các bài TOÁN THỰC tế

 TOÁN THỰC TẾ PHẦN A - ĐỀ BÀI I - Các toán Tập hợp - Mệnh đề: Trong khoảng thời gian định, địa phương, Đài khí tượng thủy văn thống kê được: A +) Số ngày mưa: 10 ngày; +) Số ngày có gió: ngày; 10 +) Số ngày lạnh: ngày; +) Số ngày mưa gió: ngày; +) Số ngày mưa lạnh : ngày; +) Số ngày lạnh có gió: ngày; +) Số ngày mưa, lạnh có gió: ngày Vậy có ngày thời tiết xấu (Có gió, mưa hay lạnh)? Trong Kỳ thi THPT QG, trường kết số thí sinh đạt danh hiệu xuất sắc sau: +) Về mơn Tốn: 48 thí sinh; +) Về mơn Vật lý: 37 thí sinh; A(48) +) Về mơn Văn: 42 thí sinh; a +) Về mơn Tốn mơn Vật lý: 75 thí sinh; +) Về mơn Tốn mơn Văn: 76 thí sinh; +) Về mơn Vật lý mơn Văn: 66 thí sinh; +) Về mơn: thí sinh Vậy có học sinh nhận danh hiệu xuất sắc về: - Một mơn? - Hai mơn? - Ít mơn? B C B(37) x b y z c C(42) II - Bài toán ứng dụng Hàm số bậc hai 3.1 Dây truyền đỡ Cầu treo có dạng Parabol ACB hình vẽ Đầu cuối dây gắn chặt vào điểm A B trục AA' BB' với độ cao 30m Chiều dài nhịp A'B' = 200m Độ cao ngắn dây truyền cầu OC = 5m Xác định chiều dài dây cáp treo (thanh thẳng đứng nối cầu với dây truyền)? y A (100;30) B M3 M2 B' M1 y3 30m C y2 O 5m y1 A' x 200m 3.2 Một người xe đạp dự định buổi sáng hết quãng đường 60km Khi quãng đường, thấy vận tốc 2 vận tốc dự định, đạp nhanh vận tốc dự định 3km/h, đến nơi chậm 45 phút Hỏi vận tốc dự định người xe đạp bao nhiêu? - Trang 1/17 -  TỐN THỰC TẾ III - Bài tốn Hệ hai phƣơng trình bậc hai ẩn: Để sản xuất thiết bị điện loại A cần 3kg đồng 2kg chì, để sản xuất thiết bị điện loại B cần 2kg đồng 1kg chì Sau sản xuất sử dụng hết 130kg đồng 80kg chì Hỏi sản xuất thiết bị điện loại A, thiết bị điện loại B? IV - Các toán dùng Bất đẳng thức Cơsi: Người ta phải cưa thân hình trụ để xà hình khối chữ nhật tích cực đại Hỏi xà phải có tiết diện nào? Với kim loại hình chữ nhật, phải làm máng mà tiết diện hình thang cân Bề rộng mặt bên góc với đáy phải để tiết diện máng có diện Hình câu tích cực đại? Cần phải làm cửa sổ mà, phía hình bán nguyệt, phía hình chữ nhật, có chu vi a mét (a chu vi hình bán nguyệt cộng với chu vi hình chữ nhật trừ độ dài cạnh hình chữ nhật dây cung hình bán nguyệt) Hãy xác định kích thước để diện tích cửa sổ lớn nhất? S1 y z z x x S2 2x Hình câu Hình câu Ta có miếng tơn phẳng hình vng với kích thước a cm, ta muốn cắt góc hình vng để uốn thành hình hộp chữ nhật khơng có nắp Phải cắt để hình hộp tích lớn nhất? Cần phải thiết kế thùng dạng hình trụ có nắp đậy để đựng sản phẩm chế biến, có dung tích V(cm3) Hãy xác định kích thước để tiết kiệm vật liệu nhất? 10 Người ta muốn rào quanh khu đất với số vật liệu cho trước a mét thẳng hàng rào Ở người ta tận dụng bờ giậu có sẵn để làm cạnh y hàng rào Vậy làm để rào khu đất theo hình chữ nhật cho có diện tích lớn nhất? 11 Người ta muốn làm cánh diều hình quạt cho với chu vi cho trước diện tích hình quạt cực đại Dạng quạt phải nào? x x 12 a) Một cánh đồng hình chữ nhật với diện tích cho trước phải có dạng để chiều dài hàng rào cực tiểu? b) Một cánh đồng hình chữ nhật có chiều dài cho trước phải có dạng Hình câu 11 để diện tích cực đại? 13 Với đĩa tròn thép trắng phải làm phễu cách cắt hình quạt đĩa gấp phần lại thành hình nón Cung tròn hình quạt bị cắt phải độ để hình nón tích cực đại? 14 Chúng ta biết cấu tạo hộp diêm bình thường Nó bao gồm: nắp, đáy, mặt bên đầu Hộp diêm Hình câu 13 phải có dạng để với thể tích cố định, chế tạo đỡ tốn vật liệu nhất? Đáy Mặt bên Nắp Đầu Mặt bên 15 Sự chi phí tàu chạy ngày đêm gồm có hai phần Phần cố định a đồng, phần biến đổi tăng tỷ lệ với lập phương vận tốc Tàu chạy với tốc độ v kinh tế nhất? - Trang 2/17 -  TỐN THỰC TẾ V - Các toán Hệ bất phƣơng trình bậc hai ẩn: 16 Một cơng ty cần thuê xe vận chuyển 140 người hàng hóa Nơi cho thuê xe có 10 xe hiệu MITSUBISHI xe hiệu FORD Một xe hiệu MITSUBISHI chở 20 người 0,6 hàng Một xe hiệu FORD chở 10 người 1,5 hàng Tiền thuê xe hiệu