Các bài toán thực tế về hàm đặc trưng nguyễn bá hoàng

Biên soạn : Nguyễn Bá Hoàng_ĐT : 0936.407.353 MỖI THÁNG MỘT CHỦ ĐỀ Bài toán thực tế hàm đặc trưng Thanh Hóa, tháng 05, năm 2017 1|Page Facebook : Hội toán Bắc Nam Biên soạn : Nguyễn Bá Hoàng_ĐT : 0936.407.353 2|Page Facebook : Hội toán Bắc Nam Biên soạn : Nguyễn Bá Hoàng_ĐT : 0936.407.353 Các toán thực tế hàm đặc trưng A Nội dung kiến thức Thông thường toán thực tế liên quan đến hàm đặc trưng quy toán yêu cầu bạn đọc tìm giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số miền, hay đơn giản tính giá trị hàm số điểm Về cách tìm giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số miền cách khảo sát biến thiên hàm số tác giả xin không nhắc lại! Tác giả cung cấp thêm cho bạn đọc số công thức sau :  Cho hàm số y  ax  bx  c, a  hàm số cho đạt giá trị nhỏ x b 2a Chứng minh Xét hàm số f ( x)  ax  bx  c với a  Ta có : f '( x)  2ax  b; f '( x)   2ax  b   x   b 2a Bảng biến thiên : x    f '( x) b 2a     f ( x) b  4ac 4a Từ bảng biến thiên ta suy hàm số f ( x)  ax2  bx  c với a  đạt giá trị nhỏ b 2a Cho hàm số y  ax  bx  c, a  hàm số cho đạt giá trị lớn x    b 2a Chứng minh : Xin để lại cho bạn đọc ! x  ( a  b) Đẳng thức xảy a  b Chứng minh Với a, b số thực dương ta có: ab  Theo bất đẳng thức AM-GM ta có : 3|Page ab  ab Facebook : Hội toán Bắc Nam Biên soạn : Nguyễn Bá Hoàng_ĐT : 0936.407.353 ( a  b)  ab  Bình phương hai vế ta có : ab     ab    Đẳng thức xảy : a  b  ( a  b  c )3 Đẳng thức xảy a  b  c 27 Chứng minh Với a, b, c số thực dương ta có: abc  Theo bất đẳng thức AM-GM ta có : abc  abc (a  b  c )  abc  Lập phương hai vế ta có : abc     abc  27   Đẳng thức xảy : a  b  c 4|Page Facebook : Hội toán Bắc Nam Biên soạn : Nguyễn Bá Hoàng_ĐT : 0936.407.353 B Ví dụ minh họa Ví dụ Người ta tiêm loại thuốc vào mạch máu cánh tay phải bệnh nhân Sau thời gian 0, 28t t giờ, nồng độ thuốc mạch máu bệnh nhân cho công thức C (t )  với  t  24 t 4 Hỏi sau kể từ tiêm nồng độ thuốc mạch máu bệnh nhân lớn nhất? A 12 Ta có : C '(t )  B 0, 28   t t Suy : C '(t )    4 2   4 D Lời giải 0, 28   t  t C  2   0, 28   t    t   2 Nhận xét : Ta cần tìm giá trị lớn C (t ) khoảng (0;24) , mà C '(t )   t  2 nên ta suy C (t ) lớn (0;24) t  Tức sau kể từ tiêm nồng độ thuốc mách máu lớn Đáp án D 26t  10 t 5 (nghìn người) Đạo hàm hàm số f (t ) biểu thị tốc độ tăng trưởng dân số thị trấn (tính Ví dụ Dân số thị trấn sau t năm kể từ năm 1970 ước tính công thức f (t )  nghìn người/năm) Hỏi vào năm tốc độ tăng dân số 0,048 nghìn người/năm? A Năm 2014 B Năm 2016 C Năm 2015 D Năm 2017 Lời giải Ta có : f '(t )  120 (t  5) Để tốc độ tăng trưởng dân số 0,048 nghìn người/năm : f '(t )  0,048 Suy : 120  0, 048  (t  5)  2500  t   50  t  45 (t  5)2 Như sau 45 năm kể từ năm 1970 tức năm 2015 tốc độ tăng trưởng dân số 0,048 nghìn người/năm Đáp án C Ví dụ Một công ty chuyên sản xuất đĩa CD với chi phí đĩa 40 (nghìn đồng) Theo nghiên cứu đĩa bán với giá x (nghìn đồng) số lượng đĩa bán q( x)  120  x , ( x  * ) Hãy xác định giá bán đĩa cho lợi nhuận mà công ty thu cao nhất? A 60 nghìn đồng 5|Page B 70 nghìn đồng C 80 nghìn đồng D 90 nghìn đồng Facebook : Hội toán Bắc Nam Biên soạn : Nguyễn Bá Hoàng_ĐT : 0936.407.353 Lời giải Chi phí mà công ty bỏ để sản xuất đĩa : q( x).40  (120  x).40  4800  40x (nghìn đồng) Số tiền mà công ty thu từ việc bán đĩa : x.q( x)  x.(120  x)  120 x  x (nghìn đồng) Lợi nhuận công ty thu từ việc bán đĩa : f ( x)  (120 x  x2 )  (4800  40 x)   x  160 x  4800 (nghìn đồng) Bài toán trở thành tìm giá trị lớn hàm số f ( x) (0;120) Nhận thấy hàm số dạng ax  bx  c với a  nên đạt giá trị lớn b 160 x   Suy x    80 hàm số f ( x)   x  160 x  4800 đạt giá trị lớn 2a 2.