Đề thi tuyển sinh vào lớp 10

ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THCS AN GIANG NĂM HỌC 2004 - 2005 Thời gian 120 phút Lí thuyết (2 điểm) Phần tự chọn Thí sinh chọn hai câu sau : Câu : (2 điểm) 1) Phát biểu định nghĩa phương trình bậc hai ẩn số 2) áp dụng : Trong phương trình sau, phương trình phương trình bậc hai ẩn số ? Hãy xác định hệ số phương trình a) 2x + = ; b) x2 + 2x - = ; c) x - 2x3 = ; d) -2x2 + 5x = Câu : (2 điểm) 1) Phát biểu định nghĩa góc nội tiếp 2) áp dụng : Trong hình vẽ đây, góc nội tiếp (Học sinh vẽ lại hình làm bài) Bài tốn (8 điểm) Phần bắt buộc Thí sinh phải làm tốn sau : Bài : (2,0 điểm) Tính : Bài :(2,0 điểm) Cho phương trình : x2 + 2x - m = 0, với m tham số thực 1) Giải phương trình m = 15 2) Tìm m để phương trình có nghiệm kép, tính nghiệm kép Bài :(1,5 điểm) 1) Vẽ đồ thị (d1) hàm số y = 2x - 2) Xác định hàm số y = 3x + b biết đồ thị (d2) cắt trục tung điểm có tọa độ (0 ; 3) Cho biết vị trí tương đối (d1) (d2) Bài : (2,5 điểm) Cho đường tròn tâm O có đường kính BC Trên cung BC lấy điểm A cho AB nhỏ AC, từ O kẻ đường thẳng vng góc với BC cắt AD D 1) Chứng minh tứ giác ABOD nội tiếp đường tròn 2) Khi BC = 10 cm, , tính AC ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT VĨNH PHÚC Thời gian 150 phút Câu : (2 điểm) a) Tính giá trị biểu thức : b) Giải hệ phương trình : Câu : (2,5 điểm) Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m : x2 + 4mx + 3m2 + 2m - = a) Giải phương trình với m = b) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt c) Xác định giá trị tham số m để phương trình nhận x = nghiệm Câu : (1,75 điểm) Giải toán cách lập phương trình Một khu vườn hình chữ nhật, chiều dài lớn chiều rộng 5m, diện tích 300m2 Tính chiều dài chiều rộng khu vườn Câu : (3 điểm) Từ điểm P nằm ngồi đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến PM PN với đường tròn (O) (M, N tiếp điểm) Đường thẳng qua điểm P cắt đường tròn (O) hai điểm E F Đường thẳng qua O song song với PM cắt PN Q Gọi H trung điểm đoạn EF Chứng minh : a) Tứ giác PMON nội tiếp đường tròn b) Các điểm P, N, O, H nằm đường tròn c) Tam giác PQO cân d) PM2 = PE.PF e) PHM = PHN Câu : (0,75 điểm) Giả sử Hãy tính tổng a + b ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THCS HÀ NỘI NĂM HỌC 2003 2004 A- Lí thuyết : (2 điểm) Thí sinh chọn hai đề sau : Đề Định nghĩa phương trình bậc hai ẩn số nghiệm Hãy tìm nghiệm chung hai phương trình : x + 4y = x - 3y = -4 Đề Phát biểu định lí góc có đỉnh bên ngồi đường tròn Chứng minh định lí trường hợp hai cạnh góc cắt đường tròn B- Bài tập bắt buộc : (8 điểm) Bài : (2,5 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn P b) Tính giá trị P, biết c) Tìm giá trị x thỏa mãn : Bài : (2 điểm) Giải toán sau cách lập phương trình : Để hồn thành công việc, hai tổ phải làm chung Sau làm chung tổ hai điều làm việc khác, tổ hoàn thành cơng việc lại 10 Hỏi tổ làm riêng sau làm xong cơng việc ? Bài : (3,5 điểm) Cho đường tròn (O) bán kính R, đường thẳng d khơng qua O cắt đường tròn hai điểm A, B Từ điểm C d (C nằm đường tròn), kẻ hai tiếp tuyến CM, CN với đường tròn (M, N thuộc (O)) Gọi H trung điểm AB, đường thẳng OH cắt tia CN K a) Chứng minh bốn điểm C, O, H, N nằm đường tròn b) Chứng minh KN.KC = KH.KO c) Đoạn thẳng CO cắt đường tròn (O) I, chứng minh I cách CM, CN MN d) Một đường thẳng qua O song song với MN cắt tia CM, CN E F Xác định vị trí C d cho diện tích tam giác CEF nhỏ ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THCS THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2003 2004 Lí thuyết : (2 điểm) Chọn hai câu sau : 1/ Phát biểu chứng minh định lí Vi-ét (hệ thức Vi-ét) phần thuận Áp dụng : Cho phương trình 7x2 + 31x - 24 = a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình Khơng giải phương trình, tính