123doc code toi uu hoa bai toan van tai

BÀI TẬP LỚN MƠN : TỐI ƯU HĨA ( kèm code phương pháp code để link drive cuối trang) NHĨM 4: CÀI ĐẶT CHƯƠNG TRÌNH GIẢI BÀI TOÁN VẬN TẢI THU LỚN HƠN PHÁT HÀM MỤC TIÊU MIN GV hướng dẫn : SV thực : Nguyễn Thị Anh Vân 2.Nguyễn Thị Hiền Lại Anh Tú 4.Nguyễn Duy Hưng 5.Trịnh Văn Nguyên 6.Vương Đức Pha 7.Đoàn Cường Anh 8.Nguyễn Văn Tây Đặng Văn Thụ LỜI MỞ ĐẦU Tối ưu hóa, khởi nguồn ngành Tốn học, có nhiều ứng dụng hiệu rộng rãi quy hoạch tài nguyên, thiết kế chế tạo máy, điều khiển tự động, quản trị kinh doanh, kiến trúc đô thị, công nghệ thông tin, việc tạo nên hệ hỗ trợ định quản lý phát triển hệ thống lớn Chính vậy, lĩnh vực Tối ưu hóa ngày trở nên đa dạng, mang nhiều tên gọi khác Quy hoạch toán học, Điều khiển tối ưu, Vận trù học, Lý thuyết trò chơi… Hiện nay, môn học Phương pháp tối ưu đưa vào giảng dạy nhiều chương trình đào tạo đại học cho ngành khoa học bản, kỹ thuật – công nghệ, kinh tế – quản lý, sinh học – nông nghiệp, xã hội – nhân văn, sinh thái – môi trường… Đối với sinh viên ngành Tin học, Cơng nghệ thơng tin Tốn – Tin ứng dụng, môn học Phương pháp tối ưu môn học sở thiếu, giúp sinh viên nắm sở lý thuyết mức độ định, nắm thuật toán tối ưu để áp dụng việc xây dựng phần mềm tối ưu tính tốn giải tốn kinh tế, công nghệ, kỹ thuật quản lý Chương 1: Bài toán tối ưu tổng quát ứng dụng 1.1 Bài toán tối ưu tổng quát phân loại Bài tốn tối ưu tổng qt Tối ưu hóa lĩnh vực kinh điển toán học có ảnh hưởng đến hầu hết lĩnh vực khoa học – công nghệ kinh tế – xã hội Trong thực tế, việc tìm giải pháp tối ưu cho vấn đề chiếm vai trò quan trọng Phương án tối ưu phương án hợp lý nhất, tốt nhất, tiết kiệm chi phí, tài nguyên, nguồn lực mà lại cho hiệu cao Ví dụ Tìm x ∈ D = [ −2,2, 1,8] ⊂ R cho f(x) = x – 3x + → Max Bài toán tối ưu có dạng cực đại hố giải sau: Cho f’(x) = 3x – = 0, ta có điểm tới hạn x = –1 x = +1 Xét giá trị hàm số f(x) điểm tới hạn vừa tìm giá trị x = –2,2 x = 1,8 (các điểm đầu mút đoạn [–2,2, 1,8]), ta có f(–2,2) = –3,048 , f(– 1) = 3, f(1) = –1, f(1,8) = 1,432 Vậy giá trị x cần tìm x = –1 Kết toán minh hoạ hình I.1 Hình I.1 Đồ thị hàm f(x) Cho hàm số f: D ⊂ R → R Bài toán tối ưu tổng quát có dạng: Max (Min) f(x), với x ∈ n D ⊂ R Như vậy, cần tìm điểm x = (x1, x2, , xn) ∈ D ⊂ R cho hàm mục tiêu f(x) đạt giá trị lớn toán Max – cực đại hoá (giá trị bé toán Min n – cực tiểu hoá) n n Điểm x = (x1, x2, , xn) ∈ D ⊂ R gọi phương án khả thi (hay phương án chấp nhận phương án, nói vắn tắt) toán tối ưu: Max (Min) f(x), với x ∈ D ⊂ R Miền D gọi miền ràng buộc Các toạ độ thành phần điểm x gọi biến định, x gọi véc tơ định n Xét toán cực đại hoá: Max f(x), với x ∈ D ⊂ R Điểm x* = ( x 1, x , , x n ) ∈ R ∗ n ∗ ∗ n gọi điểm tối ưu (hay phương án tối ưu) toàn cục x* ∈ D f(x*) ≥ f(x), ∀x ∈ D Điểm n x ∈ R gọi điểm tối ưu (hay phương án tối ưu) địa phương x ∈ D tồn lân cận Nε đủ nhỏ điểm x cho f( x ) ≥ f(x), ∀x ∈ Nε ∩ D Đối với toán cực tiểu hoá Min f(x), với x ∈ D ⊂ R , điểm x* ∈ R gọi điểm tối n n n ưu (hay phương án tối ưu) toàn cục x* ∈ D f(x*) ≤ f(x), ∀x ∈ D Điểm x ∈ R gọi điểm tối ưu (hay phương án tối ưu) địa phương x ∈ D tồn lân cận N ε đủ nhỏ điểm x cho f( x ) ≤ f(x), ∀x ∈ Nε ∩ D Dễ thấy, phương án tối ưu toàn cục phương án tối ưu địa phương, phương án tối ưu địa phương không thiết phương án tối ưu tồn cục Trên hình I.1, điểm x = phương án tối ưu địa phương xét tốn cực tiểu hố Ví dụ Xét toán tối ưu sau: Max f(x) = 8x1 + 6x2 , với điều kiện ràng buộc x ∈ D = { (x1, x2) ∈ R : 4x1 + 2x2 ≤ 60; 2x1 + 4x2 ≤ 48, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0} Bài toán tối ưu gọi tốn quy hoạch tuyến tính Người ta chứng minh phương án tối ưu địa phương toán quy hoạch tuyến tính đồng thời phương án tối ưu tồn cục 1.1 Phân loại toán tối ưu Các tốn tối ưu, gọi toán quy hoạch toán học, chia thành lớp sau: – Bài tốn quy hoạch tuyến tính (BTQHTT), – Bài tốn tối ưu phi tuyến hay gọi toán quy hoạch phi tuyến (BTQHPT), bao gồm toán quy hoạch lồi (BTQHL) tốn quy hoạch tồn phương (BTQHTP), – Bài tốn tối ưu rời rạc, toán tối ưu nguyên hỗn hợp nguyên – Bài toán quy hoạch động, – Bài toán quy hoạch đa mục tiêu, – Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên / mờ Ứng dụng Phương pháp tối ưu giải vấn đề thực tế 2.1 Phương pháp mơ hình hố tốn học Nhiều vấn đề phát sinh thực tế giải cách áp dụng phương pháp tối ưu toán học Tuy nhiên, điểm mấu chốt từ tốn thực tế cần xây dựng mơ hình tối ưu thích hợp dựa vào dạng tốn tối ưu biết Sau cần áp dụng phương pháp tối ưu tốn học quy trình tính tốn thích hợp để tìm lời giải cho mơ hình đặt Các bước cần thiết tiến hành áp dụng phương pháp mơ hình hố tốn học phát biểu cách khái quát sau: – Trước hết phải khảo sát toán thực tế phát vấn đề cần giải – Phát biểu điều kiện ràng buộc mục tiêu tốn dạng định tính Sau lựa chọn biến định / ẩn số xây dựng mơ hình định lượng gọi mơ hình tốn học – Thu thập liệu lựa chọn phương pháp tốn học thích hợp để giải mơ hình Trong trường hợp mơ hình tốn học mơ hình tối ưu, cần lựa chọn phương pháp tối ưu thích hợp để giải mơ hình – Xác định quy trình giải / thuật tốn Có thể giải mơ hình cách tính tốn thơng thường giấy Đối với mơ hình lớn, bao gồm nhiều biến nhiều điều kiện ràng buộc cần tiến hành lập trình giải mơ hình máy tính để tìm phương án thỏa mãn mơ hình – Đánh giá kết tính tốn Trong trường hợp phát thấy có kết bất thường, cần xem xét nguyên nhân, kiểm tra