(1) , mà  80  120 nên x  80 hàm số f ( x)   x  160 x  4800 đạt giá trị lớn (0;120) Đáp án C Ví dụ Công ty A chuyên sản xuất loại sản phẩm ước tính với q sản phẩm sản xuất tháng tổng chi phí C (q)  3q  72q  9789 (đơn vị tiền tệ) Giá sản phẩm công ty bán với giá R(q)  180  3q Hãy xác định số sản phẩm công ty A cần sản xuất tháng (giả sử công ty bán hết số sản phẩm mà làm ra) để thu lợi nhuận cao ? A sản phẩm B sản phẩm C 10 sản phẩm D 11 sản phẩm Lời giải Ta có : R(q)   180  3q   q  60 Suy :  q  60 Số tiền mà công ty A thu từ việc bán sản phẩm : q.R(q)  q.(180  3q)  180q  3q Lợi nhuận mà công ty thu : f (q)  (180q  3q )  (3q  72q  9789)  6q  108q  9789 Ta cần tìm q để f (q) đạt giá trị lớn (0;60) Ta thấy f (q)  6q 108q  9789 hàm số bậc hai có hệ số x nhỏ nên x 108  hàm số f (q) đạt giá trị lớn 2.(6) , mà   60 nên x  hàm số f ( x) đạt giá trị lớn (0;60) Đáp án B Ví dụ Một khách sạn có 50 phòng, người ta tính phòng cho thuê với giá 400 nghìn đồng ngày tất phòng hết Biết lần tăng giá thêm 20 nghìn đồng có thêm phòng trống Hỏi người quản lý phải định giá phòng để thu nhập khách sạn ngày lớn ? A 440 nghìn đồng 6|Page B 450 nghìn đồng C 430 nghìn đồng D 460 nghìn đồng Facebook : Hội toán Bắc Nam Biên soạn : Nguyễn Bá Hoàng_ĐT : 0936.407.353 Lời giải Gọi x (nghìn đồng) giá phòng khách sạn ( x  400) Giá chênh lêch sau tăng : x  400 (nghìn đồng) x  400 x  400  Số phòng trống lúc : (phòng) 20 10 x  400 900  x  Số phòng cho thuê : 50  (phòng) 10 10  900  x   x  900 x Số tiền phòng thu : f ( x)  x  (nghìn đồng)   10  10  900 Ta cần tìm x  400 cho f ( x) đạt giá trị lớn Dễ thấy x    450 f ( x) lớn 2.(1) Đáp án B Ví dụ Nhiệt độ người bệnh cho công thức T (t )  0,1t  1, 2t  98,6 với  t  11 Trong T nhiệt độ (  F ) theo thời gian t (giờ) kể từ lúc bắt đầu bị bệnh Hỏi độ chênh lệch nhiệt độ nhiệt độ lớn nhỏ vòng 11 kể từ lúc mắc bệnh  (tính theo C ), biết C  A 3, C  F  32 1,8  B C C 2, C D 2,5 C Lời giải Ta có : T '(t )  0, 2t  1, Suy : T '(t )   0, 2t  1,   t  T (0)  98, 6 F min T (t )  T (0)  98, 6 F  39 C   t0;11 Ta thấy : T (6)  102, 2 F     T (11)  99, 7 F max T (t )  T (6)  102, F  37 C  t0;11  Độ chênh lệch nhiệt độ nhiệt độ lớn nhỏ vòng 11 kể từ lúc mắc bệnh : 39  37  ( C ) Đáp án B Ví dụ Các khí thải gây hiệu ứng nhà kính nguyên nhân chủ yếu làm Trái đất nóng lên Theo OECD (Tổ chức Hợp tác Phát triển kinh tế giới), nhiệt độ trái đất tăng lên tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm Người ta ước tính rằng, nhiệt độ trái đất tăng thêm 2 C tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm 3%; nhiệt độ trái đất tăng thêm 5 C tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm 10% Biết nhiệt độ trái đất tăng thêm t C , tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm f (t )% f (t )  k.at , k a số dương Hỏi nhiệt độ Trái đất tăng thêm  C (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất) tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm đến 20% ? A 8, C B 9,3 C C 7, C D 6, C Lời giải 7|Page Facebook : Hội toán Bắc Nam Biên soạn : Nguyễn Bá Hoàng_ĐT : 0936.407.353   f (2)  10 10 k a  Ta có :    a3  a 3 k a  10   f (5)  10  Ta suy : k  Do : f (t )  k a t  a2 10 t a với a  3 a Ta cần tìm t để f (t )  20 , hay : k.at  20 Suy : t  log a 20 20a  log a  6, ( C ) k Đáp án D Ví dụ Một công ty chuyên sản xuất kim cương, theo nghiên cứu viên kim cương giá x (nghìn USD) lợi nhuận thu từ việc bán viên kim cương q( x)  x (6  x) (nghìn USD) 16 Hỏi bán viên kim cương công ty thu nhiều tiền lãi, biết giá bán viên kim cương công ty sản xuất không vượt 6000 USD A 500 USD B 1000 USD C 1500 USD D 