Bài toán lập kế hoạch sản xuất tối ưu sử dụng công cụ Solver trong Excel để thực hiện tính toán chi tiết.( Lập kế hoạch sản xuất nước rửa tay diệt khuẩn sao cho tổng tiền lãi là lớn nhất ) Bài toán lập kế hoạch sản xuất nước rửa tay lấy ý tưởng từ thực tế trước tình hình dịch Covid19 đang hoành hành.
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI BÀI TẬP LỚN MƠN HỌC: TỐI ƯU HĨA Đề tài: Bài toán lập kế hoạch sản xuất tối ưu ( Lập kế hoạch sản xuất nước rửa tay diệt khuẩn cho tổng tiền lãi lớn ) Nhóm sinh viên thực hiện: Ánh Nam Thảo Tuấn Vui Yến Hà Nội, 2020 LỜI NĨI ĐẦU Trong khoa học máy tính tốn học, tốn tối ưu hóa tốn tìm kiếm lời giải tốt tất lời giải khả thi Bài tốn tối ưu hóa chia thành hai loại tùy thuộc vào việc biến liên tục hay rời rạc Bài toán tối ưu hóa với biến rời rạc cịn gọi tốn tối ưu hóa tổ hợp Trong tốn tối ưu hóa tổ hợp, tìm kiếm đối tượng số nguyên, hoán vị hay đồ thị từ tập hợp hữu hạn (hoặc vơ hạn đếm được) Bài tốn với biến liên tục bao gồm toán hạn chế toán đa phương thức Bài toán lập kế hoạch sản xuất nước rửa tay lấy ý tưởng từ thực tế trước tình hình dịch Covid-19 hồnh hành Việc chăm sóc, vệ sinh cá nhân thường xuyên vô thiết yếu đơn giản để giúp thân tránh dịch bệnh Để phòng tránh dịch bệnh, nên tự ý thức đeo trang nơi công cộng, hạn chế đến nơi đông người rửa tay dung dịch sát khuẩn thường xuyên Bài toán đặt với lượng nguyên liệu có sẵn, phải sản xuất mà số nguyên liệu cần để sản xuất nước rửa tay khơng vượt q số ngun liệu có sẵn tổng tiền lãi thu phải cao Mục lục I Giới thiệu tốn Trước tình hình dịch Covid-19 rộng rãi, thị trường xuất hàng loạt sở sản xuất nước rửa tay phục vụ cho người dân việc sát khuẩn phòng chống dịch bệnh Nước rửa tay hay gel rửa tay khơ loại cồn sát khuẩn có tác dụng tiêu diệt vi khuẩn Cái tiện ích loại sản phẩm dùng dâu mà không cần nước Tuy nhiên chuyên gia khuyên nước rửa tay tiện lợi không tiêu diệt hoàn toàn vi khuẩn lượng cồn nước rửa tay gây ăn mịn da Do khơng nên có lạm dụng thay vào nên rửa tay xà phịng Nhiều sở sản xuất lợi nhuận mà sản xuất nước rửa tay chất lượng Vì nhóm chúng em tìm hiểu lập tốn để đưa giải pháp tối ưu cho việc sản xuất nước rửa tay cho tiết kiệm chi phí sản xuất, phù hợp với tiêu chuẩn Bộ Y Tế mà tiền lãi lại hợp lý II Khảo sát liệu Theo tìm hiểu bọn em thấy rằng, để sản xuất nước rửa tay cần số nguyên liệu như: • Cồn(Etanol) • Chất diệt khuẩn (Benzalkonium chloride) • Nước tinh khiết (Deionized water) • Gel nha đam Với nguyên liệu trên, để sản xuất nước rửa tay ta chia nguyên liệu theo tỷ lệ sau: • • • • Cồn: 80% Chất diệt