Mời các bạn cùng tham khảo bộ đề thi vào lớp 10 môn Toán chọn lọc và hay nhất của các trường THPT trên cả nước. Kèm theo mỗi đề thi có đáp án đi kèm sẽ giúp các bạn học sinh dễ dàng ôn tập, kiểm tra kiến thức môn Toán nhằm chuẩn bị tốt nhất cho bài thi vào lớp 10 sắp diễn ra.
Trang 1Đề số 1 - Năm 1996
Bai 1 Gọi a,b là hai nghiệm của phương trình #2 + p# + 1 = 0; e, đ là hai
nghiệm của phương trình gŸ + gy + 1 = 0 Chứng minh rằng (a— e)(a— đ)(b— ©)(b— đ) = (p~ 3} Bài 2 Cho các số z, , z thỏa # + + z = 5,z? +? + z? = 9 Chứng minh rằng 1 <z,,z< H Bài 3 a) Cho tứ giác lồi ADŒƠD Hãy dựng đường thẳng qua A chia doi diện tích tứ giác ABŒCD
b) Cho tam giác ABC và đường thẳng đ||BŒ và nằm khác phía của 4 đối với BƠ Lấy điểm M di dong trén d sao cho ABMC la tit gidc 16i Dường thẳng qua 4 chia đơi diện tích tứ giác cắt BA hoặc ỞM tại N “Tìm quỹ tích điểm N
Bài 4 Chứng minh khơng tồn tại số tự nhiên ø sao cho fn —1+Vn+1
là số hữu tỷ Bai 5
a) Chứng minh với N > 3, luơn luơn cĩ N sé chinh phuong doi mot khac
nhau sao cho tổng của chúng là một số chính phương
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên mn > 3 bao gid cing xây được
một bảng chữ nhật gồm rm x n số chính phương đơi một khác nhau cho tổng của mỗi dịng là một số chính phương và tổng của mỗi cột là một
Trang 2Đề số 2 - Năm 1997 Bài 1 sen t&t cA che ef ¬ a) Tìm tất cả các số dương +, thỏa: 4 * # aty=3 1 4 9_ Ly449=8 b) Tìm tấc ) Tìm tấc cả các cả các số dương số ng x,y, z, , z thỏa 0a {iijti<p : Bài 2
a) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n2” + 3” chia hét cho 5 b) Tim tat cA cde sé nguyén dudng n sao cho n2” + 3” chia hết cho 25
Bài 3 Một nhĩm 21 người đã đi du lịch đến các nước Anh, Pháp, Ý, trong đĩ mỗi người đã đi ít nhất một nước và khơng cĩ người nào đã đi cả ba
nước Biết rằng
¡) Số người đã đi được cả hai nước Ý và Anh gấp đơi số người đã đi được cả hai nước Pháp và Ý Cịn số người đã đi được cả hai nước Pháp và
Ý lại gấp đơi số người đã đi được cả hai nước Anh và Pháp
1) Số người đi Ý (mà khơng đi Anh Pháp) hơn số người đi Anh (mà
khơng đi Pháp, Ý) là một người và bằng số người đã đi Pháp a) Hãy tìm số người đi đúng một nước
b) Hãy tìm số người đi ít nhất một trong hai nước Anh, Pháp Bài 4
a) Chứng minh rằng trong hình thang cân ABŒD với hai đáy AB||CD ta
cĩ AC? + BD? = AD? + BC? + 2AB.CD
Trang 3Bai 5 Cho day n s6 ay, a9, .,@n (trong đĩ các số a; chỉ cĩ thể nhận giá trị
0 hoặc 1 thỏa: (*) Bất kì hai bộ 5 số liên tiếp nào lấy từ dãy đã cho đều
khơng trùng nhau
a) Chứng minh n < 36
b) Biết rằng nếu thêm vào cuối dãy một số a„+¡ tùy ý (0 hay 1) thì tính
Trang 4Dé sé 3 - Nam 1998
Bai 1
a) Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho 2" — 1 chia hết 7
b) Cho số nguyên tố p > ð Đặt A = 3 — 2? — 1 Chứng minh 4 chia hết cho 42p
Bài 2 Cho hai số nguyên dương ø và ư Biết rằng trong bốn mệnh dé P,Q.R,S dưới đây chỉ cĩ duy nhất một mệnh đề sai: P = "a = 2b + ð" Q = "(ø + 1) chia hết cho b"
R.= "(a +) chia hết cho 3"
S = "{a + 7) là số nguyên tố"
a) Hãy chỉ ra mệnh đề nào sai trong bốn meệnh đề trên (cĩ giải thích)
b) Hãy tìm tất cả các cặp số nguyên dương a, b thỏa ba mệnh đề đúng cịn
lại
Bài 3
a) Trong hình vuơng cạnh bằng 1 cho 5 điểm bất kỳ Chứng mỉnh rằng trong các điểm đã cho cĩ thể tìm 2 điểm sao cho khoảng cách giữa chúng
