tài liệu uy tín được biên soạn bởi giảng viên đại học Bách Khoa TPHCM, thuận lợi cho qua trình tự học, nghiên cứu bổ sung kiến thức môn hình họa, hình học họa hình, vẽ kĩ thuật, chuẩn bị tốt cho quá trình học Autocad, Etabs, đại cương của mọi lĩnh vực kiến trúc xây dựng, cơ khí chế tạo,... tải trọn bộ bài giảng với từ khóa hình họa vẽ kĩ thuật
T P GHI BÀI HÌNH H C H A HÌNH HHHH – LNT – HHVKT BKHCM BÀI M U M c đích c a mơn h c Nghiên c u vi c bi u di n mơ hình hình h c khơng gian (3 chi u) lên m t ph ng (2 chi u) dùng hình bi u di n m t ph ng đ gi i tốn hình h c không gian Là c s c a môn h c v k thu t Các yêu c u đ i v i b n v k thu t 2.1 Tính t ng đ ng hình h c (tính ph n chuy n) B n v k thu t ph i đ c thi t l p cho t b n v y có th xây d ng l i xác ng đ c bi u di n Mu n xây d ng đ c b n v đ t yêu c u nêu trên, ng i ta s d ng k t h p nhi u phép chi u, ho c s d ng k t h p phép chi u v i vi c ghi b ng s kèm theo hình chi u đ it 2.2 Tính tr c quan Hình bi u di n b n v gây n t ng cho ng i đ c b n v gi ng nh i quan sát tr c ti p đ i t ng đ c bi u di n khơng gian B n v n u có tính tr c quan s giúp cho ng i đ c d hình dung đ i t ng đ c bi u di n Mu n v y, m đ ng th ng không gian c n đ c bi u di n b ng m đ ng th ng b n v Cơng c đ thành l p mơ hình phép chi u ng M t s ký hi u quy - c i m: dùng ch in (ví d A, B, C …) ng: dùng ch th ng (ví d a, b, d …) M t: dùng ch hoa (ví d A, B, P, R …) Khơng gian clit m r ng đ n gi n m t s phát bi u ng i ta b sung cho không gian clit y u t vô t n Không gian clit sau b sung y u t vô t n đ c g i Không gian clit m r ng M i đ ng th ng không gian đ c b sung m t m vô t n đ c xác đ nh b ng h ng c a đ ng th ng Ký hi u A∞, B∞ … M i m t ph ng đ c b sung m t đ ng th ng vô t n t p h p t t c m vô t n c a đ ng th ng thu c m t ph ng M i không gian đ c b sung m t m t ph ng vô t n Các phép chi u 5.1 Phép chi u xuyên tâm Trong không gian, xác đ nh m t m t ph ng P m t m S không thu c P Mu n chi u m t m b t k A thu c không gian t S lên P, ng i ta : - V đ ng th ng qua hai m S A - Xác đ nh giao m A' gi a SA P Các tên g i : P : M t ph ng hình chi u S : Tâm chi u Trang HHHH – LNT – HHVKT BKHCM SA : Tia chi u A' : Hình chi u c a m A t tâm chi u S lên m t ph ng hình chi u P Tính ch t: - Hình chi u c a m t đ ng th ng không qua tâm chi u m t đ ng th ng 5.2 Phép chi u song song Trong không gian, xác đ nh m t m t ph ng P m t h ng l không song song v i m t ph ng P Mu n chi u m t m b t k A thu c không gian theo h - V đ ng th ng song song v i l qua m A - Xác đ nh giao m A' gi a đ ng th ng P Các tên g i : P : M t ph ng hình chi u l : H ng chi u A' : Hình chi u c a m A theo h ng s lên P, ng i ta : ng chi u l lên m t ph ng hình chi u P Tính ch t: - Phép chi u song song