Đề thi HSG môn Toán tỉnh Quảng Bình năm 2017 – Có đáp án chi tiết

SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG TỈNH NĂM HỌC 2016-2017 Khóa ngày 22 tháng năm 2017 Mơn thi: TỐN Họ tên:………………… LỚP 12 THPT Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Đề gồm có 01 trang SỐ BÁO DANH:…………… Câu (2.0 điểm) Tìm tất giá trị tham số m (m  0) để đường thẳng  : y  3( x  m) cắt đồ thị hàm số y  x  2m ( H ) điểm phân biệt A, B cho diện tích OAB mx  21 Câu (2.0 điểm) oc co m x2  x  a Giải phương trình : log 2017  x  3x  ( x  ) 2x  4x  b Cho 2017 số a1, a2 , a3 , , a2017 thuộc khoảng  ;1  Chứng minh rằng: 4  1 1 1 1     log a1  a2    log a2  a3     log a2016  a2017    log a2017  a1    4034 4 4 4 4      a Chứng minh: gt oa nh Câu (2.0 điểm)   x 2017  dx   : //b lo   2017  cos x 2017sin x  b Tính tích phân sau: I   ln   dx 2017   2017  sin x   Câu (3.0 điểm) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ c cạnh l a Trên AA’, BB’ lấy ht điểm M, N cho AM  3a a , BN  G i ( P ) l m t phẳng qua ba điểm M, N, C Q l giao điểm DD' với mp(P) a Thi t diện hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cắt (P) l hình Tính diện tích thi t diện đ b Tính khoảng cách từ điểm B' đ n m t phẳng (P) theo a c G i E, F l trung điểm B'C' v C'D' Tính bán kính m t cầu (S) qua bốn điểm A, C, E, F theo a Câu (1.0 điểm) Cho a, b, c l số thực dương Tìm giá trị lớn biểu thức: T a  b2  c   (a  b) (a  2c)(b  2c) -hÕt SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI CHỌN HSG TỈNH NĂM HỌC 2016-2017 Khóa ngày 22 tháng năm 2017 Mơn thi: TỐN LỚP 12 THPT Đ p n n gồm có 06 trang Câu N i dung oc co m YÊU CẦU CHUNG * Đáp án trình b y lời giải cho b i Trong b i l m h c sinh yêu cầu phải lập luận lôgic ch t chẽ, đầy đủ, chi ti t v rõ r ng * Trong b i, n u h c sinh giải sai bước giải trước cho điểm bước giải sau c liên quan Ở câu n u h c sinh khơng vẽ hình ho c vẽ hình sai cho điểm * Điểm th nh phần b i n i chung phân chia đ n 0,25 điểm Đối với điểm th nh phần l 0,5 điểm tuỳ tổ giám khảo thống để chi t th nh 0,25 điểm * H c sinh c lời giải khác đáp án (n u đúng) cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm b i * Điểm to n b i l tổng (không l m tròn số) điểm tất b i Tìm tất giá trị tham số m đ đường thẳng  : y  3( x  m) cắt x  2m ( H ) m phân biệt A, B cho diện mx  21 tích OAB Phương trình ho nh độ giao điểm  v đồ thị ( H ) : 1 3mx  3m2 x  m  0, x  m Vì m  nên phương trình  3x2  3mx   (*) Ta có  1    9m2  12  0, m  f      0, m  (ở f  x  l v m m trái (*)) nên  cắt đồ thị ( H ) điểm A, B phân biệt m  2,0 0,50 ht : //b lo gt oa nh đồ thị hàm số y  Đi m Ta có A  x1;3x1  3m  , B  x2 ;3x2  3m  với x1 , x2 l nghiệm (*) 3m ta có d  O;    AB  10  x2  x1    3x2  3x1  2  10  x2  x1   10  x1  x2   40 x1 x2  10m  SOAB  0,50 40 1 3m 40 21 d  O;   AB  10m   2 10 40  m 10m   70  30m4  40m2  70  2 0,50 m2  m     m  1 (t/m)  m   (l )   0,50 K t u n: m  1; m  1 a Giải phương trình sau: log 2017 x2  x   x  3x  ( x  ) 2x  4x  1,0  x  x   0, x  R Ta có  v x  x  - x  x   x  3x  2 2 x  x   0, x  R Phương trình cho tương đương với x2  x  log 2017  x2  x   x2  x  2x  4x  Đ t a  x  x  3, b  x  x   a  0, b   a Phương trình trở th nh log 2017  b  a  a  log 2017 a  b  log 2017b (*) b Xét h m số: f (t )  t  log 2017 t , t   f '(t )    0, t  t ln 2017 Do đ f (t ) l h m đồng bi n (0;  ) Từ (*) suy a  b  x  1 hi đ ta c : x  x   x  x     x  2 K t u n: x  1; x  2 b Cho 2017 số a1, a2 , a3 , , a2017 thu c khoảng  ;1  Chứng minh 4   0,25 0,25 : rằng: //b lo 0,25 1,0 1 1   log a1  a2    log a2  a3    4 4   1 1    log a2016  a2017    log a2017  a1    4034 4 4   1 1   M  log a1  a2    log a2  a3    4 4   1 1    log a2016  a2017    log a2017  a1   4 4   ht 0,25  oc co m   gt oa nh   1   ,    4 1 Lại c :      ai2   nên 2  