khơng lớn hơn ve
b) Trong hinh vuéng canh bing 1 cho 33 diém bat ky Chting minh rang trpmg các điểm đã cho cĩ thể tìm được 3 điểm lập thành một tam giác
1
cĩ diện tích khơng lớn hơn 3
Trang 5b) Ching minh rang pr + qy + rz > 8xyz
Bai 5
a) Hãy chỉ ra cách sắp 8 số nguyên duong dau tién 1, 2, ., 8 thanh một
dãy ứi, đa, ag sao cho 2 s6 a;,a; bat ki (i < 7) thì mọi số trong dãy x " > ầ „ 0 +
nằm giữa ø; và a; đều khác ———”
b) Chứng minh rằng với W số nguyên dương đầu tiên 1,2, ,/V luơn tìm
được cách sắp thành dãy ai, đs, ,ay sao cho dãy thỏa mãn điều kiện
Trang 6Đề số 4 - Năm 1999 Bài 1
a) Biết rằng z¡, za là hai nghiệm của phương trình bậc hai: az?+bz-++e = Ú Viết phương trình bậc hai nhận vx làm hai nghiệm
b) Giải bất phương trình (2? + 4z + 10)? — 7(a? + 4a +11) +7 <0
Bài 2
a) Khai triển biểu thức n‘ + (n + 1)4 thanh dang 2k + 1 và phân tích k thành nhân tử
b) Cho số nguyên 4 là tổng bình phương của hai số nguyên dương liên
tiếp Hãy chứng minh rằng 4A khơng tổng là tổng lũy thừa bậc 4 của hai số nguyên dương liên tiếp
Bài 3 Cho tam giác 4BŒ cĩ diện tích S và một điểm ? nằm trong tam giác
a) Goi 51, 5, 5x lần lượt là diện tích clita tam gidée PBC, PCA, PAB Hay
tìm giá tri nhé nhat ctia $? + S3 + $3
b) Gọi Pị, Pạ, P; lần lượt là các điểm đối xứng của P qua BƠ,CA và AB
Dường thẳng qua P¡ song song với BƠ cắt AB va AC tai By va Ci Dường thẳng qua ?› song song với AC cắt BC, BA tai Co, Ao, đường thang qua P3 va song song véi AB cat C’'A, CB tai A3, B3 Hãy xác định vị trí của điểm P để tổng diện tích ba hình thang BCC, By, CAA C2 va
ABD;4; đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị đĩ
Bài 4 Người ta lát nền nhà hình vuơng kích thước œ x m= ơ bằng các viên gạch như hình vẽ dưới sao cho cịn chừa lại một ơ khơng lát
Trang 7b) Hãy chứng minh rằng luơn tồn tại một cách lát nền nhà cĩ kích thước
Trang 8Dé sé 5 - Nam 2000
Bai 1
a) Cho số nguyên khơng âm A Hãy xác định A biết rằng trong 3 mệnh đề P,Q, R dưới đây cĩ 2 mệnh đề đúng và 1 mệnh đề sai:
P:" A + ð1 là số chính phương"
Q:" Chữ số tận cùng của A là 1"
R:"A - 38 là số chính phương"
b) Cĩ thể xếp hay khơng các số 0, 1, 2, ., 9 lên các đỉnh của một đa giác đều 10 đỉnh sao cho hiệu 2 đỉnh kề nhau bất kì nhận một trong các giá trị - 3, - 4, - 5, 3, 4 hoặc 5 Bài 2 Giải các hệ phương trình: ry =2+3y a) ) yz =2(y +2) #z =3(3z + 2z) (e+w+z) = 12t (y+z+)Ẻ =12z (z+£+z)' = 12w (t+a+y)* = 122 Bai 3 b) a) Cho bốn số nguyên dudng a), 4@2,a3,a4 sao cho 1 < a, < k với mọi k =1,2,3,4 và tổng 9 = ai + as + a + a¿ là một số chãn Chứng mỉnh rằng cĩ ít nhất một trong các số dạng +a; + ay + a3 + a4 cĩ giá trị bằng 0
b) Cho 1000 số nguyên dương aj, a2, .,@1999 Sao cho 1 < a, < k voi k = 1,2 1000 va tong S = a; + az + + øiopo là một số chẵn Hỏi trong
Trang 9
Bai 4
a) Cho gĩc vuơng z.4y và đường trịn (C) tâm O tiép xtc voi Ar va Ay
lần lượt tại P và Q đ là một tiếp tuyến thay đổi của (C) Gọi a,p,qg lần lượt là khoảng cách từ 4, P,(Q đến d Chứng minh rằng khi ở thay 2
đổi thì “— khơng đối Pq
b) Khẳng định trên cịn đúng khơng nến z4 khơng phải là gĩc vuơng? Vì sao?
Bài 5
a) Cho ab, c là 3 số khơng âm thỏa điều kiện a° + b2 + c? < 2(ab + be + ae)
(1)
Chiing minh ring a +b+c¢ < 2(Vab + Vbe + Vac) (2)
Hỏi từ (2) cĩ thể suy ra (1) được khơng? Vì sao?