MITSUBISHI triệu đồng, xe hiệu FORD triệu đồng Hỏi phải thuê xe loại để chi phí thấp nhất? 17 Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm Mỗi kg sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu 30 giờ, đem lại mức lời 40000 đồng Mỗi kg sản phẩm loại II cần kg nguyên liệu 15 giờ, đem lại mức lời 30000 đồng Xưởng có 200kg nguyên liệu 120 làm việc Nên sản xuất loại sản phẩm để có mức lời cao nhất? 18 Nhân dịp tết Trung Thu, Xí nghiệp sản xuất bánh Trăng muốn sản xuất hai loại bánh: Đậu xanh, Bánh dẻo nhân đậu xanh Để sản xuất hai loại bánh này, Xí nghiệp cần: Đường, Đậu, Bột, Trứng, Mứt, Giả sử số đường chuẩn bị 300kg, đậu 200kg, nguyên liệu khác có Sản xuất bánh đậu xanh cần 0,06kg đường, 0,08kg đậu cho lãi ngàn đồng Sản xuất bánh dẻo cần 0,07kg đường, 0,04kg đậu cho lãi 1,8 ngàn đồng Cần lập kế hoạch để sản xuất loại bánh để không bị động đường, đậu tổng số lãi thu lớn (nếu sản xuất bán hết)? 19 Cơng ty Bao bì Dược cần sản xuất loại hộp giấy: đựng thuốc B1, đựng cao Sao vàng đựng "Quy sâm đại bổ hồn" Để sản xuất loại hộp này, cơng ty dùng bìa có kích thước giống Mỗi bìa có hai cách cắt khác Cách thứ cắt hộp B1, hộp cao Sao vàng hộp Quy sâm Cách thứ hai cắt hộp B1, hộp cao Sao vàng hộp Quy sâm Theo kế hoạch, số hộp Quy sâm phải có 900 hộp, số hộp B1 tối thiểu 900 hộp, số hộp cao Sao vàng tối thiểu 1000 hộp Cần phương án cho tổng số bìa phải dùng nhất? VI - Các tốn Phƣơng trình, Bất phƣơng trình, Hệ phƣơng trình, Hệ bất phƣơng trình bậc hai: 20 Một đoàn tàu đánh cá dự định đánh bắt 1800 cá số ngày định Do bị bão nên ngày đoàn đánh bắt kế hoạch ngày 20 Trong ngày lại, đồn đánh bắt vượt kế hoạch 20 ngày Vì đồn hồn thành kế hoạch đánh bắt trước thời hạn ngày Hỏi theo kế hoạch ngày đoàn tàu đánh bắt cá thời gian đánh bắt theo kế hoạch ngày? 21 Một nhóm sinh viên chèo du thuyền xi dòng từ A đến B cách A 20km chèo ngược trở A tổng cộng 7giờ Khi bắt đầu chuyến họ thấy bè gỗ trôi ngang qua A hướng B Trên đường trở họ gặp lại bè gỗ vị trí cách A 12km Tính vận tốc du thuyền xi dòng vận tốc dòng nước 22 Một nhóm bạn hùn tổ chức chuyến du lịch sinh thái (chi phí chia cho người) Sau hợp đồng xong, vào chót có hai người bận việc đột xuất khơng Vì người lại phải trả thêm 30000 đồng so với dự kiến ban đầu Hỏi số người lúc đầu dự định du lịch, người theo dự kiến ban đầu phải trả tiền giá chuyến du lịch sinh thái đó, biết Bản hợp đồng giá khoảng từ 700000 đồng đến 750000 đồng 23 Hai công nhân làm chung công việc 36 phút xong Nếu người thứ 1 thời gian mà riêng người thứ hai làm xong công việc người thứ hai làm 3 13 thời gian mà riêng người thứ làm xong cơng việc hai người làm cơng việc Tính 18 làm thời gian người làm riêng xong công việc 24 Một xe ôtô từ A đến B, lúc có người xe đạp từ B đến A Ba phút sau hai xe gặp ôtô quay lại đuổi xe đạp, đuổi kịp lại quay để chạy B Nếu lúc đầu sau gặp phút ơtơ quay lại xe đạp sau gặp tăng vận tốc thời gian Tìm tỷ số vận tốc xe đạp ơtơ? 15 lần ôtô - Trang 3/17 -  TỐN THỰC TẾ VII - Các tốn cấp số: 25 Sinh nhật An vào ngày tháng Bạn muốn mua máy ảnh giá 712000 đồng để làm quà sinh nhật cho Bạn định bỏ ống heo 100 đồng vào ngày tháng năm đó, sau liên tục ngày sau cao ngày trước 100 đồng Hỏi đến sinh nhật An có đủ tiền mua quà không? 26 Đầu mùa thu hoạch xồi, bác nơng dân bán cho người thứ nhất, nửa số xoài thu hoạch nửa quả, bán cho người thứ hai nửa số lại nửa quả, bán cho người thứ ba nửa số xoài lại nửa v.v Đến lượt người thứ bảy bác bán nửa số xồi lại nửa khơng Hỏi bác nông dân thu họach xồi đầu mùa? VIII - Bài tốn Lơgarit: 27 Với dây tóc bóng đèn điện có bên cho độ sáng lớn bóng chân khơng, nhiệt độ dây tóc hai trường hợp khác Theo Định luật Vật lý, độ sáng toàn phần phát từ vật thể bị nung đến trắng tăng tỉ lệ với luỹ thừa bậc 12 nhiệt độ tuyệt đối (độ K) a) Hãy tính xem bóng đèn có với nhiệt độ dây tóc 2500oK sáng bóng chân khơng có nhiệt độ dây tóc 