0,25 Nhận xét: i  1;2017,  M  log a1 a22  log a2 a33   log a2017 a12  log a1 a2  log a2 a3  log a2017 a1  0,25 Do log a1 a2 ,log a1 a2 , ,log a2017 a1 l số dương nên theo BĐT CôSi ta c : M  2.2017 2017 log a1 a2.log a2 a3 log a2017 a1  2.2017 2017  4034 Đẳng thức xảy a1  a2   a2017  K t u n: Vậy M  4034 a Chứng minh:   dx  0 Tính   x 2017 dx   1,0  dx  ; 1  x 2017  dx    x2 1 x dx   Vậy  0,25 0,25 dx oc co m đ 0,25 1   ; x   0; 2017 2  1 x 1 x  Ta có:   2  2  1 x 2017 dx   gt oa nh  0,5   2017  cos x 2017sin x  I   ln   dx 2017 2017  sin x      b 0,25 1,0 C Ta có I    2017  sin x  ln  2017  cos x   2017ln  2017  sin x   dx =  lo  2 //b = 2017  ln  2017  cos x  dx   sin x ln  2017  cos x  dx :  2017  ln  2017  sin x dx = A+B - C ht 0,5   2 0 Với A  2017  ln  2017  cos x  dx , B   sin x ln  2017  cos x  dx ,  C  2017  ln  2017  sin x  dx  Xét A  2017  ln  2017  cos x  dx  Đ t x  2   t  A  2017  ln  2017  sin t dt  2017  ln  2017  sin x dx  C Vậy I = B 0,25  Tính tích phân B   sin x ln  2017  cos x  dx 2018 Đ t u  2017  cos x  du   sin xdx  B   ln udu 0,25 2017 Dùng phần tính được: 2018 B  2018 ln udu   u.ln u  | 2018 2017 2017   du  2018ln 2018  2017ln 2017  2017 oc co m Vậy: I  2018ln 2018  2017 ln 2017  Cho hình p phương ABCD.A’B’C’D’ c cạnh a Trên AA’, BB’ 3a a ần ượt m M, N cho AM  , BN  Gọi ( P ) m t phẳng qua ba m M, N, C Q giao m DD' với mp(P) a Thi t diện hình p phương ABCD.A’B’C’D’ cắt (P) hình Tính diện tích thi t diện đ B' gt oa nh E 1,0 C' F D' A' 3,0 N lo M : //b 0,25 B C Q ht A D Thi t diện l hình bình h nh MNCQ a2 a MN  CQ  a   17 MQ  NC  16 a MC  a  2a  41 16 0,25 a2 a a   2 0,25 Xét tam giác MQC có 17 41 a  a  a MQ  QC  MC 16 16   cosMQC   a a 2MQ.QC 85 17 84  sin MQC    85 85 a a 84 a 84  S MNCQ  MQ.QC.sin MQC  17  85 b Tính khoảng cách từ m B' đ n m t phẳng (P) theo a VB '.MNCQ  VQ.MNB '  VQ.B ' NC 2 oc co m 1 a a3 1 a a3 VQ.MNB '  a.SMNB '  a .a  ; VQ.B ' NC  a.S B ' NC  a .a  3 2 12 3 2 12 a3 a3 a3   12 12  d  B ';( MNCQ)  S MNCQ VB '.MNCQ  VB '.MNCQ a3 3V 4a  d  B ';( P)   d  B ';( MNCQ)   B '.MNCQ   S MNCQ a 84 84 c Gọi E, F ần ượt trung m B'C' C'D' Tính bán kính m t cầu (S) qua bốn m A, C, E, F theo a G i O1 , O2 l tâm hình vng A'B'C'D' v ABCD G i O l tâm m t cầu (S), đ O thuộc m t phẳng trung trực ( ) EF  O  mp( ACC ' A ') ; đồng thời O thuộc m t phẳng trung trực (  ) AC  O  mp( BDD ' B ') Mà mp( ACC ' A ') mp( BDD ' B ')  O1O2  O  O1O2 Đ t OO1  x  OO2  a  x : //b lo gt oa nh ht a2 a2 5a hi đ ta c : OE  OA  x   a  x  x 2 Vậy bán kính m t cầu (S) l R  OE  25a a a   41 64 0,50 0,75 0,25 0,25 0,25 1,0 0,25 0,25 0,50 Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị ớn bi u thức: a  b2  c  (a  b) (a  2c)(b  2c) T  a  b2  c  (a  b) (a  2c)(b  2c) T  Theo BĐT B.C.S ta c : a  b  c   4(a  b  c  4) 1,0 0,25   a  b  c    a  b2  c  Theo BĐT Cơ-si ta có:  a  b  4c  3(a  b) (a  2c)(b  2c)  (3a  3b).     4(a  b  c)     a  b  c    2 2 27  a  b  c  2(a  b  c) Vậy T  0,25 f '(t )   oc co m 27   f (t ) Đ t t  a  b  c ;(t  0)  T  t  2t 27  , (t  0) Xét h m số f (t )  t  2t 27  (t  2) t 27   8t  27(t  2)   t  (t  2) t 5 Từ BBT ta có T  f (t )  f (6)  ; Vậy maxT  xảy a  b  c  8 ht : //b lo gt oa nh f '(t )   0,25 0,25 ... GD&ĐT QUẢNG BÌNH HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI CHỌN HSG TỈNH NĂM HỌC 2016 -2017 Khóa ngày 22 tháng năm 2017 Mơn thi: TỐN LỚP 12 THPT Đ p n n gồm có 06 trang Câu N i dung oc co m YÊU CẦU CHUNG * Đáp án trình...  0; 2017 2  1 x 1 x  Ta có:   2  2  1 x 2017 dx   gt oa nh  0,5   2017  cos x 2017 sin x  I   ln   dx 2017 2017  sin x      b 0,25 1,0 C Ta có I    2017 ... A  2017  ln  2017  cos x  dx , B   sin x ln  2017  cos x  dx ,  C  2017  ln  2017  sin x  dx  Xét A  2017  ln  2017  cos x  dx  Đ t x  2   t  A  2017  ln  2017