Trang 10Dé sé 6 - Nam 2001
Bai 1
a) Tìm số nguyên dương ø nhỏ nhất sao cho ø chia hết cho 6 va 2000a là số chính phương
b) Tìm số nguyên dương b nhỏ nhất sao cho b— 1 khơng là bội của 9, b là
bội của bốn số nguyên tố liên tiếp và 2002 là số chính phương z 1 14s ‘ Bai 2 Cho z,y 1a cdc s0 thuc sao cho # + — và ¿+ — đều là các số nguyên 1 a) Ching minh xy? + pp là số nguyên ` ae ok 1 b) Tìm tất cả các số nguyên ø sao cho #"" + —.a là số nguyên +" Bài 3 a) Cho a,b là các số dương thỏa ab = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 4 a A 24 p2)4 3 thức: A= (a+6+ 1)(a +B) +: 4 » L 1 1 b) b) Cho zm,ø là các số nguyên thỏa am Cho ?m,œ là các số ên thỏa 2 =s tn 8 Tim gié trị lớn nhất của B=mn
Bài 4 Cho hai đường trịn Œ\(O\, fị) va C2(O2, Re) tiếp xúc ngồi nhau tại
điểm A Hai điểm , Ở lần lượt di động trên C1, C; sao cho ZBAC = 90° a) Chứng mỉnh trung điểm A của BC luơn thuộc một đường trịn cố định
b) Hạ AH LƠ Tìm tập hợp điểm H Chứng minh rằng độ dài đoạn AH 2R Ry
Ri + Ry
khơng lớn hon
Trang 11Bài 5 Giải hệ phương trình
ø+l+Vvz+ä3+Vv#+5=v—lI+v—ä3+v—5
Trang 12Đề số 7 - Năm 2002
Bài 1 Cho phương trình # — 2 + 1 =rm (1) trong đĩ rm là tham số a) Giải phương trình (1) khi rm = 1
b) Tìm tất cả các giá trị của mm để phương trình (1) cĩ hai nghiệm phân biệt
Bai 2 Cho các số z, , z là các số nguyên thỏa phương trình #° + y? =
a) Chứng mỉnh rằng trong hai số z, cĩ ít nhất một số chia hết cho 3
b) Chứng minh rằng tích wy chia hết cho 12
Đài 3 Cho đường trịn (C) đường kính BƠ = 2Đ và điểm 4A thay đổi trên (C) (A khơng trùng với Ø, CC) Đường phân giác trong gĩc A của tam giác ABC cắt (C) tại K (K # 4) Hạ AH vuơng gĩc với ĐƠ
a) Đặt ANH = z Tính diện tích 9 của tam giác AH theo R va x Tim «
để Ø đạt giá trị lớn nhất
b) Chứng minh rằng khi A thay đổi, tổng AH? + HK? luơn là một đại lượng khơng đổi
e) Tính gĩc của tam giác ABC biết rằng —— an - (3
Bài 4 Cho các số thực a,b,e thỏa mãn điều kiện ø + z= = bts Ị =c+ ~ a a) Cho a = 1, tim b,e
b) Chting minh ring néu a,b,c doi mot khac nhau thi a7b?c? = 1
c) Chting minh rang néu a,b,c déu duong thi a = b = c
Trang 13trận đấu, thắng được 3 điểm, đội thua khơng được điểm nào, cịn nếu trận
đấu cĩ kết quả hịa thì mỗi đội được 1 điểm Các đội xếp hạng dựa theo
tổng điểm Trong trường hợp một số đội cĩ tổng điểm bằng nhau thì các đội này được xếp hạng theo chỉ số phụ Kết hức giải người ta nhận thấy rằng khơng cĩ trận đấu nào kết thúc với tỉ số hịa; các đội xếp nhất, nhì,
ba cĩ tổng điểm lần lượt là 15, 12, 12 và tất cả các đội xếp nhau cĩ tổng
điểm đơi một khác nhau
a) Chứng minh rằng N > 7
Trang 14Đề số 8 - Năm 2003 Bài 1
a) Chứng minh rằng phương trình (a? — b2)z? + 2(a3 — b#)+ + at — b =0
luơn cĩ nghiệm với mọi a, Ù
+1 +2 =5
(z + 1) + (g + 1) = 3ð
b) Giải hệ phương trình {
Bài 2
a) Với mỗi số nguyên dương n, dat a, = 277+! — 2+! + 1,b„ = 2211! +
2"*1 + 1, Chứng minh rằng với mọi ø thì a„b„ chia hết cho 5 và a„ + b„
khơng chia hết cho 5
b) Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương đơi một khác nhau sao cho tích
của chúng bằng tổng của chúng
Bai 3 Cho tam giác A BƠ vuơng tại A cĩ đường cao AA) Ha A} H LAB,
A|K LAC Dat A,B =c, AiC = y
a) Gọi r và r' là bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC và tam giác , AHK tương ứng Hãy tính tỷ số = theo ø, suy ra giá trị lớn nhất của
T
tỷ số đĩ
b) Chứng minh rằng tứ giác ÐITKƠ nội tiếp đường trịn Tính bán kính
của đường trịn đĩ theo #, ÿ
Bài 4
Trang 15b) Cho đường trịn (Ở) tâm Ĩ và một đường thẳng đ nằm ngồi đường
trịn 7 là một điểm di động trên d Dường trịn đường kính 7Ĩ cắt (C) tai M,N Ching minh ring dudng thang MN ludn đi qua một điểm cố
dinh
Bai 5
a) Cho một bảng vuơng 4 x 4 Trên các ơ của hình vuơng này, ban đầu
người ta ghi 9 số 1 và 7 số 0 một cách tùy ý (mỗi ơ một số) Với mỗi
phép biến đổi bảng, cho phép một hàng hoặc một cột bất kỳ trên hàng hoặc cột được chọn đổi đồng thời các số 0 thành số 1, các số 1 thành số 0 Chứng minh rằng sau một số hữu hạn các phép biến đổi như vậy, ta
khơng thể đưa bảng ban đầu về bảng tồn các số 0
b) Ở vương quốc "Sắc màu kỳ ảo" cĩ 45 hiệp sĩ: 13 hiệp sĩ tĩc đỏ, 15 hiệp sĩ tĩc vàng và 17 hiệp sĩ tĩc xanh Khi hai hiệp sĩ cĩ màu tĩc khác nhau
