0   h1 H1 h1  20   2 h2    1, 6, 2 / 3 2   30   Có thể tính cách khác: điện tích yếu tố hàng α cột β tổng điện tích yếu tố thứ α β tam tuyến (2.19)  Biểu diễn đối xứng a a a = a 1   3,   3    a   1 2   2,     3 3  a  2  1,   2  3  a a  4 =  3,    2,    1,    3  3  (2.24) 3 2.2.2.5 Biểu diễn quy - bát tuyến  Bát tuyến Biểu diễn quy gồm cặp chứa đa tuyến phản đa tuyến sở, nên mô tả hàm có số số  Từ thực nghiệm người ta thấy baryon J  (trong J spin P P chẵn lẻ) meson J P  0 có số lượng tử sau: Bảng 2.2: Bát tuyến baryon 40  , 0 ,  - 1, 0,  0 , 1 I I3  , n p -1 ,  - Y -1 S -1 -2 -1 Đối với baryon B = → Y = B + S = + S Bảng 2.3: Bát tuyến meson J P  0 K ,  ,  0,  , 0, K 1 I I3 K0 - 1, 0, K -1 ,  - Y -1 S -1 Đối với meson B = → Y = S Các đa tuyến biểu diễn quy nhóm đối xứng SU  3 Ta sử dụng lý thuyết nhóm đối xứng SU  3 để tìm lại số lượng tử xem có phù hợp với thực nghiệm không 41 Ta chứng minh hạt baryon lập thành biểu diễn quy nhóm SU  3 Gán hàm trường mô tả trạng thái hạt baryon sau: Hàm hủy   i  , P     ,     n    i  ,      i  ,      i  , 1   i  ,  0    i  ,     2 Hàm sinh  p   4  i 5  ,     1  1  i 2  ,    1  i 2  ,  2     6  i 7  ,      4  i 5  ,     n   6  i 7  ,      3 ,     8 Để chứng minh việc gán hàm trường cho baryon hợp lý, ta phải tính giao hoán toán tử hình chiếu spin đồng vị với toán tử trường Đối với proton:  p   4  i 5   Dựa vào công thức:  M a , i     a i  j j  j i Ta có:  M a , i    ( a ) j i    I , 4    I , 5  Ta có:  I , p    I ,  4  i 5     2 = = 42 → chứng tỏ hình chiếu spin đồng vị p lên trục hoàn toàn phù hợp với thực nghiệm Cách tính tương tự hạt baryon lại ta thấy chúng có hình chiếu spin đồng vị hoàn toàn phù hợp với thực nghiệm Vì M đồng với toán tử siêu tích nên ta viết M  C.Y với C  constant → phải tìm hệ số C → tìm toán tử siêu tích Để tìm hệ số C ta công nhận hàm trường p là: P  Hệ số   i   p  suy từ điều kiện chuẩn hóa từ thực nghiệm đo Yp  tức Yp , p   1. p  1    C M ,   i   1. p   i  M , 4    M , 5   1. p 2C 2C  M , 4     j  F8  j Vì  M , 5   Vì ⟹  4  i 5    3  p  1. p  1 C  2C 2C Vậy: Y  M8 Siêu tích proton 43   i  , Ta tính siêu tích notron:  n   n   6  i 7       Ta có: Y , n    M , n    M ,  6  i 7      3     M , 6   i  M , 7  = Cách tính tương tự hạt baryon lại ta thấy siêu tích chúng phù hợp với thực nghiệm ⟹ Hàm trường gán cho hạt hoàn toàn phù hợp với thực nghiệm Sử dụng cách biểu diễn hạt đa tuyến biểu diễn quy vào ma trận có số chiều số chiều ma trận biểu diễn sở Khi hàm trường viết dạng:  a a a  1,8 (2.25) số lặp lại hiểu lấy tổng theo chúng Nhân hai vế (2.25) với a lấy trace hai vế ta được: Tr (a )   1 Tr  a a a   Tr (a )  2 aa a   a  Tr (a ) 2 1 a a    1  2  3  4  5  6  7  8  2    i  1 0 0 1  0 i              0    i 0    1    0    0     0 0 0 0 1 0 i 0           0  0 0 0 0  1 0            0    0 i      3 0 0 0 i         0 2   44           i 2     i     i   i         i      i  8    1      p       1   0   n  Hay           0     Thực cách hoàn toàn