2200oK lần? b) Phải tăng nhiệt độ tuyệt đối lên chừng (tính theo %) để gấp đơi độ sáng bóng đèn? c) Độ sáng bóng đèn tăng lên (tính theo phần trăm) ta tăng 1% nhiệt độ tuyệt đối dây tóc nó? IX - Các tốn Cực trị có dùng đến đạo hàm: 28 Một ảnh hình chữ nhật cao 1,4m đặt độ cao 1,8m so với tầm mắt (tính đến mép ảnh) Để nhìn rõ phải xác định vị trí đứng cho góc nhìn lớn Hãy xác định vị trí đó? D 29 Từ cảng A dọc theo đường sắt AB cần phải xác định trạm trung chuyển hàng hóa C xây dựng đường h từ C đến D Biết vận tốc đường sắt v1 A B C đường v2 (v1 < v2) Hãy xác định phương án chọn địa E điểm C để thời gian vận chuyển hàng từ cảng A đến cảng D ngắn nhất? N 30 Từ khúc gỗ tròn hình trụ, cần xẻ thành xà có tiết diện ngang hình vng miếng phụ hình vẽ Hãy xác định kích thước M K miếng phụ để sử dụng khối gỗ cách tốt (tức diện tích sử dụng theo tiết diện ngang lớn nhất) 31 Một vật ném lên trời xuyên góc  so với phương nằm ngang, vận tốc ban đầu v0 = m/s P a) Tính độ cao vật quỹ đạo xác x định thời điểm mà đạt độ cao (g = 10m/s2) b) Xác định góc  để tầm ném cực đại 32 Cần phải xây dựng hố ga, dạng hình hộp chữ nhật tích V(m 3), hệ số k cho trước (k- tỉ số chiều cao hố chiều rộng đáy Hãy xác định kích thước đáy để xây tiết kiệm nguyên vật liệu nhất? B1 B A   33 Hai tàu vĩ tuyến cách hải lý Đồng thời hai tàu khởi hành, chạy hướng Nam d với hải lý/giờ, tàu chạy vị trí tàu thứ với vận tốc hải lý/ Hãy xác định mà thời điểm mà khoảng A1  cách hai tàu lớn nhất? 34 Cần phải dùng thuyền để vượt sang bờ đối diện dòng sơng chảy xiết mà vận tốc dòng chảy vc lớn vận tốc vt thuyền Hướng thuyền phải để độ dời theo dòng chảy gây nên nhỏ nhất? 35 Một người làm nhiệm vụ cứu hộ gần bờ hồ, cần phải cứu người bị chết đuối hồ Nếu biết vận tốc bờ v1 nước v2, người cứu hộ phải chọn đường để thời gian ngắn tới vị trí Quỹ đạo phải thoả mãn điều kiện gì? - Trang 4/17 -  TỐN THỰC TẾ B y B1 T  h2 b C z K x h D D E A C x  O  A h1 B Hình câu 34 Hình câu 35 36 Trong lĩnh vực thuỷ lợi, cần phải xây dựng nhiều mương dẫn nước dạng "Thuỷ động học" (Ký hiệu diện tích tiết diện ngang mương S,  độ dài đường biên giới hạn tiết diện này,  - đặc trưng cho khả thấm nước y mương; mương đựơc gọi có dạng thuỷ động học với S xác x định,  nhỏ nhất) Cần xác định kích thước mương dẫn nước để có dạng thuỷ động học? (nếu mương dẫn nước có tiết diện ngang hình chữ nhật) 37 Hãy xác định độ dài cánh tay nâng cần cẩu bánh dùng để xây dựng tòa nhà cao tầng mái có chiều cao H chiều rộng  ? (Biết cần cẩu thỏa mãn yêu cầu sau đây: Có thể xê xích cẩu góc nghiêng cánh tay nâng để cho điểm cuối cánh tay nâng chiếu xuống theo phương thẳng đứng trùng với trung điểm bề rộng Ta giả sử nhà xây dựng miếng đất rộng, cần cẩu di chuyển thoải mái) 38 Cần phải đặt điện phía bàn hình tròn có bán kính a Hỏi phải treo độ cao để mép bàn nhiều ánh sáng Biết cường độ sáng C biểu thị công thức C  k lệ phụ thuộc vào nguồn sáng sin  (  góc nghiêng tia sáng mép bàn, k - số tỷ r2 Đ C B r A  h H E h I N Hình câu 37 a  M Hình câu 38 39 Chi phí nhiên liệu tàu chia làm hai phần Trong phần thứ khơng phụ thuộc vào vận tốc 480 ngàn đồng/giờ Phần thứ hai tỷ lệ thuận với lập phương vận tốc, v = 10km/h phần thứ hai 30 ngàn đồng/giờ Hãy xác định vận tốc tàu để tổng chi phí nguyên liệu km đường nhỏ nhất? - Trang 5/17 -  TOÁN THỰC TẾ PHẦN B - HƯỚNG DẪN GIẢI Ký hiệu ngày mưa A, ngày có gió B, B ngày lạnh C Theo giả thiết ta có: n(A) = 10, n(B) = 8, A n(C) = 6, n(A  B) = 5, n(A  C) = 4, n(B  C) = 3, n(A  B  C) = Để tìm số ngày thời tiết xấu 10 ta sử dụng biểu đồ Venn Ta cần tính n(A  B  C) Xét tổng n(A) + n(B) + n(C): Trong tổng này, phần tử A giao B, B giao C, C giao A tính làm hai lần nên tổng n(A) + n(B) + n(C) ta phải trừ tổng C (n(A  B) + (B  C) + (C  A)) Xét n(A  B  C): tổng n(A) + n(B) + n(C) tính lần, n(A  B) + (B  C) + (C  A) tính lần Vì n(A  B  C) = n(A) + n(B) + n(C) - (n(A  B) + (B  