gặp nhau thì tĩc của họ lập tức đổi sang màu tĩc thứ ba (ví dụ khi hiệp sĩ tĩc đỏ gặp hiệp sĩ tĩc vàng thì cả hai đổi sang tĩc xanh) Hỏi cĩ thể
Trang 16Đề số 9 - Năm 2004
Bai 1
a) Cii bã › œ+VvU+ð=1l
a) Giải hệ phương trình { ytvrr5=1
b) Cho các số a, y théa |a| < 1, |y| < 1 Chitng minh rang |a| + |y| > |7
e) Tìm tất cả các số nguyên nm > 0 sao cho phương trình #? — (m — 1)®z + m = 0 cĩ các nghiệm đều nguyên
Bài 2
a) Tìm tất các số nguyên dương ø sao cho #"*! + z3" + 1 chia hết cho
+? + +1,
b) Tim số du trong phép chia A = 3° + 3° + 3? cho 91
Bài 3 Cho tam giác ABŒ đều và một điểm P nằm trong tam giác Gọi Ai, Bị,Cti là hình chiếu vuơng gĩc của P trên BƠ, AC, AB Tìm quỹ tích
các điểm P sao cho tam giác AiB¡Œ¡ cân Bài 4 Cho tam giác nội tiếp đường trịn (O) Aƒ là một điểm thay đổi trên cung nhỏ BƠ Gọi Ä là điểm
đối xứng của Ä⁄ qua trung điểm 7 của AB
a) Chứng mình trực tâm J{ của tam giác AB thuộc một đường trịn cố định
b) Giả sử NK cét BC tai D, ha KE vuơng gĩc BƠ H là trực tâm tam giác ABC Chứng minh rằng D# đi qua trung điểm J của WK
Bai 5
a) Trong một giải bĩng đá cĩ k đội tham gia, thi đấu vịng trịn một lượt (2 đội bất kì gặp nhau một lần) Đội thắng được 3 điểm, hịa 1 điểm,
thua 0 điểm Kết thúc giải đấu người ta thấy số trận thắng - thua gấp
Trang 18Đề số 10 - Năm 2005 Bài 1 2 ok + a to tol sos ne a) Cho cac sé a,b > 0,¢ 4 0 Chttng minh rang — + 3 +— =0 khi và chỉ a be khi éa+b= Vva+ec+vb+c Dea b) Giải hệ phương trình: ¿ 77” 1 °P 8 |) Ve =14+ Vy -1= Jey +2 Bai 2
1 Cho p > ð là số nguyên tố sao cho 2p + 1 cũng là số nguyên tố Chứng
minh rang p+ 1 chia hết cho 6 và 2p + 1 khơng là số nguyên tố
2 Tính tổng các số nguyên từ 1 đến 1000 mà trong cách viết thập phân
của chúng khơng chứa chữ số 4 và số 5
3 Cho tam thức bậc hai P(#) = az° + bz + c thỏa mãn điều kién P(x? —
2) = P?(z) — 2 Chứng minh rằng P(z) = P(_—z) với mọi x
Bài 3 Cho tam giác nhọn ABƠ D là một điểm di động trên cạnh BC Gọi Ĩ¡,Ĩ› lần lượt là tâm đường trịn ngoại tiếp các tam giác ABD và
ACD
a) Chứng minh rằng đường trịn ngoại tiếp tam giác AO¡O; đi qua một điểm cố định khác A
b) Gọi Ĩ là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác 4Œ và 7 là tâm đường
trịn ngoại tiếp tam giác 4Ĩ¡OĨ2 Tìm vị trí diém D dé OF dat gid tri
nhỏ nhất
Bài 4
a) Cho hình vuơng ABŒD cĩ cạnh 1 Ä/ là điểm nằm trong hình vuơng
Trang 19b) Cho z,, z,£ là các số thực thuộc đoạn [0; 1] Chứng minh rằng ta luơn
cĩ bất đẳng thức z(1 — ) +(1— z) + z(1—#)+f(1—z) <3
Bài 5 Xét §1 chữ số trongg đĩ cĩ 9 chữ số , 9 chữ số 2, , 9 chữ số 9 Hỏi cĩ thể xếp 81 chữ số này thành một dãy số cho với mỗi k = 1,2, ,9 thì
Trang 20Dé sé 11 - Nam 2006 Bail 2z? +øy = 1 a) Giải hệ phương trình { 2y2 + sự — 1 b) Giải bất phương trình 3# — ðz2 < 5# — 2 e) Cho z, + là các số thực thỏa mãn điều kiện # + = 2 Chứng minh ring aya? +) S2 Bai 2 Cho phuong trinh (m+ 3)a? — 2(m? +3m)x +m? + 12 = 0(1), trong dé m là tham số: a) Tìm số nguyên m nhỏ nhất sao cho phương trình (1) cĩ hai nghiệm phân biệt b) Ký hiệu z¡,z; là nghiệm của (1) Tìm số nguyên z lớn nhất sao cho x} + x5 là một số nguyên
Bai 3 Cho tam giác đều ABC P là một điểm nằm trong tam giác Gọi
#,, z lần lượt là kkhoảng cách từ P đến các cạnh BƠ, ;A, AB tương ứng a) Biết rằng z = 1, = 2,z = 3 Hãy tính diện tích của tam giác ABC
b) Tìm quỹ tích điểm P trong tam giác sao cho # + = z Từ đĩ suy ra
tập hợp những điểm P trong tam giác sao cho z,,z lập thành 3 cạnh
của một tam giác
Bai 4 Cho đường trịn (C) tâm O, 4B là một dây cung của (C) khơng
đi qua Ĩ và 7 là trung điểm của 4 Một đường thẳng thay đổi qua A cắt đường trịn (C¡) tâm Ĩ bán kính OJ tai P va Q Chứng minh rằng tích AP.AQ khơng đổi và đường trịn ngoại tiếp tam giác BPQ di qua mot điểm cố định khác Ư
Trang 21a) Trong một giải bĩng đá, cĩ 4 đội thi đấu vịng trịn 1 lượt (trong một
trận, đội thắng được 3 điểm, đội thua được 0 điểm và đội hịa được 1 điểm) Khi kết thúc giải, người ta thấy cĩ 3 đội đạt được tổng số điểm lần lượt là 6 điểm, 5 điểm và 1 điểm Hãy cho biết đội cịn lại của giải cĩ tổng số điểm là bao nhiêu và giải thích vì sao?
