Báo Cáo Bài Tập Lớn Môn Tối Ưu Hóa (bài toán qui hoạch tuyến tính) 2020

Lời mở đầuTrong nền kinh tế thị trường hiện nay với sự biến đổi sâu sắc về nền kinh tế toàn cầu, vấn đề mà doanh nghiệp nào cũng quan tâm, lo lắng đó là kinh doanh làm sao cho có hiệu quả. Xét về mặt tổng thể thì các doanh nghiệp kinh doanh không những chịu tác động của quy luật giá trị, mà còn chịu tác động của quy luật cung cầu, quy luật cạnh tranh và đặc biệt hơn khi Việt Nam đã ra nhập tổ chức thương mại WTO thì những quy luật này càng trở nên quan trọng hơn.Các doanh nghiệp càng phải cố gắng vươn lên trong quá trình sản xuất kinh doanh để phát huy tối đa tiềm năng của mình để đạt được hiểu quả kinh tế cao nhất.Lợi nhuận là cái đích mà doanh nghiệp hướng tới, để đạt được cái đích đó thì phải trải qua rất nhiều khâu. Khi hàng hóa, sản phẩm được tung ra thị trường thì các daonh nghiệp đã phải tính đến chi phí và dự đoán được doanh thu tiêu thụ. Do vậy, doanh nghiệp sẽ cần đến một phương pháp để tối ưu nhất trong sản xuất để đem lại lợi nhuận lớn nhất.Chính vì lý do trên, nhóm chúng em lựa chọn đề tại: “Lập kế hoạch sản xuất quần áo cho công ty Hoàng Anh”. Bằng những kiến thức đã được học trong môn “tối ưu hóa” do cô Chu Thị Quyên giảng dạy. Chúng em sẽ tìm ra phương án tối ưu nhất trong việc sản xuất số lượng quần áo để công ty Hoàng Ánh đạt lợi nhuận lớn nhất.I.Tên đề tàiTên đề tài: Lập kế hoạch sản xuất quần áo cho công ty Hoàng AnhII.Mục đích, ý nghĩa2.1 Mục đíchQui hoạch tuyến tính là một phương pháp được sử dụng rất phổ biến, nhằm hỗ trợ cho nhà quản trị ra quyết định.Trong thực tế, qui hoạch tuyến tính được sử dụng để giải quyết những bài toán như sau:a. Nhà sản xuất muốn xây dựng tiến độ sản xuất và chính sách dự trữ nhằm đảm bảo nhu cầu bán trong tương lai. Tiến độ và chính sách dự trữ đảm bảo cho công ty cung cấp hàng hoá với chi phí sản xuất và dự trữ thấp nhất.b. Các nhà phân tích tài chính phải chọn danh mục đầu tư sao cho lợi nhuận thu được từ đầu tư là cực đại.c. Nhà quản trị marketing muốn phân phối quỹ quảng cáo cho những phương tiện quảng cáo như radio, television, báo, tạp chí. Nhà quản trị muốn lựa chọn phương tiện quảng cáo sao cho hiệu quả quảng cáo là lớn nhất.d. Một công ty có một số kho ở vài nơi. Với nhu cầu của khách hàng đã xác định, công ty muốn xác định từ mỗi kho, chúng ta sẽ vận chuyển bao nhiêu hàng đến từng khách hàng sao cho tổng chi phí vận chuyển là nhỏ nhất…Những ví dụ này chỉ là một vài tình huống mà qui hoạch tuyến tính được sử dụng thành công, nhưng chúng minh họa tính đa dạng của những ứng dụng của qui hoạch tuyến tính.Quan sát kỹ, các bài toán này có những đặc trưng chung. Trong mỗi ví dụ, chúng ta quan tâm đến cực đại hay cực tiểu một vài đại lượng.