2000 USD Lời giải Ta cần tìm giá trị lớn hàm số q( x)  x (6  x)  0;6 16 Theo bất đẳng thức AM-GM ta có : x x    (6  x)   1 x x  2  q( x)  x (6  x)   (6  x)    16 2 27  63  q ( x)   q ( x)  27 x  6 x  x  Như bán viên kim cương công ty thu nhiều 2000 USD tiền Đẳng thức xảy : lãi Đáp án D Ví dụ Khi nuôi cá hồ, nhà sinh vật học thấy đơn vị diện tích mặt hồ có n cá trung bình sau vụ cá nặng P(n)  480  20n (gam) Hỏi phải thả cá đơn vị diện tích mặt hồ để sau vụ thu hoạch nhiều cá nhất, biết đơn vị diện tích mặt hồ không thả nhiều 23 cá ? A Thả B Thả 12 C Thả 20 D Thả 23 Lời giải Khối lượng cá thu sau vụ : f ( x)  n.P(n)  n.(480  20n) (gam) Ta cần tìm giá trị lớn hàm số f ( x)  n(480  20n)  0;23 8|Page Facebook : Hội toán Bắc Nam Biên soạn : Nguyễn Bá Hoàng_ĐT : 0936.407.353 Cách : Theo bất đẳng thức AM-GM ta có : 1  20n  (480  20n) f (n)  n(480  20n)   20n.(480  20n)   20 20 480  f ( n)   f (n)  2880 (gam) 20 Đẳng thức xảy : 20n  480  20n  n  12 Như phải thả 12 cá đơn vị diện tích mặt hồ để sau vụ thu hoạch nhiều cá Đáp án B Cách : Ta có : f (n)  n(480  20n)  20n2  480n Hàm số f (n) hàm số bậc hai có hệ số n bé nên x   hàm số f (n) đạt giá trị lớn 480 hay x  12 2.(20) , mà  12  23 nên x  12 f (n) đạt giá trị lớn  0;23 Đáp án B Ví dụ 10 Cường độ trận động đất cho công thức M  log A  log A0 , với A biên độ rung chấn tối đa A0 số Đầu kỷ 20, trận động đất San Francisco có cường độ đo độ Richter Trong năm đó, trận động đất khác Nhật Bản có cường độ đo độ Richter Hỏi trận động đất San Francisco có biên độ gấp lần biên độ trận động đất Nhật Bản ? A 1000 lần B 10 lần C lần D 100 lần Lời giải Gọi A biên độ trận động đất San Francisco B biên độ trận động đất Nhật Bản A  log A  log A0   log A   Ta có :  log B  log A   log B   A0 Suy : log  A B A B A A  log    log  :    log    102  100 A0 A0 B B  A0 A0  Đáp án D Ví dụ 11 Người ta quy ước log x giá trị log10 x Trong lĩnh vực kỹ thuật, log x sử dụng nhiều, đỗi với toán học, người ta sử dụng log x để tìm xem số nguyên dương có chữ số Ví dụ số A có n chữ số n  log A  với  log A số nguyên lớn không vượt A Hỏi 20172017 có chữ số ? A 9999 chữ số 9|Page B 6666 chữ số C 6665 chữ số D 6699 chữ số Facebook : Hội toán Bắc Nam Biên soạn : Nguyễn Bá Hoàng_ĐT : 0936.407.353 Lời giải Giả sử số 2017 2017 có n chữ số, ta có : n  log 20172017    2017 log 2017   6666 (chữ số) C Bài tập đề nghị Bài Bài Bài Bài Bài Một hàng bán sản phẩm với giá 10 USD Với giá bán này, hàng bán khoảng 25 phản phẩm Cửa hàng dự định giảm giá bán, ước tính giảm USD số sản phảm tăng lên 25 sản phẩm Xác định giá bán để hàng thu lợi nhuận nhiều nhất, biết giá mua sản phẩm USD 67 65 63 61 A USD B USD C USD D USD 8 8 Một công ty du lịch dự định tổ chức tua xuyên Việt Coobg ty dự định giá tua triệu đồng có khoảng 150 người tham gia Để kích thích người tham gia, công ty định giảm giá lần giảm giá tua 100 nghìn đồng có thêm 20 người tham gia Hỏi công ty phải bán giá tua để doanh thu từ tua xuyên Việt lớn ? A 1875000 đồng B 1375000 đồng C 1675000 đồng D 1475000 đồng Chi phí nhiên liệu tàu chia làm hai phần Trong phần thứ không phụ thuộc vào vận tốc 480 nghìn đồng/giờ Phần thứ hai tỉ lệ thuận với vận tốc, v  10 km/h phần thứ hai 30 nghìn đồng/giờ Hãy xác định vận tốc tàu để tổng chi phí nguyên liệu km đường nhỏ ? A 25 km/h B 15 km/h C 20 km/h D 30 km/h  t4  Thể tích nước bể bơi sau t phút bơm tính theo công thức V (t )   30t   100  4 với  t  90 Tốc độ bơm nước thời điểm t tính bới f (t )  V '(t ) Tìm khẳng định khẳng định sau : A Tốc độ bơm giảm từ phút 60 đến phút 90 B Tốc độ bơm tăng từ lúc bắt đầu bơm đến phút 75 C Tốc độ bơm giảm D Tốc độ bơm tăng Biết mối quan