b) Cho 13 số thực thỏa mãn điều kiện: tổng của 6 số bất kỳ trong chúng
Trang 22Dé sé 12 - Nam 2007
Bai 1
+? + 6ụ = 6#
?+9 =9 `
b) Cho a = V11+6v2, b= v11— 62 Chứng mỉnh rằng a,b là hai
nghiệm của một phương trình bậc 2 với hệ số nguyên
a) Giải hệ phương trình {
c) Cho c = V6V3+10, d= 6v3-— 10 Chứng tỏ rằng c2, d2 là hai
nghiệm của một phương trình bậc 2 với hệ số nguyên
Bai 2 Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (C) P là một điểm trên
cung BC khơng chứa điểm A Hạ 4A, 4N lần lượt vuơng gĩc với PB, PƠ a) Chứng minh rằng MN luơn đi qua một điểm cố định khi P thay đổi
b) Xác định vị trí của P sao cho biểu thức AM.PB + AN.PC dat giá trị
lớn nhất Bài 3
a) Cho a,b,e, đ là các số thực dương thoả mãn: ab = cd = 1 Chứng mình
bat đẳng thức: (ø + b) (e+ đ)+4> 2(a+b+ec+đ)
b) Cho a,b, e, đ là các số dương thoả mãn điều kiện abcd = 1 Chứng minh rằng bất đẳng thức: (ae + bđ) (ad + be) > (a+) (c+)
Bài 4Cho hình thang ABŒD cĩ đáy AB và CD Dường trịn đường kính CD di qua trung điểm các cạnh bên 4D, BƠ tiếp xúc với AB Hãy tìm số
đo các gĩc của hình thang
Bai 5
Trang 230, #ø?”— 2e + ø = 0 cĩ ít nhất một phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt và ít nhất một phương trình vơ nghiệm
b) Cho § là một tập hợp gồm 3 số tự nhiên cĩ tính chất: tổng hai phần tử tuỳ ý của 5 là một số chính phương( ví dụ 9 = {5,20,44}) Chứng
Trang 24Dé sé 13 - Nam 2008
Bai 1
1) Cho phuong trinh 2? — mx + 2m — 2 = 0(1)
a) Chứng mỉnh rằng (1) khơng thể cĩ hai nghiệm đều âm
b) Giá sử z¡, zs là hai nghiệm phân biệt của (1) Chứng mỉnh rằng biểu (z? — 2z + 2) (x2 — 2z + 2) thức 5 + + x khơng phụ thuộc vào giá trị của m 2) Giải hệ phương trình z=?+?? y= eta? z=P+y
Bai 2 Cho tam giac ABC khong can Dudng tron ndi tiép tam J tiếp xúc
với các cạnh BƠ, ƠA, AB lần lượt tại D, E, Ƒ Đường thẳng EF cat AI tai J va cit BƠ nối dài tại K
a) Chứng minh các tam giác IDA và I JD dong dang b) Chứng minh rằng /{7 vuơng gĩc với A1
Bài 3 Cho gĩc z4 vuơng và hai điểm Ư, Ở lần lượt trén cac tia Ay, Ay
Hình vuơng ÄAƒN PQ cĩ các đỉnh M thuộc cạnh 4Ø, đỉnh Đ thuộc cạnh AC và các dinh P,Q thuộc cạnh 8Œ
a) Tinh canh hinh vung MN PQ theo canh BC = ø và đường cao AI = h
của tam giác AĐŒ
b) Cho Ư, Ở thay đổi lần lượt trên các tia 4z, Ay sao cho tich AB.AC = k?