b o tòan s song song: AB//CD⇒A’B’//C’D’ - Phép chi u song song b o tòan t s đ n c a hai đ an th ng song song AB / CD = A’B’ / C’D’ - Phép chi u song song b o tòan t s đ n c a ba m th ng hàng CE / CD = C’E’ / C’D’ 5.3 Phép chi u vng góc Là phép chi u song song có h Các ph 6.1 Ph ng chi u l vng góc v i m t ph ng hình chi u P ng pháp bi u di n ng pháp hình chi u th ng góc Ph ng pháp hình chi u vng góc xây d ng hình bi u di n c s phép chi u vng góc Ph ng pháp s d ng k t h p nhi u phép chi u vng góc đ xây d ng hình bi u di n c a đ i t ng thu c không gian Các hình bi u di n đ c xây d ng theo ph ng pháp hình chi u vng góc d th hi n xác hình d ng kích th c c a đ i t ng đ c bi u di n Hình bi u di n xây d ng b ng ph ng pháp đ c s d ng r t nhi u k thu t Trang HHHH – LNT – HHVKT BKHCM 6.2 Ph ng pháp hình chi u tr c đo Ph ng pháp hình chi u tr c đo xây d ng hình bi u di n c s phép chi u song song Hình chi u tr c đo th hi n c ba chi u kích th c c a đ i t ng nên tính tr c quan c a b n v đ c t ng lên 6.3 Ph ng pháp ph i c nh Ph ng pháp ph i c nh xây d ng hình bi u di n c s phép chi u xuyên tâm Ph ng pháp c ng th hi n c ba chi u kích th c c a đ i t ng nh ph ng pháp hình chi u tr c đo đ t ng tính tr c quan c a b n v 6.4 Ph ng pháp hình chi u có s Ph ng pháp hình chi u có s xây d ng hình bi u di n c s phép chi u vng góc Ph ng pháp xây d ng hình bi u di n (hình chi u có s ) m t ph ng hình chi u n m ngang th ng g i m t b ng Các đ cao đ c ghi b ng s g n hình bi u di n Trang HHHH – LNT – HHVKT BKHCM Ch ng Ph ng pháp hình chi u th ng góc i m 1.1 Bi u di n H th ng hai m t ph ng hình chi u: L y hai m t ph ng: - M t ph ng P th ng đ ng - M t ph ng P n m ngang P1 II I P1 ∩ P = x III (P 1, P 2): h th ng hai m t ph ng hình chi u P2 IV u di n m A: Chi u vng góc A lên P đ c m A1 Chi u vng góc A lên P đ c m A2 Xoay P quanh x (chi u m i tên) cho đ n trùng P A2 s đ n thu c P Nh n xét: - A1AxA2 th ng hàng vng góc v i x K t lu n: - M t m A không gian đ c bi u di n m t ph ng b ng m t c p m (A1, A2) - Ng c l i m t c p m (A1, A2) m t ph ng xác đ nh xác nh t m t m A không gian C p m (A1, A2) th a mãn tính t ng đ ng hình h c bi u di n m A nên đ c g i đ th c c a m A Tên g i: - P 1: m t ph ng hình chi u đ ng - P 2: m t ph ng hình chi u b ng - x: tr c hình chi u - A1: hình chi u đ ng c a m A - A2: hình chi u b ng c a m A ng n i A1 A2: đ ng dóng đ ng - A1Ax: đ cao c a m A - A2Ax: đ xa c a m A Hai m t ph ng P P chia không gian làm b n ph n, m i ph n đ c g i m t góc t khơng gian đ c đánh s theo th t nh hình v cao c a m t m đ c quy c d ng, b ng không hay âm tùy thu c m n m trên, thu c hay n m d i m t ph ng P 2; hình bi u di n tùy thu c A1 n m phía trên, thu c hay n m d i tr c hình chi u x xa c a m t m đ c