x1 + x2 + x1.x2 2/ Viết cơng thức tính độ dài đường tròn, cung tròn (có ghi kí hiệu cơng thức) Áp dụng : Tính độ dài cung 90o đường tròn đường kính 6dm Bài tập bắt buộc : (8 điểm) Bài : (1 điểm) Giải phương trình hệ phương trình : Bài : (1,5 điểm) Vẽ parabol y = - x2/2 (P) : đường thẳng (D) : y = 3x hệ trục tọa độ Tìm tọa độ giao điểm (P) (D) phép tính Bài : (1 điểm) Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài 7/4 chiều rộng có diện tích 1792m2 Tính chu vi khu vườn Bài : (1 điểm) Thu gọn biểu thức sau : Bài : (3,5 điểm) Trên đường tròn (O, R) đường kính AB, lấy hai điểm M, E theo thứ tự A, M, E, B (hai điểm M, E khác hai điểm A, B) AM cắt BE C ; AE cắt BM D a) Chứng minh MCED tứ giác nội tiếp CD vng góc với AB b) Gọi H giao điểm CD AB Chứng minh BE.BC = BH.BA c) Chứng minh tiếp tuyến M E đường tròn (O) cắt điểm nằm đường thẳng CD d) Cho biết Tính diện tích tam giác ABC theo R ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH HẢI DƯƠNG Mơn Tốn lớp (2003 - 2004) (Thời gian : 150 phút) Bài : (2,5 điểm) Giải phương trình : |xy - x - y + a| + |x2y2 + x2y + xy2 + xy - 4b| = Bài : (2,5 điểm) Hai phương trình : x2 + (a - 1)x + = ; x2 + (b + 1)x + c = có nghiệm chung, đồng thời hai phương trình : x2 + x + a - = x2 + cx + b + = có nghiệm chung Tính giá trị biểu thức 2004a/(b + c) Bài : (3,0 điểm) Cho hai đường tròn tâm O1 tâm O2 cắt A, B Đường thẳng O1A cắt đường tròn tâm O2 D, đường thẳng O2A cắt đường tròn tâm O1 C Qua A kẻ đường thẳng song song với CD cắt đường tròn tâm O1 M cắt đường tròn tâm O2 N Chứng minh : 1) Năm điểm B ; C ; D ; O1 ; O2 nằm đường tròn 2) BC + BD = MN Bài : (2,0 điểm) Tìm số thực x y thỏa mãn x2 + y2 = x + y số nguyên ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH BÌNH THUẬN Mơn Tốn lớp (2003 - 2004) (Thời gian : 150 phút) Bài : (6 điểm) 1) Chứng minh : số ngun 2) Tìm tất số tự nhiên có chữ số cho : với n số nguyên lớn Bài : (6 điểm) 1) Giải phương trình : 2) Cho Parabol (P) : y = 1/4 x2 đường thẳng (d) : y = 1/2 x + a) Vẽ (P) (d) hệ trục tọa độ Oxy b) Gọi A, B giao điểm (P) (d) Tìm điểm M cung AB (P) cho diện tích tam giác MAB lớn c) Tìm điểm N trục hoành cho NA + NB ngắn Bài : (8 điểm) 1) Cho đường tròn tâm O dây cung BC không qua tâm O Một điểm A chuyển động đường tròn (A khác B, C) Gọi M trung điểm đoạn AC, H chân đường vng góc hạ từ M xuống đường thẳng AB Chứng tỏ H nằm đường tròn cố định 2) Cho đường tròn (O, R) (O’, R’) với R’ > R, cắt điểm A, B Tia OA cắt đường tròn (O’) C tia O’A cắt đường tròn (O) D Tia BD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD E So sánh độ dài đoạn BC BE ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUẬNN HOÀN KIẾM, HÀ NỘI 2003 - 2004 Mơn tốn lớp (Thời gian : 120 phút) Bài : (4 điểm) Giải phương trình Bài : (4 điểm) Cho số nguyên dương x, y, z Chứng minh : Bài : (4 điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình : (2a + 5b + 1)(2|a| +a2 + a + b) = 105 Bài : (3 điểm) Ba bạn A, B, C chơi cỗ gồm quân Trên quân có viết số tự nhiên (các số khác lớn 0) Mỗi người phát quân nhận số kẹo số viết quân Sau quân thu lại, xáo trộn phát lại Sau hai lần chơi, A nhận 20 kẹo, B nhận 10 kẹo, C nhận kẹo Hỏi số ghi quân ? Biết số lớn viết quân lớn Bài : (5 điểm) Cho tam giác ABC cân A,  A =  C = 80oTừ B C kẻ đường thẳng cắt cạnh đối diện tương ứng D E cho  CBD = 60o  BCE = 50o Tính  BDE Mơn tốn lớp (Thời gian : 120 phút Bài : (4 điểm) Giải phương trình Bài : (4 điểm) Tìm x để hàm số y = x/(x + 2004)2 có giá trị lớn Bài : (4 điểm) Cho phương trình Với giá trị a phương trình có nghiệm khơng nhỏ ? Bài : (4 điểm) Từ điểm O thuộc miền hình thang cân ABCD (AB = CD) nối với đỉnh hình thang đoạn thẳng OA, OB, OC, OD Chứng minh từ đoạn thẳng nhận được, dựng tứ giác nội tiếp hình thang (mỗi đỉnh tứ giác nằm cạnh