Ứng dụng qui hoạch tuyến tính trong phân tích gói dữ liệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN LÊ TUÂN ỨNG DỤNG QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH TRONG PHÂN TÍCH GĨI DỮ LIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN LÊ TUÂN ỨNG DỤNG QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH TRONG PHÂN TÍCH GĨI DỮ LIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số : 60 46 01 12 NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS Trần Vũ Thiệu THÁI NGUYÊN - 2017 i MỤC LỤC Trang MỤC LỤC i DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ ii MỞ ĐẦU Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 TẬP LỒI ĐA DIỆN 1.2 BÀI TỐN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH 1.2.1 Nội dung toán 1.2.2 Các tính chất 1.3 BÀI TỐN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐỐI NGẪU 10 1.4 QUAN HỆ ĐỐI NGẪU TRONG QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH 12 Chƣơng 2: PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH GĨI DỮ LIỆU 15 2.1 PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH BẰNG ĐỒ THỊ 15 2.1.1 Đối tƣợng nghiên cứu 15 2.1.2 Hiệu tƣơng đối 16 2.1.3 Trƣờng hợp đầu vào - đầu 16 2.2 MƠ HÌNH CHARNES - COOPER - RHODES 22 2.3 MƠ HÌNH CHARNES - COOPER - RHODES ĐỐI NGẪU 29 2.4 ĐIỂM MẠNH VÀ YẾU CỦA PHƢƠNG PHÁP DEA 35 KẾT LUẬN 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 ii DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Hình 1.1 Tập ràng buộc tốn Ví dụ 1.2 10 Hình 1.2 Tập ràng buộc cặp tốn đối ngẫu Ví dụ 1.5 14 Hình 2.1 Biên giới hiệu 19 Hình 2.2 Phƣơng pháp đồ thị 21 MỞ ĐẦU Qui hoạch tuyến tính (LP) có nhiều ứng dụng thực tiễn, đặc biệt phân tích định lƣợng hoạt động kinh tế Luận văn đề cập tới ứng dụng qui hoạch tuyến tính (còn đƣợc đề cập đến) vấn đề phân tích gói liệu, nhằm giúp đánh giá hiệu tƣơng đối, dựa tập hợp liệu thu thập đƣợc đơn vị khác tham gia lĩnh vực hoạt động đó, chẳng hạn chi nhánh ngân hàng thành phố, đơn vị sản xuất xí nghiệp, lớp trƣờng học, v.v Phân tích gói liệu (Data Envelopment Analysis, gọi tắt DEA) phƣơng pháp toán học ngày phổ biến nghiên cứu kinh tế DEA đƣợc dùng để đánh giá hoạt động sở sản xuất, ngân hàng, bệnh viện, trƣờng học, Cách tiếp cận thống kê truyền thống thƣờng có xu hƣớng đánh giá so với sở sản xuất đại diện (mẫu) trung bình Trái lại, DEA so sánh sở sản xuất với sở sản xuất "tốt nhất" (xu hƣớng tối ƣu hóa) Với sở sản xuất, trình sản xuất sở sử dụng tập hợp vật vào - yếu tố sản xuất (inputs) sản xuất tập hợp vật - sản phẩm (outputs) Với ngân hàng, ngân hàng có số nhân viên, số diện tích giao dịch số ngƣời quản lý định (vật vào) Có số tiêu để đánh giá hoạt động ngân hàng, ví nhƣ lƣợng tiền gửi, số tiền cho vay, v.v (vật ra) DEA cố gắng xác định xem ngân hàng hoạt động hiệu hoạt động không hiệu cụ thể ngân hàng khác Giả thiết ẩn sau phƣơng pháp sở sản xuất đó, chẳng hạn A, có khả sản xuất Y(A) đơn vị sản phẩm (vật ra) cách sử dụng X(A) đơn vị vật