Bài toán đuổi bắt trong trò chơi tuyến tính với hạn chế hình học trên thang thời gian

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– LÊ THỊ THÚY NGÀ BÀI TỐN ĐUỔI BẮT TRONG TRỊ CHƠI TUYẾN TÍNH VỚI HẠN CHẾ HÌNH HỌC TRÊN THANG THỜI GIAN THÁI NGUYÊN, THÁNG 11 NĂM 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– LÊ THỊ THÚY NGÀ BÀI TỐN ĐUỔI BẮT TRONG TRỊ CHƠI TUYẾN TÍNH VỚI HẠN CHẾ HÌNH HỌC TRÊN THANG THỜI GIAN Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN PGS.TS TẠ DUY PHƯỢNG THÁI NGUYÊN, THÁNG 11 NĂM 2017 Mục lục Mở đầu Thang thời gian 1.1 Giải tích thang thời gian 1.1.1 Định nghĩa thang thời gian khái niệm 1.1.2 Tôpô thang thời gian 12 1.1.3 Đạo hàm thang thời gian 12 1.1.4 Phép tính tích phân thang thời gian 18 1.1.5 Tính hồi quy thang thời gian 22 1.2 Hệ động lực thang thời gian 24 1.2.1 Phương trình động lực tuyến tính bậc 24 1.2.2 Cơng thức nghiệm phương trình hệ phương trình động lực tuyến tính bậc 25 Trò chơi đuổi bắt tuyến tính với hạn chế hình học thang thời gian 27 2.1 Trò chơi đuổi bắt tuyến tính với hạn chế hình học thang thời gian 27 2.2 Trò chơi đuổi bắt tuyến tính với hạn chế hình học thơng tin chậm thang thời gian 31 2.3 Trò chơi đuổi bắt tuyến tính với hạn chế hỗn hợp thang thời gian 35 2.3.1 Trò chơi đuổi bắt tuyến tính với hạn chế hỗn hợp thang thời gian 35 2.3.2 Trò chơi đuổi bắt tuyến tính rời rạc với hạn chế hỗn hợp 37 2.3.3 Trò chơi đuổi bắt tuyến tính liên tục với hạn chế hỗn hợp 38 2.4 Trò chơi đuổi bắt tuyến tính với thơng tin chậm hạn chế hỗn hợp thang thời gian 39 Mở đầu Phương trình sai phân mơ hình nhiều tốn thực tế Đồng thời coi phương trình sai phân rời rạc hóa phương trình vi phân mơ hình xấp xỉ phương trình sai phân Lý thuyết phương trình vi phân phương trình sai phân phát triển song song Khá nhiều kết phương trình vi phân (tính ổn định, tính điều khiển được, tốn trò chơi, ) phát biểu lại cách tương tự cho phương trình sai phân Vậy câu hỏi tự nhiên đặt là: Liệu hợp hai mơ hình phương trình sai phân phương trình vi phân mơ hình thống không? Năm 1988, luận án Tiến sĩ (dưới hướng dẫn Bernd Aulbach), nhằm mục đích thống nghiên cứu hệ động lực liên tục (hệ phương trình vi phân) hệ động lực rời rạc (hệ phương trình sai phân), Stefan Hilger đưa khái niệm thang thời gian Từ tới nay, có số sách, hàng chục luận án Tiến sĩ hàng nghìn báo nghiên cứu giải tích (phép tốn vi phân tích phân) hệ động lực thang thời gian Thang thời gian có ý nghĩa triết học sâu sắc: Thang thời gian cho phép nghiên cứu hai mặt chất thực tế, tính liên tục tính rời rạc Trong toán học, thang thời gian cho phép thống nhiều mơ hình khác khái niệm cơng cụ Giải tích thang thời gian hệ động lực thang thời gian nhiều nhóm nhà tốn học nước (GS Nguyễn Hữu Dư học trò, xem thí dụ [1]) nước (Đức, Mỹ, Nga, Trung Quốc, ) quan tâm nghiên cứu Đã có số viết ứng dụng thang thời gian nghiên cứu kinh tế vĩ mơ, mơ tả hệ sinh thái, tốn tối ưu Lý thuyết trò chơi đời từ năm 1950-1960 với cơng trình móng nhà toán học Isaacs R., Pontriagin L S, Kraxopxkii N E Sau lý thuyết trò chơi phát triển mạnh mẽ, nhiều nhà toán học giới nghiên cứu vấn đề Lý thuyết trò chơi có nguồn gốc từ tốn thực tế: Khảo sát hệ động lực có nhiều đối tượng điều khiển, đối tượng có mục đích riêng, chí trái ngược nhau; nghiên cứu đối tượng điều khiển khơng có đầy đủ thơng tin trạng thái pha nó; đưa đối tượng điều khiển chịu tác động ngẫu nhiên trước trạng thái cho trước; toán đuổi bắt đối tượng đối tượng khác, Bài toán đuổi bắt tốn lý thuyết trò chơi Bài tốn phát biểu sau: cho hai đối tượng (người đuổi người chạy) mà chuyển động chúng mơ tả hệ phương trình vi phân có tham gia biến điều khiển Mục tiêu người đuổi để tiến gần đến người chạy nhanh tốt Mục đích người chạy làm để tránh người đuổi lâu tốt, xa tốt Vì nói mục đích người đuổi làm cực tiểu hàm đó, người chạy làm cực đại hàm Để giải vấn đề người ta thường tập trung vào tìm điều kiện đủ điều kiện cần đề kết thúc trò chơi Luận văn "BÀI TỐN ĐUỔI BẮT TRONG TRỊ CHƠI TUYẾN TÍNH VỚI HẠN CHẾ HÌNH HỌC TRÊN THANG THỜI GIAN" nghiên cứu trò chơi tuyến tính thang thời gian Luận văn gồm phần Mở đầu, chương, phần Kết luận Tài liệu tham khảo Chương Nhắc lại khái niệm thang thời gian, khái niệm toán tử nhảy tiến, toán tử nhảy lùi, hàm hạt, điểm trù mật điểm cô lập; khái niệm tính chất phép tính vi phân, tích phân thang thời gian đối chiếu kết số thang thời gian thường gặp Tiếp đưa cơng thức nghiệm hệ động lực tuyến tính thang thời gian Chương Trình bày khái niệm trò chơi đuổi bắt tuyến tính thang thời gian với hạn chế hình học điều kiện kết thúc trò chơi; chứng minh điều kiện đủ kết thúc trò chơi đuổi bắt tuyến tính thang thời gian với hạn chế hình học hạn chế hỗn hợp với thông tin chậm Các định lí chương kết chung ba tác giả Vi Diệu Minh, Lê Thị Thúy Ngà Lê Văn Quý hoàn thành hướng dẫn PGS TS Tạ Duy Phượng Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS TS Tạ Duy Phượng, người thầy dành thời gian hướng dẫn, tận tình bảo, tạo điều kiện giúp đỡ trang bị kiến thức, nghiên cứu tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thày, Ban giám hiệu, Phòng Sau đại học, Phòng Đào tạo, Khoa Tốn-Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi mặt suốt trình học tập trường qua trình làm luận văn Xin cảm ơn Ban giám hiệu, Ban chuyên môn đồng nghiệp Trường trung học phổ thông Hưng