C) + (C  A)) + n(A  B  C) = 10 + + - (5 + + 3) +1 = 13 Vậy số ngày thời tiết xấu 13 ngày Gọi A, B, C tập hợp học sinh xuất sắc mơn Tốn, môn Vật Lý, môn Văn Gọi a, b, c số học sinh đạt danh hiệu xuất sắc mơn mơn Tốn, mơn Vật Lý, mơn Văn Gọi x, y, z số học sinh đạt danh hiệu xuất sắc hai môn môn Tốn mơn Vật Lý, mơn Vật Lý mơn Văn, mơn Văn mơn Tốn Dùng biểu đồ Venn đưa hệ phương trình ẩn sau: B(37) a  x  z   48 a  28 A(48) b  x  y   37 b  18 x b a   c  y  z   42   a  b  x  y  z  71  a  c  x  y  z  72  b  c  x  y  z  62 c  19  x  y   z  10 y z c C(42) ĐS: 65 thí sinh đạt danh hiệu xuất sắc mơn 25 thí sinh đạt danh hiệu xuất sắc mơn 94 thí sinh đạt danh hiệu xuất sắc mơn * Để giải hai toán cần hiểu nắm vững kiến thức tập hợp, đặc biệt phép toán tập hợp suy luận toán học, mang tính chất tổng hợp Chương Tập hợp Mệnh đề Đại số 10 THPT Vì hai tốn dùng ơn tập chương 3.1 Chọn trục Oy trùng với trục đối xứng Parabol, trục Ox nằm cầu Hình vẽ Khi ta có A(100; 30), C(0; 5), ta tìm phương trình Parabol có dạng y = ax2 + bx + c Parabol có đỉnh C qua A nên ta có hệ phương trình:   b a      2a 400    b  a.0  b.0  c  a.100  b.100  c  30 c      y M3 M2 B' Suy Parabol có phương trình y = A (100;30) B M1 y3 30m C y2 O 5m y1 A' 200m x x + Bài toán đưa việc xác định chiều dài dây cáp 400 cheo tính tung độ điểm M1, M2, M3 Parabol Ta dễ dàng tính tung độ điểm có hồnh độ x1 = 25, x2 = 50, x3 = 75 y1 = 6,56 (m), y2 = 11,25 (m), y3 = 19,06 (m) Đó độ dài dây cáp cheo cần tính - Trang 6/17 -  TỐN THỰC TẾ * Đây ví dụ minh họa cho việc ứng dụng Hàm số thực tiễn cụ thể Chỉ cần khảo sát Hàm số bậc hai ta tính độ dài dây cáp treo từ dự đốn ngun liệu cần dùng đến, tiết kiệm nguyên vật liệu kế hoạch thi cơng Bài dùng dạy Hàm số bậc hai Chương trình Đại số 10 THPT 3.2 Gọi v (km/h) vận tốc dự định người xe đạp (v > 0) Theo ta có phương trình 30 30 60     3v2 - 51v + 180 = (1) v3 v v Giải phương trình (1) ta hai nghiệm v = 12 (thoả mãn) v = (loại) Trong Bài toán trên, nghiệm v = thoả mãn điều kiện toán (v > 0), nghiệm bị loại hai lý thực tế sau: thứ nhất, vận tốc 5km/h chậm không phù hợp với vận tốc bình thường xe đạp; thứ hai là, với vận tốc 5km/h, buổi sáng hết quãng đường 60km dự định Gọi x, y số thiết bị điện loại A, loại B sản xuất 3x  2y  130 2x  y  80 Theo ta có hệ phương trình:  Giải hệ phương trình ta nghiệm (x = 30, y = 20) Vậy sản xuất 30 máy điện loại A 20 máy điện loại B * Bài toán Hệ hai phương trình bậc hai ẩn học sinh làm quen lớp 9, việc đưa vào tốn có nội dung thực tiễn, cho dạng tốn hồn tồn phù hợp cho học sinh lớp 10 Bài tốn ví dụ dùng dạy Phương trình hệ phương trình bậc Đại số 10 THPT Gọi x, y cạnh tiết diện Theo Định lí Pitago ta có: x + y2 = d2 (d đường kính thân cây) Thể tích xà cực đại diện tích tiết diện cực đại, nghĩa x.y cực đại Do xy lớn x2y2 lớn tổng x2 + y2 = d2 không đổi, nên x2y2 cực đại x2 = y2  x = y Vậy xà phải có tiết diện hình vng Gọi  chiều rộng kim loại, x chiều rộng mặt bên y chiều rộng đáy, ta thêm vào ẩn z hình vẽ Diện tích tiết diện là: y z z (z  y  z)  y 2 2 S x  z  (y  z) (x  z ) (1) x x Ta cần tìm x, y, z để S cực đại với 2x + y =  không đổi Từ (1) ta có 3S2 = (y + z)(y +z)(x + z)(3x - 3z) 4  y  z  y  z  x  z  3x  3z  Áp dụng Bất đẳng thức Côsi ta có 3S     16     Do S cực đại y + z = x + z = 3x - 3z  x = y = , z = Vì cạnh z nửa cạnh huyền nên góc đối diện cạnh z 30o, góc tạo mặt bên mặt đáy máng 90o + 30o = 120o Như vậy, máng có tiết diện cực đại cạnh tiết diện cạnh liên tiếp lục giác Gọi x bán kính hình bán nguyệt Ta có chu vi hình bán nguyệt  x , tổng ba cạnh hình chữ nhật a -  x Diện tích cửa sổ là:  a   x2 a   x  2x  x) S  S1  S   2x = a x - (  ) x  (  ) x(  2 2 S lớn x( a  2  x) lớn nhất, x  a  2 2 x  x a 4 - Trang 7/17 -  TOÁN THỰC TẾ Vậy để diện tích cửa sổ lớn thì: chiều cao a 2a ; chiều rộng 4 4 Gọi cạnh hình vng bị cắt x (0 < x < a/2) Ta tích hình hộp là: V = x(a - 2x)2 = 4x.