quy c d ng, b ng không hay âm tùy thu c m n m tr c, thu c hay n m sau m t ph ng P 1; hình bi u di n tùy thu c A2 n m d i, thu c hay n m phía tr c hình chi u x Trong h th ng m t ph ng hình chi u, ng i ta đ nh ngh a thêm hai m t ph ng phân giác: Bi - Trang HHHH – LNT – HHVKT BKHCM - M t ph ng phân giác th nh t (ký hi u G 1) chia đơi góc t th I th III M t ph ng phân giác th hai (ký hi u G 2) chia đơi góc t th II th IV 1.2 Hình chi u c nh B sung m t ph ng P - P ⊥ P 1, P P1 P1=z - P ⊥ P 2, P P = y Hình chi u c nh c a m A: - Chi u vuông góc A lên P đ c m A3 - Xoay P quanh z (chi u m i tên) cho đ n trùng v i P A3 s đ n thu c P Nh n xét: - A1AzA2 th ng hàng vng góc v i z - AzA3 = AxA2 Tên g i: - P 3: m t ph ng hình chi u c nh - A3: hình chi u c nh c a m A - A1Az: đ xa c nh c a m A P3 P2 ng th ng 2.1 Bi u di n ng th ng đ c xác đ nh b ng hai m phân bi t thu c đ ng th ng Nh v y m t đ ng th ng d không gian s đ c bi u di n m t ph ng b ng m t c p đ ng th ng (d1, d2) ng c l i m t c p đ ng th ng (d1, d2) m t ph ng xác đ nh xác nh t m t đ ng th ng d không gian 2.2 Các đ ng th ng đ c bi t 2.2.1 ng th ng song song v i mp hình chi u 2.2.1.1 ng b ng nh ngh a: // P Tính ch t: - A1B1 // x (tính ch t đ c tr ng) - A2B2 = AB - α = (AB,^P 1) = (A2B2 ,^x) Trang HHHH – LNT – HHVKT BKHCM 2.2.1.2 ng m t nh ngh a: // P Tính ch t: - A2B2 // x (đ c tr ng) - A1B1 = AB - β = (AB,^ P 2) = (A1B1 ,^x) 2.2.1.3 ng c nh nh ngh a: // P Tính ch t: - A1B1 A2B2 ⊥ x (đ c tr ng) - A3B3 = AB - α = (AB,^P 1) = (A3B3 ,^z) - β = (AB,^ P 2) = (A3B3 ,^y) Chú ý: th c c a đ ng c nh ph i đ bi t thu c đ ng c nh 2.2.2 2.2.2.1 c xác đ nh b ng đ th c c a hai m phân ng th ng vng góc v i mp hình chi u ng th ng chi u b ng nh ngh a: ⊥ P Tính ch t: - A2 ≡ B2 A1B1 ⊥ x (đ c tr ng) - A1B1 = AB = A3B3 2.2.2.2 ng th ng chi u đ ng nh ngh a: ⊥ P Tính ch t: - A1 ≡ B1 A2B2 ⊥ x (đ c tr ng) - A2B2 = AB = A3B3 2.2.2.3 ng th ng chi u c nh nh ngh a: ⊥ P Tính ch t: - A1B1 // A2B2 // x (đ c tr ng) - A1B1 = A2B2 = AB - A3 ≡ B3 2.3 i m thu c đ ng th ng 2.3.1 ng th ng không ph i đ ng c nh inh lý: M ∈ AB ⇔ M1 ∈ A1B1 & M2 ∈ A2B2 Trang HHHH – LNT – HHVKT BKHCM ng th ng đ 2.3.2 ng c nh A1 Gi s M1 ∈ A1B1 & M2 ∈ A2B2 nh lý: M ∈ AB ⇔ (M1A1B1) = (M2A2B2) C ng có th dùng hình chi u c nh M ∈ AB ⇔ M3 ∈ A3B3 2.4 V trí t ng đ i gi a hai đ 2.4.1 Hai đ ng th ng c t M1 B1 A* M* B* A2 M2 B2 M3 B3 A2 M2 B2 ng th ng a1 inh lý: x a ∩ b = M ⇔ a1 ∩ b1 = M1 & a2 ∩ b2 = M2 Tr ng h p m t hai đ ng đ ng c nh ta ph i xét thêma2 giao m có thu c đ ng c nh khơng 2.4.2 Hai đ A3 A1 M1 B1 M1 b1 b2 M2 ng th ng song song ng th ng không ph i đ 2.4.2.1 a1 ng c nh inh lý: a // b ⇔ a1 // b1 & a2 // b2 b2 ng th ng đ 2.4.2.2 b1 ng c nh Gi s hai đ ng c nh AN CD không thu c m t m t