chỉnh sửa lại mơ hình liệu đầu vào quy trình giải / thuật tốn / chương trình máy tính – Kiểm chứng kết tính tốn thực tế Nếu kết thu được coi hợp lý, phù hợp với thực tế hay chuyên gia đánh giá có hiệu so với phương án trước cần tìm cách triển khai phương án tìm thực tế Rõ ràng để giải vấn đề phát sinh từ toán thực tế cần có hợp tác chặt chẽ chuyên gia lĩnh vực chuyên môn, chuyên gia Toán, Toán ứng dụng chuyên gia Tin học, kỹ sư lập trình Điều đặc biệt cần thiết giải toán cho hệ thống lớn Việc thiết lập mơ hình hợp lý, phản ánh chất toán thực tế đồng thời khả thi phương diện tính tốn ln vừa mang tính khoa học 3ần túy, vừa có tính nghệ thuật Các thuật ngữ sau thường gặp áp dụng phương pháp mơ hình hố tốn học: – Toán ứng dụng (Applied Mathematics) – Vận trù học (Operations Research viết tắt OR) – Khoa học quản lý (Management Science viết tắt MS) – Ứng dụng máy tính (Computer Applications) – Mơ hình tối ưu (Optimization Models) 2.2 Một số ứng dụng toán tối ưu Những năm gần đây, nhiều toán thực tế giải phương pháp mơ hình hóa tốn học thành cơng Trong số mơ hình tốn học áp dụng có nhiều mơ hình tối ưu, giải thơng qua tốn tối ưu kinh điển Trong trường hợp hàm mục tiêu tất ràng buộc hàm tuyến tính, tốn tối ưu BTQHTT BTQHTT giải số phương pháp tối ưu quen biết (như phương pháp đơn hình, phương pháp đơn hình cải biên hay phương pháp điểm trong) BTQHTT sử dụng rộng rãi quy hoạch tài nguyên, quản lý sử dụng đất nhiều lĩnh vực quản lý, kinh tế quản trị kinh doanh Trong trường hợp hàm mục tiêu số ràng buộc phi tuyến, có BTQHPT Trong mơ hình tối ưu dựa BTQHPT nói chung, mơ hình tối ưu lĩnh vực nơng nghiệp nói riêng, lời giải tối ưu tồn cục có ý nghĩa quan trọng Chẳng hạn thiết kế máy nông nghiệp, sau dùng phương pháp phân tích hồi quy nhiều chiều, ta thường thu hàm mục tiêu có dạng phi tuyến Các tốn tối ưu tồn cục nảy sinh quy hoạch kinh tế – sinh thái vùng, hay xác định cấu đất canh tác – trồng Bài toán đặt phải tìm lời giải tối ưu tồn cục Có nhiều phương pháp giải lớp toán tối ưu phi tuyến riêng biệt, chưa có phương pháp tỏ hữu hiệu cho toán tối ưu phi tuyến, đặc biệt cho toán với số hay tất biến định nhận giá trị nguyên Chương 2: Bài toán vận tải Phát biểu toán vận tải Bài toán vận tải áp dụng rộng rãi lĩnh vực lập kế hoạch phân bổ sản phẩm hàng hoá (dịch vụ) từ số địa điểm cung / cấp phát tới số địa điểm cầu / tiêu thụ Thông thường, địa điểm cung (nơi đi) có số lượng giới hạn hàng, địa điểm cầu (nơi đến) cần số lượng định hàng để đáp ứng nhu cầu tiêu thụ Với cung đường vận chuyển hàng đa dạng, với cước phí vận tải khác nhau, mục tiêu đặt xác định phương án vận tải tối ưu Nói cách khác, vấn đề đặt cần xác định nên vận chuyển từ địa điểm cung