(a - 2x)2 Áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho số: 4x, a - 2x, a - 2x > 0, x  4x  a  2x  a  2x  8a 2a  ta có V     4  27 a V lớn 4x = a - 2x  x  27 a - 2x a Vậy để thể tích hộp lớn nhất, cần cắt bốn góc bốn hình vng có cạnh Gọi bán kính hình trụ x (cm) (x > 0), ta có diện tích hai đáy thùng S  2 x V 2V = x x V (trong h chiều cao thùng từ V =  x h ta có h  )  x2 2V Vậy diện tích tồn phần thùng là: S = S1 + S2 = 2x + x Diện tích xung quanh thùng là: S2 =  x h =  x h Để tiết kiệm vật liệu S phải bé Áp dụng Bất đẳng thức Cơsi ta có S = 2( x + Do S bé x = V V V + )  2.33 2x 2x V V x= 2x 2 2R 10 Gọi x chiều dài cạnh song song với bờ giậu y chiều dài cạnh vng góc với bờ giậu, theo ta có x + 2y = a Diện tích miếng đất S = y(a - 2y) S cực đại 2y(a 2y) cực đại Áp dụng Bất đẳng y a2  2y  a  2y  thức Cơsi ta có 2S = 2y(a - 2y)       a a Dấu "=" xảy  2y = a - 2y  y =  x  a a Vậy rào khu đất có diện tích cực đại x  , y  x 11 Gọi x bán kính hình quạt, y độ dài cung tròn Ta có chu vi cánh diều a = 2x + y Ta cần tìm mối liên hệ độ dài cung tròn y bán kính x cho diện tích quạt lớn 2R  R2  Dựa vào cơng thức tính diện tích hình quạt S = độ dài cung tròn   , ta có 360 360 R diện tích hình quạt là: S  y Vận dụng toán này, diện tích cánh diều là: S xy x(a  2x)   2x(a  2x) 2 x x - Trang 8/17 -  TOÁN THỰC TẾ Do S cực đại 2x(a - 2x) cực đại, điều xảy khi: 2x = a - 2x  x  a y Như với chu vi cho trước, diện tích hình quạt cực đại bán kính nửa độ dài cung tròn 12 Sử dụng tổng khơng đổi tích lớn tích khơng đổi tổng nhỏ hai số Ta có cánh đồng phải có dạng hình vng thỗ mãn u cầu tốn 13 Gọi x chiều dài cung tròn phần đĩa xếp làm hình nón Như vậy, bán kính R đĩa đường sinh hình nón vòng tròn đáy hình nón có độ dài x Bán kính r đáy xác định đẳng thức 2 r  x  r  x Chiều cao hình nón tính theo Định lý 2  x2 Pitago là: h = R  r  R  4 2  x  x2 Thể tích khối nón là: V   r H    R  3  2  42 2 r h R Áp dụng Bất đẳng thức Côsi ta có: x2 x2   x2  R    42 x x x2 42  82 82 42 R 2   V  (R  )   82 82 4  27      2 2 x x x R  5,15R Do V cực đại  R2  8 4 Số đo cung x tính độ xấp xỉ 295o cung hình quạt cắt 65o 14 Nếu ta đặt x, y, z chiều cao, chiều rộng chiều dài hộp diêm Với thể tích cố định V, tổng diện tích tất Nắp mặt hộp diêm là: S = 2xy + 3yz + 4xz Để tốn vật liệu S bé Áp dụng Bất đẳng thức Côsi ta có Mặt bên 2 2 S  33 2xy.3yz.4xz  63 3x y z = 3V Do tốn vật liệu 2xy = 3yz = 4xz  x: y: z = 3: 4: Đáy 15 Giả sử Tàu chạy S km T ngày đêm Đầu Khi chi phí R bằng: R = Ta + kTv k hệ số tỉ lệ Mặt bên Sa S T = , nên R = + kS v v v a a Áp dụng Bất đẳng thức Cơsi ta có R = S ( + + kv2 )  S 2v 2v a Suy tốc độ để tàu chạy với chi phí = kv2  v  2v a2k a 2k * Qua lời giải toán thực tiễn ứng dụng Bất đẳng thức Cơsi (từ đến 15) có số vận dụng Bất đẳng thức Côsi trực tiếp khơng khó khăn ta đưa vào giảng dạy thay lồng ghép dạy (như Bài 5, 7, 8, 9, 10, 12) Một số lại việc vận dụng Bất đẳng thức Côsi cần phải biến đổi, dùng đến kỹ thuật dùng làm tập dành cho học sinh giỏi (như Bài 6, 11, 13, 14, 15) Các tốn dùng dạy Bất đẳng thức Mục Bất đẳng thức Côsi Chương trình Đại số 10 THPT - Trang 9/17 -  TOÁN THỰC TẾ 16 Trước hết ta đặt Bài tốn thành hệ bất phương trình Gọi x, y (x, y  N) số xe loại MITSUBISHI, loại FORD cần thuê Từ toán ta hệ bất phương trình 0  x  10 0  y    20 x  10 y  140 0,6 x  1,5y  0  x  10 0  y    (*) x  y  14  2 x  5y  30 y 14 A B Tổng chi phí T(x,y) = 4x + 3y (triệu đồng) Thực chất Bài tốn tìm x, y nguyên I C x không âm thoả mãn hệ (*) cho T(x, y) nhỏ 10 O 15 Bước ta tìm miền nghiệm hệ bất phương trình Miền nghiệm miền tứ giác lồi IABC Ta cần xác định toạ độ (x, y) điểm thuộc miền tứ giác IABC (kể biên) cho T(x, y) = 4x + 3y đạt cực tiểu Xét họ đường thẳng cho phương trình: 4x + 3y = T (T  R) hay y   y x T x  , ta thấy đường thẳng song song với đường thẳng 3 (T  0) Khi T tăng, đường thẳng tịnh tiến song song lên