tương tự đa tuyến baryon J P   Với đa tuyến meson J P  0 ta thu kết quả:  1             K    K    K0         1    0 K Các ma trận  ,  thỏa mãn điều kiện a Chẳng hạn Tr  Tr   Biểu diễn quy a a b a b = a 1   2,1   3    a b  a a a = b a 0 2   1,    3    b 2    3,    3   -1 2    2, 1    3    2,1  1,    3,    2, 1 45 a Ta thấy tổng siêu tích tất thành phần đa tuyến không 2.2.3 Các đa tuyến nhóm SU 3C  SU 3 L U 1 N  SU  6 lý thuyết thống lớn Trong năm gần đây, có nhiều nhóm tác giả xây dựng phát triển mô hình mở rộng từ mô hình chuẩn, đặt sở nhóm gauge SU  3C  SU  3 L  U 1 N , SU  3C nhóm đối xứng màu tương tác mạnh, tác động quark boson chuẩn mang tương tác mạnh; SU  3 L nhóm đối xứng phân cực trái tương tác yếu, tác động lên fermion phân cực trái; U 1 N liên quan đến nhóm siêu tích, mà số lượng tử N định nghĩa charge mở rộng từ hypercharge gọi chung mô hình – – 2.2.3.1 Biểu diễn sở - lục tuyến Đối với nhóm SU   , bảng Young có năm hàng, nên d  1 , 2 , 3 , 4 , 5   1  1 1  2 1  3 1  4 1  5          3   3  4   4  5   1   1   1   1             3  2  3  4  3  4  5   1  1  1   3          3  4  2  3  4  5   1  2  3  4  5   1  1    1   4      d 1, 0, 0, 0,   =    -1 = (3, 1, -1)  (1, 3, 1) 2.2.3.2 Biểu diễn đối xứng – 21 tuyến d  2, 0, 0, 0,   21 a a = a a (6, 1, -2 = 2.(-1))  -2 46  a   a a a (3, 3, = -1 + 1) (1, 6, = 2.1) 21 = (6, 1, -2)  (3, 3, 0)  (1, 6, 2) 2.2.3.3 Biểu diễn quy – 35 tuyến d 1, 0, 0, 0,1  35 a b c d e a a b c = a d e 1 c d e  a b d e a ~ a (3, 3 , -2 = -4.1 + 2.1) ~ a b  a (1, 8, = -3.1 + 3.1)  d e a b c a a b a c d e a -1  d e ~ ( 3 , 3, = 2.(-1) + 4.1) a b ~ a  0 (8, 1, = 3.(-1) + 3.1)   47  a b c a d e ~ (1, 1, = -3.1 + 3.1),  35 = (3, , -2)  (1, 8, 0)  ( 3 , 3, 2)  (8, 1, 0)  (1, 1, 0) Nhận xét: giản ước cột N ô (của nhóm SU  N  ), phải tính tích chúng 2.2.4 Nhân đa tuyến có tích U 1 X Các đa tuyến thường mang số lượng tử điện tích Q , siêu tích Y X tích (tích nhóm U 1 X ) tích liên hệ với điện tích sau: Q   i i  X , (2.26) i ma trận Gell-Mann Do Tri  nên TrQ  TrX Trong phép nhân tensơ tích X Q tổng tích tương ứng thành phần  N1 , X1    N , X    N1  N , X1  X  (2.27) N1 , N đa tuyến, X , X tích X tương ứng Ví dụ 1: Giả sử có lưỡng tuyến nhóm SU    U 1Y (2, 1), (2, -1) siêu tích lưỡng tuyến Khi đó: (2, 1)  (2, 1) = (3, 2) + (1, 2), (2, 1)  (2, -1) = (3, 0) + (1, 0) Ví dụ 2: Ngũ tuyến SU   tách đa tuyến nhóm SU  3C  SU   L  U 1Y sau: 1  1    3,1,    1, 2,  3  2   1   1  Khi đó:    3,1,    1, 2,     3,1,    1, 2,   3         1  1  1  1  1  1  1  1    3,1,     3,1,     3,1,    1, 2,   1, 2,    3,1,    1, 2,   1, 2,  3  3  3  2  2  3  2  2  48 2  1  1    9,1,     3, 2,    3, 2,   1, 4,1 3  6  6  2 2 1      6,1,     3,1,     3, 2,   1,3,1S  1,1,1 A S  A 6   Mặt khác, ta có:   10 A  15S (2.28) (2.29) Kết hợp (2.28) (2.29) ta thu việc tách thập tuyến (phản xứng) 15 tuyến (đối xứng) sau: 1  2  10 A   3, 2,    3,1,    (1,1,1) 6  3  (2.30) 1  2  15S   3, 2,    6,1,    (1,3,1) 6  3  (2.31) PHẦN