vào, sở sản xuất khác làm đƣợc nhƣ vậy, nhƣ họ hoạt động có hiệu Khi đó, sở sản xuất A, B sở sản xuất khác kết hợp lại tạo nên sở sản xuất "hợp" với vật vào hợp vật hợp Do sở sản xuất hợp khơng thiết tồn tại, nên thƣờng đƣợc gọi sở sản xuất ảo Cốt lõi phân tích gói liệu tìm đƣợc sở sản xuất ảo "tốt nhất" cho sở sản xuất thực Nếu sở ảo tốt sở ban đầu, làm đƣợc nhiều vật với lƣợng vật vào, làm đƣợc lƣợng vật nhƣ nhƣng tốn vật vào hơn, sở sản xuất ban đầu hiệu Sự tinh tế DEA chỗ đƣa đƣợc cách khác nhau, theo sở sản xuất A B mở rộng hay thu hẹp quy mô kết hợp lại Để làm đƣợc điều này, phân tích gói liệu (DEA) phải sử dụng đến cơng cụ tốn học mà trƣớc hết qui hoạch tốn học, nói riêng qui hoạch tuyến tính Vì chọn đề tài luận văn: "Ứng dụng qui hoạch tuyến tính phân tích gói liệu" nhằm mục đích tìm hiểu trình bày ý tƣởng, nội dung phƣơng pháp phân tích gói liệu, thơng qua phân tích ví dụ cụ thể từ đơn giản (một vật vào hay hai vật ra) đến phức tạp (nhiều vật vào - nhiều vật ra) tổng qt hóa dạng ma trận; đồng thời tìm hiểu mơ hình, phƣơng pháp xây dựng hiệu tƣơng đối tìm sở sản xuất tốt nhất, theo nghĩa đạt hiệu cao Luận văn đƣợc viết dựa tài liệu tham khảo [1] - [5], chủ yếu [3] [5] Nội dung luận văn gồm hai chƣơng • Chƣơng "Kiến thức chuẩn bị" nhắc lại kiến thức cần thiết tập lồi đa diện, toán qui hoạch tuyến tính, tốn đối ngẫu quan hệ đối ngẫu qui hoạch tuyến tính • Chƣơng “Phân tích gói liệu” trình bày nội dung phân tích gói liệu ví dụ, mơ hình Charnes–Cooper–Rhodes mơ hình Charnes–Cooper–Rhodes đối ngẫu, phân tích điểm mạnh điểm yếu phƣơng pháp DEA Do thời gian có hạn nên luận văn chủ yếu dừng lại việc tìm hiểu, tập hợp tài liệu, xếp trình bày kết nghiên cứu có theo chủ đề đặt Trong trình viết luận văn nhƣ soạn thảo văn chắn khơng tránh khỏi có sai sót định Tác giả luận văn mong nhận đƣợc góp ý thầy, bạn đồng nghiệp để luận văn đƣợc hoàn thiện Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hƣớng dẫn GS.TS Trần Vũ Thiệu tận tình giúp đỡ suốt trình làm luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn GS, PGS, TS Khoa Toán-Tin, Trƣờng Đại học Khoa học Thái Nguyên Viện Toán học, Viện Công nghệ thông tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu Thái Nguyên, tháng năm 2017 Tác giả luận văn Nguyễn Lê Tuân Chƣơng KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chƣơng nhắc lại số kiến thức cần thiết tập lồi đa diện, tốn qui hoạch tuyến tính, tốn qui hoạch tuyến tính đối ngẫu quan hệ đối ngẫu qui hoạch tuyến tính Nội dung chƣơng tham khảo chủ yếu từ tài liệu [1], [2] [5] 1.1 TẬP LỒI ĐA DIỆN Trƣớc hết nhắc lại khái niệm liên quan tới tập lồi Định nghĩa 1.1 Tập C  ℝn đƣợc gọi tập lồi a + (1 - )b  C với a, b  C ≤  ≤ Nói cách khác, tập C lồi chứa trọn đoạn thẳng nối hai điểm thuộc Nói riêng, tập , tập gồm phần tử tồn khơng gian ℝn tập lồi Ví dụ 1.1 Các tập sau tập lồi: a) Tập afin tập chứa trọn đƣờng thẳng qua hai điểm thuộc b) Siêu phẳng tập có dạng H = {x  ℝn : aTx = , a  ℝn \ {0},   ℝ} c) Nửa khơng gian đóng H1 = {x  ℝn : aTx ≤ }, H2 = {x  ℝn : aTx ≥ } d) Nửa không gian mở K1 = {x  ℝn : aTx < }, K2 = {x  ℝn : aTx > } e) Hình cầu mở B(a, r) = {x  ℝn : ||x - a|| < r} (a  ℝn, r > cho trƣớc) f) Tập lồi đa diện D = {x  ℝn : Ax ≤ b}, A  ℝm×n, b  ℝm g) Nón lồi đa diện K = {x  ℝn : Ax ≤ 0}, ú A mìn, m T nh nghĩa tập lồi trực tiếp suy số tính chất đơn giản sau đây: a) Giao họ tập lồi tập lồi b) Tổng hai tập lồi hiệu hai tập lồi tập lồi c) Nếu C  ℝm, D  ℝn lồi tích C × D = {(x, y) : x  C, y  D} tập lồi ℝm+n (Có thể mở rộng cho tích nhiều tập lồi) d) Tập M tập afin M = a + L với a  M L không gian con, gọi không gian song song với M, hay tƣơng đƣơng: M tập afin M tập nghiệm hệ phƣơng trình tuyến tính, tức có biểu diễn M = {x  ℝn : Ax = b, A  ℝm×n, b  ℝm} Giao số tập afin tập afin Định nghĩa 1.2 a) Điểm x  ℝn có dạng x = 1a1 + 2a2 + + kak với  ℝn, i ≥ 0, 1 + + k = 1, gọi tổ hợp lồi điểm a1, a2, , ak b) Điểm x  ℝn có dạng x = 1a1 + 2a2 + + kak với  ℝn, 1 + 2 + + k = 1, gọi tổ hợp afin điểm a1, a2, , ak c) Điểm x  ℝn có dạng x = 1a1 + 2a2 + + kak với  ℝn, i ≥ 0, gọi tổ hợp tuyến tính khơng âm hay tổ hợp nón điểm a1, a2, , ak Định nghĩa 1.3 Cho tập E ℝn a) Giao tất tập afin chứa E gọi bao afin E, ký hiệu aff E Đó tập afin nhỏ chứa E b) Giao tất tập lồi chứa E gọi bao lồi E, ký hiệu conv E Đó tập lồi nhỏ chứa E Định nghĩa 1.4 a) Thứ nguyên (hay số chiều) tập afin M, ký hiệu dim M, số chiều khơng gian song song với Qui ƣớc dim  = - b) Thứ nguyên (hay số chiều) tập lồi C, ký hiệu dim C, thứ nguyên hay số chiều bao afin aff C Một tập lồi C ℝn gọi có thứ nguyên đầy đủ (full rank) dim C = n Định nghĩa 1.5 Một tập K ℝn đƣợc gọi nón (cone) hay tập nón (mũi 0) với x  K  > x  K Nón K đƣợc gọi nón lồi (convex cone) K tập lồi Tiếp theo chúng tơi nêu lại khái niệm có liên quan tới tập lồi đa diện Định nghĩa 1.6 Tập lồi đa diện giao số hữu hạn nửa khơng gian đóng Nói cách khác, tập nghiệm hệ hữu hạn bất phƣơng trình tuyến tính: ai1x1 + ai2x2 + + ainxn ≤ bi, i = 1, 2, , m, (1.1) nghĩa tập x nghiệm Ax ≤ b với A = (aij) ∈ Rm×n, b = (b1, , bm)T Nhận xét 1.1 Do phƣơng trình tuyến tính tƣơng đƣơng với hai bất phƣơng trình tuyến tính, nên tập nghiệm hệ (hữu hạn) phƣơng trình bất phƣơng trình tuyến tính tập lồi đa diện: Một tập lồi đa diện bi chặn (giới nội) không bị chặn (không giới nội) Một tập lồi đa diện bị chặn đƣợc gọi đa diện lồi Các đa giác lồi theo nghĩa thông thƣờng mặt phẳng hai chiều (tam giác, hình vng, hình tròn, ) ví dụ cụ thể đa diện lồi ℝ2 Cho D tập lồi đa diện xác định hệ bất phƣơng trình tuyến tính (1.1) Sau để đơn giản, ta giả thiết D không chứa đƣờng thẳng (tức ∄a, b ∈ D cho a + (1 - )b ∈ D với  ∈ ℝ) Hai yếu tố cấu tạo nên tập lồi đa diện D đỉnh cạnh vô hạn D Có thể hiểu khái niệm nhƣ sau Định nghĩa 1.7 Điểm x0 ∈ D đƣợc gọi đỉnh D rank {ai : = bi} = n (với = (ai1, , ain)T, i = 1, , m) Định nghĩa tƣơng đƣơng: x0 ∈ D đỉnh D x0 điểm nằm bên đoạn thẳng nối hai điểm thuộc D Định nghĩa 