khuẩn: 5% Nước tinh khiết: 15%( nước rửa tay); 10%(đối với gel rửa tay khô) Gel nha đam: 10% III Xây dựng toán Giả sử sở sản xuất A cần sản xuất sản phẩm nước rửa tay gel rửa tay khô Để sản xuất loại sản phẩm cần nguyên liệu là: cồn, chất diệt khuẩn, nước tinh khiết, gel nha đam Trong kho sở A có lưu trữ: 200 lít cồn, 15 lít chất diệt khuẩn, 30 lít nước tinh khiết, 15 lít gel nha đam Tiền lãi nước rửa tay 60 triệu, gel rửa tay 75 triệu Chi phí vật tư cần thiết để sản xuất cho bảng sau: Sản phẩm Nước rửa tay Gel rửa tay khô Nguyên liêu Cồn 80 75 Chất diệt khuẩn 5 Nước tinh khiết 15 10 Gel nha đam 10 Để sản xuất thùng 100 lít nước rửa tay cần: 80L cồn + 5L chất diệt khuẩn + 15L nước tính khiết Để sản xuất thùng 100 lít gel rửa tay khô cần: 75L cồn + 5L chất diệt khuẩn + 10L nước tính khiết + 10L gel nha đam Gọi: - x1 số thùng “nước rửa tay” cần sản xuất, x1>=0 x2 số thùng “ gel rửa tay khơ” cần sản xuất x2>=0 Khi đó: - Số tiền lãi sản xuất “nước rửa tay” 60*x1; Số tiền lãi sản xuất “gel rửa tay khô” 75*x2; Để tiền lãi lớn 60*x1 + 75*x2 đạt giá trị max Ta viết hàm mục tiêu sau: 60*x1 + 75*x2 max Từ bảng chi phí ta có ràng buộc sau: 80*x1 + 75*x2 5*x1 + 5*x2 15*x1 + 10*x2 10*x2 - Đối với toán dạng tắc ta có số tính chất khái niệm quan trọng phương án cực biên sau : Tính chất 1( Nhận dạng phương án cực biên ) : Phương án x toán dạng tắc cực biên hệ thống véc tơ {Aj :xj > 0} độc lập tuyến tính Với giả thiết hạng[A] = m phương án cực biên khơng suy biến có m thành phần dương, suy biến có m thành phần dương Định nghĩa 4: Ta gọi hệ m véc tơ {Aj} độc lập tuyến tính bao hàm hệ thống véc tơ tương ứng với thành phần dương phương án cực biên x sở phương án cực biên ấy, kí hiệu cách quy ước J, J={ j: Aj nằm sở } Một phương án cực biên khơng suy biến có m thành phần dương, m véc tơ Aj tương ứng độc lập tuyến tính nên có sở nhất, véc tơ tương ứng với thành phần dương: phương án cực biên suy biến có nhiều sở khác nhau, phần chung chúng véc tơ tương ứng với thành phần dương Như nói phương án cực biên có sở J, cần hiểu J có nội dung sau: - Số phần tử J: |J|=m {Aj : j ∈ J }độc lập tuyến tính { Aj : j ∈ J }⊃{ Aj : xj ∈ > 0} Tính chất ( Tính hữu hạn số phương án cực biên ): Số phương án cực biên tốn quy hoạch tuyến tính hữu hạn Tính chất ( Sự tồn phương án tối ưu ): Nếu tốn dạng tắc có phương án hàm mục tiêu bị chặn tập phương án tốn có phương án cực biên tối ưu Thật vậy, giả sử tốn có phương án cực biên x1, x2, , xk Đặt: f(x1) = Min f(xi); i = 1,k Do tập nghiệm ( hay tập phương án toán quy hoạch tuyến tính) hệ ràng buộc đa diện lồi, nghiệm (phương án) x phân tích thành: Suy ra: Vậy x1 phương án cực biên tối ưu Đặc biệt : Một lớp quan trọng toán quy hoạch tuyến tính dạng tắc tốn gọi tốn dạng chuẩn : Trong bi ≥ , (i=1,m) , nghĩa toán dạng tắc có vế phải khơng âm phương trình có biến số với hệ số đồng thời khơng có phương trình khác ( gọi biến cô lập với hệ số 1) Từ hệ phương trình ràng buộc tốn dễ dàng suy phương án: X0 = (b1, b2, ., 0, 0, , 0) Đây phương án cực biên xuất phát có hệ sở tương úng là: Các bước giải toán chuẩn tắc: Bước 1: chuyển bi ≥ Bước 2: ràng buộc có dấu “≤” “≥” chuyển dấu “=” Bước 3: có ràng buộc có nhiêu vecto đơn vị (sắp xếp thành ma trân đơn vị) Cơ sở: Aj Cực biên xuất phát: xj Bước 4: tính giá trị: k=CjZjk -Ck k ≥0 (f(x) -> max) k ≤0 (f(x) -> min) Thì phương án tối ưu: k max) phương án tối ưu Thuật tốn đơn hình 3.1 Tư tưởng thuật tốn Nếu tốn có phương án có phương án cực biên Nếu tốn có phương án tối ưu có phương án cực biên tối ưu Số phương án cực biên hữu hạn Do đó, ta tìm phương án tối ưu (hay lời giải toán) tập hợp phương án cực biên Tập hợp hữu hạn Vì Dantzig đề xuất thuật tốn đơn sau: - Xuất phát từ phương án cực biên x0 Kiểm tra xem x0 có phương án tối ưu hay chưa Nếu x0 chưa phải phương án tối ưu tìm cách cải tiến để phương pháp khác x1 tốt x0 , tức f(x1 ) < f( x0 ) Qúa trình 10 lặp lại nhiều lần Vì số phương án cực biên hữu hạn nên sau số hữu hạn lần lặp ta tìm thấy phương án cực biên tối ưu 3.2 Bảng đơn hình Giả sử x0 với sở J phương án cực biên chưa phải phương án tối ưu, ∀k ∉ J0 cho Δk 0 Theo thuật tốn ta cần cải tiến x0 để nhận phương án cực biên tốt Ta tìm phương án cực biên x1 ứng với sở J1 khác J véc tơ : J1=(J0/r) ∪s , tức ta đưa véc tơ As vào sở thay cho véc tơ Ar bị loại khỏi sở J Vì thành phần ngồi sở phương án cực biên nên phương án cực biên x1 có sở J1=(J0/r) ∪s là: Trong θ số dương xác định sau cho x1 phương án cực biên Tìm điều kiện θ để x1 phương án: Để x1 phương án phải thỏa mãn điều kiện buộc Ax=b x ≥ Ta thấy với θ , ta có: Vậy với θ ràng buộc thứ thỏa mãn Ta cần tìm θ cho x1 ≥ Có hai trường hợp xảy ra: • Trường hợp 1: Nếu zjs ≤ với j ∈J x1 ≥ với θ > x1 phương án toán Nhưng Δs>0 : 11 Như hàm mục tiêu khơng bị chặn miền ràng buộc Khi tốn khơng có lời giải hữu hạn • Trường hợp 2: Nếu ∃ j∉ J0 để zjs > 0, số θ khơng thể lớn tùy ý, phải thỏa mãn , zjs > Giá trị θ lớn Nếu vượt qua miền có x1 vượt khỏi miền ràng buộc Giả sử cực tiểu đạt j = r Lấy thay vào phương trình ta Khi ta có : Từ ta có x1 phương án tốt x0 Do x1 phương án cực biên J1 sở phương án cực biên x1 Như x1 phương án cực biên toán ta tìm