phía Khi T giảm, đường thẳng tịnh tiến song song xuống phía Giá trị nhỏ T đạt đỉnh I tứ giác IABC giao điểm hai đường thẳng 2x + 5y = 30 2x + y = 14 Toạ độ I (xI = 5; yI = 4) Như thuê xe hiệu MITSUBISHI xe hiệu FORD chi phí vận tải thấp 17 Gọi x, y số kg sản phẩm loại I, loại II với x, y  Bài tốn đưa đến tìm x, y thoả mãn hệ bất phương trình : 2x  4y  200 cho L = 40000x + 30000y đạt giá trị lớn  30 x  13 y  1200  Một cách tương đương là, tìm x, y thoả mãn hệ x  y   cho 4x + 3y đạt giá trị lớn  x  y  100  2 x  y  80 y C F 80 Trên Hình vẽ ta ký hiệu C(0; 50), D(40; 0), E(100; 0), 50 I 40 F(0; 80), I giao điểm CE DF Dễ thấy toạ độ I (20; 40), miền nghiệm hệ bất B phương trình miền tứ giác OCID (kể biên) Với L xác định, ta nhận thấy có vô số điểm M(x; y) E x D cho 4x + 3y = L, điểm M nằm đường thẳng O A 20 40 100 AB với A(L/4; 0), B(0; L/3) Hệ số góc đường thẳng AB - 4/3 Cho L lớn dần lớn lên đường thẳng AB "tịnh tiến dần lên" phía Nhìn vào hình vẽ ta nhận thấy rằng: Trong đường thẳng có hệ số góc 4/3, đường thẳng qua I đường thẳng vị trí "cao nhất" có điểm chung với tứ giác OCID Chưa đạt tới vị trí L chưa phải lớn Vượt "ngưỡng" toạ độ điểm đường thẳng không thoả mãn hệ điều kiện ràng buộc Từ dễ dàng đến kết luận x = 20, y = 40 L đạt giá trị lớn 18 Gọi x, y số bánh Đậu xanh, bánh Dẻo (x, y  N) 6x  7y  30000 cho L = 2x + 1,8y lớn 2x  y  5000 Bài tốn trở thành tìm x, y  thoả mãn hệ  - Trang 10/17 -  TOÁN THỰC TẾ x  625 y  3750 Giải tương tự Bài 16, ta có  19 Gọi x, y số bìa cắt theo cách thứ nhất, thứ hai 3x  2y  900  Bài toán đưa đến tìm x, y  thoả mãn hệ x  3y  1000 cho L = x + y nhỏ 6x  y  900  Đáp số: x = 100, y = 300 * Các toán thực tiễn ứng dụng kiến thức Hệ bất phương trình bậc hai ẩn (như Bài 16, 17, 18, 19), việc giải chúng khơng thực khó khăn lắm, vậy, ta chọn hai đưa vào giảng dạy (chẳng hạn, Bài 16 Bài 17) khác (như Bài 18, 19) làm tập cho học sinh dạy Hệ bất phương trình bậc Chương trình Đại số 10 THPT 20 Gọi x (tấn) số cá dự định đánh bắt ngày theo kế hoạch Thời gian đánh bắt theo kế 1800 ngày Số cá đánh bắt ngày bị bão 3(x - 20) Số cá phải đánh x  1800    ngày lại là: 1800 - 3(x - 20) = 1860 - 3x Số cá đánh bắt bắt   x  1860  3x ngày sau bão là: x + 20 Số ngày đánh bắt cá sau bão ngày x  20 1860  3x  1800   3   Theo ta có phương trình:  x  20  x  1800 1860  3x    2x2 + 160x - 36000 =  x x  20 hoạch Giải phương trình ta x = 100 thoả mãn yêu cầu toán Vậy kế hoạch đánh bắt 18 ngày, ngày đoàn tàu phải đánh bắt 100 cá 21 Gọi v, v0 (km/h) vận tốc du thuyền nước đứng yên, vận tốc dòng nước (cũng vận tốc trôi bè gỗ) 20  20   (1) v  v v  v  0 Theo ta có hệ phương trình:   20   12 (2)  v  v v  v0 v0 v Đặt k = (k  0) suy v = kv0 thay vào (2) ta phương trình: 3k2 - 7k = suy k = 7/3, v0 Thay v = v vào phương trình (2) ta kết v = 7km/h, v0 = 3km/h Đáp số: Vận tốc thuyền xi dòng 10km/h; vận tốc dòng nước 3km/h 22 Gọi x (Đồng) số tiền mà người dự định đóng góp cho chuyến Du lịch Sinh thái Suy x + 30000 (Đồng) số tiền mà người đóng góp Gọi y (người) số người dự định lúc đầu, suy y - (người) số người tham gia chuyến du lịch Điều kiện y  N, y > Chi phí dự kiến chuyến du lịch chi phí ghi hợp đồng xy (Đồng) chi phí thực tế người tham gia đóng góp là: (x + 30000)(y - 2) Ta có phương trình xy = (x + 30000)(y - 2) (1), với điều kiện 700  xy  750000 (2) Từ (1) suy xy = xy - 2x + 30000y - 60000  x = 15000y - 30000 (3) Thay (3) vào (2) suy 700  y(15000y - 30000)  750000 - Trang 11/17 -  TOÁN THỰC TẾ  15000y  30000 y  700000   3y  6y  140    2 Ta hệ  15000 y  30000 y  750000    3y  y  150  y  y     429  459   y  3 Do y  N suy y = từ suy x =15000.8 - 30000 = 90000 Đáp số: Số người lúc đầu dự định Du lịch người Mỗi người dự kiến đóng góp 90000 đồng Chi phí chuyến Du lịch Sinh thái 720000 đồng 23 Gọi x (giờ), y (giờ) thời gian người thứ nhất, người thứ hai làm 18 Số cơng việc người thứ làm x x 13 y   3x 3y  