Đây là 5 đề thi HSG cấp tp. HCM từ năm học 20042005 đến năm học 20072008. Cung cấp cho các bạn bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 có thêm một số bài tập để nâng cao và mở rộng thêm kiến thức. Bổ sung thêm nguồn tài liệu hay để các bạn thi tốt trong các kỳ thi HSG
BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI PHẦN CÁC ĐỀ TOÁN TRONG CÁC KỲ THI CHỌN HSG Ở MỘT SỐ ĐỊA PHƯƠNG A ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH, CẤP THÀNH PHỐ ĐỀ 1: (KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9, TP HCM, NH: 2004-2005_Tg: 150 phút) I PHẦN BẮT BUỘC Bài (4 điểm) Giải phương trình hệ phương trình: a) x 10 x x 12 x 40 Bài (4 điểm) Tìm số dương x, y, z thỏa hệ: �1 1 �x y z � b) � �2 � �xy z �1 16 � 4 �x y z �x y z �16 � 2 Bài (2 điểm) Cho số nguyên dương x, y, z thỏa: x y z a) Chứng minh tích x.y.z chia hết cho b) Chứng minh tích x.y.z chia hết cho 60 Bài (4 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O; R) có AC vng góc với BD (AC BD không qua tâm O) Gọi P giao điểm AC BD a) Tính tổng bình phương cạnh tứ giác ABCD theo R b) Chứng minh khoảng cách từ tâm O đến AB nửa độ dài cạnh CD Bài (2 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O; R) có CD = AD + BC (BC > AD) Chứng minh hai tia phân giác hai góc DAB ABC cắt điểm thuộc cạnh CD II PHẦN TỰ CHỌN Học sinh chọn hai câu sau đây: Bài 6a (4 điểm) a) Chứng minh bất đẳng thức: (m2 + n2)(p2 + q2) ≥ (mq + np)2 b) Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức: A x x với �x �5 2 Bài 6b (4 điểm) Cho phương trình: x 5mx 6m m a) Định m để phương trình có nghiệm b) Định m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt lớn …………………………………………… ĐỀ 2: (KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9, TP HCM, NH: 2005-2006_Tg: 150 phút) Bài (3 điểm) Cho phương trình: x2 + bx + c = (1) x2 + mx + n = (2) hệ số b, c, m, n khác Biết b, c nghiệm phương trình (2) m, n nghiệm phương trình (1) Chứng minh b2 + c2 + m2 + n2 = 10 Bài (3 điểm) Cho phương trình: lại âm ax2 + bx + c = (a ≠ 0, c ≠ 0) có nghiệm x1 > nghiệm Chứng minh phương trình cx2 + bx + a = có nghiệm x2 > x1 + x2 + x1x2 ≥ Bài (3 điểm) Chứng minh có �1 1 � 2 �a b c � a b c abc � 1 2 a b c Bài (3 điểm) Tìm số có hai chữ số mà bình phương số lập phương tổng chữ số Bài (4 điểm) Cho hình bình hành ABCD Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD cắt đường chéo AC M (M đoạn AC) Chứng minh BD tiếp tuyến hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác AMB AMD Bài (4 điểm) Cho tam giác ABC Từ điểm M cạnh AB vẽ hai đường thẳng song song với hai cạnh AC, BC, cắt BC, AC D E Tìm vị trí M cạnh AB để chiều dài đoạn DE đạt giá trị nhỏ …………………………………………… ĐỀ 3: (KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9, TP HCM, NH: 2006-2007_Tg: 150 phút) Bài (3 điểm) Thu gọn biểu thức: a ) A 29 12 b) B 20 40 12 � � 15 c) � � 1 3 � � 1 Bài (3 điểm) a) x y z Chứng minh: b) Cho x y z 1, Chứng minh: �3 x y z , x, y, z �R 1 1 1 x� , y� , z� 4 4 x y z � 21 Dấu “=” xảy x,y,z bao nhiêu? Bài (4 điểm) Giải hệ phương trình phương trình: 12 � xy �x y � 18 � yz � �y z � zx 36 � a) �z x 13 b) x2 x2 x Bài (2 điểm) Cho phương trình: ax2 + bx + c = có hệ số a, b, c số nguyên lẻ Chứng minh phương trình có nghiệm nghiệm khơng thể số hữu tỉ Bài (4 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB 2R Gọi M điểm chuyển động nửa đường tròn (O) (M khác A B) Vẽ đường tròn tâm M tiếp xúc với AB H Từ A B vẽ hai tiếp tuyến tiếp xúc với đường tròn tâm M C D a) Chứng minh ba điểm M, C, D nằm tiếp tuyến đường tròn (O) M b) Chứng minh tổng AC + BD khơng đổi Tính tích số AC.BD theo CD c) Giả sử CD cắt AB K Chứng minh OA2 = OB2 = OH.OK � Bài (4 điểm) Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có ACB 45 Đường tròn đường kính AB AB cắt AC BC M N Chứng minh MN vng góc với OC MN = …………………………………………… ĐỀ 4: (KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9, TP HCM, NH: 2007-2008_Tg: 150 phút) Bài (4 điểm) Cho phương trình: x 6m x 3m (x ẩn số) a) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt âm A x12 x22 b) Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình Định m để đạt giá trị nhỏ Bài (4 điểm) a) Cho a, b, c số dương Chứng minh: 1 a b c d 2 abc bcd cd a d ab b) Cho a �1, b �1 Chứng minh: a b b a �ab Bài (4 điểm) Giải phương trình: a ) x 3x x 3x 0; c) b) x x 5; x x x x x Bài (2 điểm) Chứng minh với số tự nhiên n n2 + n + không chia hết cho Bài (4 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) có trực tâm H a) Xác định vị trí điểm M thuộc cung BC không chứa điểm A cho tứ giác BHCM hình bình hành d) Lấy M điểm cung BC không chứa điểm A Gọi N E điểm đối xứng M qua AB AC Chứng minh ba điểm N, H, E thẳng hàng Bài (2 điểm) Cho tứ giác ABCD có O giao điểm hai đường chéo diện tích tam giác AOB 4, diện tích tam giác COD Tìm giá trị nhỏ diện tích tứ giác ABCD B ...ĐỀ 2: (KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9, TP HCM, NH: 2005-2006_Tg: 150 phút) Bài (3 điểm) Cho phương trình: x2 + bx + c = (1) x2 + mx... vị trí M cạnh AB để chiều dài đoạn DE đạt giá trị nhỏ …………………………………………… ĐỀ 3: (KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9, TP HCM, NH: 2006-2007_Tg: 150 phút) Bài (3 điểm) Thu gọn biểu thức: a ) A 29 12 b)... AB cắt AC BC M N Chứng minh MN vuông góc với OC MN = …………………………………………… ĐỀ 4: (KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9, TP HCM, NH: 2007-2008_Tg: 150 phút) Bài (4 điểm) Cho phương trình: x 6m x 3m