Thi t diện của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ khi cắt bởi P l hình gì.
Trang 1SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG TỈNH NĂM HỌC 2016-2017
Khóa ngày 22 tháng 3 năm 2017
Môn thi: TOÁN
Họ và tên:………
SỐ BÁO DANH:………
LỚP 12 THPT
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề gồm có 01 trang
Câu 1 (2.0 điểm)
Tìm tất cả các giá trị của tham số m m( 0) để đường thẳng : y 3( x m ) cắt đồ thị hàm
số 3 2 ( )
1
mx
tại 2 điểm phân biệt A B, sao cho diện tích OAB bằng
21
2
Câu 2 (2.0 điểm)
a Giải phương trình :
2
2
2017 2
3
b Cho 2017 số a a a1, 2, 3, ,a2017 thuộc khoảng 1;1
4
Chứng minh rằng:
Câu 3 (2.0 điểm)
a Chứng minh:
1 2
2017 0
4
2017 sin 2
2017 0
2017 cos ln
2017 sin
x x
x
Câu 4 (3.0 điểm)
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ c cạnh l a Trên AA’, BB’ lấy lần lượt các
điểm M, N sao cho 3 ,
AM BN G i ( )P l m t phẳng đi qua ba điểm M, N, C và
Q l giao điểm của DD' với mp(P)
a Thi t diện của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ khi cắt bởi (P) l hình gì Tính diện
tích của thi t diện đ
b Tính khoảng cách từ điểm B' đ n m t phẳng (P) theo a
c G i E, F lần lượt l trung điểm của B'C' v C'D' Tính bán kính m t cầu (S) đi qua bốn
điểm A, C, E, F theo a
Câu 5 (1.0 điểm) Cho a b c l các số thực dương, , Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
( ) ( 2 )( 2 ) 4
T
-hÕt -
http://blogtoanhoc.com
Trang 2SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH
HƯỚNG DẪN CHẤM
KỲ THI CHỌN HSG TỈNH NĂM HỌC 2016-2017
Khóa ngày 22 tháng 3 năm 2017
Môn thi: TOÁN LỚP 12 THPT
Đ p n n gồm có 06 trang
YÊU CẦU CHUNG
* Đáp án chỉ trình b y một lời giải cho mỗi b i Trong b i l m của h c sinh yêu cầu phải lập luận lôgic ch t chẽ, đầy đủ, chi ti t v rõ r ng
* Trong mỗi b i, n u h c sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước giải sau c liên quan Ở câu 4 n u h c sinh không vẽ hình ho c vẽ hình sai thì cho điểm 0
* Điểm th nh phần của mỗi b i n i chung phân chia đ n 0,25 điểm Đối với điểm th nh phần l 0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chi t th nh từng 0,25 điểm
* H c sinh c lời giải khác đáp án (n u đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm của từng b i
* Điểm của to n b i l tổng (không l m tròn số) của điểm tất cả các b i
1
Tìm tất cả các giá trị của tham số m đ đường thẳng : y 3( x m ) cắt
đồ thị hàm số 3 2 ( )
1
mx
tại 2 đi m phân biệt A B, sao cho diện
tích OAB bằng 21
2
2,0
Phương trình ho nh độ giao điểm của v đồ thị ( )H :
3mx 3m x m 0,x
m
Vì m 0 nên phương trình 2
3x 3mx 1 0
(*) Ta có
2
9m 12 0, m 0
và f 1 32 2 0, m 0
(ở đây f x l v trái của (*)) nên luôn cắt đồ thị ( )H tại 2 điểm A B, phân biệt m 0
0,50
Ta có A x 1 ;3x1 3m B x , 2 ;3x2 3m với x x1, 2 l 2 nghiệm của (*)
ta có 3
;
10
m