hình thang cân) Bài : (4 điểm) Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b Gọi Ib, Ic theo thứ tự độ dài đường phân giác góc B góc C Chứng minh b > c Ib < Ic ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP TỈNH VĨNH PHÚC, NĂM HỌC 2003 - 2004 Mơn : Tốn (Thời gian : 150 phút) Câu : (3 điểm) Cho hệ phương trình với tham số a : a) Giải hệ phương trình a = -2 b) Tìm giá trị tham số a để hệ phương trình có hai nghiệm Câu : (2 điểm) a) Cho x, y, z số thực không âm thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức : A = -z2 + z(y + 1) + xy b) Cho tứ giác ABCD (hai cạnh AB CD có độ dài) nội tiếp đường tròn bán kính Chứng minh tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn bán kính r Câu : (2 điểm) Tìm tất số nguyên dương n cho phương trình 499(1997n + 1) = x2 + x có nghiệm nguyên Câu : (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông (AC BC) Đường tròn (O) đường kính CD cắt hai cạnh AC BC E F (D hình chiếu vng góc C lên AB) Gọi M giao điểm thứ hai đường thẳng BE với đường tròn (O), hai đường thẳng AC MF cắt K, giao điểm đường thẳng EF BK P a) Chứng minh bốn điểm B, M, F P thuộc đường tròn b) Giả sử ba điểm D, M P thẳng hàng Tính số đo góc tam giác ABC c) Giả sử ba điểm D, M P thẳng hàng, gọi O trung điểm đoạn CD Chứng minh CM vuông góc với đường thẳng nối tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MEO với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MFP QUẠN PHÚ THUẬN, TP HỒ CHÍ MINH, NĂM HỌC 2004 - 2005 Mơn : Tốn (Thời gian : 90 phút) Bài : (2 điểm) Tìm số nguyên x để biểu thức sau số phương : x4 - x2 + 2x + Bài : (2 điểm) Giải phương trình hệ phương trình : Bài : (2 điểm) Cho số dương a, b, c thỏa mãn chứng minh Bài : (2 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB Trên đường thẳng AB lấy điểm C nằm đoạn AB Từ C kẻ hai tiếp tuyến CE, CF với đường tròn (O) (E, F hai tiếp điểm) Gọi I giao điểm AB EF Qua C kẻ cát tuyến cắt đường tròn (O) M N (M nằm C N) Chứng minh : a) Bốn điểm O, I, M, N nằm đường tròn b) AIM = BIN Bài : (2 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính BC điểm A thuộc đường tròn (O) Kẻ đường cao AH tam giác ABC Gọi I, K theo thứ tự giao điểm đường phân giác tam giác AHB, AHC Đường thẳng IK cắt AB, AC M N Chứng minh tam giác ABC) (SAMN : diện tích tam giác AMN, SABC : diện tích ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THỊ XẤ HÀ ĐƠNG, HÀ TÂY Mơn Tốn lớp (2003 - 2004) (Thời gian : 120 phút) o Bài : (4 điểm) Cho đa thức : f(x) = 2x5 - 4x3 + x2 - 2x + g(x) = x5 - 2x4 + x2 - 5x + h(x) = x4 + 4x3 + 3x2 - 8x + a) Tính M(x) = f(x) - 2g(x) + h(x) b) Tính giá trị M(x) : c) Có giá trị x để M(x) = ? o Bài : (4 điểm) a) Tìm số a, b, c biết : 3a = 2b ; 5b = 7c 3a + 5c - 7b = 60 b) Tìm x biết : |2x - 3| - x = |2 - x| o Bài : (4 điểm) Tìm giá trị nguyên m, n để biểu thức : a) có giá trị lớn b) có giá trị nguyên nhỏ o Bài : (5 điểm) Cho tam giác ABC có AB < AC, AB = c, AC = b Qua M trung điểm BC người ta kẻ đường vng góc vớ iđường phân giác A đường thẳng cắt đường thẳng AB, AC D E a) Chứng minh : BD = CE b) Tính AD BD theo b, c o Bài : (3 điểm) Cho tam giác ABC cân A,  A = 100o, D điểm thuộc miền tam giác ABC cho DBC = 10o, DCB =20o Tính ADB Mơn Tốn lớp (2003 - 2004) (Thời gian : 150 phút) o Bài : (5 điểm) Cho a) Rút gọn A b) Tìm A để x = 6013 c) Tìm x để A < d) Tìm x để A nguyên o Bài : (3 điểm) Cho A = (x + y + z)3 - x3 - y3 - z3 a) Rút gọn A b) Chứng minh A chia hết cho với x, y, z nguyên o Bài : (4 điểm) Sau loạt bắn đạn thật chiến sĩ Hùng, Dũng, Cường (mỗi người bắn viên), người báo bia cho biết có ba điểm khác 8, 9, 10 thông báo : a) Hùng đạt điểm 10 b) Dũng không đạt điểm 10 c) Cường không đạt điểm Đồng thời cho biết thông báo có thơng báo đúng, cho biết kết điểm bắn người o Bài : (5 