Trang 25a) Chứng minh rằng khơng tồn tại số bạch kim cĩ 3 chữ số
b) Tìm tất cả các số nguyên dương n là số bạch kim
Bài 5 Trong một giải vơ địch bĩng đá cĩ 6 đội tham gia Theo điều
giải, hai đội bất kỳ thi đấu với nhau đúng một trận, đội thắng được 3 điểm,
đội hịa được 1 điểm và đội thua 0 điểm Kết thúc giải, số điểm của các đội
lần lượt là Dị, Dạ, Dạ, Dạ, D;, Dạ (Dị > Dạ > Dạ > Dị 3> Dị > Dạ) Biết
Trang 26Đề số 14 - Năm 2009
Bài 1
» ¬áa cổ 2 ~ wx ea & _ © a+€
a) Choa, b,c, d 1a cdc số thực thỏa mãn điều kiện ba Bad Chứng minh rằng: b2 = d? #—l — b) Giải hệ phương trình Giải hệ phương trình: tên: — 4 ~ Bai 2
a) Giải bất phương trình: 2z + 1 < /8a+9
b) Cho a,b,e là các số thuộc [—1;2] thỏa mãn điều kien a? +P +c? =
6.Chứng minh rằng: ø+b+e>0
Bài 3
a) Chứng minh rằng khơng tồn tại số tự nhiên a sao cho a? + a = 20102009 b) Chứng minh rằng khơng tồn tại số tự nhiên ø sao cho ø + a° + a3 =
20097010
Bài 4 Cho đường trịn (O) tâm Ĩ, đường kính 4 = 2đ Ở là một điểm
thay đổi trên đường trịn (O) sao cho tam giác ABC khong can tai C Goi
Ff là chân đường cao của tam giác ABŒ hạ từ Œ Hạ HE, HF vuơng gĩc với AƠ, BƠ tương ứng Các đường thẳng EF va AB c&t nhau tai K
a) Tính theo # diện tích tam giác CPƑ và độ dài các đoạn KA, KB trong trường hợp BA = 600
Trang 27e) Gọi D là giao điểm của (Ò) và đường trịn đường kính ƠH,D 4 C
Chitng minh ring KA.KB = KH? va giao diem M cia cdc dung thang CD va EF luơn thuộc một đường thẳng cố định
Trang 28Dé số 15 - Năm 2010 Bài 1 a) Cho các số ø,b,e thỏa ø + b+ c = aŠ + b3 + c3 = 0 Chứng minh ring trong 3 số ø,b,e cĩ ít nhất một số bằng 0 #ø+U+z=3 b) Giải hệ phương trình 4 z+zz+#z = —1 +8 +? +z+ 0= 3 (22+ g2 + 2?) Bài 2 a) Giải phương trình (2z — 1)? = 12V+?—z—2+1 b) Cho tam giác A4 vuơng tại 4 cĩ diện tích bằng 1 Chứng minh rằng 2< BC < V2(AB + AC - v2) Bài 3 a) Hãy chỉ ra một bộ 4 số nguyên dương phân biệt mà tổng bộ ba số bất kỳ trong chúng là một số nguyên tố b) Chứng minh rằng khơng tồn tại 5 số nguyên phân biệt mà tổng 3 số bằt kỳ trong chúng là một số nguyên tố
Bai 4 Cho đường trịn tâm Ĩ, bán kính #, dây cung ĐŒ cố định cĩ độ dài
R3 A là một điểm thay đổi trên cung lớn BƠ Gọi # là điểm đối xứng
của Ở qua 4; Ƒ' là điểm đối xứng của qua AƠ Các đường trịn ngoại tiếp các tam giác AB và ACP cắt nhau tại K (K # A)
a) Chứng mỉnh luơn thuộc một đường trịn cố định
b) Xác định vị trí của để tam giác K BƠ cĩ diện tích lớn nhất và tính dién tich dé theo R
Trang 29Bài 5 Trong một giải bĩng đá cĩ 12 đấu vịng trịn một lượt (2 đội bất kỳ
đấu với nhau một trận)
a) Chứng mỉinh rằng sau 4 vịng đấu (mỗi đội đấu 4 trận) luơn tìm được 3 đội bĩng đơi một chưa đấu với nhau
Trang 30Đề số 16 - Năm 2011
Bai 1 Cho phương trình bậc hai z? — (m + 3)# + m2 = 0 trong đĩ m là
tham số sao cho phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt #,
a) Khim = 1 Chứng minh rằng ta cĩ hệ thức ÿzirÿ“ = V2+ V2+ v6 b) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho Vai t+ %2 = Vd
e) Xét đa thức P(z) = + + a#? + bz Tìm tất cả các cặp số (a,b) sao cho
ta cĩ hệ thức P(z¡) = P(za) với mọi giá trị của tham số zn Bài 2 a) Cho a, b là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức v1+a2v1+? 1+ab b) Cho các số z,,z thỏa |z| < 1,|w| < 1,|z| < 1 Chứng minh rằng: 1=z?+Vv1—+Vw1—z?< 9—(z+w+z)?
Bai 3 Cho tam giác ABŒ nhọn cĩ AB = b, AC = c Mƒ là một điểm thay
đổi trên cạnh A4 Đường trịn ngoại tiếp tam giác BƠM cắt AC tại N a) Chứng minh rằng tam giác 4M/N đồng dạng với tam giác AŒĐ Tính
MA
B
b) Gọi 7 là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác AAƒN Chứng minh rằng
i dé dién tich tam gidc AMN bang 5 dién tich tam gide ACB 2 x 1
1 luơn thuộc một đường cố định
c) Goi 7 là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ă BƠ Chứng minh rằng
đoạn thẳng 77 cĩ độ dài khơng đổi
Trang 31a) Biét rằng cĩ ít nhất một trong 3 số chính phương trên chia hết cho 3
Chứng minh rằng (ø — b)(b — c)(c — a) chia hết cho 27
b) Tồn tại hay khơng các số ø, b, e thỏa điều kiện (*) mà (ø—b)(b— e)(c— a)
khơng chia hết cho 27?
