CHƯƠNG 1-LƯỢNG GIÁC

CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BÀI: GĨC LƯỢNG GIÁC VÀ CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC A LÝ THUYẾT Giá trị lượng giác cung α � � Trên đường tròn lượng giác (hình 1.1) cho cung AM có sđ AM   : Gọi M  x; y  Hình 1.1 với tung độ M y  OK , hoành độ x  OH ta có: sin   OK cos   OH sin  cos  tan   ;  cos  �0  cot   ;  sin  �0  cos  sin  Các giá trị sin  , cos  , tan  , cot  gọi giá trị lượng giác cung  Các hệ cần nắm vững Các giá trị sin  ; cos  xác định với  �� Và ta có: sin    k 2   sin  , k ��; cos    k 2   cos  , k �� 1 �sin  �1 ; 1 �cos  �1   �  k ,  k �� tan  xác định với  �k ,  k �� cot  xác định với � Dấu giá trị lượng giác cung  phụ thuộc vào vị trí điểm cuối cung AM   đường tròn lượng giác (hình 1.2) Hình 1.2 Ta có bảng xác định dấu giá trị lượng giác sau Góc phần tư I II III IV Giá trị lượng giác cos  + + sin  + + tan  + + cot  + + Ở hình 1.3 cách nhớ khác để xác định dấu giá trị lượng giác Công thức lượng giác Công thức sin x  cos x  1 tan x   cos x cot x   sin x Công thức cộng sin  x �y   sin x cos y �cos x sin y cos  x �y   cos x cos y msin x sin y Cung đối sin   x    sin x cos   x   cos x tan   x    tan x Cung bù sin x  sin    x  cos x   cos  x    tan x �tan y mtan x tan y Công thức đặc biệt � � � � sin x  cos x  sin �x  � cos �x  � � 4� � 4� tan  x �y   � � � � sin x  cos x  sin �x  �  cos �x  � � 4� � 4� Góc nhân đôi sin x  2sin x cos x cos x  cos x    sin x  cos x  sin x Góc nhân ba sin 3x  3sin x  4sin x cos x  cos3 x  3cos x tan x  tan x tan x   tan x tan x  tan  x    Góc chia đơi sin x    cos x  cos x    cos x  Góc chia ba sin x   3sin x  sin x  cos3 x   3cos x  cos x  STUDY TIP Ở từ công thức góc nhân đơi, góc nhân ba ta suy cơng thức góc chia đơi, chia ba mà khơng cần nhớ nhiều cơng thức Biến đổi tích thành tổng cos x cos y  � cos  x  y   cos  x  y  � � 2� sin x sin y  � cos  x  y   cos  x  y  � � 2� sin x cos y  � sin  x  y   sin  x  y  � � 2� Biến đổi tổng thành tích x y x y cos x  cos y  cos cos 2 x y x y cos x  cos y  2sin sin 2 x y x y sin x  sin y  2sin cos 2 x y x y sin x  sin y  cos sin 2 Giá trị lượng giác cung đặc biệt  (độ)  (radian ) sin  0 30o 45o 60o 90o 180o  0 1 tan  3 3 2 2 2 1 cos  Không xác định     STUDY TIP Từ bảng giá trị lượng giác cung đặc biệt bên ta thấy quy luật sau để độc giả nhớ giá trị lượng giác cung đặc biệt:  30o 45o 60o 90o sin  2 2 Các giá trị tử số tăng dần từ đến Ngược lại giá trị cos , tử số giảm dần từ BÀI: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A LÝ THUYẾT y  sinx y  cosx Hàm số hàm số Quy tắc đặt tương ứng số thực x với sin góc lượng giác có số đo rađian x y  sinx gọi hàm số sin , kí hiệu cosin  cos Quy tắc đặt tương ứng