18  Số công việc người thứ hai làm Khi ta có hệ:  y 1    x y 18 x  x  Giải hệ đối xứng loại I ta hai nghiệm   y  y  xong công việc Đổi 36 phút Đáp số: Người thứ giờ, người thứ hai người thứ giờ, người thứ hai 24 Gọi x (km/phút) vận tốc ôtô, y (km/phút) vận tốc xe đạp Theo ta nhận thấy chuyển động ôtô từ A đến chỗ gặp lần thứ hai trường hợp số thời gian chuyển động ôtô từ chỗ gặp lần thứ đến B hai trường hợp thời gian Ta tính thời gian trường hợp Sau gặp xe đạp lần thứ nhất, ôtô chạy thêm phút theo chiều đến B Trên đường ngược lại tới chỗ gặp lần thứ cần phút Trong thời gian xe đạp 6y km tính từ chỗ gặp lần 6y xy 6y phút Trên đường ngược lại từ chỗ gặp lần thứ hai tới chỗ gặp lần thứ bị xy 6y 12 y phút, nghĩa + + =6+ phút xy xy 15 15 y y 60y 7  Lý luận tương tự ta được: 1+1+ = 2+ phút 15 15 x  15 y x y x y 7 60y 12 y Hai thời gian ta phương trình: + =2 + 7x  15y xy thứ Ơtơ để gặp xe đạp lần thứ hai với vận tốc chênh lệch (x - y) km/phút cần thời gian Bài tốn dẫn đến phương trình bậc hai: 7x - 16xy - 15y2 = x Đặt t = (tỉ số vận tốc ôtô xe đạp) Giải phương trình ta t = thoả mãn y xe đạp (gặp lần 2) Ơtơ D    C A B (gặp lần 1) - Trang 12/17 -  TOÁN THỰC TẾ * Các Bài 20, 21, 22, 23, 24 tập điển hình vận dụng kiến thức Phương trình, Bất phương trình, Hệ phương trình, Hệ bất phương trình bậc hai đặc biệt vận dụng phương pháp giải toán Hệ đối xứng loại I, Phương trình bậc hai Vì Bài 22 dùng dạy Sơ lược hệ bất phương trình bậc hai, Bài 21, 23 dùng dạy Hệ phương trình bậc hai, Bài 20, 24 dùng dạy Phương trình bậc hai Chương trình Đại số 10 THPT 25 Từ ngày tháng đến ngày tháng số ngày có là: 31 + 28 + 31 + 30 = 120 (ngày) Số tiền bỏ ống An ngày tăng theo cấp số cộng với công sai 100 đồng Do tổng số tiền có An đến ngày tháng là: 120 120 121.100 (2.100  (120  1)100)   726000 đồng 2 Vậy An có đủ tiền mua q sinh nhật cho 26 Nếu người làm vườn có x Xồi người khách hàng thứ mua: x x1 x1 x1   )  quả; người thứ mua: (x  quả; người khách hàng 2 2 2 22 x 1 x 1 x 1 x 1  )   quả; người khách hàng thứ mua: thứ mua: (x  2 2 2 x 1 x 1 x 1     x 2 27 1  (x  1)(    )  x (1) 2 Ta có phương trình: Tính tổng số hạng cấp số nhân ngoặc: Do phương trình (1)  (x  1) 1 1     2 2  127 128 1 127  x  x = 127 128 Vậy bác nơng dân thu hoạch 127 Xồi đầu mùa * Hai tốn điển hình việc vận dụng cấp số để giải toán thực tiễn phù hợp dạy học Cấp số cộng, Cấp số nhân Chương trình Đại số Giải tích 11 THPT 12 12  2500   25  27 a) Gọi x tỷ lệ phải tìm, ta có phương trình: x       , suy  2200   22  lg x  12(lg 25  lg12) Áp dụng Bảng số tính lơgarit máy tính ta có x  4,6 Một bóng đèn có sáng gấp lần bóng đèn chân khơng Suy rằng, bóng đèn chân khơng có độ sáng 50 nến bóng chứa đầy có độ sáng 50x4,6 = 230 nến b) Gọi y phần trăm phải tăng nhiệt độ tuyệt đối Ta có phương trình 12 y lg y   ) , ta tính y  6% 1     lg(1  100  100 12  c) Dùng lơgarit số 10 từ x = (1,01)12, suy lgx = 12lg(1,01), ta tính x  1,13 nghĩa độ sáng tăng 13% Tương tự với tăng nhiệt dây tóc 2%, ta tính mức tăng độ chiếu sáng 27%, tăng nhiệt độ lên 3% mức tăng độ chiếu sáng 43% Chính mà kỷ nghệ làm bóng đèn điện người ta nghiên cứu làm tăng nhiệt độ dây tóc * Bài tốn thể vai trò quan trọng việc ứng dụng Lơgarit để tính tốn thực tế, tính tốn với số mũ lớn, có thức bậc lớn Bài dùng dạy học Hàm số lơgarit Chương trình Đại số Giải tích 11 THPT - Trang 13/17 -  TỐN THỰC TẾ 28 Với tốn ta cần xác định OA để góc BOC lớn Điều xảy tgBOC lớn Đặt OA = x (m) với x > 0, ta có tgBOC = tg(AOC - AOB) = tgAOC  tgAOB =  tgAOC.tgAOB C 1,4 AC AB 1,4  1,4x x = OA OA = = 3,2.1,8 AC.AB x  5,76  1 2 x OA 1,4x Xét hàm số f(x) = x  5,76 B 1,8 x A O Bài tốn trở thành tìm x > để f(x) đạt giá trị lớn Ta có f'(x) =  1,4x  1,4.5,76 , f'(x) =  x =  2,4 (x  5,76) Ta có bảng biến thiên: x 2,4 + f'(x) + _ f(x) 0 Vậy vị trí đứng cho góc nhìn lớn cách ảnh 2,4m 29 Gọi t thời gian vận chuyển hàng hóa từ cảng A đến