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, AB = c, AC = b Lần lượt dựng AB, AC, bên ngồi tam giác ABC tam giác vng cân ABD D, ACE E a) Chứng minh điểm E, A, D thẳng hàng b) Gọi trung điểm BC I, chứng minh tam giác DIE vng c) Tính diện tích tứ giác BDEC d) Đường thẳng ED cắt đường thẳng CB K Tính tỉ số sau theo b c : img src="Images/22dethi6.gif"> o Bài : (3 điểm) Cho tứ giác ABCD, M điểm CD (khác C, D) Chứng minh MA + MB < max {CA + CB ; DA + DB} (kí hiệu max {CA + CB ; DA + DB} giá trị lớn giá trị CA + CB ; DA + DB) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUẬN TÂN PHÚ THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH, NĂM HỌC 2003 - 2004 Mơn Tốn lớp (Thời gian : 90 phút) o Bài : (5,5 điểm) 1) Cho biểu thức a) Tìm số nguyên n để biểu thức A phân số b) Tìm số nguyên n để biểu thức A số nguyên 2) Tìm x biết : a) x chia hết cho 12 ; x chia hết cho 25 ; x chia hết cho 30 ; ≤ x ≤ 500 b) (3x - 24).73 = 2.74 c) |x - 5| = 16 + 2.(-3) 3) Bạn Đức đánh số trang sách số tự nhiên từ đến 145 Hỏi bạn Đức sử dụng tất chữ số ? Trong chữ số sử dụng có chữ số ? o Bài : (2 điểm) Cho đoạn thẳng AB Trên tia đối tia AB lấy điểm M, tia đối tia BA lấy điểm N cho AM = BN So sánh độ dài đoạn thẳng BM AN o Bài : (2,5 điểm) Cho XOY = 100oVẽ tia phân giác Oz XOY ; Vẽ tia Ot nằm XOY cho YOT = 25o 1) Chứng tỏ tia Ot nằm hai tia Oz, Oy 2) Tính số đo ZOT 3) Chứng tỏ Ot tia phân giác ZOY Mơn Tốn lớp (Thời gian : 90 phút) o Bài : (3 điểm) a) Tính b) Biết 13 + 23 + + 103 = 3025 Tính S = 23 + 43 + 63 + + 203 c) Tính giá trị A biết x = 1/2, y số nguyên âm lớn o Bài : (1 điểm) Tìm x biết : 3x + 3x + + 3x + = 117 o Bài : (1 điểm) Một thỏ chạy đường mà hai phần ba đường băng qua đồng cỏ đoạn đường lại qua đầm lầy Thời gian thỏ đồng cỏ nửa thời gian đầm lầy Hỏi vận tốc thỏ chạy đoạn đường qua đầm lầy hay vận tốc thỏ chạy đoạn đường qua đồng cỏ lớn lớn lần ? o Bài : (2 điểm) Cho tam giác nhọn ABC Vẽ phía ngồi tam giác ABC tam giác ABD ACE Gọi M giao điểm DC BE Chứng minh : a) ∆ ABE = ∆ ADC b) BMC = 120o o Bài : (3 điểm) Cho ba điểm B, H, C thẳng hàng, BC = 13 cm, BH = cm, HC = cm Từ H vẽ tia Hx vng góc với đường thẳng BC Lấy A thuộc tia Hx cho HA = cm a) Tam giác ABC tam giác ? Chứng minh điều Bài : (5 điểm) a) Tính : b) Tìm x biết : Bài : (3 điểm) So sánh : Bài : (2 điểm) Chứng minh số hợp số Bài : (4 điểm) Ba bạn Hồng, Lan, Huệ chia số kẹo đựng gói Gói thứ có 31 chiếc, gói thứ hai có 20 chiếc, gói thứ ba có 19 chiếc, gói thứ tư có 18 chiếc, gói thứ năm có 16 chiếc, gói thứ sáu có 15 Hồng Lan nhận gói số kẹo hồng gấp hai số kẹo Lan Tính số kẹo nhận bạn Bài : (6 điểm) Cho điểm O đường thẳng xy, nửa mặt phẳng có bờ xy, vẽ tia Oz cho góc xOz nhỏ 90o a) Vẽ tia Om, On tia phân giác góc xOz zOy Tính góc mOn ? b) Tính số đo góc nhọn hình số đo góc mOy 35o c) Vẽ đường tròn (O ; cm) cắt tia Ox, Om, Oz, On, Oy điểm A, B, C, D, E Với điểm O, A, B, C, D, E kẻ đường thẳng phân biệt qua cặp điểm ? Kể tên đường thẳng ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP TỈNH THÁI BÌNH * Mơn thi : Tốn * Thời gian : 120 phút * Khóa thi : 2002 - 2003 Bài : (4 điểm) Cho dãy : 1, -5, 9, -13, 17, -21, 25, … 1) Tính tổng 2003 số hạng dãy 2) Viết số hạng tổng quát thứ n dãy cho Bài : (4 điểm) Tìm x thỏa mãn : 1) 2003 - |x - 2003| = x 2) |2x - 3| + |2x + 4| = Bài : (3 điểm) Vẽ đồ thị hàm số sau : y = |1 - |1 - x|| Bài : (3 điểm) Tìm cặp số nguyên (x ; y), cho : 2x - 5y + 5xy = 14 Bài : (6 điểm) Cho DABC có tia phân giác góc B C cắt I, đường phân giác ngồi góc B C cắt K Gọi E giao điểm đường thẳng BI KC 1) Tính Đ BIC, Đ BEC , Đ BKC góc A = 60o 2) Tính Đ BIC, Đ BEC, Đ BKC Đ A = ao ( 0o < ao < 180o) ĐỀ THI GIẢI LƯƠNG THẾ VINH QUẬN - TP HỒ CHÍ MINH * Mơn thi : Tốn lớp * Thời gian : 120 phút * Khóa thi : 2002 - 2003 Bài : (5 