hệ nhu cầu thị trường sản lượn gạo doanh nghiệp cho theo hàm Q  656  P , Q lượng gạo mà thị trường cần P giá bán 10 | P a g e Facebook : Hội toán Bắc Nam Biên soạn : Nguyễn Bá Hoàng_ĐT : 0936.407.353 gạo Bài Bài Bài Lại biết chi phí cho việc sản xuất cho theo hàm C (Q)  Q  77Q  1000Q  100 , C chi phí doanh nghiệp bỏ ra, Q (tấn) lượng gạo sản xuất đơn vị thời gian Để có lợi nhuận cao doanh nghiệp cần sản xuất lượng gạo gần với giá trị sau ? A 51 B 52 C D Một doanh nghiệp sản xuất bán loại sản phẩm với giá 45 nghìn đồng cho sản phẩm, với giá bán khách hàng mua 60 sản phẩm tháng Doanh nghiệp dự định tăng giá bán họ ước tính tăng giá bán lên nghìn đồng tháng bán sản phẩm Biết chi phí sản xuất sản phẩm 27 nghìn đồng Hỏi doanh nghiệp phải bán với giá để lợi nhuận thu lớn A 46 nghìn đồng B 47 nghìn đồng C 48 nghìn đồng D 49 nghìn đồng Trong giai đoạn từ năm 1980 đến năm 1984, tỉ lệ phần trăm hộ gia đình Mỹ có 75 đầu máy video (VCR) mô hình hóa hàm số sau : V (t )  ,  74.e0,6t t thời gian tính năm (0  t  14) Hỏi thời điểm mà số VCR tăng nhanh gần với năm năm sau : A Năm 1994 B Năm 1990 C Năm 1989 D Năm 1987 Người ta tiêm loại thuốc vào mạch máu cánh tay bệnh nhân Sau t giờ, nồng độ thuốc mạch máu bệnh nhân cho công thức C (t )  100  e0,4t  e0,6 t  với  t  24 Hỏi sau nồng độ thuốc mạch máu bệnh nhân lớn (làm tròn đến giờ) A 12 B C D 1000 Bài Sự sản sinh virut Zika ngày thứ t có số lượng N (t ) , biết N '(t )  lúc đầu đám  0,5t virut có số lượng 250000 Tính số lượng virut sau 10 ngày (làm tròn đến hàng đơn vị) A 264334 B 257167 C 258959 D 253584 Bài 10 Các loài xanh trình quang học nhận lượng nhỏ cacbon 14 (một đồng vị cacbon) Khi phận bị chết tượng quang hợp ngưng không nhận thên cacbon 14 Lượng cacbon 14 phận phân hủy cách chậm chạp, chuyển hóa thành nitơ 14 Gọi P(t ) số phần trăn cacbon lại phận sinh trưởng từ t năm trước P(t ) cho công thức : t P(t )  100.(0,5) 5750 (%) Phân tích mẫu gỗ từ công trình kiến trúc cổ, người ta thấy lượng cacbon 14 lại mẫu gỗ 65, 21% Hãy xác định niên đại cuả công trình kiến trúc (làm tròn đến năm) A 3574 năm B 3754 năm C 3475 năm D 3547 năm Bài 11 Một công ty bất động sản có 50 hộ cho thuê Biết cho thuê hộ với giá 2000000 đồng hộ có người thuê, tăng giá cho thuê hộ 100000 đồng tháng có hộ bị bỏ trống Hỏi muốn có thu nhập cao công ty phải cho thuê hộ với giá tiền tháng 11 | P a g e Facebook : Hội toán Bắc Nam Biên soạn : Nguyễn Bá Hoàng_ĐT : 0936.407.353 A 2225000 đồng B 2100000 đồng C 2200000 đồng D 2250000 đồng Bài 12 Một giáo viên luyện thi Đại học đau đầu việc thi cử thay đổi liên tục, cộng với việc lương thấp không đảm bảo sống nên phân vân có nên tạm thời gác lại niềm đam mê chuyển hẳn sang kinh doanh trà sữa Trân Châu hay không Sau nhờ người nghiên cứu thị trường thu kết sau: bán với giá 40000 đồng cốc tháng trung bình bán 2000 cốc, từ mức giá 40000 đồng mà tăng 1000 đồng bán 100 cốc Biết chi phí nguyên vật liệu để pha cốc trà sữa không thay đổi 28000 đồng Hỏi phải bán cốc trà sữa với giá để thu lợi nhuận tối đa? A 40000 đồng B 42000 đồng C 44000 đồng D 49000 đồng t  T Bài 13 Sự phân rã chất phóng xạ biểu diễn công thức m(t )  m0   , 2 m0 khối lượng ban đầu chất phóng xạ (tại thời điểm t  0) ; T chu kỳ bán rã (tức khoảng thời gian để khối lượng chất phóng xạ bị biến thành chất khác) Chu kỳ bán rã 14 C khoảng 5730 năm Người ta tìm mẫu đồ cổ lượng cacbon xác 14 định khoảng 25 % lượng C ban đầu Hỏi mẫu đồ cổ khoảng năm tuổi ? A 2378 năm B 2300 năm C 2387 năm D 2400 năm Bài 14 Một sóng âm truyền không khí với mức cường độ âm tính theo công thức  I  w L(dB)  10.log   , I  1012 cường độ âm chuẩn Mức cường độ âm m  I0  