ph ng song song v i P nh lý: i u ki n c n đ đ hai đ ng c nh AB CD song song đ ng n i m d u mút c a chúng song song ho c c t C ng có th dùng hình chi u c nh AB // CD ⇔ A3B3 // C3D3 A1 C1 A1 C1 B1 D1 B1 D1 B1 A2 C2 A2 B2 D2 B2 C2 D2 A2 C2 D2 B2 2.4.3 Hai đ Hai đ a1 3 C3 D1 B3 ng th ng chéo ng th ng không song song ho c c t chéo a1 b1 x x a2 C1 b2 a2 b1 b2 M t ph ng 3.1 Bi u di n M t ph ng đ c bi u di n b ng y u t xác đ nh m t ph ng: Trang HHHH – LNT – HHVKT BKHCM - Ba m không th ng hàng M t m m t đ ng th ng không ch a m Hai đ ng th ng c t Hai đ ng th ng song song 3.2 M t ph ng đ c bi t 3.2.1 M t ph ng vng góc v i mp hình chi u 3.2.1.1 M t ph ng chi u đ ng nh ngh a: ⊥ P Tính ch t: - Hình chi u đ ng suy bi n thành đ ng th ng (đ c tr ng) - α = (A ,^P 2) = (A ,^x) 3.2.1.2 M t ph ng chi u b ng nh ngh a: ⊥ P Tính ch t: - Hình chi u b ng suy bi n thành đ ng th ng (đ c tr ng) - β = (A ,^ P 1) = (A ,^x) 3.2.1.3 M t ph ng chi u c nh nh ngh a: ⊥ P Tính ch t: - Ch a nh t m t đ ng th ng chi u c nh (đ c tr ng) - Hình chi u c nh suy bi n thành đ ng th ng 3.2.2 M t ph ng song song v i mp hình chi u 3.2.2.1 M t ph ng b ng Trang HHHH – LNT – HHVKT BKHCM nh ngh a: // P Tính ch t: - Hình chi u đ ng suy bi n thành đ ng th ng song song v i x (đ c tr ng) - Hình chi u b ng c a m t hình ph ng l n b ng th t 3.2.2.2 M t ph ng m t nh ngh a: // P Tính ch t: - Hình chi u b ng suy bi n thành đ ng th ng song song v i x (đ c tr ng) - Hình chi u đ ng c a m t hình ph ng l n b ng th t 3.2.2.3 M t ph ng c nh nh ngh a: // P Tính ch t: - Hình chi u đ ng b ng suy bi n thành đ ng th ng vng góc v i x (đ c tr ng) - Hình chi u c nh c a m t hình ph ng l n b ng th t 3.3 - i m đ ng th ng thu c m t ph ng i m thu c m t ph ng thu c m t đ ng th ng c a m t ph ng ng th ng thu c m t ph ng có hai m phân bi t thu c m t ph ng Trang HHHH – LNT – HHVKT BKHCM Ch ng Các toán c b n Các toán ph c t p đ u c u t o t nhi u toán đ n gi n Mu n gi i nh ng toán ph c t p ph i thông qua vi c gi i nh ng toán đ n gi n Nh ng toán đ n gi n đ c xem ph ng ti n đ gi i tốn hình h c ho hình đ c g i nh ng toán c b n Các tốn v trí Xác đ nh s t ng quan v v trí gi a y u t hình h c 1.1 Bài toán t ng giao 1.1.1 Giao c a đ ng th ng v i m t ph ng chi u Ví d 1: Cho đ th ng v i m t ph ng Gi i: Ví d 2: Cho đ chi u P 1, P Gi i: ng th ng d m t ph ng chi u đ ng A, xác đ nh giao c a đ ng th ng d, tìm giao c a đ ng th ng v i m t ph ng hình Giao m c a đ ng th ng v i m t ph ng hình chi u đ th ng - U = d ∩ P : v t đ ng c a đ ng th ng d - V = d ∩ P : v t b ng c a đ 1.1.2 Giao c a đ đ ng c g i v t c a đ ng ng th ng d ng th ng chi u v i m t ph ng Ví d : Cho m t ph ng A(a//b) đ ng th ng m t ph ng Gi i: ng th ng chi u đ ng d Hãy xác đ nh giao c a Trang 11 HHHH – LNT – HHVKT BKHCM 1.1.3 Giao c a m t ph ng v i m t ph ng chi u Ví d 1: Cho m t ph ng chi u đ ng A m t ph ng th c a hai m t ph ng Gi i: ng B(a//b), xác đ nh giao Ví d 2: Cho m t ph ng A (a∩b), xác đ nh giao c a m t ph ng A v i m t ph ng hình chi u P 1, P Gi i: Giao n c a m t ph ng v i m t ph ng hình chi u đ - u = A ∩ P : v t đ ng c a m t ph ng A c g i v t c a m t ph ng - v = A ∩ P : v t b ng c a m t ph ng A Hai v t c a m t ph ng hai đ ng th ng c t c a m t ph ng (c t t i m thu c tr c x) nên chúng xác đ nh m t ph ng Vi c xác đ nh m t ph ng b ng v t đ n gi n thu n ti n nên đ c s d ng nhi u Hình chi u b ng c a v t đ ng hình chi u đ ng c a v t b ng trùng v i tr c hình chi u x nên quy c khơng v Còn l i u1 v2 có th ghi đ n gi n u v V t c a nh ng m t ph ng khác A, B… ký hi u (uA, vA), (uB, vB)… Ví d bi u di n m t ph ng A b ng v t c a chúng: Trang 12 HHHH – LNT – HHVKT BKHCM 1.1.4 Giao c a đ ng th ng v i m t ph ng th ng Dùng ph ng pháp m t ph ng ph tr đ tìm giao m - D ng m t ph ng ph tr σ ch a đ ng th ng (th ng m t ph ng chi u) - Tìm giao n phu g gi a m t ph ng ph tr m t ph ng cho - Tìm giao c a giao ph v i đ ng th ng cho, giao m c n tìm Ví d : Cho đ ng th ng d m t ph ng A(a//b) Xác đ nh giao c a đ ng th ng d m t ph ng A Gi i: 1.1.5 Giao c a hai m t ph ng th ng Ph ng pháp xác đ nh giao n tìm hai m chung c a c hai m t ph ng tìm m t m chung c a hai m t ph ng ta th c hi n theo hai cách sau: Cách 1: Tìm m chung b ng cách tìm giao m c a m t đ ng th ng thu c m t ph ng v i m t ph ng Cách 2: Dùng ph ng pháp m t ph ng ph tr - D ng m t ph ng ph tr σ c t c hai m t ph ng cho - Tìm l n l t giao n ph c a m t ph ng ph tr v i m t ph ng cho - Tìm giao m c a giao n ph ta đ c m chung giao n Ví d 1: Cho hai m t ph ng A(a//b) B(c∩d) Xác đ nh giao c a hai m t ph ng Gi i: Trang 13 HHHH – LNT – HHVKT BKHCM Ví d 2: Cho hai m t ph ng A (uA, vA) B (uB, vB) đ giao c a hai m t ph ng Gi i: 1.2 S 1.2.1 c xác đ nh b ng v t Xác đ nh song song ng th ng song song v i m t ph ng Vi c d ng đ ng th ng song song v i m t ph ng đ c d a m nh đ hình h c: - M t đ ng th ng song song v i m t ph ng n u song song v i nh t m t đ ng th ng thu c m t ph ng Ví d : Qua m M cho tr c d ng m t đ ng b ng song song v i m t ph ng A 1.2.2 Hai m t ph ng song song D a m nh đ hình h c: - Hai m t ph ng song song m t ph ng có ch a m t c p đ ng th ng c t song song v i m t ph ng Ví d : Cho m M không th c m t ph ng A (a∩b) Qua M d ng m t ph ng song song v i m t ph ng A Gi i: Trang 14 HHHH – LNT – HHVKT BKHCM 1.3 Quy c xét th y khu t đ th c Trong th c t quan sát s v t ta th y có ph n th y ph n khu t Trên đ th c cách th hi n th y khu t d a theo quy c sau: - Ng i quan sát đ t m t vô t n theo chi u d ng c a đ xa nhìn hình chi u b ng đ t m t