điểm) Tìm x biết : Bài : (3 điểm) Tính : a) A = + - - + + - - + … - 1999 - 2000 + 2001 + 2002 - 2003 b) B = (1/4 - 1)(1/9 - 1)(1/16 - 1)(1/25 - 1) (1/121 - 1) Bài : (4 điểm) a) Tìm a, b, c biết : 2a = 3b, 5b = 7c, 3a + 5c - 7b = 30 b) Tìm hai số nguyên dương cho : tổng, hiệu (số lớn trừ số nhỏ), thương (số lớn chia cho số nhỏ) hai số cộng lại 38 Bài : (6 điểm) Cho tam giác ABC vng cân B, có trung tuyến BM Gọi D điểm thuộc cạnh AC Kẻ AH, CK vng góc với BD (H, K thuộc đường thẳng BD) Chứng minh : a) BH = CK b) Tam giác MHK vuông cân Bài : (2 điểm) Cho tam giác ABC cân A, có góc A = 20o, BC = cm Trên AB dựng điểm D cho = 10o Tính độ dài AD ? ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP TỈNH NAM ĐỊNH * Mơn thi : Tốn * Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2002 - 2003 Bài : Rút gọn biểu thức : Bài : Gọi a b hai nghiệm phương trình bậc hai x2 - x - = Chứng minh biểu thức P = a + b + a3 + b3, Q = a2 + b2 + a4 + b4 R = a2001 + b2001 + a2003 + b2003 số nguyên chia hết cho Bài : Cho hệ phương trình (x, y ẩn số) : a) Giải hệ phương trình với m = b) Tìm m cho hệ phương trình (1) có nghiệm Bài : Cho hai vòng tròn (C1) (C2) tiếp xúc ngồi với T Hai vòng tròn nằm vòng tròn (C3) tiếp xúc với (C3) tương ứng M N Tiếp tuyến chung T (C1) (C2) cắt (C3) P PM cắt (C1) điểm thứ hai A MN cắt (C1) điểm thứ hai B PN cắt (C2) điểm thứ hai D MN cắt (C2) điểm thứ hai C Chứng minh tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp Chứng minh đường thẳng AB, CD PT đồng qui Bài : Một ngũ giác có tính chất : Tất tam giác có ba đỉnh ba đỉnh liên tiếp ngũ giác có diện tích Tính diện tích ngũ giác ĐỀ THI GIẢI LÊ Q ĐƠN QUẬN TÂN BÌNH - TP HỒ CHÍ MINH * Mơn thi : Tốn lớp * Thời gian : 90 phút * Khóa thi : 2002 - 2003 Bài : (3 điểm) Tìm số nguyên x biết : a) - < 5x/13 < b) 1/(2x - 4) = 2/28 Bài : (3 điểm) 1) Một dưa hấu nặng 2/7 khối lượng 2,5 kg Hỏi dưa hấu nặng kg ? 2) Cho a thuộc Z Hỏi số x = a/3 + a2/3 + a6/3 có phải số ngun khơng ? Vì ? Bài : (4 điểm) 1) Trong hình vẽ sau : a Có tam giác có cạnh EF ? b Có tất góc có đỉnh E, kể c Nếu biết số đo góc BDC = 60o tia DE có phải tia phân giác góc EDF khơng ? Vì ? 2) Vẽ hình theo cách diễn đạt sau : Hãy vẽ điểm : A, B, C, M, N, P, Q, R, S hình phải thỏa mãn tất điều kiện sau : a) A, P, Q thẳng hàng b) A, M, N thẳng hàng c) R, M, C thẳng hàng d) A, P, R thẳng hàng e) M, C, S thẳng hàng f) A, B, S thẳng hàng g) B, C, Q thẳng hàng h) B, C, N thẳng hàng i) M, N, R không thẳng hàng k) B, P, Q không thẳng hàng ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP HUYỆN YÊN LẠC - TỈNH VĨNH PHÚC * Môn thi : Tốn * Thời gian :150 phút * Khóa thi : 2002 - 2003 Câu : (2 điểm) Cho : A = (a2 + 4a + 4) / (a3 + 2a2 - 4a - 8) a) Rút gọn A b) Tìm a ẻ Z để A số nguyên Câu : (2,5 điểm) a) Cho a + b + c = 1/a + 1/b + 1/c = Tính a2 + b2 + c2 b) Cho ba số a, b, c đôi khác thỏa mãn : a / (b - c) + b / (c - a) + c / (a - b) = Chứng minh ba số a, b, c phải có số âm, số dương Câu : (2 điểm) Giải phương trình : a) |x + 1| = |x(x + 1)| b) x2 + / x2 + y2 + / y2 = Câu : (1 điểm) Tổng số tự nhiên chữ số 2359 Tìm số tự nhiên Câu : (2,5 điểm) Cho tam giác vuông ABC vuông A điểm H di chuyển BC Gọi E, F điểm đối xứng qua AB, AC H a) Chứng minh E, A, F thẳng hàng b) Chứng minh BEFC hình thang Có thể tìm vị trí H để BEFC trở thành hình thang vng, hình bình hành, hình chữ nhật khơng ? c) Xác định vị trí H để tam giác EHF có diện tích lớn ĐỀ THI VÀO LỚP 10 NĂNG KHIẾU ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH * Mơn thi : Tốn (chun) * Thời gian : 150 phút ; * Khóa thi : 2003 - 2004 Câu : 1) Chứng minh : phương trình (a2 - b2)x2 + 2(a2 - b2)x + a2 - b2 = ln có nghiệm với a, b 2) Giải hệ phương trình : Câu : 1) Với số nguyên dương n, đặt an = 22n + - 2n + + ; bn = 22n + + 2n + + Chứng minh với n, an.bn chia hết cho an + bn không chia hết cho 2) Tìm tất ba số nguyên dương đơi khác cho tích chúng tổng chúng Câu : Cho ΔABC vuông A, có đường cao AA1 Hạ A1H vng góc với AB, A1K vuông govd với AC Đặt A1B = x, A1C = y 1) Gọi r r’ bán kính đường tròn nội tiếp ABC AHK Hãy tính tỉ số r'/r theo x, y, tìm giá trị lớn tỉ số 2) Chứng minh tứ giác BHKC nội tiếp đường tròn Tính bán kính đường tròn theo x, y Câu : 1) Cho đường tròn (C) tâm O điểm A khác O nằm đường tròn Một đường thẳng thay đổi, qua A khơng qua O cắt (C) M, N Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN ln qua điểm cố định khác O 2) Cho đường tròn (C) tâm O đường thẳng (D) nằm ngồi đường tròn I điểm di động (D) Đường tròn đường kính IO cắt (C) M, N Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định Câu : 1) Cho bảng vuông x ô Trên ô hình vng này, ban đầu người ta ghi số số cách tùy ý (mỗi ô số) Với phép biến đổi bảng, cho phép chọn hàng cột hàng cột chọn, đổi đồng thời số thành số 1, số thành số Chứng minh sau số hữu hạn phép biến đổi vậy, ta đưa bảng ban đầu bảng gồm toàn số 2) vương quốc “Sắc màu kì ảo” có 45 hiệp sĩ : 13 hiệp sĩ tóc đỏ, 15 hiệp sĩ tóc vàng 17 hiệp sĩ tóc xanh Khi hai hiệp sĩ có màu tóc khác mà gặp tóc họ đổi sang màu tóc thứ ba (ví dụ, hiệp sĩ tóc đỏ gặp hiệp sĩ tóc vàng hai đổi sang tóc xanh) Hỏi xảy trường hợp sau số hữu hạn lần gặp vương quốc “Sắc màu kì ảo”, tất hiệp sĩ có màu tóc khơng ? ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN NGUYỄN TRÃI - HẢI DƯƠNG * Mơn thi : Tốn (chun) * Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2003 - 2004 Bài : (1,5 điểm) Cho hai số dương a b Xét tập hợp T bao gồm số có dạng : T = {ax + by, x > ; y > ; x + y = 1} Chứng minh số : thuộc tập T Bài : (2,0 điểm) Cho ΔABC, D E tiếp điểm đường tròn nội tiếp ΔABC với cạnh AB, AC Chứng minh đường phân giác góc B, đường trung bình (song song với cạnh AB) ΔABC đường thẳng DE đồng quy Bài : (2,5 điểm) 1) Giải hệ phương trình : 2) Tìm số hữu tỉ a, b, c cho số : a + 1/b , b + 1/c , c + 1/a số nguyên dương Bài : (1,0 điểm) Tìm đa thức f(x) g(x) với hệ số nguyên cho : Bài : (1,5 điểm) Tìm số nguyên tố p để 4p2 + 6p2 + số nguyên tố Bài : (1,5 điểm) Cho phương trình x2 + ax + b = 0, có hai nghiệm x1 x2 (x1 ≠ x2), đặt un = (x1n - x2n)/(x1 - x2) (n số tự nhiên) Tìm giá trị a b cho đẳng thức : un + 1un + - unun + = (-1)n với số tự nhiên n, từ => un + un + = un + 2 ĐỀ THI VÀO LỚP 10 HỆ CHUYÊN TỈNH HÀ TÂY * Mơn : Tốn (chung) * Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2003 - 2004 Bài : (2 điểm) Cho biểu thức : với x ≥ ; x ≠ 1) Rút gọn P 2) Tìm x cho P < Bài : (1,5 điểm) Cho phương trình : mx2 + (2m - 1)x + (m - 2) = Tìm m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn : x12 + x22 = 2003 Bài : (2 điểm) Một bè nứa trôi tự (với vận tốc vận tốc dòng nước) ca nô dời bến A để xuôi dòng sơng Ca nơ xi dòng 144 km quay trở bến A ngay, lẫn hết 21 Trên đường ca nô trở bến A, cách bến A 36 km gặp bè nứa nói Tìm vận tốc riêng ca nơ vận tốc dòng nước Bài : (3,5 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R C trung điểm đoạn thẳng AO, đường thẳng Cx vng góc với đường thẳng AB, Cx cắt nửa đường tròn I K điểm nằm đoạn thẳng CI (K khác C ; K khác I), tia AK cắt nửa đường tròn cho M Tiếp tuyến với nửa đường tròn tâm O điểm M cắt Cx N, tia BM cắt Cx D 1) Chứng minh bốn điểm A, C, M, D nằm đường tròn 2) Chứng minh ΔMNK cân 3) Tính diện tích ΔABD K trung điểm đoạn thẳng CI 4) Chứng minh : Khi K di động đoạn thẳng CI tâm đường tròn ngoại tiếp ΔAKD nằm đường thẳng cố định Bài : (1 điểm) Cho a, b, c số bất kì, khác thỏa mãn : ac + bc + 3ab ≤ 3) Tìm giá trị x để B = - Bài : (2,5 điểm) Cho phương trình : x2 - (m+5)x - m + = (1) 1) Giải phương trình với m = 2) Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm x = - 3) Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn : S = x12 + x22 = 13 Bài : (2 điểm) Một phòng họp có 360 chỗ ngồi chia thành dãy có số chỗ ngồi Nếu thêm cho dãy chỗ ngồi bớt dãy số chỗ ngồi phòng họp khơng thay đổi Hỏi ban đầu số chỗ ngồi phòng họp chia thành dãy Bài : (3 điểm) Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B Đường kính AC đường tròn (O) cắt đường tròn (O’) điểm thứ hai E Đường kính AD đường tròn (O’) cắt đường tròn (O) điểm thứ hai F 1) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp 2) Chứng minh C, B, D thẳng hàng tứ giác OO’EF nội tiếp 3) Với điều kiện vị trí hai đường tròn (O) (O’) EF tiếp tuyến chung hai đường tròn (O) (O’) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP QUẬN TP HỒ CHÍ MINH * Mơn : Tốn * Khóa thi : 2002 - 2003 * Thời gian : 90 phút Bài : (3 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử : a) x2 + 6x + b) (x2 - x + 1) (x2 - x + 2) - 12 Bài : (4 điểm) a) Cho x + y + z = Chứng minh x3 + y3 + z3 = 3xyz b) Rút gọn phân thức : Bài : (4 điểm) Cho x, y, z độ dài ba cạnh tam giác A = 4x2y2 - (x2 + y2 - z2)2 Chứng minh A > Bài : (3 điểm) Tìm số dư phép chia biểu thức : (x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) + 2002 cho x2 + 8x + 12 Bài : (6 điểm) Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), đường cao AH Trên tia HC lấy HD = HA Đường vng góc với BC D cắt AC E a) Chứng minh AE = AB b) Gọi M trung điểm BE Tính góc AHM ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂNG KHIẾU TRƯỜNG NĂNG KHIẾU HÀN THUYÊN (BẮC NINH) * Môn : Toán Bài : (2 điểm) Xét biểu thức : * Khóa thi : 2002 - 2003 * Thời gian : 150 phút 1) Rút gọn y Tìm x để y = 2) Giả sử x > Chứng minh : y - |y| = 3) Tìm giá trị nhỏ y ? Bài : (2 điểm) Giải hệ phương trình : Bài : (2 điểm) Cho hình vng có cạnh 1, tìm số lớn điểm đặt vào hình vng (kể cạnh) cho khơng có điểm số điểm có khoảng cách bé 1/2 đơn vị Bài : (2 điểm) Cho hai đường tròn đồng tâm điểm M cố định đường tròn nhỏ Qua M kẻ hai đường thẳng vng góc với nhau, đường cắt đường tròn nhỏ A khác M, đường cắt đường tròn lớn B C Khi cho hai đường thẳng quay quanh M vng góc với nhau, chứng minh : 1) Tổng MA2 + MB2 + MC2 không đổi 2) Trọng tâm tam giác ABC điểm cố định Bài : (2 điểm) 1) Chứng minh tích số ngun dương liên tiếp khơng thể số phương 2) Cho tam giác ABC điểm E nằm cạnh AC Hãy dựng đường thẳng qua E chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ (THCS) TP HỒ CHÍ MINH Năm học 2002 - 2003 * Mơn thi : Tốn * Thời gian : 150 phút Bài : (4 điểm) Cho phương trình : (2m - 1) x2 - 2mx + = a) Định m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng (-1 ; 0) b) Định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa |x12 - x22| = Bài : (5 điểm) Giải phương trình hệ phương trình sau : Bài : (3 điểm) a) Cho a > c, b > c, c > Chứng minh : b) Cho x ≥ , y ≥ Chứng minh : Bài : (3 điểm) Từ điểm A đường tròn (O), kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) Trên tia đối tia BC lấy điểm D Gọi E giao điểm DO AC Qua E vẽ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn (O), tiếp tuyến cắt đường thẳng AB K Chứng minh bốn điểm D, B, O, K thuộc đường tròn Bài : (2 điểm) Cho tam giác ABC vuông A có M trung điểm BC Có hai đường thẳng lưu động vng góc với M cắt đoạn AB AC D E Xác định vị trí D E để diện tích tam giác DME đạt giá trị nhỏ Bài : (3 điểm) Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt hai điểm A B Qua A vẽ hai đường thẳng (d) (d’), đường thẳng (d) cắt (O) C cắt (O’) D, đường thẳng (d’) cắt (O) M cắt (O’) N cho AB phân giác góc MAD Chứng minh CD = MN KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC CƠ SỞ TỈNH THÁI BÌNH * Mơn thi : Tốn * Thời gian : 120 phút * Khóa thi : 2001-2002 A Lí thuyết (2 điểm) Thí sinh chọn