Yên, tỉnh Hưng Yên, nơi công tác, tạo điều kiện để tơi hồn thành nhiệm vụ học tập Xin chân thành cảm ơn Thạc sĩ Vi Diệu Minh, giảng viên mơn Tốn, trường Đại học Nơng Lâm, Đại học Thái Nguyên cộng tác giúp đỡ tơi chun mơn suốt q trình làm luận văn Cuối tác giả xin gửi lời cảm ơn đặc biệt đến người thân, gia đình, đồng nghiệp người bạn tạo điều kiện thuận lợi, động viên, giúp đỡ suốt q trình học tập hồn thiện luận văn Thái Nguyên, ngày 10 tháng 11 năm 2017 Tác giả luận văn Lê Thị Thúy Ngà Chương Thang thời gian Trong chương này, chúng tơi trình bày số vấn đề giải tích thang thời gian hệ động lực thang thời gian có liên quan đến nội dung nghiên cứu đề tài Các kiến thức chương tham khảo tài liệu [1], [4], [5], [7], [8], [9] 1.1 Giải tích thang thời gian 1.1.1 Định nghĩa thang thời gian khái niệm Định nghĩa 1.1 Thang thời gian (time scale) tập đóng tùy ý khác rỗng tập số thực R Thang thời gian thường ký hiệu T Ví dụ 1.1 1) Các tập hợp R, Z thang thời gian chúng tập đóng R 2) Các tập hợp ∞ T1 = ∞ [2k, 2k + 1] ; Pa,b = k=0,k∈N [k (a + b) , k (a + b) + a] k=0,k∈N (với a, b số thực dương) thang thời gian chúng tập đóng R 3) Các khoảng mở R khơng tập đóng R nên chúng khơng phải thang thời gian 4) Các tập Q, R\Q; [0, 1) khơng phải thang thời gian chúng khơng phải tập đóng R Thật vậy, tập Q khơng phải tập đóng R Q dãy 1, 7; 1, 73; 1, 732; √ có giới hạn √là √ 3√khơng thuộc Q Tập R\Q khơng tập đóng R √ dãy số 2; 22 32 ; 42 R\Q có giới hạn không thuộc R\Q Tập [0, 1) khơng tập đóng có dãy ; ; ; ; [0, 1) có giới hạn khơng thuộc [0, 1) 5) Cho số cố định h ∈ R, h > T xác định sau T = hZ = {hn, n ∈ Z} = { , −3h, −2h, −h, 0, h, 2h, 3h } T thang thời gian tập đóng trong R 6) Cho số cố định q ∈ R, q > T xác định sau T = q Z = {q n , n ∈ Z} = , q −3 , q −2 , q −1 , 1, q, q , q , T không thang thời gian Thật vậy, xét dãy số un = q n T có giới hạn khơng thuộc T nên T khơng tập đóng 7) Cho số cố định q ∈ R, q > T xác định sau T = q Z ∪ {0} = {q n , n ∈ Z} ∪ {0} = , q −3 , q −2 , q −1 , 1, q, q , q , ∪ {0} T thang thời gian T tập đóng 8) Tập số phức C khơng phải thang thời gian C tập R C tập đóng Định nghĩa 1.2 Cho T thang thời gian Toán tử nhảy tiến (forward jump) tốn tử σ:T→T xác định cơng thức σ(t) := inf{s ∈ T, s > t} Toán tử nhảy lùi (backward jump) toán tử ρ:T→T xác định công thức ρ(t) := sup{s ∈ T, s < t} Quy ước inf ∅ = sup T; sup ∅ = inf T Nhận xét Nếu T có giá trị lớn M σ(M ) = M Nếu T có giá trị nhỏ m ρ(m) = m Định nghĩa 1.3 Cho T thang thời gian Điểm t ∈ T gọi điểm cô lập phải (right-scattered) σ(t) > t; Điểm t ∈ T gọi điểm cô lập trái (left-scattered) ρ(t) < t; Điểm t ∈ T gọi điểm cô lập (insolated) ρ(t) < t < σ(t) Định nghĩa 1.4 Cho T thang thời gian Điểm t ∈ T gọi điểm trù mật phải (right-dence) σ(t) = t; Điểm t ∈ T gọi điểm trù mật trái (left-dence) ρ(t) = t; Điểm t ∈ T gọi điểm trù mật (dence) ρ(t) = t = σ(t) Định nghĩa 1.5 Cho thang thời gian T Hàm hạt (grainiess) tốn tử µ : T → [0; ∞) xác định cơng thức µ(t) := σ(t) − t Ví dụ 1.2 1) Khi T = Z (thang thời gian rời rạc) σ(t) = t + 1; ρ(t) = t − 1; µ (t) = 1, với t thuộc Z Do t − < t < t + 1, với t thuộc Z nên điểm Z điểm cô lập 2) Khi T = R (thang thời gian liên tục) σ(t) = t; ρ(t) = t; µ (t) = 0, với t thuộc R Do σ(t) = ρ(t) = t, với t thuộc R nên điểm R điểm 35 hay πz(K) = m2 Do trò chơi kết thúc sau thời gian K Ý nghĩa điều kiện Định lí 2.2 sau 1) Trên đoạn [0; α] ta thơng tin người chạy nên chọn điều khiển u∗ (t) bất kì, thỏa mãn (2.2.3) 2) Vì khơng xây dựng điều khiển u(t) người đuổi ứng với điều khiển người chạy v(t) với ≤ t ≤ r(τ ) r(K) ≤ t ≤ K nên đưa vào "điều kiện nuốt", tức điều khiển đặt lên M2 : M2 phải đủ to để "nuốt được" Ta có M2 ∗ H(K) = Ø Nhận xét Khi r(t) ≡ t ta có r∆ (t) = nên từ Định lí 2.2 ta có Định lí 2.1 2.3 2.3.1 Trò chơi đuổi bắt tuyến tính với hạn chế hỗn hợp thang thời gian Trò chơi đuổi bắt tuyến tính với hạn chế hỗn hợp thang thời gian Xét tốn trò chơi đuổi bắt tuyến tính z ∆ (t) = A (t) z (t) − B (t) u (t) + C (t) v (t) , (2.2.1) với t ≥ t0 ; t, t0 ∈ T Người đuổi người chạy thỏa mãn hạn chế dạng hỗn hợp sau: Tại bước điều khiển người đuổi thỏa mãn hạn chế tích phân, người chạy thỏa mãn hạn chế hình học T u (s) ∆s ≤ ρ2 ; v (t) ∈ Q (t) , (2.2.2) t0 Q (t) ⊆ Rq với t ∈ T Định lí 2.3 Giả sử giả thiết sau thỏa mãn Giả thiết Tồn tốn tử tuyến tính rd- liên tục F (τ ) : Rq → Rp có tính chất πΦA (t, τ ) B (τ ) F (τ ) = πΦA (t, τ ) C (τ ) , (2.2.3) 36 với τ ≥ t0 , τ ∈ T Giả thiết K ∈ T số nhỏ số số thực t ≥ t0 , t ∈ T cho χ (t) ≤ ρ, t χ (t) = sup F (τ ) v (τ ) v(t)∈Q(t) ∆τ ∆τ ≤ (ρ − χ (K))2 t0 Giả thiết πΦA (K, 0) z0 ∈ G (K) , G (K) := K K πΦA (K, σ (τ )) B (τ ) w (τ ) ∆τ : t0 w (τ ) t0 Khi trò chơi đuổi bắt tuyến tính (2.2.1) với hạn chế hỗn hợp (2.2.2)(2.2.3)) xuất phát từ vị trí ban đầu z0 ∈ / M kết thúc sau thời gian K Chứng minh Từ Giả thiết suy ra, tồn hàm w (s) với K w (τ ) ∆τ ≤ (ρ − χ (K))2 t0 cho K πΦA (K, σ (τ )) Bw (τ ) ∆τ πΦA (K, t0 ) z0 = (2.2.4) t0 Giả sử v (τ ) điều khiển chấp nhận người chạy, tức v (t) ∈ Q (t) , t ∈ T Xây dựng điều khiển người đuổi sau u (τ ) = F (τ ) v (τ ) + w (τ ) , ≤ τ ≤ K Theo bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacopxkii ta có K u (τ ) K ∆τ = F (τ ) v (τ ) + w (τ ) t0 K ≤ F (τ ) v (τ ) t0 ∆τ t0 K ∆τ + w (τ ) t0 Vậy u(t) điều khiển chấp nhận ∆τ ≤ χ (K)+(ρ − χ (K)) = ρ 37 Theo