GIÚP học SINH lớp 12 TIẾP cận và GIẢI QUYẾT các bài TOÁN THỰC tế về lãi SUẤT NGÂN HÀNG, VAY vốn, TRẢ góp

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT ĐÔNG SƠN I SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH LỚP 12 TIẾP CẬN VÀ GIẢI QUYẾT CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ VỀ LÃI SUẤT NGÂN HÀNG, VAY VỐN, TRẢ GĨP Người thực hiện: Lê Bích Hảo Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn học THANH HĨA NĂM 2019 MỤC LỤC Trang Mở đầu ……………………………………………………………… 1.1 Lý chọn đề tài ……………………………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu ………………………………………… 1.3 Đối tượng nghiên cứu ………………………………………… 1.4 Phương pháp nghiên cứu ……………………………………… Nội dung ……………………………………………………………… 2.1 Cơ sở lý luận …………………………………………………… 2.2 Thực trạng vấn đề áp dụng sáng kiến kinh nghiệm………… 2.3 Giải pháp thực để giải vấn đề …………………… 2.3.1 Bài toán lãi đơn ……………………………………………… 2.3.2 Bài toán lãi kép ……………………………………………… 2.3.3 Bài tốn vay vốn trả góp …………………………………… 2.3.4 Một số toán trắc nghiệm khách quan …………………… 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục với thân, đồng nghiệp nhà trường ……………………………… Kết luận, kiến nghị ………………………………………………… 3.1 Kết luận ………………………………………………………… 3.2 Đề xuất ………………………………………………………… 1 1 2 2 13 18 19 3.3 Lời kết……………………………………………………… 20 20 20 20 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài: Tốn học mơn khoa học hay khó Từ đời, tốn học cần thiết, hữu phần thiếu sống Tuy nhiên học tốn phận khơng nhỏ học sinh chưa khai thác tính thiết thực mơn học, chưa đưa tốn học vào thực tiễn, em thấy toán học xa vời học để lấy điểm, học để vượt qua kỳ thi khơng phải tính thiết thực, u thích, đam mê tốn học Trong cấu trúc đề thi, đặc biệt kỳ thi trung học phổ thông quốc gia năm gần đưa nhiều tốn có nội dung thực tiễn vào đề thi Các toán liên quan đến lãi suất ngân hàng, vay vốn, trả góp đưa vào nhiều hơn, phần ứng dụng thực tiễn giải tích 12, chương II hàm mũ, logarit, học sinh sợ, lúng túng gặp toán phần này, sách giáo khoa giải tích 12 giới thiệu toán đặt vấn đề mở đầu học hàm mũ, logarit Nội dung khơng có hệ thống tập mà có số lượng sách tập giải tích 12, có đề thi học sinh giỏi, đề thi giải toán máy tính cầm tay, giáo viên né tránh, đầu tư, nghiên cứu tài liệu nghiên cứu, bàn sâu vấn đề Để giải tốn đòi hỏi học sinh có cần nắm kiến thức bản, có phải biết tổng hợp, sâu chuỗi, biết suy luận, biết liên hệ với thực tiễn, nỗ lực làm tốt Phần kiến thức lãi suất ngân hàng, vay vốn, trả góp ngồi phục vụ cho kỳ thi phần quan trọng phục vụ sống chúng ta, đặc biệt em học sinh cuối cấp ba chập chững bước vào đời cần có phương án, sách để bắt đầu tạo dựng kinh tế nuôi thân, lập nghiệp Vì lý tơi mạnh dạn lựa chọn đề tài viết sáng kiến kinh nghiệm: “Giúp học sinh lớp 12 tiếp cận giải toán thực tế lãi suất ngân hàng, vay vốn, trả góp” 1.2 Mục đích nghiên cứu: Xây dựng dạng tốn cơng thức tính lãi suất theo lãi đơn, lãi kép để phục vụ học sinh giải tốn tính lãi suất ngân hàng, vay vốn, trả góp đề thi hay sống sau 1.3 Đối tượng nghiên cứu: - Kiến thức mũ, logarit - Các cơng thức tính lãi đơn, lãi kép - Các toán liên quan đến lãi suất ngân hàng, vay vốn, trả góp 1.4 Phương pháp nghiên cứu: * Phương pháp nghiên cứu lý thuyết: - Nghiên cứu lí luận thực tiễn hình thành cơng thức tính - Nghiên cứu mục tiêu, nội dung kiến thức, logic phát triển nội dung chương II giải tích 12 làm sở thiết kế giáo án dạy học theo hướng phát triển lực đáp ứng yêu cầu dạy học * Phương pháp chuyên gia: Trao đổi, xin ý kiến nhà nghiên cứu, chuyên gia đề tài * Phương pháp thực tế: Phỏng vấn trao đổi (chuyên gia, cán quản lý, giáo viên, học sinh) Nghiên cứu sản phẩm (bài làm, nghiên cứu, học sinh) để xác định thực trạng xây dựng sử dụng đề tài trình dạy học * Phương pháp thực nghiệm sư phạm Đề tài tiến hành triển khai thực nghiệm sư phạm năm học 2018-2019 lớp 12A8, 12A1 trường trung học phổ thông Đông Sơn I, nhằm xác định chất lượng dạy học tính khả thi phương pháp đề xuất * Phương pháp thống kê tốn học Xử lí số liệu thu thập được, thực nghiệm sư phạm phần mềm Excel, … NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận: - Hiện Bộ Giáo dục Đào tạo tiến hành lộ trình đổi đồng phương pháp dạy học kiểm tra, đánh giá trường phổ thông theo định hướng