1.8 Đoạn thẳng [x1, x2], x1 ≠ x2, đƣợc gọi cạnh hữu hạn D x1, x2 đỉnh D rank {ai : = = bi} = n - Định nghĩa 1.9 Tia  = {x0 + d :  ≥ 0} ⊆ D, x0 ∈ D, d ∈ ℝn, đƣợc gọi cạnh vô hạn D 25 h0(u, v) = u y10  u y 20 u  23  u  12 = v1x 10 v1  11  Bây nảy toán: Cố định véctơ trọng số đầu u véctơ trọng số đầu vào v Tất nhiên, đơn vị Mk mong muốn cố định véctơ trọng số u, v cho đơn vị đƣợc đánh giá đơn vị tốt so sánh với đơn vị khác Vì thế, đơn vị quan tâm tới việc làm cực đại hiệu theo trọng số h0(u, v) Nói riêng, điều có nghĩa Chi nhánh H đối mặt với toán tối ƣu: max h0(u, v) = max u, v u1 , u , v1 u1  23  u  12 v1  11 (2.2) Cần đặt ràng buộc biến u v Thực ra, khác tốn tối ƣu (2.2) cho nghiệm tối ƣu vơ hạn Vậy ràng buộc gì? Rõ ràng phải có ràng buộc dấu u, v  Hạn chế chƣa đủ: Trị tối ƣu (2.2) vô hạn Ta nhớ ta làm việc với hiệu quả, Thế mà hiệu số nằm 0% 100% Vì ta đƣa vào ràng buộc h0(u, v)  Ràng buộc không giúp ích nhiều Thực vậy, trị tối ƣu (2.2) hay 100% Nhớ hiệu ln số nằm 0% 100% Vì thế, hiệu đơn vị khác phải 0% 100% Nhƣ giả sử đơn vị H đặt trọng số u, v đơn vị khác đƣợc đo cách nhƣ Cho nên ràng buộc hk(u, v)  với đơn vị Mk, k = 1, , n Định nghĩa 2.3 Bài toán phân tuyến tính Charnes - Cooper - Rhodes M0 M1, M2, , Mn u T y 0 max  = T v x 0 (2.3) 26 u T y k  với k = 1, 2, , n, v T x k với điều kiện u, v  Số  hiệu DEA đơn vị M0  Bài toán tuyến tính Charnes - Cooper - Rhodes: Bài tốn (2.3) khơng phải tốn tuyến tính (do hàm mục tiêu hàm ràng buộc phân tuyến tính) Ta tìm cách đơn giản hóa tốn, tốt tìm cách đƣa tốn qui hoạch tuyến tính Trƣớc hết ta để ý giá trị hiệu cực đại  toán (2.3) nhất, nhƣng có nhiều giá trị khác u, v đạt đƣợc giá trị cực đại Thực vậy, trọng số u v đạt đƣợc hiệu tối ƣu trọng số u v với  > đạt hiệu tối ƣu nhƣ Đó ta làm việc với tỉ số, với  > ta có u T y 0 u T y 0 h0(u, v) = T = = h0(u, v) v x 0 v T x 0 Bây ta chuẩn hóa mẫu số tỉ số hàm mục tiêu, cách bắt buộc vTx0 = đƣa đến cách diễn đạt tuyến tính cho tốn phân tuyến tính (2.3) Định nghĩa 2.4 Bài tốn tuyến tính Charnes - Cooper - Rhodes M0 M1, M2, , Mn max  = uTy0 với điều kiện (2.4) vTx0 = 1, uTY  vTX, u, v  Số  hiệu DEA đơn vị M0 Định lý 2.1 Bài toán qui hoạch tuyến tính (2.4) tốn tối ƣu phân tuyến tính (2.3) 27 Chứng minh Xét tốn qui hoạch phân tuyến tính (2.3) Trƣớc hết, để ý ràng buộc bổ sung vTx0 = (2.4) không làm thay đổi giá trị tối ƣu  tốn phân tuyến tính Thật vậy, ta thấy ràng buộc đơn giản đƣa cách lựa chọn trọng số tối ƣu nhiều phƣơng án Tiếp theo để ý toán tuyến tính (2.4) ta có  = uTy0, trong tốn phân tuyến tính (2.3) ta có u T y 0 = T v x 0 Nhớ ta có giả thiết chuẩn hóa vTx0 = Vì ta thấy hàm mục tiêu tuyến tính phân tuyến tính hai tốn nhƣ Cuối cùng, nhìn vào ràng buộc u T y k  với k = 1, 2, , n v T x k tốn phân tuyến tính (2.3) so sánh chúng với ràng buộc uTyk  vTxk với k = 1, 2, , n tốn tuyến tính (2.4) (hay viết dạng ma trận uTY  vTX) Nếu ta nhân hai vế ràng buộc toán phân tuyến tính với v Txk, ta thấy ràng buộc hoàn