và
40
3
0,50
OAB
m
3
0,50 http://blogtoanhoc.com
Trang 32
1
1 7
1 ( )
3
m
m m
(t/m)
K t u n: m 1;m 1
0,50
2
a Giải phương trình sau:
2
2
2017 2
3
x x
Ta có
2
2
3 0,
2x 4x5 - x x 3 x 3x2
Phương trình đã cho tương đương với
2
2017 2
3
x x
0,25
ax x b x x a b
Phương trình trở th nh log2017 a b a a log2017a b log2017b (*)
b 0,25
Xét h m số: f t( ) t log2017t, t 0
1
ln 2017
t
Do đ f t( )l h m đồng bi n trên (0; ) Từ (*) suy ra a b 0,25
2
x
x
K t u n: x 1;x 2
0,25
b Cho 2017 số a a a1, 2, 3, ,a2017 thu c khoảng 1;1
4
Chứng minh
rằng:
1,0
Nhận xét: 1;2017, 1 1
4 i
0
4 4
i a
0,25
Lại c :
2
2
0
loga loga loga 2 loga loga loga
0,25 http://blogtoanhoc.com
Trang 4Do
loga a ,loga a , ,loga a l các số dương nên theo BĐT CôSi ta c :
2017 2017
2.2017 loga loga loga 2.2017 1 4034
Đẳng thức xảy ra khi 1 2 2017 1
2
a a a
K t u n: Vậy M 4034
0,25
3
a Chứng minh:
1 2
2017 0
4
Ta có:
2
do đ
Tính
1
2
0
1
; 2
dx
1 2
2 0
1
4 1
dx x
1 2
2017 0
4
2017 sin 2
2017 0
2017 cos ln
2017 sin
x x
x
0
2017 sin ln 2017 cos 2017ln 2017 sin
2017 ln 2017 cosx dx sin ln 2017x cosx dx
2
0
2017 ln 2017 sin x dx
0
2017 ln 2017 cos
0
sin ln 2017 cos
2
0
2017 ln 2017 sin
0,5
0
2017 ln 2017 cos
0 2
2017 ln 2017 sin 2017 ln 2017 sin 2
Vậy I = B
0,25 http://blogtoanhoc.com
Trang 5Tính tích phân 2
0
sin ln 2017 cos
Đ t
2018
2017
u xdu xdx B udu
Dùng từng phần tính được:
2018 2017
Vậy: I 2018ln 20182017 ln 2017 1
0,25
4
Cho hình p phương ABCD.A’B’C’D’ c cạnh à a Trên AA’, BB’
ấy ần ượt các đi m M, N sao cho 3 ,
AM BN Gọi ( )P à m t
phẳng đi qua ba đi m M, N, C và Q à giao đi m của DD' với mp(P)
3,0
a Thi t diện của hình p phương ABCD.A’B’C’D’ khi cắt bởi (P) là
F E
N A'
A
C
B'
B
C'
D
D'
M
Q
0,25
2 2
17
16 4
5
MQ NC a
9
a
http://blogtoanhoc.com
Trang 6Xét tam giác MQC có
1
2 5 17
cosMQC
MQ QC
MQC
2
MNCQ
0,50
b Tính khoảng cách từ đi m B' đ n m t phẳng (P) theo a 0,75
B MNCQ Q MNB Q B NC
3
a a
3
Q B NC B NC
a a
'.
B MNCQ
'.
1
3
3 '.
2
3
8
B MNCQ MNCQ
a
c Gọi E, F ần ượt à trung đi m của B'C' và C'D' Tính bán kính m t
G i O O lần lượt l tâm các hình vuông A'B'C'D' v ABCD 1, 2
G i O l tâm của m t cầu (S), khi đ O thuộc m t phẳng trung trực ( )
của EF O mp ACC A( ' '); đồng thời O thuộc m t phẳng trung trực ( )
của AC O mp BDD B( ' ')
Mà mp ACC A( ' ') mp BDD B( ' ') O O1 2 O O O1 2
0,25
Đ t OO1 x OO2 a x
Vậy bán kính m t cầu (S) l
25
41
5
Cho a b c à các số thực dương, , Tìm giá trị ớn nhất của bi u thức:
( ) ( 2 )( 2 ) 4
T
1,0
( ) ( 2 )( 2 ) 4
T
a b c a b c
0,25 http://blogtoanhoc.com
Trang 71 2 2 2
Theo BĐT Cô-si ta có:
2
2
4 3( ) ( 2 )( 2 ) (3 3 )
2
2
a b c
a b c
T
Đ tt a b c;(t 0) 8 272 ( )
0,25
Xét h m số ( ) 8 272 , ( 0)
'( )
( 2)
f t
( 2)
0,25
Từ BBT ta có ( ) (6) 5
8
T f t f ; Vậy ax 5
8
m T xảy ra khi a b c 2 0,25
http://blogtoanhoc.com