số thực x với góc lượng giác có số đo rađian x y  cosx gọi hàm số cos, kí hiệu Tập xác định hàm số y  sinx;y  cosx � a) Hàm số y  sinx Nhận xét: Hàm số  sinx  sin  x y  sinx hàm số lẻ hà số có tập xác định D  � đối xứng Hàm số y  sinx tuần hoàn với chu kì 2 Sự biến thiên: Sự biến thiên hàm số dưới: y  sinx �  ; � �được biểu thị sơ đồ (hình 1.4) phía đoạn � Bảng biến thiên: Từ ta có bảng biến thiên hàm số y  sinx �  ; � �như sau: đoạn � STUTY TIP Khái niệm: f  x Hàm số xác định D gọi hàm tuần hoàn tồn số T �0 cho với � �x  T �D;x  T �D � x thuộc D ta có �f(x  T )  f  x T Số dương nhỏ (nếu có) thỏa mãn tính chất gọi chu kì hàm tuần hồn Đồ thị hàm số: Nhận xét: Do hàm số y  sinx hàm số y  sinx hàm số lẻ � tuần hồn với chu kì 2 nên vẽ đồ thị � 0; � � ta cần vẽ đồ thị hàm số đoạn � �, sau lấy đối xứng đồ thị  ; � y  sinx đoạn � � �, cuối tịnh tiến đồ thị vừa qua gốc tọa O , ta đồ thị hàm số thu sang trái sang phải theo trục hoành ta đoạn có độ dài 2 ;4 , STUDY TIP �  � � ; � y  sinx � Do tính chất tuần hồn với chu kì 2 , Hàm số đồng biến khoảng � �  �   k2 ;  k2 �,k�Z � � hàm số y  sinx đồng biến khoảng � y  sinx nghịch biến khoảng Tương tự ta suy hàm số � 3 � ,k�Z �2  k2 ;  k2 � � � GHI NHỚ Hàm số y  sinx : - Có tập xác định � � 1;1� - Có tập giá trị � � - Là hàm số lẻ - Đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng - Có đồ thị đường hình sin - Tuần hồn với chu kì 2 �  �   k2 ;  k2 �,k�� � � - Đồng biến khoảng � � 3 � ,k�� �2  k2 ;  k2 � � � - Nghịch biến khoảng y  cosx b) Hàm số � � cosx  sin�x  � � �nên cách tịnh tiến đồ thị hàm số y  sinx sang trái đoạn có Ta thấy  y  cosx độ dài , ta đồ thị hàm số y  cosx Bảng biến thiên hàm số Đồ thị hàm số y  cosx �  ; � � � : STUTY TIP   ;0 Do tính chất tuần hồn với chu kì 2 , hàm y  cosx Hàm số đồng biến khoảng    k2 ;k2  ,k�� y  cosx số đồng biến khoảng  k2 ;  k2  ,k�� y  cosx Tương tự ta suy hàm số nghịch biến khoảng GHI NHỚ y  cosx Hàm số : - Có tập xác định � - Là hàm số chẵn - Là đường hình sin    k2 ;k2  ,k��  k2 ;  k2  ,k�� - Nghịch biến khoảng - Đồng biến khoảng Đọc thêm Hàm số vì: y  a.sin  x  b  c, a,b,c,  �,a  0  hàm tuần hồn với chu kì sở a.sin   x  T   b  c  a.sin  x  b  c,x �� � a.sin  x  b T   a.sin  x  b ,x �� 2 , k��  Và đồ thị đường hình sin � T  k2 , k�� � T  k 2  y  a.cos  x  b  c, a,b,c,  �,a 0 Tương tự hàm số hàm tuần hồn với chu 2  kì sở đồ thị đường hình sin Ứng dụng thực tiễn: Dao động điều hòa mơn Vật lý chương trình 12 Hàm số y  tan x hàm số y  cot x Hình 1.7 � � sin x D1  �\ �  k k ��� tan x  x �D1 �2 cos x Với , quy tắc đặt tương ứng số với số thực D gọi hàm số tang, kí hiệu y  tan x Hàm số y  tan x có tập xác định Với D2  �\  k k �� , quy tắc đặt tương ứng số x �D2 với số thực