+ Trong ví dụ a, nhà sản xuất muốn cực tiểu chi phí;+ Trong ví dụ b, nhà phân tích tài chính muốn cực đại lợi nhuận từ đầu tư;+ Trong ví dụ c, nhà quản trị muốn cực đại hiệu quả quảng cáo;+ Trong ví dụ d, công ty muốn cực tiểu chi phí vận chuyển.2.2 Ý nghĩaTrong tất cả các bài toán qui hoạch tuyến tính, mục tiêu của chúng ta là cực đại và cực tiểu một vài đại lượng. Tất cả các bài toán qui hoạch tuyến tính đều có đặc trưng là những ràng buộc.Trong ví dụ a, nhà sản xuất bị ràng buộc bởi số lượng sản phẩm sản xuất và năng lực sản xuất. Bài toán cơ cấu đầu tư bị ràng buộc bởi quĩ đầu tư. Quyết định lựa chọn phương tiện quảng cáo bị ràng buộc bởi ngân sách và tính khả thi của phương tiện quảng cáo.Trong bài toán vận tải, cực tiểu chi phí bị ràng buộc bởi khả năng cung cấp hàng hoá của mỗi kho. Chính vì vậy, ràng buộc là đặc trưng chung thứ hai của mỗi bài toán qui hoạch tuyến tính.III.Khảo sát,tư liệu,mục tiêu3.1. Khảo sát3.1.1.Khảo sát thị trường Nói đến thị trường thời trang là nói đến xu hướng làm đẹp của con người. Kinh doanh thời trang hiện nay được biết đến là mà một mặt hàng thu hút được đông đảo sự quan tâm của người tiêu dùng. Muốn kinh doanh tốt và có lời cao trong ngành thời trang, trước tiên phải biết cách nghiên cứu và khảo sát thị trường thời trang, tìm hiểu kỹ hơn về hành vi của người tiêu dùng để nhắm tới đối tượng tiềm năng từ đó có những quyết định đúng đắn trong công việc. Từ việc khảo sát thị trường bạn có thể dễ dàng lập kế hoạch và có những định hướng đúng đắn hơn trong kinh doanh.Đời sống của con người ngày càng được cải thiện và nâng cao vì thế nhu cầu của con người cũng ngày một phát triển hơn. Một trong những lĩnh vực đòi hỏi ngày càng cao ấy của con người chính là thị trường thời trang.Xu hướng trong những năm trở lại đây, nhu cầu mua sắm của người tiêu dùng tăng mạnh. Theo khảo sát so với những mặt hàng thiết yếu khác thì việc mua sắm sản phẩm thời trang xếp thứ 3 sau việc chi tiêu đặc biệt là nữ giới.Trong môi trường luôn biến động như hiện nay, nhu cầu của con người ngày càng tăng nên đòi hỏi cho ngành thời trang cũng vì thế mà ngày càng phát triển. Để tạo ra một sản phầm trong nghành thời trang cần trải qua rất nhiều công đoạn. Mỗi công đoạn khác nhau sẽ mang một tính chất công việc khác nhau. Từ việc thiết kế sản phẩm đến việc chọn lựa chât liệu, nguyên vật liệu đầu vào, thuê nhân công may cho đến việc bán hàng đều cần một đội ngũ làm việc nhất định. Ngành thời trang đã và đang tạo việc làm cho hàng trăm triệu người.Theo khảo sát độ lớn của thị trường thời trang bao gồm cả quần áo và giày dép ở Việt Nam gần đây nhất trong năm 2018 là 3,8 tỉ USD, chiếm một tỉ trọng không nhỏ trong trong thị trưởng sản phẩm tiêu dùng. Dự báo trong những năm tới vẫn còn phát triển. Năm 2017 chỉ trong thời gian ngắn hàng loạt những hãng thời trang nổi tiếng trên thế giới như Uniqlo, Masimo, Stradivarius… ra mắt và đổ bộ vào thị trường Việt Nam. Ngành thời trang Việt Nam đang phải chịu sức ép và cạnh tranh lớn với các thương hiệu nước ngoài. Sự suất hiện những thương hiệu của ngành thời trang nước ngoài không chỉ đáp ứng được nhu cầu mua sắm của những tín đồ thời trang cao cấp, thỏa mãn nhu cầu mua sắm ngày càng cao mà còn gây sức ép lớn cho thị trường thời trang trong nước hiện nay.Với sức ép cạnh tranh lớn như vậy, các thương hiệu ganh đua nhau không chỉ ở sản phẩm mà còn ở dịch vụ trong suốt quá trình bán