tới địa điểm cầu đơn vị hàng nhằm thoả mãn nhu cầu địa điểm tiêu thụ đồng thời đạt tổng chi phí vận tải nhỏ Ví dụ Ta có điểm cung cấp hàng C, D, E điểm cầu S, T, U V với lượng hàng cung cầu điểm cước phí vận tải đơn vị hàng cho cung đường bảng III.8 Từ điểm cung i đến điểm cầu j ta có cước phí vận tải / đơn vị hàng c ij biết, chẳng hạn c11 USD / đơn vị hàng Cần thiết lập phương án vận tải hàng đáp ứng cung cầu tổng chi phí vận tải nhỏ Chú ý toán vận tải xét có tổng cung tổng cầu, nên gọi toán vận tải cân thu phát Đây dạng đơn giản dạng toán vận tải Bảng 2.1 Các liệu toán vận tải Điểm cung Lượng hàng Điểm cầu Lượng hàng C 5000 S 6000 D 6000 T 4000 E 2500 U 2000 Tổng 13500 V 1500 Tổng 13500 Nơi Cước phí vận tải / đơn vị hàng cij (USD) đến S T U V C D E 5 Khái niệm bảng vận tải Bảng vận tải có m hàng, n cột gồm m x n ơ, m số điểm cung, n số điểm cầu với cước phí cij ghi (i, j) cho cung đường (i, j) Khi m = 3, n = ví dụ trên, ta có bảng vận tải 2.2 Bảng vận tải 2.2 Ta cần tìm phương án phân hàng vào ô (i, j) cho tổng theo hàng hay cột khớp với lượng cung, cầu tổng chi phí vận tải nhỏ Mỗi ô (i, j) biểu diễn cung đường vận chuyển hàng từ điểm cung i điểm cầu j Các phương pháp tạo phương án xuất phát Có số phương pháp tạo phương án xuất phát Ta nghiên cứu hai phương pháp sau Phương pháp "góc tây bắc" Phương pháp phát biểu sau: – Phân phát hàng tối đa vào góc tây bắc bảng vận tải – Sau (hàng) cung (cột) cầu thoả mãn ta thu gọn bảng vận tải cách bỏ bớt hàng cung cột cầu (chỉ bỏ hai thứ “hoặc” hàng “hoặc” cột, toán tử “hoặc” loại trừ, OR exlusive) Tiếp tục lặp lại hai bước hàng phân phối hết vào Bằng phương pháp “góc tây bắc” ta tạo phương án bảng 2.3 Bảng 2.3 Phương án xuất phát với phương pháp “góc tây bắc” Tổng chi phí vận tải: Σ CPVT = (3 × + × + × + × + × + × 1,5) × 1000 = 55500 Phương pháp cước phí tối thiểu Phương pháp phát biểu tương tự phương pháp "góc tây bắc" ưu tiên phân phát hàng vào có cước phí bé (nếu có nhiều chọn số đó) Lúc ta có phương án xuất phát phương án cho bảng 2.4 Bảng 2.4 Phương án xuất phát với phương pháp cước phí tối thiểu Tổng chi phí vận tải: Σ CPVT = (3 × + × + × 2,5 + × + × 1,5 + × 2,5) × 1000 = 42000 Một số nhận xét – Phương pháp cước phí tối thiểu thường cho phương án xuất phát tốt phương pháp “góc tây bắc” – Bảng vận tải tương ứng với ví dụ có số ô sử dụng + – = – = Một cách tổng quát bảng vận tải m hàng, n cột có số sử dụng m + n – – Bài tốn vận tải BTQHTT Trong ví dụ xét, ký hiệu x ij lượng hàng cần vận chuyển cung đường (i, j), lượng hàng cần điền vào (i, j), BTQHTT sau: Min z = ∑ ∑ cij x ij = 3x11 + 2x12 + 7x13 + 6x14 + 7x21 + 5x22 i =1 j=1 + 2x23 + 3x24 + 2x31 + 5x32 + 4x33 + 5x34 với ràng buộc