cot x  D gọi hàm số cơtang, kí hiệu y  cot x Hàm số y  cot x có tập xác định Nhận xét: - Hai hàm số y  tan x hàm số y  cot x hai hàm số lẻ - Hai hàm số hai hàm số tuần hồn với chu kì  a) Hàm số y  tan x Hình 1.8 cos x sin x   Sự biến thiên: Khi cho tăng từ đến điểm M chạy đường tròn lượng giác theo chiều dương từ B�đến B (khơng kể B�và B ) Khi điểm T thuộc trục tang  x   OA, OM  cho AT  tan x chạy dọc theo At , nên tan x tăng từ � đến �(qua giá trị x  ) Giải thích: tan x  AT tan x  MH AT AT    AT OH OA  � �   k ;  k  � , k �� � � Nhận xét: Hàm số y  tan x đồng biến khoảng � Đồ thị hàm số y  tan x nhận đường thẳng x   k ,  k �� làm đường tiệm cận Đồ thị hàm số: � � �\ �  k k ��� �2 Nhận xét: Do hàm số y  tan x hàm số lẻ tuần hoàn với chu kì � � �\ �  k k ��� �2  nên vẽ đồ thị hàm số y  tan x ta cần vẽ đồ thị hàm số � � 0; � � � �, sau lấy đối xứng đồ thị qua gốc tọa độ O , ta đồ thị hàm số y  tan x � � 0; � � � �, cuối tịnh tiến đồ thị vừa thu sang trái sang phải theo trục hồnh Hình 1.9 STUDY TIP  x   k ,  k �� y  tan x Hàm số nhận đường thẳng làm đường tiệm cận GHI NHỚ Hàm số y  tan x : � � D1  �\ �  k k ��� �2 - Có tập xác định - Là hàm số lẻ - Là hàm số tuần hồn với chu kì  - Có tập giá trị �  � �   k ;  k  � , k �� � 2 � � - Đồng biến khoảng - Đồ thị nhận đường thẳng x   k ,  k �� làm đường tiệm cận b) Hàm số y  cot x D  �\  k k �� Hàm số y  cot x có tập xác định hàm số tuần hoàn với chu ki  Tương tự khảo sát hàm số y  tan x ta vẽ đồ thị hàm số y  cot x sau: Hình 1.10 GHI NHỚ Hàm số y  cot x : - Có tập xác định: D2  �\  k k �� - Là hàm số tuần hồn với chu kì  - Đồng biến khoảng - Là hàm số lẻ - Có tập giá trị �  k ;   k  , k �� - Đồ thị nhận đường thẳng x  k ,  k �� làm đường tiệm cận B Các dạng toán liên quan đến hàm số lượng giác Dạng 1: Bài tốn tìm tập xác định hàm số lượng giác Cách f  x Tìm tập D x để có nghĩa, tức D  x �� f  x  �� tìm   Cách f  x Tìm tập E x để khơng có nghĩa, tập xác định hàm số D  �\ E CHÚ Ý A Với hàm số f  x cho biểu thức đại số ta có: � sin x  cos x   �  sin x  cos x  �3 � sin x  cos x   � sin x  cos x � �2 � 2 � � � cos    �  � sin x  sin cos x   � cos sin x  sin cos x � 3 � � � � � � � sin �x  �  sin �2 x  � 6� � 3� � � � � � � sin �x  � sin �2 x  � 6� � 3� �  2 �  �  x   2 x   k 2 x k � �  k �� �� � � 18   3 � � x     x   k 2 x  k 2 � � Câu 30 Đáp án C  sin x  cos x.sin x  cos3 x  cos x  sin x    �  2sin x sin x  cos x.sin x  cos3 x  2cos x � sin x.cos x  cos x.sin x  cos3 x  2cos x � sin 3x  cos3x  2cos x � sin x  cos3 x  cos x 2 � sin   sin x  cos cos3 x  cos x 6 � � � cos � 3x  � cos x 6� �   � � x  3x   k 2 x    k 2 � � 6 �� �� k ��   2  � � x  3x   k 2 x k � � 42 Hai nghiệm dương liên tiếp nhỏ Câu 31 Đáp án C x� � x