hàng. Điều này đánh động trực tiếp vào tâm lý khách hàng giúp cho người tiêu dùng cảm thấy hài lòng hơn với thương hiệu không chỉ về sản phẩm, dịch vụ chăm sóc mà quan trọng là cả giá thành sản phẩm.Vì vậy, một phân xưởng muốn cải thiện năng xuất bán sản phẩm đồng thời vẫn thu được lợi nhuận cao thì nên lập một bài toán tối ưu, để vừa đảm bảo đáp ứng được những yêu cầu thị trường về giá cả và số lượng sản phẩm, mà vừa đảm bảo phân xưởng mình vẫn có được lợi nhuận tối ưu khi quyết định sản xuất sản phẩm với số lượng cụ thể kết hợp với bán các sản phẩm với giá thành tương ứng. 3.1.2 Khảo sát phân xưởngNơi khảo sát: Công ty Hoàng AnhNgày khảo sát: 17112019Phương pháp khảo sát: Phỏng vấn trực tiếpNgười được khảo sát: Quản lý phân xưởngTham gia khảo sát: Các thành viên trong nhóm3.2 Tư liệuĐối tượng sử dụng: Công ty sản xuất quần áo tập trung chủ yếu vào độ tuổi từ 15 tuổi đến 50 tuổi ở cả nam và nữ. Chủ yếu là cung cấp ở trong nước và ngoài ra có một số ít sản phẩm được cấp cùng ở ngoài nước.Nguyên liệu: Công ty nhập nguyên liệu từ các công ty sản xuất nguyên liệu hàng đầu trong nước. Các nguyên liệu đùng trong sản xuất là: Vải: vải kate, vải kaki, vải bò, vải thô, vải dạ, vải cotton, vải jeans Các loại chỉ. Chất tẩy, rửa, giặt và các thành phần khác… Sản phẩm và giá thành bán ra thị trường của từng loại sản phẩm:Áo buzong: 800.000 đồngÁo bò: 400.000 đồngÁo sơ mi: 200.000 đồngQuần bò: 500.000 đồngLợi nhuận thu được từ từng loại sản phẩm:Áo buzong: 400.000 đồngÁo bò: 200.000 đồngÁo sơ mi: 100.000 đồngQuần bò: 300.000 đồngYêu cầu khi sản xuất Công ty có một số yêu cầu trong sản xuất các loại sản phẩm để đáp ứng nhu cầu thị trường và hoạt động của phân xưởng: Nếu may cả 4 loại sản phẩm giá thành không quá 140.000.000 đồng. Nếu may áo bò, áo sơ mi và quần bò thì giá thành không quá 120.000.000 đồng. Nếu may áo buzong, áo sơ mi và quần bò thì lợi nhuận không quá 86.000.000 đồng3.3 Mục tiêuCông ty muốn xây dựng tiến độ sản xuất và chính sách dự trữ nhằm đảm bảo nhu cầu bán trong tương lai. Tiến độ và chính sách dự trữ đảm bảo cho công ty nhận được nguồn lãi lớn nhất.IV.Xây dựng bài toán Dựa vào số liệu khảo sát và tư liệu thu thập được, nhóm chúng em đã xây dựng được bài toán sản xuất như sau:Theo xu hướng thời trang thuđông năm này, công ty Hoàng Anh dự định may 4 loại sản phẩm: áo Buzong, áo bò, áo sơ mi và quần bò. Với nguyên liệu nhập từ những công ty sản xuất vải may mặc hàng đầu trong nước, xưởng may ước tính giá thành của các sản phẩm lần lượt là: 800.000 (đồng), 400.000 (đồng), 200.000 (đồng) và 500.000 (đồng); tương ứng với lợi nhuận là: 400.000 (đồng), 200.000 (đồng), 100.000 (đồng) và 300.000 (đồng). Xưởng may yêu cầu, nếu may cả 4 loại sản phẩm thì giá thành không quá 140.000.000 (đồng); nếu may áo bò, áo sơ mi và quần bò thì tổng giá thành không vượt quá 120.000.000 (đồng) ; còn nếu may áo Buzong, áo sơ mi và quần bò thì tổng giá thành không vượt quá 86.000.000 (đồng). Bài toán đặt ra yêu cầu, cần sản xuất số lượng mỗi loại sản phẩm là bao nhiêu để xương may đạt được lợi nhuận là lớn nhất?