x11 + x12 + x13 + x14 = 5000 x21 + x22 + x23 + x24 = 6000 x31 + x32 + x33 + x34 = 2500 x11 + x21 + x31 = 6000 x22 + x32 x13 + x23 (3.15) + = 4000 + x33 = 2000 + x34 = 1500 xij ≥ 0, ∀i = 1,3 , ∀j = 1, x12 x14 + x24 Đổi tên biến: X1 = x11, X2 = x12, X3 = x13, X4 = x14, X5 = x21, , X12 = x34, tốn BTQHTT 12 biến, với ma trận A hệ số ràng buộc sau: 1  0 0  A = 1 0  0  0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0  0 1  0 0  0  1 (Ma trận A gồm 12 véc tơ cột ký hiệu A11, A12, , A34) Hệ ràng buộc có phương trình Nếu lấy tổng phương trình cuối trừ tổng phương trình thứ phương trình đầu Mặt khác, tốn vận tải có phương án, nên gọi A ma trận mở rộng ma trận A ( A thu từ A cách thêm cột hệ số vế phải hệ (3.15)) hạng A = hạng A ≤ Sau đây, rằng, hạng A = hạng A = Mỗi phương án xuất phát tìm tốn vận tải phương án cực biên xuất phát giải BTQHTT Bài toán vận tải hồn tồn giải phương pháp đơn hình Tuy nhiên, có cấu trúc đặc biệt, tốn vận tải giải phương pháp khác với thuật tốn chun dụng Đó phương pháp phân phối phương pháp vị Phát biểu toán vận tải tổng quát Trong mạng lưới cung cấp tiêu thụ mặt hàng có m điểm cung, với lượng m cung a1, a2, …, am n điểm cầu, với lượng cầu b1, b2, …, bn Giả sử n ∑ a = ∑ b , tức i =1 i j=1 j tổng cung tổng cầu nhau, ta có tốn vận tải cân cung cầu hay gọi tốn vận tải cân thu phát Cho biết cij cước phí / đơn vị hàng vận chuyển từ điểm cung i tới điểm cầu j Ký hiệu xij lượng hàng cần vận chuyển từ điểm cung i tới điểm cầu j, có tốn vận tải cân thu phát tổng quát sau đây: Với ràng buộc n ∑x ij = a i , ∀i = 1, m ij = b j ,∀j = 1,n j=1 m ∑x i =1 xij ≥ 0, ∀i = 1, m,∀j = 1,n 2.2 Các tính chất tốn vận tải Tính chất Bài tốn vận tải cân thu phát ln có phương án tối ưu Chứng minh Chúng ta tốn vận tải cân thu phát ln có phương án xuất phát (tìm chẳng hạn phương pháp “góc tây bắc”) Hơn nữa, ứng với phương án vận tải hàm mục tiêu (hay tổng chi phí vận tải tương ứng) luôn bị chặn Theo nhận xét cuối mục 2.2, BTQHTT xảy ba trường hợp: i) tốn có phương án tối ưu, ii) tốn khơng có phương án iii) tốn có phương án hàm mục tiêu không bị chặn Từ suy ra, tốn vận tải cân thu phát ln có phương án tối ưu (đpcm) ■ Để nghiên cứu tính chất tốn vận tải, trước hết xem xét định nghĩa sau Định nghĩa Một tập hợp ô bảng vận tải nói tạo nên chu trình khép kín tìm đường khép kín xuất phát từ thuộc tập hợp lại trở ô xuất phát sau qua ô khác tập hợp (mỗi ô qua lần) dọc theo hàng hay cột bảng vận tải, bước theo hàng bước sau phải theo cột ngược lại Như vậy, số ô tối thiểu chu trình khép kín Xét ví dụ bảng 2.2, lúc (1,1), (1,2), (2,2), (2,1) tạo nên chu trình khép kín tạo nên đường qua ô sau: ô (1,1) → ô (1,2) → ô (2,2) → ô (2,1) → ô (1, 1) Lúc eij ≥ 0, ∀ ô (i, j) chưa sử dụng Điều kiện tối ưu thoả mãn Phương án vận tải tối ưu cho bảng III.16 với tổng chi phí nhỏ 39500 Bài tốn vận tải khơng cân thu phát Trường hợp tổng lượng cung lớn tổng lượng cầu, cần bố trí thêm điểm (cột) cầu giả mà chi phí vận tải đến coi Tương tự, cầu vượt cung cần bố trí điểm (hàng) cung giả coi chi phí vận chuyển từ Lúc ta có tốn vận tải cân thu phát với cước phí cột cầu giả hàng cung giả Chú ý lúc này, bảng vận tải có thêm cột cầu giả (nằm bên phải cùng) hàng cung giả (nằm cùng) Để tìm phương án xuất phát, thực phương pháp “góc tây bắc” phương pháp cước phí tối thiểu cần ưu tiên phân hàng vào ô bảng vận tải ban đầu trước phân hàng vào ô cột giả hay hàng giả 2.4 Phương pháp vị giải toán vận tải Phương pháp “nhảy đá” hay phương pháp phân phối có nhược điểm việc tính hiệu suất dài dòng Vì vậy, ta nghiên cứu phương pháp vị nhằm tính hiệu suất eij ngắn gọn Xét phương án xuất phát tìm phương pháp cước phí cực tiểu cho bảng 2.10 (với tổng chi phí vận tải 42000) Bảng 2.10 Phương án vận tải xuất phát Ta có e13 = – + – = +9 Ta tìm cách tính e 13 cách khác nhanh trình bày sau Trước hết cần xây dựng hệ thống số vị hàng cột {u i, vj}, ui với i = 1, 2, vị hàng, v j với j = 1, 2, 3, vị cột Có thể gán cho vị giá trị (hoặc giá trị khác), vị thường chọn hàng hay cột có nhiều sử dụng Chẳng hạn chọn u2 = Các vị khác tính công thức: ui + vj = cij , ∀ ô (i, j) sử dụng Chọn u2 = ⇒ v1 = (= c21 – u2); u1 = – (= c11 – v1); v3 = (= c23 – u2); u3 = –5 (= c37 – v1); v4 = (= c24 – u2); v2 = (= c12 – u1) Cơng thức tổng qt để tính hiệu suất cho ô (i, j) chưa sử dụng là: eij = cij – (ui + vj) Chẳng hạn ta có e13 = c13 – (u1 + v3) = – (–4 + 2) = Các hiệu suất khác tính tương tự (xem bảng 2.11) Bảng 2.11 Tính tốn vị hiệu suất Trong bảng 2.11 ta thấy e22 = – < Chọn ô (2,2 ) để đưa vào sử dụng ứng với q = 2500, ta chuyển sang phương án tính lại hệ thống số vị bảng 2.12 Bảng 2.12 Tính tốn vị hiệu suất cho phương án Chọn u2 = ⇒ v2 = (= – 0); v3 = (= – 0); v4 = (= – 0); u1 = – (= – 5); v1 = (= – (–3)); u3 = –4 (= – 6) Tổng chi phí vận tải: Σ CPVT = (3 × 3,5 + × 1,5 + × 2,5 + × + × 1,5 + × 2,5) × 1000 = 39500 (tính cách khác, Σ CPVT = 42000 – × 2500) Tiếp tục tính tốn hiệu suất: e13 = c13 – (u1 + v3) = – (– + 2) = 8; e14 = c14 – (u1 + v4) = – (– + 3) = 6; e21 = c21 – (u2 + v1) = – (0 + 6) = 1; e32 = c32 – (u3 + v2) = – (– + 5) = 4; e33 = c33 – (u3 + v4) = – (– + 2) = 6; e34 = c34 – (u3 + v4) = – (– + 3) = Ta thấy eij ≥ 0, ∀ ô (i, j) chưa sử dụng nên điều kiện tối ưu thoả mãn Phương án tối ưu cho bảng 2.12, với tổng chi phí vận tải nhỏ 39500 Chú ý – Đối với toán vận tải cần cực đại hoá hàm mục tiêu tiêu chuẩn dừng eij ≤ 0, ∀ô (i, j) chưa