vô t n theo chi u d ng c a đ cao nhìn hình chi u b ng - V t th đ c xem v t r n 1.3.1 Xét th y khu t hình chi u đ ng Dùng c p m đ ng tia chi u đ ng, m có đ xa l n h n (g n m t h n) s th y hình chi u đ ng 1.3.2 Xét th y khu t hình chi u b ng Dùng c p m đ ng tia chi u b ng, m có đ cao l n h n (g n m t h n) s th y hình chi u b ng Trang 15 HHHH – LNT – HHVKT BKHCM Các tốn l ng Nói chung giá tr th t khơng đ c b o tồn qua phép chi u nên đ xác đ nh giá tr th t ta ph i gi i nh ng toán nh t đ nh g i toán l ng 2.1 dài đo n th ng V BB* // AB P1 Xét tam giác vng A1B1A* ta có: - A1A* ⊥ A1B1 - A1A* = hi u đ xa c a A B - B1A* = AB Nh v y b ng cách v tam giác vuông P2 A1B1A* hình chi u đ ng ta xác đ nh đ c đ dài th t c a đo n th ng AB (là B1A*) V AB* // AB P1 Xét tam giác vng A2B2B* ta có: - A1B* ⊥ A1B1 - B2B* = hi u đ xa c a A B - A2B* = AB Nh v y b ng cách v tam giác vuông P2 A2B2B* hình chi u b ng ta xác đ nh đ c đ dài th t c a đo n th ng AB (là A2B*) Chú ý: B ng ph ng pháp tam giác, vi c xác đ nh đ dài th t ta xác đ nh đ c góc th t gi a đ ng th ng AB v i m t ph ng hình chi u - α = (AB,^P 1) = (A1B1^A*) - 2.2 β = (AB,^P 2) = (A2B2^B*) ng th ng vuông góc inh lý: i u ki n c n đ đ m t góc có m t c nh song song v i m t ph ng hình chi u m t góc vng hình chi u vng góc c a m t ph ng hình chi u y c ng m t góc vuông inh lý áp d ng: i u ki n c n đ đ m t đ ng th ng vng góc v i đ ng b ng hình chi u b ng c a đ ng th ng vng góc v i hình chi u b ng c a đ ng b ng i u ki n c n đ đ m t đ ng th ng vng góc v i đ ng m t hình chi u đ ng c a đ ng th ng vng góc v i hình chi u đ ng c a đ ng m t b1 a1 x a2 b2 m1 a1 x a2 m2 a c t vuông góc b a chéo vng góc m Trang 16 HHHH – LNT – HHVKT BKHCM Ví d 1: Cho m t ph ng A (ABC) m t m M Qua M d ng đ vng góc v i m t ph ng A Gi i: ng th ng d Ví d 2: Cho đ ng th ng d m t m M Qua M d ng m t ph ng vng góc v i đ ng th ng d Gi i: M t s toán 3.1 Kho ng cách t m t m đ n đ Ví d : Xác đ nh kho ng cách t m M đ n đ Gi i: ng th ng ng th ng d 3.2 Kho ng cách t m t m đ n m t ph ng Ví d : Cho m M m t ph ng A (uA, vA) Xác đ nh kho ng cách t M đ n m t ph ng A Trang 17 HHHH – LNT – HHVKT BKHCM Gi i: 3.3 Góc gi a đ ng th ng m t ph ng 3.4 Góc gi a hai m t ph ng Ví d : Xác đ nh góc gi a m t ph ng A (uA, vA) m t ph ng hình chi u b ng Gi i: Trang 18 HHHH – LNT – HHVKT BKHCM Ch ng Các phép bi n đ i hình chi u N u hình Φ có v trí hình h c đ c bi t, thơng s hình h c s đ c th hi n hình bi u di n, toán th c hi n thu n l i d dàng h n Các phép bi n đ i hình chi u đ a hình Φ tr thành có v trí đ c bi t so v i m t ph ng hình chi u Th c hi n theo hai cách: - Phép thay m t ph ng hình chi u: Gi nguyên hình Φ, thay h th ng m t ph ng hình chi u cho h th ng m i, hình Φ s có v trí hình h c đ c bi