Mục Lục

Lời mở đầu ２

I Tên đề tài ３

II Mục đích, ý nghĩa ３2.1 Mục đích ３2.2 Ý nghĩa ４III Khảo sát,tư liệu,mục tiêu ４3.1 Khảo sát ４3.1.1.Khảo sát thị trường ４3.1.2 Khảo sát phân xưởng ６3.2 Tư liệu ６3.3 Mục tiêu ７

IV Xây dựng bài toán ７

V Thuật toán,ứng dụng giải ７5.1.Các bài toán QHTT ７5.1.1.Dạng tổng quát ８5.1.2 Dạng chính tắc ８5.1.3 Biến đổi dạng của bài toán qui hoạch １１5.2 Thuật toán đơn hình １４5.2.1 Thuật toán đơn hình giải bài toán dạng chuẩn １４

VI Giải bài toán １６6.1 Phương pháp giải: １７6.2 Giải bài toán bằng phương pháp đơn hình １８VII Ứng dụng ２１VIII Tài liệu tham khảo ２３

Lời mở đầu

Trong nền kinh tế thị trường hiện nay với sự biến đổi sâu sắc về nền kinh tế toàn cầu, vấn đề mà doanh nghiệp nào cũng quan tâm, lo lắng đó là kinh doanh làm sao cho có hiệu quả Xét về mặt tổng thể thì các doanh nghiệp kinh doanh không những chịu tác động của quy luật giá trị, mà còn chịu tác động của quy luật cung cầu, quy luật cạnh tranh và đặc biệt hơn khi Việt Nam đã ra nhập tổ chức thương mại WTO thì những quy luật này càng trở nên quan trọng hơn.

Các doanh nghiệp càng phải cố gắng vươn lên trong quá trình sản xuất kinh doanh để phát huy tối đa tiềm năng của mình để đạt được hiểu quả kinh tế cao nhất.

Lợi nhuận là cái đích mà doanh nghiệp hướng tới, để đạt được cái đích đó thì phải trải qua rất nhiều khâu Khi hàng hóa, sản phẩm được tung ra thị trường thì các daonh nghiệp đã phải tính đến chi phí và dự đoán được doanh thu tiêu thụ Do vậy, doanh nghiệp sẽ cần đến một phương pháp để tối ưu nhất trong sản xuất để đem lại lợi nhuận lớn nhất.

Chính vì lý do trên, nhóm chúng em lựa chọn đề tại: “Lập kế hoạch sản xuất quần áo

cho công ty Hoàng Anh” Bằng những kiến thức đã được học trong môn “tối ưu hóa”

do cô Chu Thị Quyên giảng dạy Chúng em sẽ tìm ra phương án tối ưu nhất trong việc sản xuất số lượng quần áo để công ty Hoàng Ánh đạt lợi nhuận lớn nhất.

I Tên đề tài

Tên đề tài: Lập kế hoạch sản xuất quần áo cho công ty Hoàng Anh

II Mục đích, ý nghĩa

2.1 Mục đích

Qui hoạch tuyến tính là một phương pháp được sử dụng rất phổ biến, nhằm hỗ trợ chonhà quản trị ra quyết định.Trong thực tế, qui hoạch tuyến tính được sử dụng để giải quyếtnhững bài toán như sau:

a Nhà sản xuất muốn xây dựng tiến độ sản xuất và chính sách dự trữ nhằm đảm bảo nhu cầu bán trong tương lai Tiến độ và chính sách dự trữ đảm bảo cho công

ty cung cấp hàng hoá với chi phí sản xuất và dự trữ thấp nhất

b Các nhà phân tích tài chính phải chọn danh mục đầu tư sao cho lợi nhuận thu được từ đầu tư là cực đại

c Nhà quản trị marketing muốn phân phối quỹ quảng cáo cho những phương tiện quảng cáo như radio, television, báo, tạp chí Nhà quản trị muốn lựa chọn phương tiện quảng cáo sao cho hiệu quả quảng cáo là lớn nhất

d Một công ty có một số kho ở vài nơi Với nhu cầu của khách hàng đã xác định, công ty muốn xác định từ mỗi kho, chúng ta sẽ vận chuyển bao nhiêu hàng đến từng khách hàng sao cho tổng chi phí vận chuyển là nhỏ nhất…