sử dụng – Đối với tốn vận tải có cấm (cung đường khơng sử dụng) đặt cước phí M =+ ∞ cho cấm với tốn Min M = – ∞ với toán Max 2.5 Cơ sở phương pháp phân phối phương pháp vị Xét lại ví dụ với tốn vận tải cho bảng 2.13 Viết toán dạng BTQHTT sau: Min z = ∑ ∑ cij x ij = 3x11 + 2x12 + 7x13 + 6x14 + 7x21 + 5x22 i =1 j=1 + 2x23 + 3x24 + 2x31 + 5x32 + 4x33 + 5x34 với ràng buộc x11 + x12 + x13 + x14 = 5000 x21 + x22 + x23 + x24 = 6000 x31 + x32 + x33 + x34 x11 + x21 x12 + x31 + x22 x13 x14 = 6000 + x32 + x23 + x24 = 2500 = 4000 + x33 = 2000 + x34 = 1500 xij ≥ 0, ∀i = 1,3 , ∀j = 1, Bảng 2.13 Bảng vận tải ví dụ Cơ sở phương pháp phân phối Chọn phương án tìm phương pháp góc tây bắc (xem bảng 2.3) làm phương án cực biên xuất phát, có bảng đơn hình xuất phát sau (bảng 2.14) Bảng 2.14 Bảng đơn hình xuất phát giải tốn vận tải Chúng ta chứng minh hiệu suất eij ô (i, j) chưa sử dụng giá trị ⊗ij = cij – zij tính hàng cuối bảng 2.14 Chẳng hạn, e12 = ⊗12 Thật vậy, cột hệ số x12 hệ số mà A12 biểu thị tuyến tính qua véc tơ sở A11, T T A21, A22, A23, A33 A34 Xét véc tơ cột α ứng với x12, ta có: α = (α1, α2, α3, α4, α5, α6) = (1, – 1, 1, 0, 0, 0) ma trận sở B = [A11 A21 A22 A23 A33 A34] –1 Theo phân tích, ta có α = B A12 hay A12 = Bα Vậy viết A12 = α1A11 + α2A21 + α3A22 + α4A23 + α5A33 + α6A34 cách biểu diễn A12 dạng tổ hợp tuyến tính véc tơ cột sở (trong ma trận B) Xét chu trình qua (1, 2) số ô ô sử dụng (1, 1), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 3) ((3, 4) Chu trình nhất: (1,2) → (2,2) → (2,1) → (1,1) → (1,2) Do ta có ngay: A12 – A22 + A21 – A11 = ⇒ A 12 = A 11 – A 21+ A 22  α = 1, α2 = −1, α3 = ⇒   α4 = α5 = α6 = ⇒ ⊗12 = c12 – z12 = c12 – (c11α1 + c21α2 + c22α3 + c23α4 + c33α5 + c34α5) = – (3×1 – 7×1 + 5×1) = – + 7– = ⇒ ⊗12 = c12 – c11 + c21 – c22 = e12 Tương tự, xét chu trình qua ô chưa sử dụng (3,1) ô (2,1), (2,3) (3,3) có A31 = A21 – A23 + A33 Từ ⊗31 = c31 – c21 + c23 – c33 = e31 ⇒ ⊗31= – + – = – Theo bảng đơn hình 2.14, ta có ⊗31 = – ⊗32 = – 2, ⊗ij lại không âm áp dụng thủ tục xoay, chọn cột xoay cột tương ứng với biến x 32, tức đưa ô (3,2) vào sử dụng Theo quy tắc tỷ số dương bé nhất, hàng xoay chọn hàng ứng với biến x 33 ứng với lượng hàng Min ô mang dấu – chu trình qua (3,2), (2,2), (2,3) (3,3) Kết bảng 2.5 Sau chuyển sang bảng đơn hình bước cho kết tính toán trùng với kết bảng 2.6 giải toán vận tải theo phương pháp phân phối Cơ sở phương pháp vị Xét toán vận tải ví dụ Min z = ∑ ∑ cij x ij = 3x11 + 2x12 + 7x13 + 6x14 + 7x21 + 5x22 i =1 j=1 + 2x23 + 3x24 + 2x31 + 5x32 + 4x33 + 5x34 với ràng buộc x11+x12+x13+x14 = 5000 x21+x22+x23+x24 = 6000 x31+x32+x33+x34 = 2500 x11 +x21 +x31 = 6000 +x32 x14 x12 +x22 = 4000 x13 +x23 +x33 = 