Bai 5 Cho hình chữ nhật ABŒD cĩ AB =3,AD = 4
a) Chứng mỉnh rằng từ 7 điểm bất kì trong hình chữ nhật ABŒD luơn
tìm được hai điểm mà khoảng cách giữa chúng khơng lớn hơn V5
Trang 32Đề số 17 - Năm 2012 Bài 1 (zS— 9)“ = 2z — z? 1 Giải hệ phương trinh ¢ (y — 2)? = 2a — 2? ch 2 Cho hình vuơng ABŒƠD cạnh a Aƒ và N là hai điểm lần lượt nằm SỐ - AM _ CN
trên các cạnh AB và BC sao cho AB CB
đường thang qua M,N song song véi BD lan luot c&t AD tai Q va =# với Ú < z < 1 Các
CD tại P Tính diện tích tứ giác MN PQ theo a va x va tim x sao cho
điện tích này lớn nhất
Bài 2 Số nguyên dương ø được gọi là số điều hịa nếu như tổng các bình phương của các ước của nĩ ( kể cả 1 và n ) ding bing (n +3)?
a) Chứng minh rằng số 287 là số điều hịa
b) Chting minh rang sé n = p3( p nguyên tố ) khơng phải là số điều hịa
c) Chứng minh rằng nếu số re = pq ( p,q là các số nguyên tố khác nhau)
là số điều hịa thi n + 2 là số chính phương Bài 3
a) Tim tat ca cdc số thực z thỏa z? — 5 + 4+ 2+ —1 >0
b) Chứng minh rằng với các số khơng âm ø, b,e thỏa a + b + Ở = 3 thì ta
cĩ bất đẳng thức /a + Vb+ Ve > ab + be + ae
Bài 4 Cho tam giác ABC vuơng tại A Trên đường thẳng vuơng gĩc với
AB tại B ta lấy điểm D di động nằm cùng phía với Ơ đối với đường thẳng AB
a) Chứng minh rằng nếu AC + BD < CD thì trên cạnh AB tồn tại hai
Trang 33b) Giả sử điều kién trén dugc théa man Dung thang qua A song song véi MD cắt đường thẳng qua B song song với MC tại E Chứng mỉnh rằng đường thẳng DE luơn đi qua một điểm cố định
Bài 5 Cho đa giác đều n cạnh Dùng 3 màu xanh , đỏ, vàng tơ màu các
đỉnh đa giác một cách tùy ý ( mỗi đỉnh được tơ bởi một màu và tất cả các
đỉnh đều được tơ màu) Cho phép thực hiện thao tác sau đây : chọn hai đỉnh kề nhau bất kì ( nghĩa là hai đỉnh liên tiếp) khác màu và thay màu
của hai đỉnh đĩ bằng màu cịn lại
a) Chứng mỉnh rằng bằng cách thực hiện thao tác trên một số lần ta luơn
luơn làm cho các đỉnh của đa giác chỉ cịn được tơ bởi hai màu
b) Chứng minh rằng với n = 4 và n = 8, bằng cách thực hiện thao tác trên
một số lần ta cĩ thể làm cho các đỉnh của đa gi
Trang 34Đề số 18 - Năm 2013
Bài 1 Cho phương trình #? — dma + m? — 2m +1 =0 (1) với m là tham
SỐ
a) Tìm m sao cho phương trình (1) cĩ hai nghiệm phân biệt Chứng minh rằng khi đĩ hai nghiệm khơng thể trái dấu
b) Tìm zm để phương trình cĩ hai nghiém 21, x2 thỏa |#¡ — #a| = 1 3x? + Qy +1 = 22 (a +2) Bài 2 Giải hệ phương trình 4 3y? + 22 +1 = 22 (y +2) 327 + 2x +1 = 2y(z+2) Bài 3 Cho z, là hai số khơng âm thỏa #Ở + Š < # — ÿ a) Chứng minh rằng < z < 1 b) Chứng minh rằng z3 + 3 < z2? +? < 1
Bai 4 Cho M = a? + 3ø + 1 với a là số nguyên dương
a) Chứng minh rằng mọi ước của Ä/ đều là số lẻ
b) Tim a sao cho M chia hét cho 5 Với những giá trị nào của ø thì Ä/ là lũy thừa của 5?
Bài 4 Cho tam gidc ABC cĩ gĩc ZA = 60°, đường tron (J) nội tiếp tam
giác (với tâm I) tiếp xúc với các cạnh BŒ,ỚA, AB lần lượt tại D, E, F
Dường thẳng 7D cắt EZF' tại K, đường thẳng qua Ý và song song với BC
cắt AB, AC theo thit tu tai M,N
a) Chứng minh rằng các tứ giác IFMK và IMAN nội tiếp
b) Gọi J là trung điểm cạnh BC.Chứng minh rằng ba điểm A,K,J thẳng hàng
e) Gọi r là bán kính của dường trịn (I) và S là diện tích tứ giác !EAP.Tính
Trang 35Bài 5 Trong một kỳ thi, 60 thí sinh phải giải 3 bài tốn Khi kết thúc kỳ
thi , người ta nhận thấy rằng: Với hai thí sinh bất kỳ luơn cĩ ít nhất một bài tốn mà cả hai thí sinh đĩ đều giải được Chứng minh rằng :
a) Nếu cĩ một bài tốn mà mọi thí sinh đều khơng giải được thì phải cĩ một bài tốn khác mà mọi thí sinh đều giải được
Trang 36Đề số 19 - Năm 2014
Bài 1 Cho phương trình (mm? 5)#? — 2mz+ — 6m = 0 (1) với tm là tham số a) Tim ?m sao cho phương trình (1) cĩ hai nghiệm phân biệt Chứng minh