sin  cos � cos x  � 2� � x x �  2sin cos  cos x  2 � � � sin x  cos x  � sin �x  � � 3� x1   13  , x2  � x1  x2  42 42  �   � x    k 2 x    k 2 � � �� ��  k ��  5  � � x   k 2 x   k 2 � �    Nghiệm dương nhỏ , nghiệm âm lớn ab Vậy  Phương trình đẳng cấp bậc Câu 32 Đáp án D cos x  sin x   sin x  1 � sin x  sin x.cos x  cos x  1 cos x  � sin x  �  1 �  1 - Với - Với cos x �0 chia hai vế cho cos x ta được:  1 � tan x   tan x     tan x  vơ lí � tan x  t  x  k � tan x  �  �� ��  k �� x    k tan x   � � � Vậy số điểm biểu diễn nghiệm đường tròn lượng giác Câu 33 Đáp án C 2cos x  5sin x.cos x  cos x  m   � 2cos x   5sin x.cos x   cos x m 5 � cos x  sin x   3cos x  m � sin x  2cos x  m  2 2 �5 � � � �  2  � m  3 Phương trình có nghiệm �2 � 41 41 �  m  3 � � m  � � Mà 41 41 41 41 �m  � �  �m � 3 2 2 m ��� m � 0;1;2;3; 4;5;6 Vậy có giá trị m thỏa mãn Câu 34 Đáp án B Phương trình sin x  cos x  4sin x   * -Với cos x  � sin x  �1 không thỏa mãn phương trình -Với cos x �0 , chia hai vế phương trình cho cos x ta  * � tan x   tan x    tan x  tan x  � 3tan x  tan x  tan x   � tan x  � sin x  cos x  Câu 35 Chọn đáp án B Điều kiện cos x �0 2 Phương trình � tan x    tan x � tan x  tan x  x  k � tan x  � �� ��   k �� x   k tan x  � � � Vây só nghiệm  0;2  Câu 36 Đáp án C 2sin x  sin x.cos x  m cos x  1 1 �  �  ; � � Trên � 4 � cos x 0  1 � tan x  tan x  m  tan x  � m  tan x  tan x  �  � tan x  t � t � 1;1 x ��  ; � � 4� Đặt m  f  t   t2  t 1 1;1 u cầu tốn tìm m để phương trình có nghiệm  �5 � � m ��  ;1� � Phương trình  1 có nghiệm � � Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn Phương trình đối xứng phương trình lượng giác không mẫu mực Câu 37 Đáp án C sin x  cos x  sin x   1 � sin x  cos x  2 sin x.cos x  � � t  sin x  cos x  sin �x  �� t ��  2; � � � � � Đặt   t   2sin x.cos x � 2sin x.cos x  t  �  1 � t  t   � t � 2t  t   � � � t � + Với t � � � � � sin �x  � � sin �x  � � 4� � 4�  �   � x    k 2 x    k 2 � � 12 �� ��  k �� 7  5 � � x  k 2 x   k 2 � �   � � � � � sin �x  �  � sin �x  � 1 � x     k 2 � 4� � 4� + Với t   � x 3  k 2  k �� Vậy có điểm biểu diễn nghiệm Câu 38 Đáp án D � � sin x  sin �x  � m   � 4� � 2sin x.cos x  sin x  cos x  m   � � t  sin x  cos x  sin �x  �� t ��  2; � � � � � Đặt 2sin x.cos x  t  Phương trình Xét hàm số � m   t  t  * f  t   t  t �  2; � � có nghiệm � �  2; � � � 1� � � m ��   2; � * 4� � Phương trình   có nghiệm Vậy giá trị Câu 39 Đáp án A m � 3; 2; 1;0 thỏa mãn  Điều kiện sin x �0 ۹�x cos x �0 Phương trình � k   k � cos x sin x   sin x  cos x sin x cos x � cos2 x  sin x  sin x.cos x  sin x  cos x  �  sin x  cos x   sin x.cos x  sin x  cos x   � sin x  cos x   1 �� sin x.cos x  sin x  cos x    �  � � � sin �x  � � x    k  k �� � 