t - Phép d i hình: Gi nguyên h th ng m t ph ng hình chi u, thay đ i v trí c a hình Φ cho v trí m i hình Φ có v trí hình h c đ c bi t Phép thay m t ph ng hình chi u 1.1 Thay m t ph ng hình chi u b ng Là dùng m t ph ng P ‘2 ⊥ P đ thay cho m t ph ng P P1 x' A1 A'x P ∩ P ‘2 = x’ P 2' A'2 A A x x Th c hi n: A'2 - Chi u vng góc A lên P ‘2 đ c m A’2 A2 P2 - Xoay P ‘2 quanh x’ cho đ n trùng P A’2 s đ n thu c P Nh n xét: x' - A1 không đ i A1 - A1A’xA’2 th ng hàng vng góc v i x’ A'x A'2 - A’xA’2 = AxA2 (đ xa m i = đ xa c ) x Ax Th c hi n hình bi u di n: - V tr c hình chi u m i x’ A2 - Qua A1 v đ ng vng góc v i x’ - L y A’2 cho A’xA’2 = AxA2 Tên g i: - P ‘2: m t ph ng hình chi u b ng m i - x: tr c hình chi u m i - A’2: hình chi u b ng m i c a m A - A’xA’2: đ xa m i c a m A Ví d 1: Cho đo n th ng AB, thay m t ph ng hình chi u b ng cho h th ng m t ph ng hình chi u m i AB đ ng b ng Gi i: A1 B1 x A2 B2 Trang 19 HHHH – LNT – HHVKT BKHCM Ví d 2: Cho m t ph ng (ABC), thay m t ph ng hình chi u b ng cho h th ng m i m t ph ng (ABC) m t ph ng chi u b ng Gi i: B1 C1 A1 x A2 C2 B2 1.2 Thay m t ph ng hình chi u đ ng Là dùng m t ph ng P ‘1 ⊥ P đ thay cho m t ph ng P P ∩ P ‘1 = x’ Th c hi n: P1 - Chi u vng góc A lên P ‘1 đ c m A’1 A1 - Xoay P ‘1 quanh x’ cho đ n trùng P A’1 s P '1 A'1 đ n thu c P x Ax A Nh n xét: A'1 A'x - A2 không đ i x' P2 A2 - A2A’xA’1 th ng hàng vng góc v i x’ - A’xA’1 = AxA1 (đ cao m i = đ cao c ) Th c hi n hình bi u di n: A1 - V tr c hình chi u m i x’ x Ax - Qua A2 v đ ng vng góc v i x’ x' - L y A’1 cho A’xA’1 = AxA1 A'1 A2 Tên g i: - P ‘1: m t ph ng hình chi u đ ng m i - x: tr c hình chi u m i - A’2: hình chi u b ng m i c a m A - A’xA’1: đ cao m i c a m A Ví d 1: Thay m t ph ng hình chi u đ ng đ đ ng b ng AB tr thành đ ng th ng chi u đ ng Gi i: A1 B1 x A2 B2 Trang 20 HHHH – LNT – HHVKT BKHCM Ví d 2: Thay m t ph ng hình chi u đ ng đ m t ph ng chi u b ng ABC tr thành m t ph ng m t B1 Gi i: C1 A1 x A2 B2 C2 1.3 Thay liên ti p m t ph ng hình chi u có th bi n đ i đ ng th ng th ng thành đ ng th ng chi u ho c m t ph ng th ng thành m t ph ng song song v i m t ph ng hình chi u, ph i thay liên ti p m t ph ng hình chi u Thay liên ti p m t ph ng hình chi u phép thay l n l t m t ph ng hình chi u đ ng r i m t ph ng hình chi u b ng ho c ng c l i x' A'x x Ax A'1 x'' A1 A'2 A''x A2 Ví d 1: Thay m t ph ng hình chi u đ đ Gi i: A1 x Ax x'' x' A'x A2 A'1 A'' x ng th ng AB tr thành đ A'2 ng th ng chi u A1 B1 x A2 B2 Trang 21 HHHH – LNT – HHVKT BKHCM Ví d 2: Thay m t ph ng hình chi u đ m t ph ng (ABC tr thành m t ph ng song song v i m t ph ng hình chi u Gi i: B1 C1 A1 x A2 C2 B2 Ví d 3: Xác đ nh tr c c a tam giác ABC Gi i: B1 A1 C1 x A2 C2 B2 Ví d 4: Xác đ nh góc gi a hai m t ph ng (ABC) m t ph ng (DBC) Gi i: Trang 22 HHHH – LNT – HHVKT BKHCM Ví d 5: Xác đ nh đo n vng góc chung gi a hai đ Gi i: h Phép quay 2.1 Quay quanh đ ng th ng chéo AB CD ng th ng chi u Quay m t m M quanh tr c t m t góc có ng α th c hi n phép bi n đ i cho: nh M’ c a M v i M n m m t ph ng P vuông góc v i t - OM = OM’ (v i O = t ∩ P ) - Góc MƠM’ = α Quay m t hình Φ quanh tr c t m t góc α quay m i m c a Φ quanh t theo m t góc α 2.1.1 Quay quanh đ ng th ng chi u b ng Quay m A quanh tr c chi u b ng t m t góc α: - A’1 n m đ ng th ng qua A1 song song v i tr c x - A’2 ∈ (t2, t2A2) - Góc A2t2A’2 = α Trang 23 HHHH – LNT – HHVKT BKHCM P1 t1 A1 x t A1 t1 A'1 A O α A' P x t2 t2 A2 A'1 A'2 P2 A2 α A'2 Ví d : Cho đo n th ng AB, th c hi n phép quay quanh tr c chi u b ng đ AB tr thành đ ng m t Gi i: A1 B1 x B2 A2 2.1.2 Quay quanh đ ng th ng chi u đ ng Quay m A quanh tr c chi u đ ng t m t góc α: - A’2 n m đ ng th ng qua A2 song song v i tr c x - A’1 ∈ (t1, t1A1) - Góc A1t1A’1 = α P1 α A1 t1 A2 α Là th c hi n l n l t phép quay quanh tr c chi u b ng r i chi u đ ng ho c ng c l i P O t A'2 P2 A'1 A1 2.1.3 Th c hi n liên ti p phép quay quanh đ ng th ng chi u A' A x t1 x t2 A2 A'2 2.2 Quay quanh đ ng đ ng m c 2.2.1 Quay quanh đ ng b ng Th c hi n phép m A quay quanh đ cho A có đ cao v i b Nh n xét: - A2A’2 ⊥ b2 - O2A2 = OA Th c hi n: - Qua A2 v đ ng ⊥ b2 - Tìm đ dài th t c a OA (= O2A*) t O2A’2 = 02A* ng b ng b Trang 24 HHHH – LNT – HHVKT BKHCM Ví d : Xác đ nh tâm vòng tròn ngoai ti p tam giác ABC Gi i: 2.2.2 Quay quanh đ T ng m t ng t nh phép quay quanh đ ng b ng 2.3 Quay m t ph ng quanh v t – phép g p 2.3.1 Quay quanh v t b ng V t b ng đ ng b ng đ t bi t ta có th quay m t ph ng quanh v t b ng đ m m t ph ng đ n v trí m i thu c m t ph ng hình chi u b ng Phép quay quanh v t b ng c ng th c hi n t ng t nh phép quay quanh đ ng b ng Khi quay m t ph ng quanh v t b ng, đ ng b ng b c a m t ph ng s di chuy n đ n v trí m i b’ song song v i v t b ng Do đ xác đ nh m phép quay quanh v t b ng ng i ta th ng g n m vào đ ng b ng c a m t ph ng 2.3.2 Quay quanh v t đ ng Th c hi n t ng t nh phép quay quanh v t b ng Trang 25 ... i, hình Φ s có v trí hình h c đ c bi t - Phép d i hình: Gi nguyên h th ng m t ph ng hình chi u, thay đ i v trí c a hình Φ cho v trí m i hình Φ có v trí hình h c đ c bi t Phép thay m t ph ng hình. .. (uA, vA) m t ph ng hình chi u b ng Gi i: Trang 18 HHHH – LNT – HHVKT BKHCM Ch ng Các phép bi n đ i hình chi u N u hình Φ có v trí hình h c đ c bi t, thơng s hình h c s đ c th hi n hình bi u di n,... bi n đ i hình chi u đ a hình Φ tr thành có v trí đ c bi t so v i m t ph ng hình chi u Th c hi n theo hai cách: - Phép thay m t ph ng hình chi u: Gi nguyên hình Φ, thay h th ng m t ph ng hình chi