toàn nhƣ Nhƣ vậy, ta thấy tốn phân tuyến tính (2.3) tốn tuyến tính (2.4) nhƣ □ Ví dụ 2.4 (Tính hiệu DEA đơn vị H R) Bây ta tính tốn học, đối lập với cách tính theo phƣơng pháp đồ thị, hiệu DEA hai đơn vị H R cho Ví dụ 2.2, cách sử dụng qui hoạch tuyến tính theo mơ hình Charnes - Cooper - Rhodes (2.4) 28 Ta nhắc lại liệu dùng để tính tốn Chi nhánh Giao dịch cá nhân (y1) R A K H 125 44 80 23 ký hiệu: Giao dịch kinh Số nhân viên doanh (y2) (x1) 50 20 55 12 18 16 17 11 x1 = số nhân viên y1 = số giao dịch nhân y2 = số giao dịch kinh doanh Lƣu ý x1, y1, y2 biến số mà hệ số (dữ liệu) Các biến số toán v1, u1, u2 tƣơng ứng với liệu x1, y1, y2 Bài tốn tuyến tính tƣơng ứng với chi nhánh H là: max  = 23u1 + 12u2 11v1 (Hiệu DEA) =1 (Điều kiện chuẩn hóa) 125u1 + 50u2  18v1 (Chi nhánh R) 44u1 + 20u2  16v1 (Chi nhánh A) 80u1 + 55u2  17v1 (Chi nhánh K) 23u1 + 12u2  11v1 (Chi nhánh H) u1, u2, v1  (Điều kiện không âm) Giải theo thuật tốn đơn hình, ta nhận đƣợc lời giải: u 1 = 0,00442688; u 2 = 0,0216601; v1 = 0,0909091 *  0,361739 Nhƣ vậy, hiệu DEA Chi nhánh H 36% Kết trùng hợp với kết biết từ phƣơng pháp phân tích đồ thị trƣớc  Bài toán tƣơng tự cho Chi nhánh R, khác toán vừa hàm mục tiêu  = 125u1 + 50u2 ràng buộc chuẩn hóa 18v1 = Lời giải toán: u 1 = 0,008; u 2 = 0; v1 = 0,0555555555 * = 29 Nhƣ vậy, hiệu DEA Chi nhánh R 100%, trùng hợp với kết biết từ phƣơng pháp phân tích đồ thị trƣớc Tƣơng tự, thiết lập giải tốn tối ƣu tìm hiệu DEA cho đơn vị (chi nhánh) lại 2.3 MƠ HÌNH CHARNES - COOPER - RHODES ĐỐI NGẪU Xác định hiệu DEA đơn vị M0  {M1, M2, , Mn} theo mơ hình Charnes - Cooper - Rhodes tốn qui hoạch tuyến tính, cụ thể tốn (2.4) Bài tốn qui hoạch tuyến tính có tốn đối ngẫu tƣơng ứng với Mục trình bày cách xây dựng tốn đối ngẫu giải thích ý nghĩa tốn đối ngẫu Cuối minh họa cách tính hiệu DEA đơn vị H R xét Ví dụ 2.3 cách áp dụng mơ hình Charnes - Cooper Rhodes đối ngẫu Ta nhắc lại qui hoạch tuyến tính mơ hình Charnes - Cooper - Rhodes max  = uTy0 (2.4) vTx0 = 1, với điều kiện uTY  vTX, u, v  x0 y0 véctơ đầu vào véctơ đầu đơn vị M0 đƣợc xét, X Y ma trận đầu vào ma trận đầu ra, lập nên từ liệu tốn; u  ℝs, v  ℝm biến cần xác định giá trị mục tiêu tối ƣu  hiệu DEA cần tìm đơn vị M0 Để thiết lập toán đối ngẫu, ta viết lại toán (2.4) dạng chuẩn Để hiểu rõ nguồn gốc toán đối ngẫu, ta viết (2.4) dạng chi tiết mà không dùng tới ký hiệu ma trận cô đọng max  = u1yi0 + + usys0 với điều kiện (2.5) 30 v1xi0 + + vmxm0 = 1, u1y11 + + usys1  v1x11 + + vmxm1,    u1y1n + + usysn  v1x1n + + vmxmn, u1, , us, v1, , vm  Đƣa tất biến ui, vj sang vế trái ràng buộc tên biến viết sau hệ số biến, ta nhận đƣợc toán max  = yi0u1 + + ys0us + 0.v1 + + 0.vm (2.6) với điều kiện 0.u1 + + 0.us + xi0v1 + + xm0vm = 1, y11u1 + + ys1us  x11v1   xm1vm  0,        y1nu1 + + ysnus  x1n v1   xmnvm  0, u1 us v1 vm  Tiếp theo, thay ràng buộc đẳng thức (2.6) hai ràng buộc bất đẳng thức "" tƣơng đƣơng, ta nhận đƣợc tốn qui hoạch tuyến tính dạng chuẩn: max  = yi0u1 + + ys0us + 0.v1 + + 0.vm (2.7) với điều kiện 0.u1 + + 0.us + xi0v1 + + xm0vm  1,  0.u1   0.us  xi0v1   xm0vm   1, y11u1 + + ys1us  x11v1   xm1vm  0,        y1nu1 + + ysnus  x1n v1   xmnvm  0, u1 us v1 vm  Lúc ta sẵn sàng thiết lập toán đối ngẫu qui hoạch tuyến tính (2.7) Đặt  giá trị hàm mục tiêu  = [1, 2, 3, , n+2]T biến toán đối ngẫu (biến i tƣơng ứng với ràng buộc thƣ i toán gốc) 31 Bài toán đối ngẫu có dạng  = 1  2 (2.8) với điều kiện 0.1  0.2 + y113 + + y1nn+2  y10,        0.1  0.2 + ys13 + + ysnn+2  ys0, x101  x102  x113   x1nn+2  0,         xm01  xm02  xm13   xmnn+2  0, 1, , n+2  Ta lập đƣợc toán đối ngẫu (2.8) toán qui hoạch tuyến tính (2.4) theo mơ hình Charnes - Cooper - Rhodes Rất tiếc chƣa dễ dàng giải thích ý nghĩa dạng tốn đối ngẫu Vì ta cần biến đổi đơi chút để hiểu rõ nội dung toán Ta giá trị mục tiêu  = 1  2 vào ràng buộc toán (2.8) Thực việc thực chất loại bỏ biến 1, 2 khỏi toán ta nhận đƣợc  (2.9) với điều kiện y113 + + y1nn+2  y10,      ys13 + + ysnn+2  ys0, x10  x113   x1nn+2       0,  xm0  xm13   xmnn+2  0, 1, , n+2  Tiếp đó, ta đánh số lại đổi tên biến đối ngẫu lại Biến toán đối ngẫu  = [1, , n]T với 1 = 3, 2 = 4, , n = n+2 Vì thế, tốn qui hoạch tuyến tính (2.9) trở thành 32  (2.10) với điều kiện y111 + + y1nn  y10,      ys11 + + ysnn  ys0, x10  x111   x1nn  0,       xm0  xm11   xmnn  0, 1, , n  Cuối cùng, ta xếp lại ràng buộc  tốn (2.10) cho dễ dàng diễn giải ý nghĩa sau Ta nhận đƣợc toán  (2.11) với điều kiện y111 + + y1nn  y10,      ys11 + + ysnn  ys0, x111 + + x1nn  x10,      xm11 + + xmnn  xm0, 1, , n  Ta tìm đƣợc cách diễn tả tốn qui hoạch tuyến tính theo mơ hình Charnes - Cooper - Rhodes đối ngẫu (2.11) mà giải thích đƣợc ý nghĩa mơ hình này: Biến đối ngẫu  1   =       n  trọng số đơn vị ảo, ký hiệu M* Đơn vị ảo M* đƣợc xem nhƣ đơn vị tham khảo M0 (M0 đơn vị đƣợc xem xét, đánh giá) 33 Đơn vị ảo M* đƣợc thiết lập dựa đơn vị thực M1, , Mn, cách gán cho đơn vị thực Mk trọng số k, k = 1, , n Có thể hình dung: M* = 1M1 + + nMn Vì thế, ràng buộc y111 + + y1nn  y10,      ys11 + + ysnn  ys0, nói rằng: "Mọi sản phẩm đơn vị ảo không thấp sản phẩm tƣơng ứng đơn vị đƣợc xét." Các ràng buộc x111 + + x1nn  x10,      xm11 + + xmnn  xm0, nói rằng: "Mọi vật phẩm vào đơn vị ảo không vƣợt  lần vật phẩm vào tƣơng ứng đơn vị đƣợc xét." Sau tốn qui hoạch tuyến tính theo mơ hình Charnes - Cooper Rhodes đối ngẫu (2.11) cho dạng ma trận: Định nghĩa 2.5 Bài tốn tuyến tính đối ngẫu Charnes - Cooper - Rhodes M0 M1, M2, , Mn  với điều kiện x0  X, Y  y0,   Số  hiệu DEA đơn vị M0 (2.12) 34 Ví dụ 2.5 (Tính hiệu DEA đối ngẫu đơn vị H R) Bây ta tính hiệu DEA đối ngẫu chi nhánh H R với liệu cho Ví dụ 2.2 Lƣu ý tốn tuyến tính (2.12) giá trị mục tiêu  biến số Bài toán tuyến tính đối ngẫu (2.12) chi nhánh H là:  (Hiệu DEA đối ngẫu) 11  181  102  173  114  (Số nhân viên) 1251 + 442 + 803 + 234  23 (Số giao dịch nhân sự) 501 + 202 + 553 + 124  12 (Số giao dịch kinh doanh)  1, 2, 3 , 4  (Điều kiện