phát triển lực học sinh tinh thần Nghị 29NQ/TƯ ngày 04/11/2013 đổi bản, toàn diện giáo dục đào tạo Xuất phát từ mục tiêu dạy học phát triển lực, đòi hỏi học sinh phải tăng cường vận dụng kiến thức vào giải vấn đề thực tiễn - Hình thành cho học sinh kỹ giải toán vận dụng thực tế khơng mang lại cho học sinh có cách nhìn tổng quát mặt phương pháp dạng tốn mà giáo dục cho học sinh biết phân tích xem xét vận dụng học vào sống cách linh hoạt - Giáo viên nên chịu khó tìm tòi, sáng tạo ví dụ thực tế lồng ghép vào dạy tiết học bồi dưỡng giúp học sinh hiểu tầm quan trọng học khái niệm tốn học từ giúp em tích cực chủ động hứng thú việc học tập, xét cho vấn đề lý thuyết toán học từ đại số, giải tích, hình học xuất phát từ nhu cầu tự nhiên thực tiễn 2.2 Thực trạng trước áp dụng sáng kiến kinh nhiệm: - Các toán vận dụng kiến thực tế lãi suất ngân hàng, vay vốn, trả góp sách tập, sách giáo khoa lại suất thi cử cần thiết cho sống - Có tài liệu viết phần kiến thức - Giáo viên né tránh toán mang kiến thực tế lãi suất ngân hàng, vay vốn, trả góp Học sinh lúng túng, lo sợ giải loại toán 2.3 Các giải pháp thực để giải vấn đề: Để khắc phục tình trạng để em có thêm kiến thức, biết vận dụng vào làm tập hay để tính tốn thực tế tơi lồng ghép tiết học khóa ôn luyện số tiết học bồi dưỡng để tìm hiểu chủ đề 2.3.1 Bài tốn lãi đơn: A Tóm tắt lý thuyết: Một số khái niệm đơn giản: Tiền lãi: Là khái niệm xem xét hai góc độ khác người cho vay người vay Ở góc độ người cho vay hay nhà đầu tư vốn, tiền lãi số tiền tăng thêm số vốn đầu tư ban đầu khoảng thời gian định Khi nhà đầu tư đem đầu tư khoản vốn, họ mong muốn thu giá trị tương lai, giá trị bỏ ban đầu khoản tiền chênh lệch gọi tiền lãi Ở góc độ người vay hay người sử dụng vốn, tiền lãi số tiền người vay phải trả cho người vay (là người chủ sở hữu vốn) để sử dụng vốn thời gian định Lãi suất: Là tỷ số tiền lãi (nhận được) phải trả so với vốn (cho) vay đơn vị thời gian Đơn vị thời gian năm, quý, tháng, ngày Lãi suất tính tỷ lệ phần trăm số lẻ thập phân Ví dụ: Ngân hàng Agribank có lãi suất tiền gửi tiết kiệm cho kỳ hạn tháng 0,42% tháng Nghĩa ta hiểu ban đầu ta gửi tiết kiệm vào ngân hàng Agribank với số tiền 100 triệu đồng sau tháng số tiền lãi ta nhận 100.106 x 0,42% = 420.000 đồng Lãi đơn: Là số tiền lãi tính số vốn gốc mà khơng tính số tiền lãi số vốn gốc sinh khoảng thời gian cố định (Chỉ có vốn gốc phát sinh tiền lãi) Ví dụ: Chị Mai Hoa cầm khoản tiền 100.000.000đ đến gửi ngân hàng, sau tháng chị Mai Hoa nhận 0,5% số tiền vốn 100.000.000đ Quá trình tích vốn sinh lãi quan sát bảng sau: Tháng Tổng vốn Tổng lãi (nếu không rút) (đồng) (đồng) 100.000.000 0,5% x 100.000.000 = 500.000 100.000.000 500.000 + 0,5% x 100.000.000 = 1.000.000 100.000.000 1.000.000 + 0,5% x 100.000.000 = 1.500.000 Như vậy, ta thấy rõ suốt trình tiền lãi ta có thêm hàng tháng số, ngồi tiền vốn từ đầu chí cuối khơng đổi Bài toán tổng quát: Ta đưa vào sử dụng vốn gốc ban đầu P0 với mong muốn đạt lãi suất r kỳ theo hình thức lãi đơn thời gian n kỳ Vào cuối kỳ ta rút tiền lãi để lại vốn Tính tổng giá trị đạt (vốn lãi) sau n kỳ Chú ý: Đơn vị thời gian kỳ năm, quý, tháng, ngày Ta theo dõi bảng sau: Ở cuối kỳ Vốn gốc Tiền lãi P0 P0r Tổng vốn lãi cộng dồn cuối kỳ p0  p0 r  p0 (1  r ) P0 P0r p0  P0 r  p0 r  p0 (1  2r ) P0 P0r p0  P0 r  p0 r  p0 (1  3r ) P0 P0r p0  P0 r  p0 r  p0 (1  4r ) … N … P0 … P0r … p0  P0 r  (n  1) p0 r  p0 (1  nr ) Do đó, ta tóm gọn lại cơng thức tính tổng giá trị đạt (vốn lãi) sau n kỳ sau: Pn = P0(1+nr), (1) Pn tổng giá trị đạt (vốn lãi) sau n kỳ P0 vốn gốc r lãi suất kỳ B Các toán thực tế: * Dạng 1: Cho biết vốn lãi suất, tìm tổng số tiền có sau n kỳ Phương pháp: - Xác định rõ giá trị ban đầu biết: vốn P0, lãi suất r, số kỳ n - Tìm giá trị chưa biết Pn - Áp dụng công thức Pn = P0(1+nr), (1) Bài toán 1: Chị Mai Anh gửi ngân hàng BAC A BANK với số tiền 150.000.000đ theo hình thức lãi đơn với lãi suất 6% năm Hỏi chị Mai Anh giữ nguyên số tiền vốn sau năm tổng số tiền chị Mai Anh rút từ ngân hàng bao nhiêu? (Giả sử lãi suất hàng năm khơng đổi) Phân tích tốn: - Ta xác định giả thiết đề cho gì: Số tiền ban đầu P = 150.000.000đ, hình thức lãi đơn với lãi suất r = 6% năm gửi thời gian n = năm - Đề yêu cầu tìm tổng số tiền chị Mai Anh rút từ ngân