III: KẾT LUẬN Đề tài giới thiệu bảng Young đa tuyến nhóm đối xứng SU  M   SU  N   SU  M  N  Ta dùng bảng Young để xác định số tensơ độc lập (số lượng bảng chuẩn) dựa vào bảng Young ta tìm đa tuyến nhóm đối xứng SU  M   SU  N   SU  M  N  Ở trường hợp cụ thể đề tài xây dựng được: 49 + Các đa tuyến nhóm SU  3  SU   U 1Y  SU  5 mô hình thống lớn + Các đa tuyến nhóm SU  3  SU  isospin U 1Y mô hình ba quark + Các đa tuyến nhóm SU  3C  SU  3 L U 1 N  SU   lý thuyết thống lớn Qua cho thấy bảng Young có vai trò quan trọng cần nhớ qui tắc bảng Young để áp dụng vào việc tìm đa tuyến nhóm SU  M   SU  N   SU  M  N  Tôi hi vọng đề tài tài liệu tham khảo cho bạn bước đầu làm quen với chuyên ngành vật lý lý thuyết Do thời gian nghiên cứu có hạn nên nghiên cứu đề tài chắn tránh khỏi thiếu sót Tôi mong góp ý, dẫn thầy cô, động viên góp ý bạn sinh viên để đề tài hoàn thiện TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Tạ Quang Bửu (1987), Hạt bản, NXB Giáo dục, Hà Nội [2] Đăng Xuân Hải (1987), Bài giảng vật lý hạt nhân hạt [3] Hoàng Ngọc Long (2003), Nhập môn lý thuyết trường mô hình thống tương tác điện yếu, NXB Khoa học kĩ thuật [4] Hoàng Ngọc Long (2006), Cơ sở vật lý hạt bản, NXB Khoa học Tự nhiên công nghệ, Hà Nội 50 [5] H.Georgi (1999), Lie Algebras in Paricle Physics, From Isospin to Unified Theories, Perseus Books, Massachusetts [6] W.Greiner and B Muller (1995), Gauge Theory of Weak Interactions, 2nd edition, Springer 51 [...]... xkl  0   i 1  ij kl Bảng Young cho ta một cách thuận tiện để khai triển tích các biểu diễn thành tổng của các biểu diễn 1.10.1 Khai triển tích các biểu diễn thành tổng Muốn tìm tích của hai thừa số, ta không đánh số các ô của thừa số đầu tiên Đối với thừa số thứ hai ta đánh số như sau: 1 Cho các chữ ví dụ a vào các ô ở hàng 1 2 Cho các chữ ví dụ b vào các ô ở hàng hai, v v 3 Kết quả ta có thừa số... Vậy siêu tích của quark u bằng 1 3 Tương tự ta tính được siêu tích của quark d bằng 1 , siêu tích của quark s 3 2 3 bằng  Từ công thức Gell – Mann – Nishijima: Y QI  , 3 2 (2.16) trong đó Y  L  S  B được gọi là siêu tích, L gọi là số lepton, B gọi là số baryon, S gọi là số lạ, ta tính được điện tích, siêu tích, số baryon, số lạ của các quark ở bảng 2.1: Bảng 2.1: Số lượng tử của các quark... và n chạy từ 1 tới N và như vậy tất cả các khả năng của SU  M  N  đã được lấy hết Tích U(1) của biểu diễn A×B sẽ là mN-nM 30 Chú ý: Nếu ta lấy M = 1, nhóm SU(M) sẽ không xuất hiện vì không có đại số SU(1) – nhóm không có vi tử Nhưng cách xây dựng trên vẫn đúng Ta mô tả trường hợp này bằng ● ám chỉ không có ô (đơn tuyến) 2.2 Một số ví dụ cụ thể 2.2.1 Các đa tuyến SU  3  SU  2 U 1Y  SU ... quark  và 3 lepton được xếp vào phản ngũ tuyến  A r y b 5 :  d , d , d , e , e và thập tuyến 10  1    1, 2,  1  =  3,1,    3  2 (2.2) L Hay 5 : A   d r , d y , d b , e , ec R , A =1, 2, 3, 4, 5 (2.3) Các số trong móc đơn của (2.2) là các biểu diễn của các nhóm con trong SU  3C  SU  2  L  U 1Y Các hạt