không âm) Giải theo thuật tốn đơn hình, ta nhận đƣợc lời giải: 1 = 0,106087; 2 = 0; 3 = 0,121739; 4 = *  0,361739 Nhƣ vậy, hiệu DEA (đối ngẫu) đơn vị (Chi nhánh H) 36% Ta phân tách theo thành phần đơn vị ảo tƣơng ứng với đơn vị thành M0* = 1M1 + 2M2 + 3M3 + 4M4 = 10,6%MR + 12,2%MK Nhƣ vậy, giải thích kết thu đƣợc nhƣ sau: Xét đơn vị ảo tạo thành từ 10,6% đơn vị (Chi nhánh R) 12,2% đơn vị (Chi nhánh K) Khi đó, đơn vị ảo sản xuất số sản phẩm khơng số sản phẩm đơn vị (Chi nhánh H), nhƣng tiêu tốn 36% số vật phẩm vào mà đơn vị sử dụng  Bài toán tƣơng tự cho đơn vị (Chi nhánh R):  (Hiệu DEA đối ngẫu) 18  181  102  173  114  (Số nhân viên) 1251 + 442 + 803 + 234  125 (Số giao dịch nhân sự) 501 + 202 + 553 + 124  50 (Số giao dịch kinh doanh) 1, 2, 3 , 4  (Điều kiện không âm) 35 Lời giải toán: 1 = 1; 2 = 0; 3 = 0; 4 = * = Ta thấy hiệu DEA (đối ngẫu) Chi nhánh R 100% Ta thấy đơn vị ảo tƣơng ứng với đơn vị chi nhánh R Điều khơng có ngạc nhiên Ta nhớ đơn vị ảo (của đơn vị đó) đƣợc định nghĩa đơn vị cho số sản phẩm ra, nhƣng tiêu dùng không nhiều số vật phẩm vào Do chi nhánh R đạt hiệu 100% nên khơng có đơn vị ảo dùng vật phẩm vào mà lại cho số sản phẩm Tƣơng tự, thiết lập giải tốn tối ƣu tìm hiệu DEA (đối ngẫu) cho đơn vị (chi nhánh) lại 2.4 ĐIỂM MẠNH VÀ YẾU CỦA PHƢƠNG PHÁP DEA Phân tích gói liệu (DEA) cơng cụ khung tổng quát để rút kết luận từ liệu có đòi hỏi giả thiết nguồn sản sinh liệu Sau số điểm mạnh yếu phƣơng pháp phân tích gói liệu Ƣu điểm DEA:  DEA đơn giản để mơ hình hóa qui hoạch tuyến tính  DEA xử lý nhiều yếu tố đầu vào nhiều yếu tố đầu  DEA khơng đòi hỏi phải biết quan hệ hàm số liên hệ đầu vào với đầu  Các đơn vị (sản xuất, kinh doanh, nghiên cứu, ) đƣợc so sánh trực tiếp với đơn vị cấp hay tổ hợp (đơn vị ảo) đơn vị cấp  Các yếu tố đầu vào đầu đa dạng đo theo đơn vị khác Chẳng hạn, đầu y1 tính theo "tuổi thọ" đầu vào x1 tính theo "Euro" mà khơng cần đòi hỏi tính cân hai yếu tố DEA cách đánh giá hiệu tƣơng đối, so sánh đơn vị với đơn vị cấp khác Yếu điểm DEA (khi lựa chọn có nên sử dụng DEA hay khơng): 36  Theo phƣơng pháp DEA để đánh giá hiệu đơn vị cần lập giải toán qui hoạch tuyến tính riêng, đòi hỏi nhiều cơng sức tính tốn, số đơn vị cần phân tích, đánh giá lớn  Do DEA kỹ thuật điểm cực biên nên nhiễu (kể nhiễu đối xứng, kỳ vọng 0) gây vấn đề nghiêm trọng  DEA tốt việc đánh giá hiệu tƣơng đối đơn vị, nhƣng hội tụ chậm tới hiệu "tuyệt đối" Nói cách khác, DEA cho biết đơn vị hoạt động tốt mức so với đơn vị cấp, không so với "cực đại lý thuyết"  DEA kỹ thuật phi tham số khó áp dụng kiểm định thống kê ngữ cảnh DEA  DEA "hào phóng" Nếu đơn vị trội sản phẩm (hay vật phẩm vào) chắn đơn vị đạt hiệu 100%, đơn vị thực tồi tất sản phẩm (vật phẩm vào) khác Vì thế, có nhiều sản phẩm (vật phẩm vào) đạt hiệu 100% cho tất đơn vị DEA đánh giá đƣợc đơn vị (Điều khơng có nghĩa đơn vị hoạt động tốt theo nghĩa toàn cục) Các tài liệu có cho thấy DEA đƣợc áp dụng nhiều tình khác nhƣ: y tế (bệnh viện, bác