cơng thức nghiệm phương trình động lực (2.2.1) ta có K πz (K) = π ΦA (K, t0 ) z0 − ΦA (K, σ (τ )) B (τ ) u (τ ) ∆τ t0 K +π ΦA (K, σ (τ )) C (τ ) v (τ ) ∆τ t0 = πΦA (K, t0 ) z0 − + K t0 K t0 K t0 K t0 πΦA (K, σ (τ )) B (τ ) (F (τ ) v (τ ) + w (τ )) ∆τ πΦA (K, σ (τ )) C (τ ) v (τ ) ∆τ = πΦA (K, t0 ) z0 − − πΦA (K, σ (τ )) B (τ ) u (τ ) ∆τ πΦA (K, σ (τ )) C (τ ) v (τ ) ∆τ = πΦA (K, t0 ) z0 − + K t0 K t0 πΦA (K, σ (τ )) B (τ ) F (τ ) v (τ ) ∆τ πΦA (K, σ (t)) B (τ ) w (τ ) ∆τ + K t0 πΦA (K, σ (τ )) C (τ ) v (τ ) ∆τ Từ Giả thiết (2.2.4) suy K πz (K) = πΦA (K, t0 ) z0 − πΦA (K, σ (τ )) B (τ ) w (τ ) ∆τ = t0 Như vậy, với điều khiển chấp nhận v (t) , ta xây dựng điều khiển chấp nhận u (t) cho trò chơi kết thúc sau thời gian K Định lí chứng minh xong Hệ Với T = R T = Z từ Định lí 2.3 ta có kết biết trò chơi đuổi bắt tuyến tính rời rạc trò chơi đuổi bắt tuyến tính liên tục 2.3.2 Trò chơi đuổi bắt tuyến tính rời rạc với hạn chế hỗn hợp Xét trò chơi đuổi bắt tuyến tính rời rạc z (k + 1) = Az (k) − Bu (k) + Cv (k) , k = 0, 1, ; z (0) = z0 (2.2.1a) 38 với hạn chế hỗn hợp ∞ u (k) ≤ ρ2 ; v (k) ∈ Q(k), k = 0, 1, (2.2.2a) k=0 thang thời gian T = Z Khi ta có Hệ 2.2.1 (Corollary 1, [11]) Giả sử K số nguyên dương cho giả thiết sau thỏa mãn Giả thiết Tồn ma trận F (k), k = 1, 2, , K − cấp q × p thỏa mãn πAK−1−k BF (k) = πAK−1−k C (k) Giả thiết χ2 (K1 ) ≤ ρ2 , K−1 χ (K) = sup F (i) v (i) v(i)∈Q(k) , i = 0, 1, K − Giả thiết πAK z0 ∈ G (K) , K−1 G (K) = K−1 A K−1−i Bw (i) : i=0 w (i) ≤ (ρ − χ (K))2 i=0 Khi trò chơi (3.2.1a) với hạn chế (3.2.2a) kết thúc sau K bước 2.3.3 Trò chơi đuổi bắt tuyến tính liên tục với hạn chế hỗn hợp Xét trò chơi đuổi bắt tuyến tính liên tục với hệ số z (t) = Az (t) − Bu (t) + Cv (t) , t ∈ R; z (0) = z0 (2.2.1b) với hạn chế hỗn hợp ∞ u (s) ds ≤ ρ2 ; v (t) ∈ Q(t), t ≥ (2.2.2b) s=0 thang thời gian T = R Khi ta có Hệ 2.2.2 (Corollary 1, [10]) Giả sử T số dương cho giả thiết sau thỏa mãn: 39 Giả thiết Tồn tốn tử tuyến tính rd−liên tục F (t) : Rq → Rp có tính chất πeAt BF (t) = πeA(T −t) C; ≤ t ≤ T (2.2.3b) Giả thiết T χ (t) = F (t) v (t) sup v(s)∈Q,0≤s≤T dt ≤ ρ2 Giả thiết πeAt z0 ∈ G (T ) , T T (T −s)A πe G (T ) := Bw (s) ds : w (s) ds ≤ (ρ − χ (K))2 Khi trò chơi đuổi bắt tuyến tính (2.2.1b) với hạn chế hỗn hợp (2.2.2b) kết thúc sau thời gian T Nhận xét Ý nghĩa giả thiết Định lí 2.3 sau 1) Giả thiết nói lên "lợi thế" người đuổi: Với điều khiển chấp nhận v(t) thời điểm t, nhờ tốn tử tuyến tính F, ta xây dựng điều khiển u(t) tương ứng người đuổi 2) Giả thiết nói rằng, lượng tiêu tốn cho tốn tử tuyến tính F khơng phép vượt lượng hạn chế người đuổi 3) Giả thiết điều kiện kết thúc trò chơi 2.4 Trò chơi