điểm M điểm N 40 dB 80 dB Cường độ âm N lớn cường độ âm M lần ? A 10000 lần B 1000 lần C 40 lần D lần Bài 15 Số lượng loại vi khuẩn phòng thí nghiệm tính theo công thức s(t )  s(0).2t , s(0) số lượng vi khuẩn lúc ban đầu, s(t ) số lượng vi khuẩn sau t phút Biết sau phút số lượng vi khuẩn 625 nghìn Hỏi sau kể từ lúc bắt đầu, số lượng vi khuẩn 10 triệu ? A 48 phút B 19 phút C phút D 12 phút Bài 16 Một chuyến xe buýt có sức chứa tối đa 50 hành khách Nếu chuyến xe buýt chở x hành s   khách giá tiền cho hành khách 20    nghìn đồng Khẳng định : 40   A Một chuyến xe buýt thu số tiền nhiều 3200000 đồng B Một chuyến xe buýt thu số tiền nhiều chở 45 hành khách C Một chuyến xe buýt thu số tiền nhiều 2700000 đồng D Một chuyến xe buýt thu nhiều chở 50 hành khách 12 | P a g e Facebook : Hội toán Bắc Nam Biên soạn : Nguyễn Bá Hoàng_ĐT : 0936.407.353 Bài 17 Độ giảm huyết áp bệnh nhân xác định công thức G( x)  0,024 x (30  x) , x (mg) liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân cao huyết áp Tìm lượng thuốc để tiêm cho bệnh nhân cao huyết áp để huyết áp giảm nhiều A 20 mg B 0,5 mg C 2,8 mg D 15 mg 226 Bài 18 Cho biết chu kì bán rã chất phóng xạ radi Ra 1602 năm (tức lượng Ra226 sau 1602 năm phân hủy lại nửa) Sự phân hủy tính theo công thức S  A.ert , A lượng chất phóng xạ ban đầu, r (r  0) tỉ lệ phân hủy hàng năm, t thời gian phân hủy, S lượng lại sau thời gian phân hủy Hỏi gam Ra226 sau 4000 năm phân hủy lại gam (làm tròn đến chữ số phần thập phân)? A 0,923 gam B 0,886 gam C 1,023 gam D 0,795 gam Bài 19 Sự tăng trưởng loại vi khuẩn tuân theo công thức S  A.e , A số lượng vi khuẩn ban đầu, r tỉ lệ tăng trưởng (r  0) , t thời gian tăng trưởng Biết số vi khuẩn ban đầu 100 sau có 300 Thời gian để vi khuẩn tăng gấp đôi số ban đầu gần với kết kết sau : A phút B 10 phút C 40 phút D phút Bài 20 Người ta thả bèo vào hồ nước Giả sử sau giờ, bèo sinh sôi kín mặt hồ Biết sau giờ, lượng bèo tăng gấp 10 lần lượng bèo trước tốc độ tăng không đổi Hỏi sau số bèo phủ kín hồ? 109 A B C  log D log rt Bài 21 Vi khuẩn HP (Helicobacter pylori) gây đau dày ngày thứ t với số lượng F (t ) , biết phát sớm số lượng không vượt 4000 bệnh nhân cứu chữa 1000 Biết F (t )  ban đầu bệnh nhân có 2000 vi khuẩn Sau 15 ngày bệnh nhân phát 2t  bị bệnh Hỏi có vi khuẩn dày (lấy xấp xỉ hàng thập phân thứ hai) bệnh nhân có cứu chữa không? A 5433,99 không cứu B 1499,45 cứu C 283,01 cứu D 3716,99 cứu Bài 22 Cường độ trận động đất M (richter) cho công thức M  log A  log A0 , với A biên độ rung chấn A biên độ chuẩn (hằng số) Đầu kỷ 20, trận động đất San Francisco có cường độ 8,3 độ Richter Trong năm đó, trận động đất khác Nam Mỹ có biên độ mạnh gấp lần Cường độ trận động đất Nam Mỹ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất) A 33, B 11 C 8,9 D 2,1 Bài 23 Người ta thả bèo vào hồ nước Biết sau ngày, bèo sinh sôi kín mặt hồ sau giờ, lượng bèo tăng gấp đôi so với trước tốc độ tăng không đổi Hỏi sau bèo phủ kín hồ? 13 | P a g e Facebook : Hội toán Bắc Nam Biên soạn : Nguyễn Bá Hoàng_ĐT : 0936.407.353 24 24 D log 3 Bài 24 Các nhà khoa học thực nghiên cứu nhóm học sinh cách cho họ xem danh sách loài động vật sau kiểm tra xem họ nhớ % tháng Sau t tháng, khả nhớ trung bình nhóm học sinh tính theo công thức M (t )  75  20ln(t  1) % Hỏi khoảng thời gian ngắn số học sinh nhớ A log ( 224  3) B 24  log C danh sách 10 % ? A Khoảng 23 tháng B Khoảng 24 tháng C Khoảng 25 tháng D Khoảng 26 tháng Bài 25 Theo số liệu từ Facebook, số lượng tài khoản hoạt động tăng cách đáng kể tính từ thời điểm tháng năm 2004 Biết số lượt tài khoản hoạt động tăng theo hàm số mũ xấp xỉ sau : U ( x)  A(1  0,04) x với A số tài khoản hoạt động đầu tháng năm 2004 Hỏi đến sau số tài khoản hoạt động xấp xỉ 194790 người, biết sau hai tháng số tài khoản hoạt động 108160 người A năm tháng B năm tháng C năm D 11 tháng Bài 26 Áp suất không khí P (đo milimet thủy ngân, kí hiệu mmHg) suy giảm mũ so với độ cao x (đo mét), tức P giảm theo công thức P  P0 e xi , với P0  760 mmHg áp suất mức nước biển ( x  0), i hệ số suy giảm Biết độ cao 1000 m áp suất 672, 713 mmHg độ cao ? 