Những ví dụ này chỉ là một vài tình huống mà qui hoạch tuyến tính được sử dụng thành công, nhưng chúng minh họa tính đa dạng của những ứng dụng của qui hoạch tuyến tính

Quan sát kỹ, các bài toán này có những đặc trưng chung Trong mỗi ví dụ, chúng

ta quan tâm đến cực đại hay cực tiểu một vài đại lượng

+ Trong ví dụ a, nhà sản xuất muốn cực tiểu chi phí;

+ Trong ví dụ b, nhà phân tích tài chính muốn cực đại lợi nhuận từ đầu tư;

+ Trong ví dụ d, công ty muốn cực tiểu chi phí vận chuyển.

2.2 Ý nghĩa

Trong tất cả các bài toán qui hoạch tuyến tính, mục tiêu của chúng ta là cực đại và cực tiểu một vài đại lượng Tất cả các bài toán qui hoạch tuyến tính đều có đặc trưng là những ràng buộc

Trong ví dụ a, nhà sản xuất bị ràng buộc bởi số lượng sản phẩm sản xuất và năng lực sản xuất Bài toán cơ cấu đầu tư bị ràng buộc bởi quĩ đầu tư Quyết định lựa chọn phương tiện quảng cáo bị ràng buộc bởi ngân sách và tính khả thi của

phương tiện quảng cáo

Trong bài toán vận tải, cực tiểu chi phí bị ràng buộc bởi khả năng cung cấp hàng hoá của mỗi kho Chính vì vậy, ràng buộc là đặc trưng chung thứ hai của mỗi bài toán qui hoạch tuyến tính

III Khảo sát,tư liệu,mục tiêu

3.1 Khảo sát

3.1.1.Khảo sát thị trường

Nói đến thị trường thời trang là nói đến xu hướng làm đẹp của con người Kinh doanh thời trang hiện nay được biết đến là mà một mặt hàng thu hút được đông đảo sự quan tâmcủa người tiêu dùng

Muốn kinh doanh tốt và có lời cao trong ngành thời trang, trước tiên phải biết cách nghiên cứu và khảo sát thị trường thời trang, tìm hiểu kỹ hơn về hành vi của người tiêu dùng để nhắm tới đối tượng tiềm năng từ đó có những quyết định đúng đắn trong công việc Từ việc khảo sát thị trường bạn có thể dễ dàng lập kế hoạch và có những định hướng đúng đắn hơn trong kinh doanh

Đời sống của con người ngày càng được cải thiện và nâng cao vì thế nhu cầu của con người cũng ngày một phát triển hơn Một trong những lĩnh vực đòi hỏi ngày càng cao ấy của con người chính là thị trường thời trang

Xu hướng trong những năm trở lại đây, nhu cầu mua sắm của người tiêu dùng tăng mạnh Theo khảo sát so với những mặt hàng thiết yếu khác thì việc mua sắm sản phẩm thời trang xếp thứ 3 sau việc chi tiêu đặc biệt là nữ giới.

Trong môi trường luôn biến động như hiện nay, nhu cầu của con người ngày càng tăngnên đòi hỏi cho ngành thời trang cũng vì thế mà ngày càng phát triển

Để tạo ra một sản phầm trong nghành thời trang cần trải qua rất nhiều công đoạn Mỗi công đoạn khác nhau sẽ mang một tính chất công việc khác nhau Từ việc thiết kế sản phẩm đến việc chọn lựa chât liệu, nguyên vật liệu đầu vào, thuê nhân công may cho đến việc bán hàng đều cần một đội ngũ làm việc nhất định Ngành thời trang đã và đang tạo việc làm cho hàng trăm triệu người

Theo khảo sát độ lớn của thị trường thời trang bao gồm cả quần áo và giày dép ở Việt Nam gần đây nhất trong năm 2018 là 3,8 tỉ USD, chiếm một tỉ trọng không nhỏ trong trong thị trưởng sản phẩm tiêu dùng Dự báo trong những năm tới vẫn còn phát triển Năm 2017 chỉ trong thời gian ngắn hàng loạt những hãng thời trang nổi tiếng trên thế giới như Uniqlo, Masimo, Stradivarius… ra mắt và đổ bộ vào thị trường Việt Nam Ngành thời trang Việt Nam đang phải chịu sức ép và cạnh tranh lớn với các thương hiệu nước ngoài Sự suất hiện những thương hiệu của ngành thời trang nước ngoài không chỉ đáp ứng được nhu cầu mua sắm của những " tín đồ" thời trang cao cấp, thỏa mãn nhu cầumua sắm ngày càng cao mà còn gây sức ép lớn cho thị trường thời trang trong nước hiện nay