rằng khi đĩ tổng của hai nghiệm khơng thể là số nguyên
b) Tim mm sao cho phương trình (1) cĩ hai nghiệm zị,z¿ thỏa mãn điều kiện (tza — V1 + a2)" = 16 Bai 2 2 1) Giải hệ phương trình 21+ e/a) =9 21+ v2} = 9V 2) Cho tam giác ABC vuơng tại A với các đường phân giác trong ĐM,CƠN (MC + MA)(NB+ NA) ——— MA.NA => >3+2v2 11 1 a Bai 3 Cho các số nguyên dương a,b thỏa P + 37 a) Chứng minh rằng a + b khong thé là số nguyên tố
Chứng minh bất đẳng thức
b) Chứng mỉnh rằng nếu e > 1 thia+c va b+c¢ khong thể đồng thời là số
nguyên tố
Bài 4 Cho điểm C thay đổi trên nửa đường trịn đường kính AB = 2R
(Cz# A,C # B) Gọi HH là hình chiếu vuơng gĩc của Œ lên 4; 7 và J lan lượt là tâm đường trịn nội tiếp các tam giác AƠH và BƠH Các đường thẳng Ở1,ŒJ cắt AB tại AM, N
a) Chitng minh AN = AC, BM = BC
Trang 37c) Tim gi trị lớn nhất của MN và giá trị lớn nhất của diện tích tam giác
CMN theo R
Bài 5 Cho 5 số tự nhiên phân biệt sao cho tổng của ba số bất kỳ trong chúng lớn hơn tổng của hai số cịn lại
a) Chứng minh rằng tất cả ð số đã cho đều khơng nhỏ hơn 5
Trang 38Dé sé 20 - Nam 2015 Bai 1 a) Giải phương trình 2z — 1+ vV1— 2z? = 2V+ — b) Cho các số ø và b thỏa mãn điều kiện Ÿø+ Ÿb = { i Chứng minh rang -1 <a<0 Bai 2
a) Tim cac sé nguyén a,b,c sao choa+b+c=0 vaab+be+ac+3=0 b) Cho m là số nguyên Chứng minh rằng nếu tồn tại các số nguyén a, b, e
khác 0 sao cho ø + b + e = 0 và ab + be + ae + 4m = 0 thì cũng tồn tại
các số nguyên ø', Ù⁄, e' sao cho ø' +! + đ = 0 và a!' + bơ + dể +1n = 0 e) Với k là số nguyên dương, chứng mỉnh rằng khơng ton tại các số nguyên
a,b,c khác 0 sao cho ø + b+ e= 0 và ab + be + ac + 2# = 0
Bài 3 Giả sử phương trình 2#? + 2ø + 1 — b = 0 cĩ 2 nghiệm nguyên (ø,b là tham số) Chứng minh rằng a? — b? + 2 là số nguyên và khơng chia hết cho 3
Bai 4 Cho tam giác AĐC(AB < AC) cĩ các gĩc nhọn, nội tiếp trong đường trịn tâm Ĩ Gọi Aƒ là trung điểm của cạnh BƠ, là điểm chính
giữa của cung nhỏ BC, F 1a điểm đối xứng của E qua M a) Chứng minh #B? = EF.EO
b) Gọi D là giao điểm của AE và BƠ Chứng mỉnh các điểm A, D,O, F cùng thuộc một đường trịn
Trang 39hàng Chứng minh rằng tiếp tuyến tại của đường trịn ngoại tiếp tam giác POF' đi qua một điểm cố định
Bài 5 Để khuyến khích phong trào học tập, một trường THCS đã tổ chứng
8 đợt thi cho các học sinh Ở mỗi đợt thi, cĩ đúng 3 học sinh được chọn
để trao giải Sau khi tổ chứng xong 8 đợt thi, người ta nhận thấy rằng với
hai đợt thi bất kì thì cĩ đúng 1 học sinh được trao giải ở cả hai đợt thi đĩ
Chứng minh rang:
a) Cĩ ít nhất một học sinh được trao giải ít nhất bốn lần
Trang 40Dé sé 21 - Nam 2016
Bai 1
(@ — 2y)(x + my) = m? — 2m —3
(y — 2z)(y + mz) = m? — 2m —3
hệ co ít nhất một nghiệm (2x5, y,) thỏa #¿ > 0, Yo > 0
a) Giải hệ { khi m = —3 va tim m dé
b) Tìm a > 1 để phương trinh az? + (1 — 2a)+ + 1— a = 0 cĩ hai nghiệm
phân biệt #¡, ø; thỏa z3 — a# = a2 — a— 1
Bài 2 Cho z, là hai số nguyên dương mà z? + ¿? + 10 chia hết cho xy a) Chứng minh rang z, y 14 hai số lẻ và nguyên tố cùng nhau +? +10 ry b) Chứng minh k = chia hết cho 4 và k > 12 Bài 3 Biết z > > z,z + +z =0 và z? +2 +z? =6 a) Tính 8 = (z— )? + ( — 0)(w— 2) + (w— 2) b) Tìm giá trị lớn nhất của P = |(œ — )(w — z)(z — #)|
Bài 4.Tam giác AĐŒ nhọn cĩ /“BAC > 45° Dựng các hình vuơng
ABMN, ACPQ (M và Ở khác phía đối với AB; PB và Q khác phía đối với
AC) AQ cắt đoạn BM tại Ð và NA cắt đoạn ỚP tai F
a) Chứng minh AABE ~ AACF va ttt gidc EFQN ni tiép
b) Chting minh trung diém J ctia EF 1a tam đường trịn ngoại tiếp tam gidc ABC
e) MN cắt PQ tại D, các đường trịn ngoại tiếp các tam giác 2Q và DNQ cắt nhau tại J£ (K khác Ð), các tiếp tuyến tại và Ở của đường trịn ngoại tiếp tam giác ABŒ cắt nhau tại J Chứng minh các điểm