7602 A 2000 m B 3000 m C 4000 m D 5000 m Bài 27 Ký hiệu h(t ) (cm) mức nước bồn chứa sau bơm nước t giây Biết không khí 672,71 mmHg Hỏi áp suất không khí 13 t  lúc đầu bồn nước Tìm mức nước L (cm) bồn sau bơm nước 19 giây A L  14 B L  15, 25 C L  16, 25 D L  18,5 h '(t )  Bài 28 Sự tăng trưởng loại vi khuẩn tuân theo công thức S  A.ert , với A số lượng vi khuẩn ban đầu, r tỉ lệ tăng trưởng (r  0), t thời gian tăng trưởng Biết số lượng vi khuẩn ban đầu 100 sau có 300 Hỏi sau số lượng vi khuẩn 8100 ? A B 24 C 10 D 20 2000 Bài 29 Một đám vi khuẩn ngày thứ x có số lượng N  x  Biết N '  x   lúc đầu 1 x số lượng vi khuẩn 5000 Vậy ngày thứ 12 số lượng vi khuẩn (làm tròn đến hàng đơn vị) ? A 10130 B 5130 C 5154 D 10129 Bài 30 Gọi N (t ) (ml/phút) tốc độ rò rỉ dầu từ đường ống đáy biển Biết N '  t   t  t  1 Khi lượng dầu rò rỉ tiếng : 14 | P a g e Facebook : Hội toán Bắc Nam Biên soạn : Nguyễn Bá Hoàng_ĐT : 0936.407.353 ml 12 C 30789800 ml D 12ml Bài 31 Khoảng 200 năm trước, hai nhà khoa học Pháp Clô-zi-ut Cla-pay-rông thấy áp suất p nước (đo milimet thủy ngân, kí hiệu mmHg) gây chiếm khoảng trống phía mặt nước chứa bình kín tính theo công thức A 3097800 ml p  a.10 k t  273 B  , với t nhiệt độ C nước, a k số Cho biết k  2258,624 nhiệt độ nước 100 C áp suất nước 760 mmHg Tìm  a  , với  a  có giá trị nguyên không vượt a A  a   863118842 B  a   863188842 C  a   863118841 D  a   863188841 Bài 32 Nồng độ muối nước biển C (mol/l) hàm phụ thuộc vào độ sâu s (km) có phương es s  0,1 (mol/l) Tìm độ sâu s0 để nồng độ muối nơi lớn trình: C  s   s 1 1  (km) C s0  1,182 (km) A s0  15 | P a g e 1  (km) D Không tồn s0 B s0  Facebook : Hội toán Bắc Nam Biên soạn : Nguyễn Bá Hoàng_ĐT : 0936.407.353 D Hướng dẫn, đáp án Hướng dẫn Bài Gọi x giá bán thực tế (5  x  10) Ta có giảm giá USD bán thêm 40 sản phẩm nên giảm 10  x USD tăng thêm 20(10  x) sản phẩm Số sản phẩm mà cửa hàng bán giảm giá : 25  20(10  x)  20 x  225 Lợi nhuận thu : f ( x)  (20 x  225)( x  5)  20 x  325x  1125 (USD) Ta cần tìm x để f ( x) đạt giá trị lớn nhất, mà f ( x) hàm số bậc hai có hệ số x âm nên f ( x) đạt giá trị lớn : x   Bài 325 65  2.(20) Gọi x (triệu đồng) giá tua (0  x  2) Giá giảm so với ban đầu  x (triệu đồng) (2  x) Số người tham gia tăng thêm : 20  400  200 x (người) 0,1 Tổng số người tham gia : 150  (400  200 x)  550  200 x (người) Tổng doanh thu : f ( x)  x.(550  200x) (triệu đồng) Ta cần tìm x để f ( x) đạt giá trị lớn (0;2) Theo bất đẳng thức AM-GM ta có : 1  200 x  (550  200 x) 3025 f ( x)   200 x.(550  200 x)    200 200 11 Đẳng thức xảy : 200 x  550  200 x  x   1,375 Như để có lợi nhuận cao công ty phải bán tua với giá 1375000 đồng Gọi x (km/h) vận tốc tàu Thời gian tàu chạy quảng đường km : (giờ) x 480 Chi phí nhiên liệu cho phần thứ : 480  (nghìn đồng) x x Bài 16 | P a g e Facebook : Hội toán Bắc Nam Biên soạn : Nguyễn Bá Hoàng_ĐT : 0936.407.353 30  (nghìn đồng) 10 Xét vận tốc x (km/h) : gọi y (nghìn đồng) chi phí cho quảng đường km vận tốc x   y  kx ta có :   y  0, 003x3  3  k10 480  0, 003x3 (nghìn đồng) Tổng chi phí nhiên liệu cho km đường : f ( x)  x Ta cần tìm x để hàm số f ( x) đạt giá trị nhỏ với x  Theo bất đẳng thức AM-GM ta có : Tại