cảng D Thời gian t là: t = AC CD AE  CE CD =   v1 v2 v1 v2 D h h  h A C B  E   h cot g h tg =   sin  = v1 v sin  v1 v2   h cot g h Xét hàm số t ()  Ứng dụng Đạo  v1 v sin  v v hàm ta t () nhỏ cos   Vậy để t nhỏ ta chọn C cho cos   v1 v1 30 Gọi x, y chiều rộng, chiều dài miếng phụ Hình vẽ Gọi d đường kính khúc gỗ, ta có tiết diện ngang xà có cạnh d(2  ) d d < x < ,0 0) chiều rộng, chiều dài đáy hố ga h x V V  suy h  kx (1), V  hxy  y  (2) hx kx Gọi h chiều cao hố ga (h > 0) Ta có k  h x Diện tích toàn phần hố ga là:  2xh  h S = 2xh + 2yh + xy y V V  x kx kx kết hợp (1) (2) ta suy ( k  1)V Áp dụng Đạo hàm ta có S nhỏ x  kx kV k( k  1)V Khi y  , h3 ( k  1) S  kx  k 1 V 2k 33 Tại thời điểm t sau xuất phát, khoảng cách hai tàu d Ta có d2 = AB12 + AA12 = (5 - BB1)2 + AA12 = (5 - 7.t)2 + (6t)2 Suy d = d(t) = 85t  70t  25 Áp dụng Đạo hàm ta d nhỏ t  (giờ), ta có d  3,25 Hải lý 17 A  B1  B  d A1  - Trang 15/17 -  TOÁN THỰC TẾ   34 Giả sử hướng thuyền, hướng dòng nước chảy theo véctơ vận tốc v t , v n Hình vẽ Gọi góc hai véctơ vận tốc thuyền dòng nước  , y độ dời thuyền dòng nước chảy, b khoảng cách hai bờ sông, ký hiệu x, h, z,  , A, B, C, D, E, B1, K hình vẽ Ta có h.vn = vt.vn.sin  (vì diện tích hình bình hành ACDE) Suy h = vt sin  Do  +  = 1800 (tổng hai góc phía), suy z = - vtcos   x = - (-vtcos  )  x = + vtcos  (x = CD - z) x h  (Do KD // BB1) y b b( v n  v t cos ) bx suy y   h v t sin  Xét hàm số y()  b(cot g  ) v t sin  Mặt khác ta có y B b C z K x h v Ứng dụng Đạo hàm ta có y nhỏ cos    t B1 D E A T  35 Giả sử người cứu hộ vị trí C, cần cứu người vị trí T Anh ta chọn điểm O điểm xuống hồ Với ký hiệu hình vẽ bên ta có thời gian t người cứu hộ là: x h CO OT    v u v h2 (  x )  h với  x   u sin  v  Ứng dụng Đạo hàm ta có t nhỏ sin  u t 2 2 D C x  O  A h1 B 36 Gọi x, y chiều rộng, chiều cao mương Theo ta có: S = xy;   2y  x  2S 2S  x Xét hàm số (x)   x x x  2S x  2S S Ta có  (x) = +1= =  x  2S   x  2S , y = 2 x x S Vậy kích thước mương x  2S , y = mương có dạng thuỷ động học ' 37 Gọi h khoảng cách tính từ mặt đất đến đầu cánh tay Cần cẩu (0 < h < H) Các ký hiệu  , A, B, C, E hình vẽ Khi cánh tay cần cẩu AC là: Hh  với <  < 90o  sin  cos   cos  sin  ' Ta có L (  ) = (H-h) + sin  cos  Hh H-h  tg α = L' (  ) =  tg3   1 Khi cos  = sin  = , , 2 H  h      3   1   1  H  h     H C B AC  L()  A  E h - Trang 16/17 -  TOÁN THỰC TẾ Dễ thấy với  AC AC = (H - h) Hh   1         1 +  Hh Vậy độ dài cánh tay nâng phải AC = (H - h)      1 +  H  h   Hh   1    38 Gọi h độ cao đèn so với mặt bàn (h > 0) Các ký h 2 hiệu r, M, N, Đ, I hình vẽ Ta có sin   h  r  a , r r  a2 (r  a ) suy cường độ sáng là: C  C(r )  k r3 Ứng dụng đạo hàm ta có C lớn r  a a Khi h  Đ r I N đường 1km phần thứ hai M a 39 Gọi x (km/h) vận tốc tàu Thời gian tàu chạy quảng đường 1km tiền nhiên liệu cho phần thứ h (giờ) Chi phí x 480 480  (ngàn Đồng) Tại v = 10 km/h chi phí cho quảng x x 30 = (ngàn đồng) Xét vận tốc x(km/h): gọi y (ngàn Đồng) 10 chi phí cho quảng đường 1km vận tốc x, ta có y = kx3, = k103 (k hệ số tỉ lệ chi phí 1km y x đường phần thứ hai lập phương vận tốc), suy     y  0,003x Vậy tổng  10  480  0,003 x Áp dụng Đạo hàm ta có chi chi phí tiền nhiên liệu cho 1km đường p  p(x)  x phí p nhỏ tàu chạy với vận tốc x = 20 (km/h) * Công cụ Đạo hàm dùng hiệu việc giải toán cực trị Các tốn cực trị giải phương pháp dùng Bất đẳng thức Côsi, nhiên toán (các Bài từ 28 đến 38) việc sử dụng Bất đẳng thức Côsi gặp nhiều khó khăn, điều thể rằng, chủ đề Đạo hàm có nhiều tiềm việc khai thác tốn có nội dung thực tiễn Các mức độ vừa phải (như Bài 30, 32, 33, 37, 38) đưa vào dạy học lớp, có mức độ nâng cao (như Bài 28, 29, 35, 36) dùng làm tập cho học sinh, khó (như Bài 31, 34) dùng cho học sinh giỏi dạy học Cực đại cực tiểu, Giá trị lớn nhỏ hàm số Chương trình Giải tích 12 THPT HỌC LÀ ĐỂ THỰC HIỆN ƢỚC MƠ, TƢ DUY THAY ĐỔI SỐ PHẬN THAY ĐỔI - Trang 17/17 -