2000 +x24 +x34 = 1500 xij ≥ 0, ∀i = 1,3 , ∀j = 1, Đây BTQHTT với phương trình cuối hệ phương trình đứng Gọi u1, u2, u3 biến đối ngẫu phương trình đầu v 1, v2, v3, v4 biến đối ngẫu phương trình sau Lúc ta có tốn đối ngẫu sau BTQHTT cho Định lý Điều kiện cần đủ để phương án vận tải {x ij ≥ 0, ∀i = 1,m ∀j = 1,n } phương án tối ưu, tồn hệ thống số vị {u i, ∀i = 1,m , vj, ∀j = 1, n } thỏa mãn hệ điều kiện sau:   u i + v j ≤ cij , ∀i = 1,m, ∀j = 1, n    u i + v j = cij , ∀(i, j) : x ij > Chứng minh Trước hết, với hệ thống vị {u i, ∀i = 1,m , vj, ∀j = 1, n } thu ứng với phương án vận tải {xij} cho, ta ln có ⊗ij = eij = cij − (ui + v j ) , ∀ô (i, j) Để cho dễ hiểu, xét lại ví dụ bảng III.12 Lúc này, hệ thống vị xác định từ hệ phương trình:  u1 + v1 =   u2 + v1 =   u2 + v2 =   u2 + v = u +v =4 3    u + v = Bảng 2.15 Tính hiệu suất ô chưa sử dụng Hệ phương trình gồm phương trình ẩn, hạng ma trận hệ số (như biết) hạng T A = Vậy hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc vào tham số (tức là, giá trị ẩn sở xác định cho ẩn sở / ẩn tự nhận giá trị tùy ý) Giả sử v = (ở v4 coi ẩn tự do), lúc ta có:  u3 = − v4   v3 = − u3 = −1 + v4   u2 = − v3 = − v4   v2 = − u v =7−u =4+v    u = − v1 = −1 − v4 ⇒  u3 =   u3 = −1   u2 = v  2=5 v =4    u = −1 Do đó, cho vị chọn nhận giá trị tùy ý ln tính vị lại cách Hơn cij – (ui + vj) không thay đổi dù vị chọn giá trị (hãy quan sát kỹ hệ phương trình để suy điều này) Như chọn v = để việc tính tốn đơn giản T –1 T Theo cách xây dựng y = (u1, u2, u3, v1, v2, v3, v4) có y = (cBB ) với B ma trận sở (gồm cột véc tơ sở ma trận A) Theo tính chất cặp tốn đối ngẫu ta −1 T có: ⊗ = c − c B A = c − y A Chẳng hạn: ij ij B ij ij ij T ⊗11 = c11 − (u 1, u , u , v1, v , v3 , v )(1,0, 0,1, 0,0,0) = c11 − (u1 + v1 ) Một cách tổng quát, có ⊗ij = eij = cij − (ui + v j ) ứng với tất ô (i, j) Từ đây, theo định lý chương II, dựa theo lời chứng minh định lý chương III (cần thay BTG tốn Min, BTĐN tốn Max), (bạn đọc tự chứng minh): điều kiện cần đủ để phương án vận tải tối ưu hệ thống số vị tương ứng phải thỏa mãn:   u i + v j ≤ ∀i = 1,m cij ∀(i, j) :    uvi =j c ij ∀j = 1,n xij > Đây đpcm ■ Nếu cần code ( phuong pháp ln) inbox qua FB mìn : https://www.facebook.com/profile.php? id=100005989395404 Tài liệu tham khảo M S Bazaraa, C M Shetty, Nonlinear programming: Theory and algorithms, John Wiley and Sons, New York, 1990 B E Gillett, Introduction to operations research: A computer–oriented algorithmic approach, McGraw–Hill, New York, 1990 R Horst, Hoàng Tụy, Global optimization: Deterministic approaches, Springer, Berlin, 1993 Hoàng Xuân Huấn, Giáo trình phương pháp số, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội, 2004