v  10 (km/h) chi phí cho quảng đường km phần thứ hai : 160 160 160 160 160 160    0, 003x3  4 0, 003x3  48 x x x x x x 160 Đẳng thức xảy :  0, 003x3  x  20 (km/h) x 1 Ta có : f (t )  V '(t )  90t  t   f '(t )   180t  3t  100 100 t  60 180t  3t    Suy : f '(t )   100 t  Lập bảng biến thiên ta suy tốc độ bơm giảm từ phút thứ 60, nên khẳng định tốc độ bơm giảm từ phút 60 đến phút 90 khẳng định Ta có : Q  656  P  P  1312  2Q Doanh thu doanh nghiệp : R  P.Q  (1312  2Q).2Q f ( x)  Bài  Bài  Lợi nhuận doanh nghiệp : L  R  C  Q3  75Q2  312Q  100 Khảo sát hàm số ta thấy lợi nhuận lớn Q  52 Bài Gọi x ( x  45) giá bán sản phẩm, suy số tiền tăng : x  45 Ta có tăng nghìn đồng bán sản phẩm nên tăng x  45 nghìn đồng số 6( x  45) lượng sản phẩm bán giảm :  3x  135 Tổng số sản phẩm bán : 60  (3x  135)  195  3x Lợi nhuận mà công ty thu sau tăng giá : f ( x)  ( x  27)(195  3x)  f ( x)  3x  276 x  5265 Bài toán trở thành tìm x để f ( x) đạt giá trị lớn với x  45 , ta nhận thấy f ( x) hàm số bậc hai có hệ số x âm nên tìm ran gay x   Bài Ta có : V '(t )  330e0,6t 1  74.e0,6t   V ''(t )  276  46 f ( x) đạt giá trị lớn 2.(3) 1998e0,6t  74.e0,6t  1 1  74e0,6t  Suy : V ''(t )   74.e0,6t    t  7,17 Như vào khoảng năm 1987 số VCR tăng nhanh 17 | P a g e Facebook : Hội toán Bắc Nam Biên soạn : Nguyễn Bá Hoàng_ĐT : 0936.407.353 Bài Ta có : C '(t )  100  0, 4e0,4t  0,6.e0,6t  3  t  5ln  2,027 2 Suy sau khoảng nồng độ thuốc mạch máu bệnh nhân lớn Xét C '(t )   e0,2t  Bài Ta có : N (t )   1000 2000 dt   dt  2000ln(2  t )  C  0,5t 2t Vì thời điểm ban đầu số lượng virut 250000 nên ta có : N (0)  250000 2000ln  C  250000  C  250000  2000ln Số lượng virut sau 10 ngày : N (10)  2000ln(2  10)  C  253584 (con) Bài 10 Ta có : P(t )  65, 21  100.(0,5) t 5750  65, 21  (0,5) t 5750  0,6521 t  log 0,5 0,6521  t  5750.log 0,5 0,6521  3547 (năm) 5750 Bài 11 Gọi x số tiền cho thuê hộ sau tăng giá x  2000000 x  2000000  Số hộ bị bỏ trống : 100000 50000 x  2000000 4500000  x  Số hộ cho thuê : 50  50000 50000  4500000  x   x  4500000 x Tổng số tiền thu hàng tháng : f ( x)  x    50000  50000  Ta có : f ( x) lớn : x   4500000  2250000 (đồng) 2.(1) Bài 12 Gọi x số lần tăng lên 1000 đồng cốc kể từ mức giá 40000 (đồng) Số cốc trà sữa bán tháng  0,1x (nghìn) Để giáo viên bán trà sữa, ta xét điều kiện  x  20 Khi đó, số tiền lãi tính công thức f  x    40  x.1  0,1x   28   0,1x   0,1x  0,8x  24   x  20  Lập bảng biến thiên hàm số f  x  với  x  20 ta thấy f  x  đạt giá trị lớn x  Như vậy, cốc trà sữa bán với giá 40000  4.1000  44000 (đồng)   5730  m0  t  5730log  2378 (năm) Bài 13 Ta có : m0   2 Bài 14 Gọi I M , I N cường độ âm M N  I MIO IM   104  40  10 log I I     I N  10000 I M Theo ta có :  I I N  80  100 log   10  I0  I N Bài 15 Sau phút số lượng vi khuẩn 625000 nên ta có : 18 | P a g e Facebook : Hội toán Bắc Nam Biên soạn : Nguyễn Bá Hoàng_ĐT : 0936.407.353 625000  s(0).23  s(0)  625000  78125 (con) Khi số lượn vi khuẩn đạt 10 triệu ta có : 78125.2t  107  2t  128  t  (phút) x   Bài 16 Số tiền thu chở x hành khách : f ( x)  x.20    (nghìn đồng) 40   Theo bất đẳng thức AM-GM ta có :  x  x   x           20  40   40    x  x  x  f ( x)  400          400   3200 40   40   27  20  x x  3  x  40 20 40 Như chở 40 hành khách thu nhiều tiền thu 3200000 đồng Đẳng thức xảy : Bài 17 Ta cần tìm giá trị lớn G( x) 0;30 3 18 x  x 125 25 x  36 Suy : G '( x)   x  x, G '( x)    x  20  0;30 125 25    Ta có : G( x)  0,024 x (30  x)   Ta có : G(20)  96, G(30)  0, G(0)  nên G( x) đạt giá trị lớn x  20 (mg) Bài 18 Gọi T chu kì bán rã, suy 4000   1602 Do đó: S  5.e     0,886 2 Vì số lượng vi khuẩn ban đầu 100 nên tăng