Với sức ép cạnh tranh lớn như vậy, các thương hiệu ganh đua nhau không chỉ ở sản phẩm mà còn ở dịch vụ trong suốt quá trình bán hàng

Điều này đánh động trực tiếp vào tâm lý khách hàng giúp cho người tiêu dùng cảm thấy hài lòng hơn với thương hiệu không chỉ về sản phẩm, dịch vụ chăm sóc mà quan trọng là cả giá thành sản phẩm

Vì vậy, một phân xưởng muốn cải thiện năng xuất bán sản phẩm đồng thời vẫn thu được lợi nhuận cao thì nên lập một bài toán tối ưu, để vừa đảm bảo đáp ứng được những yêu cầu thị trường về giá cả và số lượng sản phẩm, mà vừa đảm bảo phân xưởng mình

vẫn có được lợi nhuận tối ưu khi quyết định sản xuất sản phẩm với số lượng cụ thể kết hợp với bán các sản phẩm với giá thành tương ứng

3.1.2 Khảo sát phân xưởng

Nơi khảo sát: Công ty Hoàng Anh

Ngày khảo sát: 17/11/2019

Phương pháp khảo sát: Phỏng vấn trực tiếp

Người được khảo sát: Quản lý phân xưởng

Tham gia khảo sát: Các thành viên trong nhóm

3.2 Tư liệu

 Đối tượng sử dụng:

Công ty sản xuất quần áo tập trung chủ yếu vào độ tuổi từ 15 tuổi đến 50 tuổi

ở cả nam và nữ Chủ yếu là cung cấp ở trong nước và ngoài ra có một số ít sản phẩm được cấp cùng ở ngoài nước

Quần bò: 300.000 đồng

 Yêu cầu khi sản xuất

Công ty có một số yêu cầu trong sản xuất các loại sản phẩm để đáp ứng nhu cầu thị trường và hoạt động của phân xưởng:

- Nếu may cả 4 loại sản phẩm giá thành không quá 140.000.000 đồng

- Nếu may áo bò, áo sơ mi và quần bò thì giá thành không quá 120.000.000 đồng

- Nếu may áo buzong, áo sơ mi và quần bò thì lợi nhuận không quá 86.000.000 đồng3.3 Mục tiêu

Công ty muốn xây dựng tiến độ sản xuất và chính sách dự trữ nhằm đảm bảo nhu cầu bán trong tương lai Tiến độ và chính sách dự trữ đảm bảo cho công ty nhận được nguồn lãi lớn nhất

IV Xây dựng bài toán

Dựa vào số liệu khảo sát và tư liệu thu thập được, nhóm chúng em đã xây dựng được

bài toán sản xuất như sau:

Theo xu hướng thời trang thu-đông năm này, công ty Hoàng Anh dự định may 4 loạisản phẩm: áo Buzong, áo bò, áo sơ mi và quần bò Với nguyên liệu nhập từ những công

ty sản xuất vải may mặc hàng đầu trong nước, xưởng may ước tính giá thành của các sảnphẩm lần lượt là: 800.000 (đồng), 400.000 (đồng), 200.000 (đồng) và 500.000 (đồng);tương ứng với lợi nhuận là: 400.000 (đồng), 200.000 (đồng), 100.000 (đồng) và 300.000(đồng) Xưởng may yêu cầu, nếu may cả 4 loại sản phẩm thì giá thành không quá140.000.000 (đồng); nếu may áo bò, áo sơ mi và quần bò thì tổng giá thành không vượtquá 120.000.000 (đồng) ; còn nếu may áo Buzong, áo sơ mi và quần bò thì tổng giá thànhkhông vượt quá 86.000.000 (đồng) Bài toán đặt ra yêu cầu, cần sản xuất số lượng mỗiloại sản phẩm là bao nhiêu để xương may đạt được lợi nhuận là lớn nhất?