hàng sau năm, lúc ta sử dụng trực tiếp công thức Pn = P0(1+nr), (1) Hướng dẫn giải Áp dụng cơng thức (1) ta tính tổng số tiền chị Mai Anh rút từ ngân hàng sau năm là: P5 = 150.000.000 x (1 + x 6%) = 195.000.000đ Cũng sau hai năm số tiền lãi mà chị Mai Anh thu là: 195.000.000 - 150.000.000 = 45.000.000đ ▪ Nhận xét: Qua toán ta cần lưu ý: - Khi tính tốn yếu tố toán gửi tiền ngân hàng em cần lưu ý kiện ban đầu tính theo hình thức lãi suất nào: lãi đơn hay lãi khác từ xác định cơng thức tính toán cho trường hợp - Nếu lãi suất thời hạn gửi không đơn vị thời gian, ta phải biến đổi để chúng đồng thời gian áp dụng công thức (1) * Dạng 2: Cho biết vốn lãi suất, tổng số tiền có sau n kỳ Tìm n Phương pháp: - Xác định rõ giá trị ban đầu biết: Vốn P0, lãi suất r, tổng số tiền có sau n kỳ Pn - Tìm giá trị chưa biết n P  P0 n - Áp dụng công thức Pn P0 (1  nr )  Pn P0  P0 nr  n  P r Bài toán 2: Với lãi suất 10% năm (theo hình thức lãi đơn) cho số vốn 25 triệu đồng, nhà đầu tư Thành Đạt mong muốn thu 32.125.000đ vào cuối đợt đầu tư Vậy phải đầu tư để đạt giá trị trên? (Giả sử lãi suất hàng năm khơng đổi) Phân tích tốn: - Ta xác định giả thiết đề cho gì: Số tiền ban đầu P = 25.000.000đ, hình thức lãi đơn với lãi suất r = 10% năm giá trị đạt vào cuối đợt đầu tư 32.125.000đ - Để tìm thời gian đầu tư bao lâu, xuất phát từ công thức (1) Pn P0 (1  nr )  n  Pn  P0 P0 r Hướng dẫn giải Áp dụng công thức (1): Pn P0 (1  nr )  n  Pn  P0 32.125.000  25.000.000  2,85 năm = năm 10 P0 r 25.000.000 10% tháng ngày Vậy phải đầu tư số vốn thời gian năm 10 tháng ngày để đạt giá trị mong muốn * Dạng 3: Cho biết vốn, tổng số tiền có sau n kỳ Tìm lãi suất Phương pháp: - Xác định rõ giá trị ban đầu biết: Vốn P0, tổng số tiền có sau n kỳ, số kỳ n - Cần tính lãi suất r - Từ cơng thức (1) ta có: Pn P0 (1  nr )  Pn P0  P0 nr  r  Pn  P0 P0 n Bài toán 3: Em Thương Huyền học tập tốt tổ chức trao thưởng tổng tiền 30 triệu đồng Em đem gửi ngân năm tháng với lãi suất r% năm đạt kết cuối 40.000.000đ Xác định r? (Biết hình thức lãi suất lãi đơn lãi suất hàng năm không thay đổi) Phân tích tốn: - Ta xác định giả thiết đề cho biết: Số tiền ban đầu P0 = 30.000.000đ, tổng số tiền có sau năm tháng 40.000.000đ - Đề yêu cầu tìm lãi suất - Ta áp dụng cơng thức Pn = P0(1+nr), (1) từ tìm r Hướng dẫn giải 10 năm 3 năm tháng =   Áp dụng công thức (1): Pn  P0 (1  nr ) � r  Pn  P0 40.000.000  30.000.000   10% 10 năm P0 n 30.000.000 � Vậy lãi suất tiền gửi 10% năm * Dạng 4: Cho biết lãi suất, tổng số tiền có sau n kỳ Tìm vốn ban đầu Phương pháp: - Xác định rõ giá trị ban đầu biết: Tổng số tiền có sau kỳ, lãi suất r, số kỳ n - Tính số vốn ban đầu P0 - Áp dụng công thức P Pn P0 (1  nr )  P0  n  nr Bài toán 4: Với lãi suất đầu tư 12% năm (theo hình thức lãi đơn) nhà đầu tư Hùng Thịnh phải bỏ số vốn ban đầu để thu 500 triệu đồng thời gian năm tháng (Giả sử lãi suất hàng năm không đổi) Phân tích tốn: - Ta xác định giả thiết ban đầu đề cho biết: Số tiền thu Pn = 4.987.800.000đ, hình thức đầu tư theo lãi đơn với lãi suất r = 12% năm đầu tư thời gian n = năm tháng - Đề yêu cầu tìm vốn đầu tư ban đầu Hùng Thịnh, ta áp dụng công thức Pn = P0(1+nr) Hướng dẫn giải năm tháng =  21  năm 12 Áp dụng công thức (1): Pn  P0 (1  nr ) � P0  Pn 4.987.800.000   3.060.000.000 21 đồng  nr  �12% Vậy phải đầu tư 3.060.000.000 đồng để đạt giá trị mong muốn ▪ Nhận xét: Qua toán em biết - Hình thức lãi đơn gì, từ có kiến thức hiểu biết định để sau áp dụng sống hàng ngày - Biết tính tốn qua lại yếu tố cơng thức liên quan tốn lãi đơn 2.3.2 Bài tốn lãi kép A Tóm tắt lý thuyết: Lãi kép: Là phương pháp tính lãi mà lãi kỳ nhập vào vốn để tính lãi kỳ sau Trong khái niệm này, số tiền lãi không tính số vốn gốc mà tính số tiền lãi số vốn gốc sinh Thuật ngữ lãi kép đồng nghĩa với thuật ngữ lãi gộp vốn, lãi ghép vốn lãi nhập vốn Cơng thức tính lãi kép Trong khái niệm lãi kép, khoản tiền lời phát sinh từ hoạt động đầu tư kỳ tính gộp vào vốn ban đầu thân lại tiếp tục phát sinh lãi suốt thời gian đầu tư Xét toán tổng quát sau: Ta đưa vào sử dụng vốn gốc ban đầu P với mong muốn đạt lãi suất r kỳ theo hình thức lãi kép thời gian n kỳ Vào cuối kỳ ta rút tiền lãi để lại vốn Tính P n tổng giá trị đạt (vốn lãi) sau n kỳ Chú ý: Đơn vị thời gian kỳ năm, quý, tháng, ngày - Ở cuối kỳ thứ ta có: + Tiền lãi nhận được: P0r + Tổng giá trị đạt (vốn lãi) cuối kỳ thứ nhất: P1 P0  P0 r P0 (1  r ) - Do lãi nhập vào vốn đến cuối kỳ thứ ta có: + Tiền lãi nhận được: P1r + Tổng giá trị đạt (vốn lãi) cuối kỳ thứ là: P2 P1  P1r P1 (1  r ) P0 (1  r )(1  r ) P0 (1  r ) n - Một cách tổng quát, sau n kỳ tổng giá trị đạt là: Pn P0 (1  r ) , (2) Trong Pn tổng giá trị đạt (vốn lãi) sau n kỳ P0 vốn gốc r lãi suất kỳ - Ta tính số tiền lãi thu sau n kỳ là: Pn  P0 B Các toán thực tế: * Dạng 1: Cho biết vốn lãi suất, tìm tổng số tiền có sau n kỳ Phương pháp: - Xác định rõ giá trị ban đầu biết: Vốn P0, lãi suất r, số kỳ n - Tính Pn Pn P0 (1  r ) n , (2) - Áp dụng cơng thức Bài tốn 1: Ơng Hưng gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép a) Nếu theo kỳ hạn năm với lãi suất 7,8% năm sau năm người thu số tiền bao nhiêu? b) Nếu theo kỳ hạn tháng với lãi suất 1,7% quý sau năm người thu số tiền bao nhiêu? Phân tích tốn: - Đề u cầu tìm tổng số tiền ơng Hưng rút từ ngân hàng sau năm, lúc ta sử dụng trực tiếp công thức Pn P0 (1  r ) n , - Ta phải xác định rõ: P0  , r  , n  ? , từ thay vào cơng thức (2) tìm Pn Hướng dẫn giải a) Ta có P0 = 100.000.000, n = năm, lãi suất năm r = 7,8% năm Áp dụng cơng thức (2) ta tính số tiền người thu sau năm là: P2  100.000.000 �(1  7,8%)3 �125.272.655 đồng b) Ta có P0 = 10.000.000, n = năm = 12 quý, lãi suất quý r = 1,7% q Áp dụng cơng thức (2) ta tính số tiền người thu sau năm là: P2  100.000.000 �(1  1, 7%)12 �122.419.735 đồng ▪ Nhận xét: Qua toán em biết - Khi tính tốn yếu tố toán gửi tiền vào ngân hàng em cần lưu ý kiện ban đầu tính theo hình thức lãi suất nào? Lãi đơn hay lãi kép từ xác định cơng thức tính tốn cho trường hợp - Nếu lãi suất thời hạn gửi không đơn vị thời gian, ta phải biến đổi để chúng đồng thời gian áp dụng cơng thức (2) Bài tốn 2: Anh Miu tư vấn gửi tiết kiệm 500.000.000 đồng vào ngân hàng Sea Bank theo thể thức lãi kép a) Hỏi sau năm anh Miu nhận số tiền (cả vốn lãi) ngân hàng, biết anh không rút lãi tất kỳ trước gửi kỳ hạn tháng, lãi suất 0,62% b) Anh Miu xin tư vấn gửi tiết kiệm theo mức kỳ hạn tháng với lãi suất 0,65% tháng sau năm anh Miu có nhận số tiền đủ để làm nhà không? (cả vốn lãi) ngân hàng, biết anh không rút lãi tất kỳ trước để làm nhà anh Miu phải có 733.000.000 đồng (sau năm) Phân tích tốn: - Đề yêu cầu tìm tổng số tiền anh Miu rút từ ngân hàng thời gian gửi định, lúc ta sử dụng trực tiếp công thức Pn P0 (1  r ) n , (2) - Trong công thức (2) ta phải xác định rõ P0  , r  , n  ? , từ thay vào cơng thức (2) tìm Pn Hướng dẫn giải a) Do kỳ hạn tháng nên năm ta có n = 20 kỳ hạn - Lãi suất kỳ hạn r 3 0,62% 1,86% - Áp dụng công thức (2) sau năm anh Miu nhận số tiền là: Pn 500.000.000 (1  1,86%) 20 722.842.104 đồng b) Do kỳ hạn tháng nên năm ta có n = 10 kỳ hạn - Lãi suất kỳ hạn r 6 0,65% 3,9% - Số tiền nhận là: Pn 500.000.000 (1  3,9%)10 733.036.297,4 đồng Vậy với số tiền ban đầu, lựa chọn hình thức gửi tiết kiệm anh Miu có đủ số tiền để làm nhà * Dạng 2: Cho biết vốn lãi suất, tổng số tiền có sau n kỳ Tìm n Phương pháp: - Xác định rõ giá trị ban đầu: vốn P0, lãi suất r kỳ, tổng số tiền có sau n kỳ P n n n - Để tìm n, áp dụng cơng thức (2), ta có Pn P0 (1  r )  (1  r )  P (*) Để tìm n từ đẳng thức (*) ta có nhiều cách thực hiện: Cách 1: Ta coi (*) phương trình mũ, giải tìm n (1  r ) n  Pn P  n log1r n P0 P0 Cách 2: Lấy logarit thập phân hai vế đẳng thức (*), ta Pn P P P0 log(1  r ) n  log n � n.log(1  r )  log n � n  P0 P0 log(1  r ) log Bài toán 3: Ông Thắng gửi 60 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép, kỳ hạn năm với lãi suất 7,56% năm Hỏi sau năm gửi ơng Thắng có 120 triệu đồng từ số tiền gửi ban đầu? (giả sử lãi suất không thay đổi) Phân tích tốn: - Ta xác định giả thiết đề cho gì: số tiền ban đầu P0 60.000.000 đồng theo hình thức lãi kép với lãi suất r = 7,56% năm giá trị đạt sau n năm gửi 280.000.000 đồng - Để tìm thời gian gửi bao lâu, ta xuất phát từ cơng thức (2) Ở tốn ta dùng cách Hướng dẫn giải 10 Ta có Pn = 120.000.000 đồng, P0 = 60.000.000 đồng, r = 7,56% năm Áp dụng công thức (2): sau n năm gửi, người gửi thu tổng số tiền Pn P0 (1  r ) n  (1  r ) n  Pn P 120.000.000  n log1r n  n log17 ,56% 9,51 năm P0 P0 60.000.000 Vậy sau khoảng 10 năm người gửi