trưởng laoij vi khuẩn tính theo  Bài 19  ln A  A.er T  r  T ln 4000 T công thức : S  100e rt Sau có 300 con, suy 300  100.e5r  r  ln Khi số lượng vi khuẩn tăng gấp đôi ta có : ln 5ln t  ln  t   3,15 (giờ) ln Vi khuẩn tăng số lượng gấp đôi sau thời gian phút Bài 20 Sau có 109 bèo (đầy hồ) Sau n có 10n bèo ( hồ) Suy ra: 10n  109  n   log Bài 21 Số HP ngày thứ t F (t )  500ln(2t  1)  2000 Khi F (15)  3716,99  4000 Như bệnh nhân cứu chữa Bài 22 Ta có M   log A  log A0  log  log A  log A0  log  8,3  8,9 100ert  200  ert   rt  ln  19 | P a g e Facebook : Hội toán Bắc Nam Biên soạn : Nguyễn Bá Hoàng_ĐT : 0936.407.353 Bài 23 Gọi số lượng bèo ban đầu M số lượng bèo sau t : M (t )  M 2t Số lượng bèo sau ngày : M (24)  M 224 Khi số lượng bèo phủ kín hồ ta có : 1 224 t 24 M (t )  M (24)  M  M  t  log  24  log 3 Bài 24 Ta có : M (t )  10  75  20ln(t  1)  10 65 65  20ln(t  1)  65  t   e 20  t  e 20   24, 79 Như sau 25 tháng học sinh nhớ danh sách 10 % Bài 25 Vì sau tháng số tài khoản hoạt động 108160 người nên : A(1  0,04)2  108160  A  100000 (tài khoản) Khi : U ( x)  100000.1,04x Khi số tài khoản hoạt động 194790 ta có : U ( x)  194790  100000.1,04x  194790  1,04x  1,94790  x  log1,04 1,94790  17 Như sau năm tháng số tài khoản hoạt động xấp xỉ 194790 người 672,71 Bài 26 Ta có : 672,71  760.e1000i  e1000i  760  1000i  ln 672, 71 i 760 ln 672, 71 760 1000 672, 713  672, 71  Bài ta có  760.e x.i  e xi    760  760  3 x 672, 71 672, 71 x  672, 71   ln  ln     x  3000 (m)   3ln 1000 760 760 1000  760  Bài 27 Ta có h '(t )  13 1 t   h(t )   t  8dt    t  8 d  t  8 3  t    C  t  8 h(t )  C  4 Lúc đầu bồn nước nên ta có : h(0)  1  t  8  83 Suy :  C   C  4  h(t )  4 65  16, 25 (cm) Bài 28 Ta tìm tỉ lệ tăng trưởng loại vi khuẩn : Khi L  h(19)  20 | P a g e Facebook : Hội toán Bắc Nam Biên soạn : Nguyễn Bá Hoàng_ĐT : 0936.407.353 300  100.e5r  e5r   5r  ln  r  Ta có : 8100  100.e Bài 29 Ta có: N ( x)   t ln e t ln  81  t ln ln  ln 81  t  20 (giờ) 2000 dx  2000.ln  x  C 1 x Do ban đầu khối lượng vi khuẩn 5000 nên : N ( x)  2000.ln  x  5000 Với x  12 số lượng vi khuẩn N (12)  2000.ln  2000  5000  10130 (con) Bài 30 Ta có : N '  t   t  t  2t  1  t  2t  t   Suy : N (t )   N '(t )dt   t  2t  t dt  t  t  t  C 2 Do thời điểm ban đầu lượng dầu rò rỉ nên : N (t )  t  t  t (ml) Lượng dầu rò rỉ tiếng : N (60)  604  603  602  3097800 (ml) 2258,624 Bài 31 Ta có : 760  a.10 100 273   a   863188841 e es s Bài 32 Ta có : C  s    0,1  C '  s    s 1 s  s2  4s  2s  1  s  1 3/2  1  s  Suy : C  s      1  s   Vì s độ sâu nên ta cần xét trường hợp s  Do đó, dễ dàng nhận thấy giá trị lớn s  21 | P a g e 1  Facebook : Hội toán Bắc Nam Biên soạn : Nguyễn Bá Hoàng_ĐT : 0936.407.353 Đáp án 22 | P a g e Câu Đáp án A B C A B A D D D 10 D 11 D 12 C 13 A 14 A 15 C 16 A Facebook : Hội toán Bắc Nam Biên soạn : Nguyễn Bá Hoàng_ĐT : 0936.407.353 23 | P a g e 17 A 18 B 19 A 20 A 21 D 22 C 23 B 24 C 25 A 26 B 27 C 28 D 29 A 30 A 31 D 32 A Facebook : Hội toán Bắc Nam ... Nguyễn Bá Hoàng_ ĐT : 0936.407.353 2|Page Facebook : Hội toán Bắc Nam Biên soạn : Nguyễn Bá Hoàng_ ĐT : 0936.407.353 Các toán thực tế hàm đặc trưng A Nội dung kiến thức Thông thường toán thực tế. .. đến hàm đặc trưng quy toán yêu cầu bạn đọc tìm giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số miền, hay đơn giản tính giá trị hàm số điểm Về cách tìm giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số miền cách khảo sát biến thiên hàm. .. doanh nghiệp cho theo hàm Q  656  P , Q lượng gạo mà thị trường cần P giá bán 10 | P a g e Facebook : Hội toán Bắc Nam Biên soạn : Nguyễn Bá Hoàng_ ĐT : 0936.407.353 gạo Bài Bài Bài Lại biết chi