V Thuật toán,ứng dụng giải

5.1.Các bài toán QHTT

Qua nghiên cứu các bài toán qui hoạch tuyến tính(QHTT), chúng ta có thể khái quát các bài toán qui hoạch tuyến tính gồm các dạng cơ bản: dạng tổng quát, dạng chính tắc vàdạng chuẩn Mỗi dạng có những đặc trưng riêng và có cách giải riêng Trong đó dạng chuẩn sẽ là cơ sở cho phương pháp đơn hình Nắm vững từng loại để có thể chuyển đổi giữa các loại

Bài toán dạng chính tắc là bài toán có những đặc trưng cơ bản sau:

- Các ràng buộc đều là phương trình

- Các biến số đều không âm

- Vế phải có thể nhận giá trị bất kỳ Bài toán dạng chính tắc còn được mô tả theo ký hiệu

ma trận như sau:

Min (Max) cxT

Ràng buộc : AxT =b ,x≥0

Bài toán dạng chính tắc là bài toán có những đặc trưng cơ bản sau:

- Các ràng buộc đều là phương trình

- Các biến số đều không âm

- Vế phải có thể nhận giá trị bất kỳ Bài toán dạng chính tắc còn được mô tả theo ký hiệu

Bài toán dạng chuẩn còn được mô tả theo ký hiệu ma trận như sau:

- Các số hạng tự do không âm (các số hạng ở vế phải không âm)

- Ma trận các hệ số các ràng buộc A có chứa một ma trận đơn vị cấp m

Nói cách khác, hệ các ràng buộc là hệ phương trình chuẩn

Ví dụ: Bài toán sau có dạng chuẩn

Một tập các giá trị của các biến thoả mãn những ràng buộc của bài toán gọi là phương

án của bài toán Một phương án mà các biến không cơ bản bằng 0 gọi là phương án cơ bản Một phương án cơ bản có đủ m thành phần dương gọi là không suy biến Nếu có ít hơn m thành phần dương gọi là suy biến

5.1.3 Biến đổi dạng của bài toán qui hoạch

Như đã nêu, bài toán qui hoạch tuyến tính tồn tại dưới nhiều dạng khác nhau Tuy nhiên,trong một số phương pháp giải bài toán đòi hỏi bài toán có dạng nhất định Vì vậy, chúng

ta phải thực hiện biến đổi bài toán từ dạng này sang dạng khác

aijxj≤ b ichúng ta cộng thêm vào vế trái một biến phụ

không âm xn+1≥0 để chuyển ràng buộc về dạng phương trình ∑

aijxj≥ b ichúng ta trừ ra ở vế trái một biến phụ

không âm xn+1≥0 để chuyển ràng buộc thành phương trình ∑

j=1

n

(aijxj−x n+1)=bi.Chú ý: các biến phụ là những biến giúp chúng ta biến đổi các ràng buộc dạng bất phương trình thành phương trình, chứ không đóng vai trò gì về mặt kinh tế, nên nó khôngảnh hưởng đến hàm mục tiêu Vì vậy, hệ số của biến phụ trong hàm mục tiêu bằng 0

3 Nếu gặp biến xj ≤0, chúng ta thay xj=-tj với tj ≥0 4

4 Nếu gặp biến xj tuỳ ý, chúng ta thay xj=x’j-x’’j với x’j≥0 và x’’j≥0

Ví dụ: Đưa bài toán sau về dạng chính tắc:

Min (3x1- x2+2x3+ x4+5x5)

2x1-2x2+ x3+2x4+x5 ≤ 17 4x1-2x2+ x3 = 20 x1- x2+2x3 +x5 ≥ -18 x1+ x2+2x3+ x4 ≤ 100 x1, x2, x3 ≥0 ; x4≤0 ; x5 tuỳ ý.