đuổi bắt tuyến tính với thông tin chậm hạn chế hỗn hợp thang thời gian Xét tốn trò chơi đuổi bắt tuyến tính dạng z ∆ (t) = A(t)z(t)−B(t)u(t)+C(t)v(t), t ≥ t0 ; t, t0 ∈ T; z(t0 ) = z0 (2.4.1) Ở z ∈ Rn , hàm u(.), u : T → Rp điều khiển người đuổi, v(.), v : T → Rq điều khiển người chạy Các ma trận A(t), B(t) C(t) có số chiều tương ứng n × n, n × p n × q Các điều khiển thỏa 40 mãn hạn chế hỗn hợp sau T u(s) ∆s ≤ ρ2 ; v(t) ∈ Q(t) ⊆ Rq , t ∈ T (2.4.2) t0 Các hàm khả tích u(.) v(.) thỏa mãn (2.4.1) (2.4.2) gọi điều khiển chấp nhận Để xây dựng thông tin chậm, ta đưa vào giả thiết sau: Giả sử tồn số ν ∈ T, ν ≥ hàm r : Tν → T không giảm, ∆− khả vi T thỏa mãn tính chất sau r(t) ≤ t với t ∈ Tν , Tν := T ∩ [ν, +∞) Để xây dựng điều khiển chấp nhận u(.), người đuổi biết thông tin hệ (2.4.1), tập kết thúc trò chơi M đặc biệt người đuổi biết thông tin điều khiển người chạy điểm r(t), tức u(t) = u (v(r(t))) Giả sử u∗ (t) điều khiển chấp nhận người đuổi, tức T u∗ (s) ∆s ≤ ρ2 Kí hiệu ρ2 := ρ2 − t0 T u∗ (s) ∆s t0 Định lí 2.4 Giả sử K ∈ T số nhỏ cho giả thiết sau thỏa mãn Giả thiết Tồn ma trận hàm rd-liên tục F (t) : Rq → Rp cho πΦA (K, σ(t))B(t)F (t) = πΦA (K, σ (r(t))) C(r(t))r∆ (t) , (2.4.3) với t ∈ T, t ≥ υ Giả thiết K χ2 (K) = sup K F (t)v(r(t))r∆ (t) dt ≤ ρ2 (2.4.4) v(s) ∆s≤σ υ Giả thiết υ πΦA (K, σ(s))B(s)u∗ (s)∆s ∈ G(K) + M2 ∗ H(K) , πΦA (K, 0)z0 − − (2.4.5) 41 G(K) =    K K w(s) ∆s ≤ (ρ − χ(K))2 πΦ(K, σ(s))Bw(s)∆s : υ ,  υ r(ν) H(K) =   K πΦA (K, σ(s))C(s)Q(s)∆s + πΦA (K, σ(s))C(s)Q(s)∆s r(K) Khi trò chơi đuổi bắt (2.4.1)-(2.4.2) kết thúc sau thời gian K Chứng minh Theo (2.4.5), tồn vectơ m ∈ M2 ∗ H(K) − K w(s) ∆s ≤ (ρ − χ(K))2 cho hàm khả tích w(s) [υ, K] ∩ T với υ υ πΦA (K, σ(s))B(s)u∗ (s)∆s πΦA (K, 0)z0 − K πΦ(K, σ(s))B(s)w(s)∆s + m = υ Vì m ∈ M2 ∗ H(K) nên m + H(K) ⊆ M2 Giả sử v(.) điều khiển chấp − nhận người đuổi, r(υ) K πΦA (K, σ(s))C(s)v(s)∆s + πΦA (K, σ(s))C(s)v(s)∆s r(K) r(ν) ∈ H(K) = K πΦA (K, σ(s))C(s)Q(s)∆s + πΦA (K, σ(s))C(s)Q(s)∆s r(K) Do tồn vectơ m2 ∈ M2 cho r(υ) K πΦA (K, σ(s))C(s)v(s)∆s + m+ Chứng tỏ πΦA (K, σ(s))C(s)v(s)∆s = m2 r(K) υ πΦA (K, 0)z0 − πΦA (K, σ(s))B(s)u∗ (s)∆s 42 K = πΦ(K, σ(s))B(s)w(s)∆s + m2 υ r(υ) K πΦA (K, σ(s))C(s)v(s)∆s − − πΦA (K, σ(s))C(s)v(s)∆s (2.4.6) r(K) Với v(.) điều khiển chấp nhận người chạy, ta xây dựng điều khiển chấp nhận người đuổi sau  u∗ (t) t ∈ [0; υ]T ; u(t) := F (t)v(r(t))r(t) + w(t) t ∈ [υ; K]T Khi theo bất đẳng thức Minkovski ta có K K F (t)v(r(t))r∆ (t) + w(t) ∆s u(s) ∆s = υ υ K K F (t)v(r(t))r∆ (t) ∆s + ≤ w(t) ∆s υ υ ≤ (ρ − χ(K)) + χ(K) = ρ Vậy K υ u(s) ∆s = u(s) ∆s + u(s) ∆s υ υ K 2 u∗ (s) ∆s + = K F (t)v(r(t))r∆ (t) + w(t) ∆s υ υ u∗ (s) ∆s + ρ2 = ρ2 − ρ2 + ρ2 = ρ2 ≤ Chứng tỏ u(.) điều khiển chấp nhận Theo công thức nghiệm Cauchy 43 K πz(K) = πΦA (K, 0)z0 − πΦA (K, σ(τ ))B(τ )u(τ )∆τ K + πΦA (K, σ(τ ))C(τ )v(τ )∆τ υ πΦA (K, σ(τ ))B(τ )u∗ (τ )∆τ = πΦA (K, 0)z0 − r(υ) K − πΦA (K, σ(τ ))B(τ )u(τ )∆τ + υ r(K) + πΦA (K, σ(τ ))C(τ )v(τ )∆τ K πΦA (K, σ(τ ))C(τ )v(τ )∆τ + r(υ) πΦA (K, σ(τ ))C(τ )v(τ )∆τ (2.4.7) r(K) Sử dụng Giả thiết πΦA (K, σ(t))B(t)F (t) = πΦA (K, σ (r(t))) C(r(t)) Ta có K πΦA (K, σ(t))B(t)[F (t)v(r(t))r∆ (t) + w(t)]∆t ν K K πΦA (K, σ(t))B(t)F (t)v(r(t))r∆ (t)∆t + = υ πΦA (K, σ(t))B(t)w(t)∆t υ K K πΦA (K, σ(r(t)))C(r(t))v (r (t)) r∆ (t)∆t+ = υ πΦA (K, σ(t))B(t)w(t)∆t υ (2.4.8) Thực phép đổi biến ϑ := r(t) ta có ∆ϑ = r∆ (t)∆(t) ta đến r(K) K πΦA (K, σ(r(t)))C(r(t))v (r (t)) r∆ (t)∆t = υ Thay vào (2.4.8) ta πΦA (K, σ(ϑ))C(ϑ)v (θ) ∆ϑ r(υ) 44 K πΦA (K, σ(t))B(t)u(t)∆t υ K K πΦA (K, σ(r(t)))C(r(t))v (r (t)) r∆ (t)∆ + = υ πΦA (K, σ(t))B(t)w(t)∆t υ r(K) = K πΦA (K, σ(ϑ))C(ϑ)v (θ) ∆ϑ + πΦA (K, σ(t))B(t)w(t)∆t υ r(υ) Thay vào (2.4.7) ta K πz(K) = πΦA (K, 0)z0 − πΦA (K, σ(τ ))B(τ )u(τ )∆τ K + πΦA (K, σ(τ ))C(τ )v(τ )∆τ υ πΦA (K, σ(τ ))B(τ )u∗ (τ )∆τ = πΦA (K, 0)z0 − r(υ) K − πΦA (K, σ(τ ))B(τ )u(τ )∆τ + πΦA (K, σ(τ ))C(τ )v(τ )∆τ υ r(K) + K πΦA (K, σ(τ ))C(τ )v(τ )∆τ + r(υ) πΦA (K, σ(τ ))C(τ )v(τ )∆τ r(K) = πΦA (K, 0)z0 r(K) υ πΦA (K, σ(τ ))B(τ )u∗ (τ )∆τ − − πΦA (K, σ(ϑ))C(ϑ)v (θ) ∆ϑ r(υ) r(υ) K − πΦA (K, σ(t))B(t)w(t)∆t + υ πΦA (K, σ(τ ))C(τ )v(τ )∆τ 45 r(K) + K πΦA (K, σ(τ ))C(τ )v(τ )∆τ + r(υ) πΦA (K, σ(τ ))C(τ )v(τ )∆τ r(K) = πΦA (K, 0)z0 υ K πΦA (K, σ(τ ))B(τ )u∗ (τ )∆τ − − υ r(υ) + πΦA (K, σ(t))B(t)w(t)∆t K πΦA (K, σ(τ ))C(τ )v(τ )∆τ + πΦA (K, σ(τ ))C(τ )v(τ )∆τ r(K) Sử dụng (2.4.6) ta đến υ πΦA (K, σ(τ ))B(τ )u∗ (τ )∆τ πz(K) = πΦA (K, 0)z0 − r(υ) K − πΦA (K, σ(t))B(t)w(t)∆t + υ πΦA (K, σ(τ ))C(τ )v(τ )∆τ K + πΦA (K, σ(τ ))C(τ )v(τ )∆τ = m2 r(K) Vậy πz(K) = m2 ∈ M2 hay trò chơi kết thúc sau thời gian K Định lí chứng minh Nhận xét Nếu r(t) ≡ t ta có Hệ 1.1 Giả sử giả thiết sau thỏa mãn Giả thiết Tồn toán tử tuyến tính rd-liên tục F (τ ) : Rq → Rp có tính chất πΦA (t, τ )B(τ )F (τ ) = πΦA (t, τ )C(τ ), với τ ≥ t0 , τ ∈ T Giả thiết Giả sử K ∈ T số nhỏ số số thực t ≥ t0 , t ∈ T t cho χ(t) ≤ ρ, χ2 (t) = sup F (τ )v(τ ) ∆τ t0 t v(τ ) ∆τ ≤σ Giả thiết Với πΦA (K, 0)z0 ∈ G(K), K G(K) := { K πΦA (K, σ(τ ))B(τ )w(τ )∆τ : t0 t0 w(τ ) ∆τ ≤ (ρ − χ(K))2 } 46 Khi trò chơi đuổi bắt tuyến tính (2.4.1) với hạn chế hỗn hợp (2.4.2) kết thúc sau thời gian K Kết luận Luận văn trình bày số định nghĩa khái niệm, tính chất giải tích thang thời gian, hệ động lực thang thời gian (Chương 1), tạo sở trình bày số vấn đề lý thuyết , trò chơi đuổi bắt tuyến