4� Giải   � � � sin x.cos x   t t  sin x  cos x  sin �x  �� t ��  2; � � � 4� Giải   Đặt ,  2 � � t    tm  1 t2  t  � t  2t   � � t 1  l � �  � 1 1 sin �x  � t � 4� 2 Vậy Câu 40 Chọn đáp án B Cách 1: Điều kiện để phương tình tan x  cot x  t có nghiệm: t  tan x  cot x  tan x  cot x �2 tan x.cot x  � t � �; 2 � 2; � Cách 2: Phương trình tan x   t  tan x �0  tan x có nghiệm � tan x  t.tan x   có nghiệm  �0 � �� �۳ � 02  t.0  �0 � t2 t Câu 41 Đáp án C 3tan x  tan x  4cot x  3cot x     �  tan x  cot x   tan x  cot x     � 4t  t    � 3t  4t   Câu 42 Đáp án A cos x  cos3 x  2cos5 x  �  cos5 x  cos x    cos5 x  cos3x   � 2cos3 x.cos x  2cos x.cos x    � 4cos3 x  3cos x cos x  cos x.cos x    � � cos x � �4cos x  3cos x cos x  cos x � � cos x �  2cos x  1 cos x  2cos 2 x  1� � �   � cos x 4cos 2 x  cos x   cos x  � � � � 17 cos x  � � �  x   k � ��  k �� 1 � 17 � x  � arccos  k 2 � Vậy m � 17 Câu 43 Đáp án C sin x  sin x  sin x  � 2cos x.sin x  2sin x.cos x    � sin x 2cos x  cos x   � � � � sin x  x  k � � � cos x  1 � x    k 2  k �� � �  � � cos x  x  �  k 2 � � Vậy có điểm biểu diễn nghiệm đường tròn lượng giác Câu 44 Đáp án A � �  ��  cos �x  �� �  cos x � � � � � � �� sin x  cos4 �x  � � �  � � � 4� � � � � � � � � � � � �   cos x   �  cos �   2 x  � � �2 � � � �   cos x     sin x   2 �  2cos x  cos 2 x   2sin x  sin 2 x  �  2cos x  2sin x   � � � � � sin �2 x  � � sin �2 x  � sin 4� 4� � � � sin x  cos x  x  k � ��   k �� x   k � �  2 ;3  Vậy phương trình có nghiệm thuộc Câu 45 Đáp án B cos3 x.sin x  sin x.cos3 x  sin x � cos3 x  3cos x 3sin x  sin x sin x  cos3x  sin x 4 �  sin 3x.cos x  sin x.cos3 x   sin x �  sin x  sin x � sin12 x  � x  k  k �� 12 Vậy phương trình có 24 nghiệm  0;2  Câu 46 Đáp án B x 3x x 3x cos x.cos cos  sin x.sin sin  2 2 � cos x 1  cos x  cos x   sin x  cos x  cos x   2 � cos x  cos x  cos x    sin x  sin x.cos x  � cos x  sin x  cos x   sin x  sin x  cos x     �  sin x  cos x   2sin x  sin x   � x    k � �  x    k 2 � � � �  k ��  � tan x  1 � x   k  � �� sin x  1 � � 5 sin x  cos x  � � �� x  k 2 sin x  � 2sin x  sin x   � � �  ;0  Suy có hai nghiệm thuộc      2 Vậy tích hai nghiệm Câu 47 Đáp án A sin x.cos3 x  sin x.cos x � sin x  sin x  sin12 x  sin x � x � 12 x  x  k 2 � � sin8 x  sin12 x � � �� 12 x    x  k 2 � � x � Câu 48 Đáp án D k k ��    k 20 `10 sin x �0 � � � 3 � sin �x  � Điều kiện � � x �k � � � � � 3  k �� x �  k ��0 � � � Ta có � 3 sin �x  � � � � � � � � � sin �x    �  sin �x  � sin �  x � cos x 2� � � � 2� �2 �  �7 � � � � � sin �  x � sin � 2   x �  sin �  x �   sin x  cos x  �4 � � � �4 � Phương trình � 1   2  sin x  cos x  sin x cos x � � �  sin x  cos x  �  2 � �sin x.cos x �  � x    k � � � � �  sin �x  � � � � x    k  k �� sin x  cos x  � � 4� �� � �� 5 � � sin x cos x   x  k sin x   � � � 2 � � � Vậy tổng nghiệm âm liên tiếp lớn    3 3    8 Câu 49 Đáp án A � sin x �1 x �� 1 � 8  cos x �0 � sin x  cos x �1 , mà Ta có � Vậy phương tình cho vơ nghiệm Câu 50 Đáp án A tan x  2sin x  tan x  2 sin x       � tan x  tan x   2sin x  2 sin x   �  tan x  1    2 sin x   �tan x   � �� � x   k 2  k �� sin x  � � Vậy phương trình có nghiệm  0;2  Câu 51 Đáp án C Đặt t 3 x x 3 3x 9  �  t �   3t 10 2 10 10 � sin t  sin    3t  � 2sin t  sin 3t Phương trình � 2sin t  3sin t  4sin t � sin t  2cos 2t  1  t  k sin t  � � 1��  �� t� cos 2t  � � � � � 3 x  k 2 � � 14 �� x  k 2  k ��  k 2 � 4 � x  k 2 � � Vậy phương trình có nghiệm thuộc  0;2  Câu 52 Đáp án B  sin x  2cos x    sin x � sin x  2 cos x   2sin x.cos x �  sin x    cos x   � sin x    3 �� � x  �  k 2  k �� � cos x   � Câu 53 Đáp án B sin x �0 � � cos x �0 � � Điều kiện �tan x �1 � Phương trình cos x  sin x cos x  sin x   sin x  sin x  cos x  cos x  sin x sin x cos x � cos x  sin x  sin x.cos x  cos x  sin x   sin x  cos x  sin x    �  cos x  sin x   sin x cos x  sin x  sin x  cos x  �  cos x �� 1  sin x  0 � � � tan x  1 tm   �� � x   k  k �� sin x  cos x    � Câu 54 Đáp án B  Điều kiện sin x �0 ۹۹� sin x cos x �0 Phương trình � cos x cos x sin x   4sin x  sin x cos x sin x � 2cos x  4sin 2 x  � 2cos 2 x  cos x   � cos x  1 l  �� cos x   � � 2  � x  �  k 2 � x  �  k  k �� 3 0; 2  Vậy phương trình có nghiệm  Câu 55 Đáp án C 2sin 2 x  sin x   sin x � 2sin 2 x   sin x  sin x  � cos x  cos x.sin x  � cos x   sin x   cos x  � ��  sin x  � Vậy ta chọn đáp án C Câu 56 Đáp án D 2sin x   cos x   sin x   cos x � 2sin x   cos x  1  sin x   cos x � 4sin x.cos x  sin x   2cos x � 2sin x.cos x  sin x   cos x �  cos x  1  sin x  1  cos x   � �� sin x   � Vậy ta chọn đáp án D Câu 57 Đáp án A Điều kiện: cos 2x �۹ 0 x  k  Phương trình � 6sin x  2cos x  5sin 2x.cos x � 3sin x  cos x  5sin x.cos3 x   * * - Với cos x  : Khơng thỏa mãn phương trình   - Với cos x �0 : Chia hai vế cho cos x ta được:  * � tan x   tan x    tan x  � tan x  tan x    � tan x  � x   k Kết hợp với điều kiện � Phương trình vơ nghiệm Câu 58 Đáp án A Điều kiện: cos x �0 � x    k ; k �� Phương trình � sin x.cos x  sin x � 2sin x.cos x.cos x  sin x  � 4sin x.cos x.cos x  sin x  �  4cos x.cos x  1 sin x  � � sin x  � 1  �� cos x  � � sin x  � 1  � �� cos x   VN  � cos x  cos x   � � x  k � � �  k �Z 1  � x  � arccos  k � 2 �mn  1  3   2 Câu 59 Đáp án B Điều kiện: PT: cos x �۹ �x  k ; k Z � cos 2x  tan x   cos x    tan x  cos x  1 � � cos x  cos x   � � � cos x  � x    k 2 �  2 � � � x  k  k �Z  � 3 x  �  k 2 �  2 x  �� k 70  1;70 3 Mà 105  �k �  2  � k � 0;1; 2; ;32} � 1; 70 