Nhận xét:

Ràng buộc 1, 3, 4 là những bất phương trình - x4≤0, x5 tuỳ ý

Chúng ta thêm biến phụ x6, x7, x8 vào ràng buộc 1,3 và 4; thay x4= -t4 và x5=x’5-x″5.Như vậy, chúng ta được bài toán dạng chính tắc như sau:

Min (3x1-x2+2x3-t4+5x’5-5x″5)Ràng buộc

2x1-2x2+x3-2x4+x’5- x″5+ x6 = 17 4x1-2x2+ x3 = 20 x1-x2+2x3 +x5- x″5 - x7 = -18 x1+x2+2x3-x4 + x8 = 100x1, x2, x3, t4, x’5, x″5, x6, x7, x8 ≥0

b Đưa dạng chính tắc về dạng chuẩn

Trước tiên, nếu trong bài toán dạng chính tắc, có một số hạng ở vế phải nào âm, chúng ta chỉ cần đổi dấu hai vế để được bi>0 Vậy, từ đây chúng ta có thể giả thiết bài toán dạng chính tắc đang xét có bi≥0 (i = 1,m), tức vế phải của bài toán không âm

Xem xét bài toán dạng chính tắc như sau:

Hàm mục tiêu: Min(max❑)∑

j=1 n

cjxj

Chúng ta thêm vào mỗi phương trình một biến giả (Artifical variable) không âm

xn+1≥0 với hệ số 1 Trong hàm mục tiêu f(x)→ min, các biến giả có hệ số M (lớn tuỳ ý), trong hàm mục tiêu f(x)→max, các biến giả có hệ số –M Chúng ta có bài toán mới gọi là bài toán mở rộng của bài toán xuất phát

Hàm mục tiêu:

Ràng buộc

Chú ý:

a Phân biệt biến phụ và biến giả với 3 điểm sau:

- Biến phụ được sử dụng để đưa bài toán dạng tổng quát về dạng chính tắc cònbiến giả được sử dụng để đưa bài toán dạng chính tắc về dạng chuẩn

- Trong hàm mục tiêu, hệ số của các biến giả bằng M khi f(x)→min hay bằng –

M khi f(x)→max còn biến phụ luôn có hệ số bằng 0

- Biến phụ là con số thực giúp chúng ta biến đổi ràng buộc dạng bất phương trình

về dạng phương trình còn biến giả thì 2 vế đã bằng nhau mà vẫn cộng thêm là làmviệc “giả tạo” để tạo ra véc tơ đơn vị mà thôi

b Nếu bài toán dạng chính tắc có bi ≥0 và đã có sẵn một số véc tơ cột đơn vị trong A,thì chỉ cần thêm biến giả vào những phương trình cần thiết đủ để tạo bài toán mở rộngdạng chuẩn

c Quan hệ giữa bài toán xuất phát và bài toán mở rộng: Chúng ta thấy rằng các biến giả

các biến giả bằng 0 Để đạt được kết quả như thế, chúng ta thực hiện như sau: Giả sử bàitoán có f(x) →min, thì điều đó chỉ đạt được nếu các biến giả bằng 0 Vì nếu biến giảdương thì f(x) vẫn còn chứa M với hệ số dương mà M lại lớn tuỳ ý thì f(x) không đạt cựctiểu; còn nếu f(x) →max thì M lại được thay bằng –M cũng với ý đó.

Nhận xét: Bất cứ bài toán dạng tổng quát nào cũng đưa được về dạng chính tắc và bàitoán mở rộng dạng chuẩn Như vậy, mấu chốt của vấn đề là giải bài toán dạng chuẩn.5.2 Thuật toán đơn hình

Đối với những bài toán có nhiều biến, chúng ta không thể sử dụng phương pháp đồ thịđược mà phải sử dụng phương pháp đơn hình Phương pháp này được G.Dantzig đưa ranăm 1947 Trong khoảng 40 năm, phương pháp này thực sự hiệu quả duy nhất để giải cácbài toán qui hoạch tuyến tính cỡ lớn trong thực tế Hiện nay, phương pháp điểm mới cóthể cạnh tranh đối với phương pháp đơn hình

Phương pháp này được sử dụng rộng rãi và hiện nay có nhiều phần mềm máy tính đãứng dụng phương pháp này

5.2.1 Thuật toán đơn hình giải bài toán dạng chuẩn

Thuật toán được áp dụng cho từng bài toán cực tiểu hay cực đại Chúng ta lần lượtnghiên cứu thuật toán cho từng loại

a) Trường hợp Bài toán Min

Thuật toán gồm 5 bước như sau:

Bước 1: Lập bảng ban đầu:

Căn cứ vào bài toán dạng chuẩn để lập bảng và dạng cơ bản như trên Bảng 1