hai đề : Đề thứ : a) Nêu định nghĩa phương trình bậc hai ẩn số Cho ví dụ b) Giải phương trình : x2 - 2x - = Đề thứ hai : Nêu định lí góc có đỉnh bên ngồi đường tròn Vẽ hình, ghi giả thiết, kết luận cho trường hợp xảy B Bài toán bắt buộc (8 điểm) Bài : (2 điểm) Cho biểu thức : a) Rút gọn biểu thức K b) Tính giá trị K c) Tìm giá trị a cho K < Bài : (2 điểm) Cho hệ phương trình : a) Giải hệ phương trình cho m = b) Tìm giá trị m để hệ phương trình vơ nghiệm Bài : (4 điểm) Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn này, kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt tiếp tuyến Ax By E F a) Chứng minh AEMO tứ giác nội tiếp b) AM cắt OE P, BM cắt OF Q Tứ giác MPOQ hình ? Tại ? c) Kẻ MH vng góc với AB (H thuộc AB) Gọi K giao điểm MH EB So sánh MK với KH d) Cho AB = 2R gọi r bán kính đường tròn nội tiếp tam giác EOF Chứng minh : SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG ĐỀ THI TỐT NGHIỆP PHỔ THƠNG THCS Mơn thi : Tốn - Năm học 1999 - 2000 Thời gian làm : 120 phút (không kể thời gian giao đề) A Lý thuyết : (2 điểm) Học sinh chọn câu sau : Câu : a) Hãy viết định nghĩa bậc hai số học số a ≥ Tính: b) Hãy viết định nghĩa đường thẳng song song với mặt phẳng Câu : a) Hãy viết dạng tổng quát hệ hai phưng trình bậc hai ẩn số b) Chứng minh : “Mọi góc nội tiếp chắn nửa đường tròn góc vng” B Bài toán : (8 điểm) Bắt buộc cho học sinh Bài : (2 điểm) a) Cho : Tính M + N M x N b) Tìm tập xác định hàm số : c) Cho đường thẳng (d) có phưng trình Hãy tìm tọa độ giao điểm đường thẳng (d) với trục tọa độ Bài : (2 điểm) Trong phòng có 288 ghế xếp thành dãy, dãy có số ghế Nếu ta bớt dãy dãy lại thêm ghế vừa đủ cho 288 người họp (mỗi người ngồi ghế) Hỏi phòng có dãy ghế dãy có ghế ? Bài : (4 điểm) Cho nửa đường tròn đường kính AB, Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn C điểm nửa đường tròn cho cung AC cung CB Trên cung CB lấy điểm D tùy ý (D khác C B) Các tia AC, AD cắt Bx E F a) Chứng minh ΔABE vuông cân b) Chứng minh ΔABF ~ ΔBDF c) Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp d) Cho điểm C di động nửa đường tròn (C khác A B) D di động cung CB (D khác C B) Chứng minh: AC x AE = AD x AF có giá trị khơng đổi KỲ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI, HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2002 - 2003 Mơn Tốn - Dành cho lớp chuyên tự nhiên Thời gian làm 150 phút Bài I (3,0 điểm) Cho biểu thức : 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tìm số nguyên x để biểu thức A số nguyên Bài II (3,0 điểm) 1) Gọi x1 x2 hai nghiệm phương trình : x2 - (2m - 3)x + - m = Tìm giá trị m để x12 + x22 + 3x1.x2 ( x1 + x2)đạt giá trị lớn 2) Cho a, b số hữu tỉ thỏa mãn: a2003 + b2003 = a2003 b2003 Chứng minh phương trình : x2 + 2x + ab = có hai nghiệm hữu tỉ Bài III (3,0 điểm) 1) Cho tam giác cân ABC, góc A = 180o Tính tỉ số BC/AB 2) Cho hình quạt tròn giới hạn cung tròn hai bán kính OA, OB vng góc với Gọi I trung điểm OB, phân giác góc AIO cắt OA D, qua D kẻ đường thẳng song song với OB cắt cung tròn C Tính góc ACD Bài IV (1,0 điểm) Chứng minh bất đẳng thức : với a, b, c số thực ... kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT TRẦN ĐẠI NGHĨA TP HỒ CHÍ MINH *Mơn thi : Tốn (vòng 2) * Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2004 - 2005 Câu : Cho phương... số đo góc DEC lần góc DBC Bài : (2 điểm) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = Chứng minh : 3/(xy + yz + zx) + 2/( x2 + y2 + z2) > 14 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TINH BẮC GIANG * Mơn thi : Tốn... đường thẳng BC E Tính AE theo a b ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 HỆ THPT CHUYÊN TRƯỜNG ĐHKHTN, ĐHQG HÀ NỘI * Mơn thi : Tốn (vòng 2) * Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2004 - 2005 * Câu : Giải phương