Vậy PT có 33 nghiệm  Phương trình lượng giác chứa tham số Câu 60 Đáp án C  2sin x  1  sin x  m    * có nghiệm thuộc  0;   � sin x    1 � � � sin x  m   � Giải � � �6�   1 � sin x  sin � �  � x    k 2 � ��  k �Z  � x  k 2 � � � PT (1) khơng có nghiệm thuộc  0;   � (*) có nghiệm � 0;   � sin x  m có nghiệm � 0;   � m � 0;1 Chú ý: Độc giả giải cách khác sau: sin x � 0;1 x � 0;   Có � sin x  m � m � 0;1 Câu 61 Đáp án A �  � ��  ; � cos x  1  cos 2x  cos x  m    4sin x  2� � PT có hai nghiệm �  cos x  1  cos x   cos x  m    cos x  1  cos x  1 �  cos x  1  cos x   m   � cos x  (1) � cos x   � �� �� m3 cos x  3  m  � � cos x  (2) � �  �  ; � cos x  � 2� � Giải (1): có hai nghiệm thuộc �  �  ; � � => Phương trình có hai nghiệm thuộc � 2 � � cos x  � � (2) vô nghiệm (2) �m3  1 � m 1 � � m3 � � � 0 � � m  3 �4 � m2 � � m3 �  �4 Vậy có giá trị m thỏa mãn cos x � 0;1 x �R Chú ý: Câu 62 Đáp án C cos x  sin x  3cos x  m  5(*) � cos x    cos x  3cos x  m   � cos x  3cos x  m  cos x  t � 1;1 Đặt , phương trình � t  3t  m  Bảng biến thiên: => Phương trình (*) có nghiệm � 2 �m  �4 � 7 �m �1 Vậy a + b = -8 Câu 63 Đáp án B m sin x   m  1 cos x  m (*) cos x Điều kiện: cos x �0  * � m sin x cos x   m  1 cos x  m m m 1 sin x    cos x   m 2 � m sin x   m  1 cos x  m  1(1) � + Từ m =  + Với m �0 * � cos x  loại điều kiện � m  phương trình (*) vơ nghiệm => (*) có nghiệm (1) � m   m  1 � m  1 2 m �4 � � m  4m �0 � � m �0 � Vậy có giá trị m thỏa mãn Câu 64 Đáp án B cos x   2m  1 s in  m   �  2sin x  2m sin x  sin x  m   � 2sin x  m  s inx    m  s inx   � s inx  (1) � �  s inx-m   2sin x  1  � � s inx  m (2) � � � ��  ; � s inx  � � Giải (1): ln có nghiệm � m phương trình có nghiệm Câu 65 Đáp án D  tan x  tanx  cot x  m sin x �   cot x   tan x  tan x  cot x   m  �  tan x  cot x   tan x  cot x   m  t  tan x  cot x � t   tan x  cot x 2 Đặt t �2 � �� t �2 => u cầu tốn trở thành tìm m để phương trình  t    t   m  có � nghiệm t � �; 2  � 2; � � m  3t  t  t � �; 2 � 2; � có nghiệm Bảng biến thiên: => Phương trình có nghiệm ۳ m Vậy có 2011 giá trị m nhỏ 2018 sin x  2sin x cos x  � cos x  � � � m   m  � m  cos x  cos x   1 � + Với   ... lượng giác cung  phụ thuộc vào vị trí điểm cuối cung AM   đường tròn lượng giác (hình 1.2) Hình 1.2 Ta có bảng xác định dấu giá trị lượng giác sau Góc phần tư I II III IV Giá trị lượng giác. .. góc) lượng giác biểu diễn điểm đường tròn lượng giác * x    k 2 , k �� biểu diễn điểm đường tròn lượng giác * x    k , k �� biểu diễn hai điểm đối xứng qua O đường tròn lượng giác k 2... nhau, tạo thành đỉnh tam giác nội tiếp đường tròn lượng giác *x   k 2 , k ��, n ��* n biểu diễn n điểm cách nhau, tạo thành n đỉnh đa giác nội tiếp đường tròn lượng giác *x   Giải thích