có 120 triệu đồng từ số vốn 60 triệu đồng ban đầu Bài toán 4: ( Kỳ thi trung học phổ thông quốc gia năm 2017) Một người gửi 50 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 6%/ năm Biết không rút tiền khỏi ngân hàng sau năm số tiền lãi nhập vào gốc để tính lãi cho năm Hỏi sau năm người nhận số tiền nhiều 100 triệu đồng bao gồm gốc lãi Giả định suốt thời gian gửi lãi suất khơng đổi người khơng rút tiền ra? A 13 năm B 14 năm C 12 năm D 11 năm Hướng dẫn giải Gọi n số năm người gửi tiền vào ngân hàng Số tiền gốc lãi người thu sau n năm là: 50.000.000(1  6%) n Theo đề ta có 50.000.000(1  6%) n > 100.000.000  n 11,9 Vậy sau 12 năm người nhận số tiền 100 triệu đồng bao gồm gốc lãi � Chọn đáp án C Bài toán 5: ( Kỳ thi trung học phổ thông quốc gia năm 2018) Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng với lãi suất 7.5% năm Biết không rút tiền khỏi ngân hàng sau năm số tiền lãi nhập vào vốn để tính lãi cho năm Hỏi sau năm người thu ( số tiền gửi ban đầu lãi) gấp đôi số tiền gửi ban đầu Giả định khoảng thời gian lãi suất khơng thay đổi người khơng rút tiền ra? A 11 năm B năm C 10 năm D 12 năm Bài tốn 6: Một khách hàng có 100.000.000 đồng gửi ngân hàng kỳ hạn tháng với lãi suất 0,65% tháng theo thể thức lãi kép Hỏi sau tối thiểu quý gửi tiền vào ngân hàng, khách có số tiền lãi lớn số tiền gốc ban đầu gửi ngân hàng, giả sử người khơng rút lãi tất q định kỳ (Số quý gửi số nguyên) Phân tích toán: - Ta xác định giả thiết đề cho gì: số tiền ban đầu P0 100.000.000 đồng gửi theo hình thức lãi kép với lãi suất 0,65% tháng kỳ hạn gửi tháng, từ suy lãi suất kỳ hạn là: r = x 0,65% = 1,95% - Để tìm thời gian gửi tối thiểu bao lâu, để số tiền lãi lớn số tiền gốc ban đầu ta làm sau: Ta tìm tổng số tiền lãi P n - P0 có sau n quý Từ ta giải bất phương trình Pn - P0 > P0 suy n cần tìm Các em coi lời giải chi tiết 11 Hướng dẫn giải Áp dụng cơng thức (2) ta có: P0 = 100.000.000 đồng, lãi suất kỳ hạn r = x 0,65% = 1,95% Sau n quý tổng số tiền (vốn lãi) khách hàng có là: Pn P0 (1  r ) n suy tổng số tiền lãi có sau n quý Pn  P0 Cần tìm n để Pn  P0  P0  P0 (1  r ) n  P0  P0  (1  r ) n   n  log1r  n  log11,95% 35,89 36 Vậy sau 63 quý (tức năm) người có số tiền lãi lớn số tiền gốc ban đầu gửi ngân hàng * Dạng 3: Cho biết vốn, tổng số tiền có sau n kỳ Tìm lãi suất Phương pháp: - Xác định rõ giá trị ban đầu: vốn P0, tổng số tiền có sau n kỳ, số kỳ n - Tính lãi suất r kỳ Từ cơng thức (2) ta có: Pn P0 (1  r ) n  (1  r ) n  Pn P P   r n n  r n n  P0 P0 P0 Bài toán 7: Doanh nghiệp Đồng Xanh gửi tiền vào ngân hàng với số tiền 680 triệu đồng theo thể thức lãi kép, kỳ hạn năm với lãi suất r% năm Sau năm doanh nghiệp Đồng Xanh có số tiền 1.200 triệu đồng Xác định r? (Biết lãi suất hàng năm không thay đổi) Phân tích tốn: - Ta xác định giả thiết đề cho gì: số tiền ban đầu P = 680.000.000 đồng, tổng số tiền có sau năm (n = kỳ hạn) 1.200.000.000 đồng - Đề yêu cầu tìm lãi suất kỳ, ta áp dụng công thức r n Pn  P0 Hướng dẫn giải Lãi suất kỳ là: r  Pn 1.200.000.000 1   �12, 03% năm P0 680.000.000 Vậy lãi suất tiền gửi 12,03% năm để đạt giá trị mong muốn * Dạng 4: Cho biết lãi suất, tổng số tiền có sau n kỳ Tìm vốn ban đầu Phương pháp: - Xác định rõ giá trị ban đầu: tổng số tiền có sau n kỳ, lãi suất r, số kỳ n P n n - Tính số vốn ban đầu: Áp dụng cơng thức Pn  P0 (1  r )  P0  (1  r ) n Bài toán 8: Chủ cửa hàng A vay ngân hàng số vốn theo thể thức lãi kép, lãi gộp vốn tháng lần với lãi suất 8,6% năm Tổng số tiền chủ cửa 12 hàng phải trả sau năm tháng 426.526.000 đồng Xác định số vốn chủ cửa hàng A vay (Biết lãi suất hàng năm không đổi) Phân tích tốn: - Ta xác định giả thiết đề cho gì: số tiền phải tra sau năm tháng Pn = 426.526.000 đồng, hình thức đầu tư theo lãi kép, lãi gộp vốn tháng lần với lãi suất 8,6% năm, từ suy lãi suất kỳ là: r  �8, 6%  4,3% đầu tư thời gian năm tháng, từ suy số kỳ vay n = 6,5 P n - Số vốn chủ cửa hàng vay ban đầu là: P0  (1  r ) n Hướng dẫn giải Ta có n  6,5; r  4,3%; P  426.526.000 Số vốn chủ cửa hàng vay ban đầu là: P0  Pn 426.526.000 � P0  �324.412.444 đồng n (1  r ) (1  4,3%)6,5 ▪ Nhận xét: Qua tốn em biết - Hình thức lãi kép gì, từ có kiến thức hiểu biết định để sau áp dụng sống hàng ngày - Biết tính tốn qua lại yếu tố công thức liên quan toán lãi kép 2.3.3 