thành phần phương án cực biên x1 với giá trị hàm mục tiêu f(x1 ) thông qua hệ số khai triển zjk ước lượng sở J1 Như cần xác định đại lượng 1 vàΔ sở J1 Theo định nghĩa zjk Δ hệ số khai triển véc tơ Ak tương ứng với sở J, J1 12 Từ Ta có : Thay vào phương trình (**): 13 Vì {Aj, j∈J} độc lập tuyến tính nên từ (*) (**) suy ra: Bảng đơn hình : 14 Các cột ứng với j∈J véc tơ đơn vị với số dòng với số j Chú ý: Đối với tốn dạng chuẩn, ta có phương án cực biên x0=(b1,b2,b3,……,bm,0,0,… ,0) với hệ véc tơ sở tương ứng A1, A2,…., Am Đây véc tơ đơn vị nên bảng đơn hình xuất phát ta có zjk=ajk 3.3 Thuật tốn đơn hình Bước xuất phát: Tìm phương án cực biên x0 sở J0 tương ứng Tìm hệ số khai triển zij ước lượng Δk Bước 1: Kiểm tra dấu hiệu tối ưu Nếu Δk ≤0 ∀ k∉ J0 x0 phương án tối ưu Thuật tốn kết thúc Nếu ∃ Δk >0 chuyển sang bước Bước 2: Kiểm tra dấu hiệu hàm mục tiêu giảm vô hạn: Với mà k∉ J0 mà Δk > kiểm tra hệ số khai triển zij cột Ak tương ứng: a Nếu có Δk > mà tất zij ≤ ∀j ∈ J0 kết luận hàm mục tiêu giảm vơ hạn miền ràng buộc Bài tốn khơng có lời giải hữu hạn Thuật tốn kết thúc b ∀k ∉ J0 mà Δk >0 tồn hệ số zij >0 chuyển sang bước 15 Bước 3: Xác định cột xoay, dòng xoay, phần tử trục Chọn số s∉ J0 :Δs=max{ Δk>0,k ∉ J0 }, đánh dấu cột s cột xoay - Tìm số r đạt min: Bước 4: Tính sở theo công thức Ghi nhận kết bảng Quay trở lại bước Để nhận bảng đơn hình từ bảng đơn hình cũ ta làm sau: Thay Ar As, cr cs + Chia phần tử hàng xoay (hàng r) cho phần tử trục zrs ta hàng r gọi hàng chuẩn Mỗi phần tử khác hàng xoay trừ tích phần tử hàng với cột xoay với phần tử cột với hàng chuẩn phần tử vị trí bảng đơn hình V Cơng cụ hỗ trợ giải tốn Để giải toán QHTT phần mềm Excel cung cấp cho công cụ hữu ích Solver Xây dựng toán excel Việc xây dựng toán Excel tương tự việc xây dựng toán tiến hành giải thủ cơng thơng thường Sau phân tích đầu cần viết hàm mục tiêu ràng buộc toán tiến hành tổ chức liệu vào bảng tính Thiết lập giá trị Excel theo toán đề 16 Trong đó: Sản phẩm: SP1, SP2 sản phẩm cần sản xuất: Nước rửa tay gel rửa tay khô Nguyên liệu: NL1, NL2, NL3, NL4 nguyên liệu để sản xuất: cồn, chất diệt khuẩn, nước tinh khiết, gel nha đam Vât liệu kho: số vật liệu lại kho nguyên liệu Tiền lãi: tiền lãi để sau sản xuất bán sản phẩm Xây dựng tốn Gọi: • x1 lượng SP1 cần sản xuất, x1>=0 • x2 lượng SP2 cần sản xuất x2>=0 Khi đó: • Số tiền lãi sản xuất “nước rửa tay” 60*x1; • Số tiền lãi sản xuất “gel rửa tay khơ” 75*x2; • Để tiền lãi lớn 60*x1 + 75*x2 đạt giá trị max Ta viết hàm mục tiêu sau: 60*x1 + 75*x2 max Từ bảng chi phí ta có ràng buộc sau: 80*x1 + 75*x2