còn lại xếp trong thập tuyến W 10 :  AB  0   u b 1 ... b, y  với a , b là số trường trong đa tuyến SU  3 và SU  2  , còn y là siêu tích yếu Y Hệ số có thể được cố định thông qua điện tích của các thành phần Ngũ tuyến trong SU  5  có dạng 5 : A   d r , d y , d b , e , ec R , A =1, 2, 3, 4,5 1 6 do vậy n   Khi đó: 1  1  5   3,1,    1, 2,  3  2  (2.13) 1 3 Mỗi ô ở bên trái ứng với siêu tích yếu Y là  còn mỗi ô ở bên phải... diễn chính quy được mô tả bằng hai cột: cột thứ nhất có -1 ô, cột thứ hai có 1 ô Ta thấy biểu diễn chính quy bằng phản biểu diễn chính quy Do vậy tổng các tích U(1) của các thành phần trong biểu diễn chính quy bằng không 29 Chương 2 Phân tích các đa tuyến SU  M   SU  N   SU ( M  N ) 2.1 Nhóm con SU  M   SU  N   U 1 của nhóm SU  M  N  2.1.1 Định nghĩa Nhóm SU  M   SU  N  U 1... phản đa tuyến theo bảng Young chỉ cho ta xây dựng được bất biến đối với SU(n) Khi lấy phản đa tuyến theo liên hợp phức, bất biến được xây dựng sẽ bất biến với cả các nhóm khác mà giao hoán với nó như U(1)X và SU(3)C, ta gọi bất biến đó là vô hướng Biểu diễn chính quy được mô tả bằng hai cột: cột thứ nhất có -1 ô, cột thứ hai có 1 ô Ta thấy biểu diễn chính quy bằng phản biểu diễn chính quy Do vậy tổng các. ..   3, 2,  6 6   Số hạng đầu và số hạng cuối là các boson chuẩn mới X  V  , Y  V  , α 5 4 = 1, 2, 3 tương tác với các quark và lepton nên có tên gọi là leptonquark Chúng có điện tích tương ứng là 4 1 và Hai số hạng tiếp theo là các boson 3 3 của mẫu GWS: W  , Z và photon Số hạng thứ tư ứng với các gluon 2.2.1.4 Biểu diễn đối xứng – 15 tuyến d (2, 0, 0, 0)  15 a a a =   a  a 2 1 1 ... hoán:  M a , qi     a  j  qj  2 i Người ta đồng nhất các toán tử spin đồng vị, toán tử siêu tích với các vi tử của nhóm như sau M 1  I1 , M 2  I 2 , M 3  I 3 , M 8  3 Y 2 (2.14) Để biết được siêu tích của các quark, ta xuất phát từ giao hoán tử Y , qi   2 2 1 1  M 8 , qi     8     8 ij q j 3 3  2 i 3 Tính siêu tích của quark u (2.15) q1 2 2  j  8  1 j i Y , q ... SU(2) có m = 2 -1 = 3 tham số thực độc lập 19 2 + Nhóm đối xứng SU(3) có m = 3 -1 = 8 tham số thực độc lập 1.8.2 Các đa tuyến của nhóm đối xứng SU(N) + Ta đưa vào khái niệm đa tuyến cho một nhóm Lie G tổng quát 2 + Giả sử ta có một nhóm đối xứng G có m = n -1 tham số thực độc lập Khi đó các vi tử ηa ( a = 1, m ) của nó thỏa mãn hệ thức giao hoán [ ηa , ηb ] = i abc trong đó a, b, c = 1, m ; i là phần ...  ), phải tính tích chúng 2.2.4 Nhân đa tuyến có tích U 1 X Các đa tuyến thường mang số lượng tử điện tích Q , siêu tích Y X tích (tích nhóm U 1 X ) tích liên hệ với điện tích sau: Q  ... với đa tuyến Nếu đa tuyến p ứng với hàm có số  i phản đa tuyến p mô tả hàm có i i  i số  (  i ) , pp    i  constant Phản đa tuyến (dạng cột) xác định tổ hợp hàm mà với hàm đa tuyến. .. SU(2) có m = -1 = tham số thực độc lập 1.3 Các đa tuyến Các định nghĩa đa tuyến phản đa tuyến chung cho tất nhóm Nhóm SU(2) trường hợp cụ thể Định nghĩa đa tuyến: Giả sử ta có p hạt đó, chúng tứng