Bài toán vay vốn, trả góp A Tóm tắt số dạng tốn thường gặp: Bài tốn 1: Ơng A hàng tháng gửi vào ngân hàng B số tiền a đồng (vào đầu kỳ hạn), kỳ hạn tháng với lãi suất r% tháng Sau n tháng ông A nhận số tiền vốn lãi bao nhiêu? Hướng dẫn giải - Cuối tháng thứ 1, ông A có số tiền là: P1 a  a.r a(1  r ) - Đầu tháng thứ 2, ông A có số tiền là: P1  a a (1  r )  a a  a (1  r ) a1  (1  r ) - Cuối tháng thứ 2, ơng A có số tiền là:  P2 P1  P1r a  a(1  r )   a  a(1  r ) r a (1  r )  (1  r ) - Đầu tháng thứ 3, ơng A có số tiền là:    P2  a a (1  r )  (1  r )  a a  (1  r )  (1  r ) - Cuối tháng thứ 3, ơng A có số tiền là:       P3 P2  P2 r a  (1  r )  (1  r )  a  (1  r )  (1  r ) r   a (1  r )3  (1  r )  (1  r ) - Cuối tháng thứ 5, ơng A có số tiền là: 13   Pn a (1  r ) n  (1  r ) n   (1  r ) n    (1  r )  (1  r )            s            n    Pn a(1  r ) (1  r ) n  (3) r Ví dụ 1: Anh Huy gửi hàng tháng gửi vào ngân hàng 2.000.000 đồng, theo hình thức lãi kép, kỳ hạn tháng Biết lãi suất hàng tháng 0,6% Hỏi sau năm anh Huy nhận số tiền bao nhiêu? Hướng dẫn giải Áp dụng cơng thức (3) ta có: a = 3.000.000 đồng, r = 0,67%, n = x 12 = 24 tháng Sau năm anh Huy nhận số tiền là: P24  2.000.000(1  0, 6%) (1  0, 6%) 24  �51.771.205,3 đồng 0, 6% Ví dụ 2: Ngày 01/08/ 2019 mẹ Trang muốn có số tiền 200 triệu đồng chi phí đậu đại học Vậy từ trước ba năm mẹ Trang phải gửi tiết kiệm tháng tiền? Biết tiền gửi tiết kiệm ngân hàng theo thể thức lãi kép, kỳ hạn tháng với lãi suất 0,67% tháng Lãi suất không thay đổi thời gian gửi Hướng dẫn giải Áp dụng công thức (3) cho Pn = 200.000.000 đồng, r = 0,67%, n = 36 tháng.(3 năm) 14 Ta có: Pn a(1  r )  a (1  r ) n  rPn  a r (1  r )[(1  r ) n  1] 0,67% 200.000.000  a 4.898.146 (1  0,67%)[(1  0,67%)36  1] Vậy hàng tháng mẹ Trang phải gửi tiết kiệm số tiền gần 4.900.000 đồng Bài tốn 2: Giả sử có người gửi vào ngân hàng a đồng, lãi suất r% tháng, kỳ hạn tháng Mỗi tháng người rút x đồng vào ngày ngân hàng tính lãi Hỏi sau n tháng số tiền lại bao nhiêu? Hướng dẫn giải Gọi Pn số tiền lại sau tháng thứ n - Sau tháng thứ số tiền gốc lãi là: a  ar a (1  r ) ad với d 1  r Rút x đồng số tiền lại là: P1 ad  x ad  x d1 d1 - Sau tháng thứ hai số tiền gốc lãi là: ad  x  (ad  x)r (ad  x)(1  r ) (ad  x)d Rút x đồng số tiền lại là: P2 (ad  x)d  x ad  xd  x ad  x(d  1) ad  x - Sau tháng thứ ba số tiền gốc lãi là:     d2  d1   ad  x(d  1)  ad  x(d  1) r  ad  x(d  1) (1  r )  ad  x(d  1) d Rút x đồng số tiền lại là:   P3  ad  x(d  1) d  x ad  xd  xd  x ad  x(d  d  1) ad  x d3  d1 - Sau tháng thứ n số tiền lại là: Pn  ad n  x d n 1 (1  r ) n  , (4) với d 1  r � Pn  a (1  r ) n  x d 1 r Ví dụ 1: Một cụ già có 150.000.000 đồng gửi vào ngân hàng theo hình thức lãi kép, kỳ hạn tháng với lãi suất 0,7% tháng Mỗi tháng cụ rút 2.000.000 đồng vào ngày ngân hàng tính lãi Hỏi sau năm số tiền cụ lại bao nhiêu? Hướng dẫn giải Áp dụng công thức (4): n = 24, r = 0,7%, x = 2.000.000, a = 150.000.000 Vậy số tiền cụ già lại sau năm là: P24  150.000.000(1  0, 7%) 24  2.000.000 (1  0, 7%) 24  �125.266.821, đồng 0, 7% 15 Bài tốn 3: Trả góp ngân hàng mua đồ trả góp (Bài tốn cách xây dựng toán số 2) Bài toán tổng quát: Một người vay số tiền a đồng, kỳ hạn tháng với lãi suất cho số tiền chưa trả r% tháng (hình thức gọi tính lãi dư nợ giảm dần, nghĩa tính lãi số tiền mà người vay nợ thời điểm tại), số tháng vay n tháng, sau tháng kể từ ngày vay, người bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ liên tiếp cách tháng, số tiền hoàn nợ lần nhau, số tiền đặn trả vào ngân hàng x đồng Tìm cơng thức tính x? Biết lãi suất ngân hàng không thay đổi thời gian vay Hướng dẫn giải Gọi Pn số tiền lại sau tháng thứ n - Sau tháng thứ số tiền gốc lãi là: a  ar a(1  r ) ad với d 1  r Trả x đồng số tiền lại sau tháng thứ là: P1 ad  x ad  x d1 d1 - Sau tháng thứ hai số tiền gốc lãi là: ad  x  (ad  x)r (ad  x)(1  r ) (ad  x)d với d 1  r Trả x đồng số tiền lại sau tháng thứ hai là: d2  P2 (ad  x)d  x ad  xd  x ad  x(d  1) ad  x d1 2 - Sau tháng thứ ba số tiền gốc lãi là:       ad  x(d  1)  ad  x(d  1) r  ad  x(d  1) (1  r )  ad  x(d  1) d Trả x đồng số tiền lại sau tháng thứ ba là:   P3  ad  x(d  1) d  x ad  xd  xd  x ad  x(d  d  1) ad  x d3  d1 - Số tiền lại sau tháng thứ n là: Pn ad n  x dn  (1  r ) n   Pn a (1  r ) n  x (5a ) với d 1  r d1 r - Do sau tháng thứ n người vay tiền trả hết số tiền vay, ta có: Pn 0  ad n  x dn  ad n (d  1) a(1  r ) n r 0  x   x  (5b) d1 dn  (1  r ) n  Ví dụ 1: Một người vay ngân hàng với số tiền 50.000.000 đồng, tháng trả góp số tiền 4.000.000 đồng phải trả lãi suất cho số tiền chưa trả 1,1% tháng theo hình thức lãi kép Hỏi sau người trả hết nợ? Hướng dẫn giải Áp dụng công thức (5b) cho: a = 50.000.000, r = 1,1%, x = 4.000.000, Pn = Tìm n ? 