tính với hạn chế hình học thang thời gian, trò chơi đuổi bắt tuyến tính với hạn chế hình học thang thời gian có thơng tin chậm trò chơi đuổi bắt tuyến tính với hạn chế hỗn hợp Chương Trong thời gian làm luận văn, tác giả cố gắng đọc hiểu, nghiên cứu, tổng hợp tài liệu làm rõ số ví dụ, định lí Dưới hướng dẫn PGS TS Tạ Duy Phượng, tác giả đồng nghiệp Vi Diệu Minh, Lê Văn Quý chứng minh số kết trò chơi đuổi bắt tuyến tính thang thời gian 47 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Chí Liêm (2012), Tính ổn định phương trình động học ẩn Thang thời gian , Luận án Tiến sĩ, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Vi Diệu Minh (2017), "Về trò chơi đuổi bắt tuyến tính thang thời gian", (đã gửi đăng) [3] Vi Diệu Minh, Lê Thị Thúy Ngà, Lê Văn Quý, Về trò chơi đuổi bắt thang thời gian với thông tin chậm, Hội thảo Toán học miền Trung -Tây Nguyên, Đà lạt 12/2017 (đã gửi đăng) Tiếng Anh [4] M Bohner and A Peterson (2001), Dynamic Equations on Time Scales: An Introduction with Applications, Birkhăauser, Boston [5] M Bohner and A Peterson (2003), Advances in Dynamic Equations on Time Scales, Birkhăauser, Boston [6] S Hilger (1988), Ein Maòkettenkalkă ul mit anwendung auf Zentrumsmanning-faltikeiten Ph.D thesis, Universităat Wă urzburg [7] Ravi Agarwal, Martin Bohner, Donal o’Regan, Allan Peterson, Dynamic equations on time scales: a survey, Journal of Computational and Applied Mathematics, 141, 1-26, 2002 [8] J J DaCunha, Lyapunov Stability and Floquet Theory for Noautonomous Linear Dynamic Systems on Time Scales, Ph D Thesis, Baylor University, 2004 48 49 [9] B J Jacson, A General Linear Systems Theory on Time Scales: Transforms, Stability, and Control, Ph D Thesis, Baylor University, 2007 [10] Phan Huy Khai, On the Pursuit Process in Differential Games, Acta Mathematica Vietnamica, Volume 8, Number (1983), pp 41-57 [11] Phan Huy Khai, On an Effective Method of Pursuit in Linear Discrete Games with Different Types of Constraints on Controls, Acta Mathematica Vietnamica, Acta Mathematica Vietnamica, Volume 10(1985), Number 2, pp 282-295 ... tuyến tính với hạn chế hình học thang thời gian 27 2.1 Trò chơi đuổi bắt tuyến tính với hạn chế hình học thang thời gian 27 2.2 Trò chơi đuổi bắt tuyến tính với hạn. .. niệm trò chơi đuổi bắt tuyến tính với hạn chế hình học thang thời gian điều kiện kết thúc trò chơi; chứng minh điều kiện đủ để kết thúc trò chơi đuổi bắt tuyến tính với hạn chế hình học hạn chế. .. điều kiện cần đề kết thúc trò chơi Luận văn "BÀI TỐN ĐUỔI BẮT TRONG TRỊ CHƠI TUYẾN TÍNH VỚI HẠN CHẾ HÌNH HỌC TRÊN THANG THỜI GIAN" nghiên cứu trò chơi tuyến tính thang thời gian Luận văn gồm phần