sĩ), giáo dục (trung học, đại học), ngân hàng, sản xuất, đo lƣờng tiêu chuẩn, cửa hàng ăn nhanh, cửa hàng bán lẻ, v.v Cũng áp dụng phƣơng pháp phân tích gói liệu (DEA) đánh giá hiệu hoạt động khoa học sở nghiên cứu, đánh giá hoạt động khoa học cá nhân đơn vị nghiên cứu, v.v Tập hợp liệu đƣợc xử lý thay đổi theo kích thƣớc tốn cần nghiên cứu Thống kê cho thấy, số phân tích viên làm việc với toán cỡ nhỏ, gồm khoảng 15 - 20 đơn vị, số phân tích viên khác làm việc với tốn cỡ lớn, gồm 10.000 đơn vị 37 Tóm tắt chƣơng Chƣơng giới thiệu khái quát cách ứng dụng qui hoạch tuyến tính phân tích gói liệu, dựa hai mơ hình Charnes– Cooper–Rhodes gốc đối ngẫu; trình bày cách xây dựng tốn qui hoạch tuyến tính cụ thể, theo liệu đầu vào đầu ra, để tính tốn phân tích hiệu tƣơng đối đơn vị cần nghiên cứu Trong mơ hình xét ví dụ số Cuối chƣơng nêu số lĩnh vực áp dụng lƣu ý điểm mạnh điểm yếu phân tích gói liệu, giúp tham khảo tìm hiểu áp dụng 38 KẾT LUẬN Đề tài đề cập tới việc ứng dụng qui hoạch tuyến tính phân tích gói liệu (DEA) Đây chủ đề mang tính chất ứng dụng, đƣợc đề cập đến, cần đƣợc tìm hiểu giới thiệu rộng rãi toán ứng dụng Luận văn trình bày vấn đề nhƣ sau: Kiến thức sở tập lồi đa diện, tốn qui hoạch tuyến tính, tốn qui hoạch tuyến tính đối ngẫu quan hệ đối ngẫu qui hoạch tuyến tính Nội dung phƣơng pháp phân tích gói liệu ví dụ, mơ hình Charnes– Cooper–Rhodes mơ hình Charnes–Cooper–Rhodes đối ngẫu, phân tích số điểm mạnh điểm yếu phƣơng pháp DEA Có thể xem luận văn nhƣ bƣớc tìm hiểu ban đầu phƣơng pháp phân tích gói liệu Tác giả luận văn hy vọng có dịp đƣợc tìm hiểu sâu mơ hình nhiều ứng dụng khác phƣơng pháp 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO  Tiếng Việt [1] Trần Vũ Thiệu (2004), Giáo trình tối ưu tuyến tính NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [2] Trần Vũ Thiệu, Nguyễn Thị Thu Thủy (2011), Giáo trình tối ưu phi tuyến NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội  Tiếng Anh [3] T Coelli, D S Rao and G E Prasada Battese (2002), An Introduction to Efficiency and Productivity Analysis 7th Printing, Kluwer Academic Publishers [4] G A Jehle (1995), Advanced Microeconomic Theory Prentice Hall [5] T Sottinen (2009), Operations Research with GNU Linear Program-ming Kit, Course ORMS1020, \~tsottine\orms1020.31 University of Vaas, www.uwasa.fi ... này, phân tích gói liệu (DEA) phải sử dụng đến cơng cụ toán học mà trƣớc hết qui hoạch toán học, nói riêng qui hoạch tuyến tính Vì chọn đề tài luận văn: "Ứng dụng qui hoạch tuyến tính phân tích gói. .. ĐẦU Qui hoạch tuyến tính (LP) có nhiều ứng dụng thực tiễn, đặc biệt phân tích định lƣợng hoạt động kinh tế Luận văn đề cập tới ứng dụng qui hoạch tuyến tính (còn đƣợc đề cập đến) vấn đề phân tích. .. diện, tốn qui hoạch tuyến tính, tốn qui hoạch tuyến tính đối ngẫu quan hệ đối ngẫu qui hoạch tuyến tính Các kiến thức đƣợc dùng đến chƣơng sau 15 Chƣơng PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH GĨI DỮ LIỆU Chƣơng