16 Từ cơng thức (5b) ta có: x  ar (1  r ) n  x(1  r ) n  x ar (1  r ) n (1  r ) n   ( x  ar )(1  r ) n  x  (1  r ) n   n log 1r x x  ar x 4.000 000  n log 11,1%  n 13,52 x  ar 4.000 000  50.000 000 1,1 Ở ta thấy n không số nguyên, lúc ta có hai cách làm chọn ▪ Nếu chọn n = 13 (chọn số nguyên cao gần nhất) Số tiền người nợ sau tháng thứ 12 là: P12 50(1  1,1%)12  (1  1,1%)12  6,001147461 triệu đồng 1,1% Số tiền người phải trả tháng cuối là: P12 (1+0,5%)  6,067 triệu đồng ▪ Nếu chọn n = 14 (chọn số nguyên nhỏ gần nhất) Số tiền người nợ sau tháng thứ 13 là: (1  1,1%)13  P13 50(1  1,1%)  2,067160083 triệu đồng 1,1% 13 Số tiền người phải trả tháng cuối là: P13 (1+0,5%)  2,09 triệu đồng Nhận xét: Nếu chọn theo n = 13 tháng cuối trả nhiều triệu đồng Nếu chọn theo n = 14 tháng cuối trả triệu đồng Ví dụ 2: Ông A mua hàng Điện Máy Xanh theo hình thức vay ngắn hạn 200 triệu đồng, lãi suất cho số tiền chưa trả 12%/năm Ông muốn hoàn nợ cho cửa hàng theo cách: Sau tháng kể từ ngày vay, ơng bắt đầu hồn nợ, hai lần 17 hoàn nợ liên tiếp cách tháng, số tiền hoàn nợ lần trả hết tiền nợ sau tháng kể từ ngày vay Hỏi, theo cách đó, số tiền x mà ông A phải trả cho cửa hàng lần hoàn nợ bao nhiêu? Biết lãi suất không thay đổi thời gian ông A hoàn nợ Hướng dẫn giải Lãi suất 12% năm suy lãi suất tháng 1% tháng Áp dụng công thức (5b) cho: a = 200.000.000, r = 1%, n = 3, P3 = Tìm x? Vậy số tiền x mà ông A phải trả cho ngân hàng lần hoàn nợ để tháng hết nợ là: x  ar (1  r )n 200 �0, 01(1  0,01)3  �68 triệu đồng tháng (1  r ) n  (1  0, 01)  2.3.4 Một số toán trắc nghiệm khách quan: Câu 1: Lãi suất ngân hàng 6%/năm Lúc ông A, bắt đầu học lớp 10 ơng gởi tiết kiệm 200 triệu Hỏi sau năm ông A nhận vốn lẫn lãi bao nhiêu? A 238,2 triệu B 233,2 triệu C 228,2 triệu D 283,2 triệu Câu 2: Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kỳ hạn quý với lãi suất 1,65% quý Hỏi sau tháng người có 20 triệu ? A 18 B 15 C 17 D 16 Câu 3: Anh An mua nhà trị giá năm trăm triệu đồng theo phương thức trả góp Nếu anh An muốn trả hết nợ năm phải trả lãi với mức 6%/năm tháng anh phải trả tiền? (làm tròn đến nghìn đồng) A 9892000 B 8333000 C 118698000 D 10834000 Câu 4: Ông An gửi 100 triệu vào tiết kiệm thời gian lâu mà không rút với lãi suất ổn định chục năm qua 10%/ năm Tết năm ông kẹt tiền nên rút hết để gia đình đón Tết Sau rút vốn lẫn lãi, ơng trích gần 10 triệu để sắm sửa đồ Tết nhà ơng 250 triệu Hỏi ơng gửi tiết kiệm lâu ? A 10 năm B 17 năm C 15 năm D 19 năm Câu 5: Bạn Ninh gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng thời gian 10 năm với lãi suất 5% năm Hỏi bạn Ninh nhận số tiền nhiều hay ngân hàng trả lãi suất % 12 tháng? A Nhiều 1811487,091 đồng B Ít 1611487,091 đồng C Nhiều 1611487,091 đồng D Ít 1811487,091 đồng Câu 6: Một người, tháng gửi vào ngân hàng a đồng theo thể thức lãi kép với lãi suất 0,6% tháng Biết sau 15 tháng người nhận triệu đồng Hỏi a bao nhiêu? A 63531 B 60530 C 73201 D 68531 Câu 7: Theo hình thức lãi kép người gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng theo kỳ hạn năm với lãi suất 1,75% (giả sử lãi suất hàng năm khơng thay đổi) sau hai năm người thu số tiền bao nhiêu? A 103,531 triệu đồng B 103,351 triệu đồng 18 D 103,500 triệu đồng C 103,530 triệu đồng Câu 8: Để tăng chất lượng sở cho việc dạy học website QSTUDY.VN mình, năm học 2017 thầy Mẫn Ngọc Quang đầu tư cho bên hậu cần máy quay phim Panasonic AG-AC160 để có hình ảnh tốt truyền tải đến em học sinh thân yêu mình, ngân sách mua lần khơng đủ, thầy Quang chọn phương thức mua trả góp với lãi suất tiền chưa trả 0.5% tháng Biết giá máy quay Panasonic AG-AC160 60 triệu đồng cuối tháng thầy Quang chi trả 2,034 triệu đồng cho hợp đồng, hỏi sau thời gian thầy Quang hoàn thành hợp đồng? A 32 tháng B 30 tháng C 33 tháng D 31 tháng ( Luyện tốc độ giải nhanh trắc nghiệm toán học - Mẫn Ngọc Quang ) 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Sau triển khai đề tài thấy hiệu tốt, học sinh có tự tin, biết vận dụng thực tế gặp tốn liên quan, có niềm đam mê, u thích mơn tốn, mở cách nhìn nhận, vận dụng linh hoạt, sáng tạo kiến thức học, tạo tảng cho việc tự học, tự nghiên cứu Để thấy kết sát thực SKKN (sáng kiến kinh nghiệm), chọn hai lớp 12A8 12A1 lớp 12A1 có học lực để tiến hành làm đối chứng cụ thể sau: Trước áp dụng SKKN đề cho học sinh hai lớp bao gồm tập tự luận tập trắc nghiệm toán ứng dụng thực tế lãi suất ngân hàng, vay vốn, trả góp, yêu cầu em làm giấy chấm điểm, kết sau: Lớp Sĩ số Giỏi Khá Trung bình Yếu, 12A8 48 8.3% 16.7% 22 45.8% 14 29.2% 12A1 47 10 21.3% 11 23.4% 21 44.7% 10.6% Kết làm học sinh chủ yếu mức độ trung bình, yếu có em gần bế tắc, số đạt khá, giỏi có Trước tình trạng tơi tập trung bồi dưỡng cho em vào số buổi học bồi dưỡng, truyền thụ nội dung chủ yếu SKKN, em tự tin làm loại tập này, kết thu kiểm tra lần hai tốt nhiều so với lần đầu, ghi lại sau: Lớp Sĩ số Giỏi Khá Trung bình Yếu, 12A8 48 15 31,3% 20 42% 19% 7.7% 12A1 47 21 44,7% 18 38.3% 17% 0.0% Với kết làm thực tế học sinh, nhận thấy việc hệ thống hóa kiến thức, hệ thống hóa dạng tập, tốn thực tế ứng dụng lãi suất ngân hàng, vay vốn, trả góp có hiệu tốt, giúp học sinh tiếp thu vận dụng làm tập cách tự tin, nhanh chóng Kết kiểm tra lần hai cao nguyên nhân học sinh hiểu rõ vấn đề, trang bị khối lượng kiến thức chắn 19 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận: Sáng kiến kinh nghiệm thu số kết sau: Sáng kiến kinh nghiệm đưa cơng thức tính lãi suất cách có hệ thống, giải lượng lớn tập, đặc biệt tổ chức thực nghiệm sư phạm thành cơng để minh họa tính khả thi hiệu biện pháp đề xuất Học sinh hứng thú tiếp cận dạng tập có hệ thống Qua thực tế giảng dạy thân trường trung học phổ thông với nội dung phương pháp nêu giúp học sinh có nhìn tồn diện tốn ứng dụng thực tế nói chung tốn lãi suất ngân hàng, vay vốn, trả góp nói riêng Tơi hi vọng có điều kiện để trình bày mở rộng vấn đề năm 3.2 Đề xuất: Sau thời gian nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm tơi có số kiến nghị sau: Đây đề tài cần mở rộng phát triển sâu, rộng để giáo viên học sinh tiếp cận, đào sâu, có kỹ tính tốn tốt, khơng tâm lý né tránh, hay sợ sệt Cần có thêm loại sách tham khảo, nghiên cứu tốn thực tế nói chung tốn lãi suất ngân hàng nói riêng 3.3 Lời kết: Làm để em học sinh yêu toán học hơn? Biết vận dụng toán học vào thực tiễn cách linh hoạt? Thể vai trò to lớn giáo dục đến phát triển trí tuệ, nhân cách cá nhân phát triển kinh tế xã hội? ln niềm trăn trở, mục đích hướng tới người giáo viên có lương tâm trách nhiệm nghề nghiệp Bài toán ứng dụng thực tế lãi suất ngân hàng, vay vốn, trả góp chuyên đề hay rộng, song khuôn khổ giới hạn sáng kiến kinh nghiệm nên nêu số công thức, số dạng tốn điển hình, tơi mong nhận ý kiến đóng góp quý báu hội đồng chuyên môn đồng nghiệp để đề tài hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN Thanh Hóa, ngày 15 tháng năm 2019 CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác NGƯT, ThS LƯƠNG HỮU HỒNG 20 Lê Bích Hảo TÀI LIỆU KHAM KHẢO Luyện tốc độ giải nhanh trắc nghiệm toán học, Mẫn Ngọc Quang, 2016 Bộ đề thi trung học phổ thông quốc gia năm 2016-2017; 2017-2018 Bộ đề tinh túy ôn thi trung học phổ thơng quốc gia 2017 mơn tốn, Nhà xuất đại học Quốc Gia Hà Nội Bộ đề: Luyện thi trung học phổ thông quốc gia năm 2017, Nhà xuất giáo dục Việt Nam, Phạm Đức Tài, 2016 Bộ đề: Luyện thi trung hoc phổ thông quốc gia năm 2018, Nhà xuất giáo dục Việt Nam, Phạm Đức Tài, 2018 Tham khảo qua mạng Internet 21 ... Giúp học sinh lớp 12 tiếp cận giải toán thực tế lãi suất ngân hàng, vay vốn, trả góp 1.2 Mục đích nghiên cứu: Xây dựng dạng tốn cơng thức tính lãi suất theo lãi đơn, lãi kép để phục vụ học sinh. .. có nội dung thực tiễn vào đề thi Các toán liên quan đến lãi suất ngân hàng, vay vốn, trả góp đưa vào nhiều hơn, phần ứng dụng thực tiễn giải tích 12, chương II hàm mũ, logarit, học sinh sợ, lúng... tập, tốn thực tế ứng dụng lãi suất ngân hàng, vay vốn, trả góp có hiệu tốt, giúp học sinh tiếp thu vận dụng làm tập cách tự tin, nhanh chóng Kết kiểm tra lần hai cao nguyên nhân học sinh hiểu