Đây là tài liệu cung cấp một số bài tập về CĂN THỨC, HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ, ĐA THỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH, PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI, HỆ PHƯƠNG TRÌNH nhằm giúp các thầy cô và các em có thêm nguồn tài liệu để bồi dưỡng học sinh giỏi đạt kết quả cao trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp.
PHẦN I − BÀI TẬP ÔN TẬP THEO CHỦ ĐỀ CHỦ ĐỀ CĂN THỨC: Bài Tìm điều kiện xác định biểu thức: a) ; b) B x x x ; c) C x 2x Bài Tính: a) 59 30 59 30 ; b) B 31 12 31 12 Bài Thực phép tính: a) A 10 10 ; b) N 29 12 Bài Thực phép tính: B Bài Tính: A 3 44 16 20 Bài Tính: B 26 15 Bài Tính: a) 45 29 45 29 ; b) Bài Chứng minh: x 3 90 82 90 82; 125 125 3 số nguyên 27 27 Bài Cho �x �4 Hãy rút gọn biểu thức: M x x x x � x 1 �1 x 1� x� Bài 10 Cho biểu thức: A � � � � � x 1 �2 x � x 1 � � � � � a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A 2 x Bài 11 Cho biểu thức: A a) Rút gọn biểu thức A x2 x x x x 1 x x 1 x x 1 b) Tìm giá trị nhỏ A Bài 12 Cho biểu thức: N x x x x a) Tìm x để biểu thức N có nghĩa b) Tính giá trị N x = Bài 13 Rút gọn biểu thức: a) A 2 2 2 2 � 1 a a �� a 1 a � : � b) B � � a a �� �� 1 a � � �� a � ; Bài 14 Giải phương trình: a) x x 2( x 1) b) x 2 x x 13 x c) 36 x2 d) x y 1000 z 1002 28 x y y 1 ( x y z) Bài 15 Giải phương trình: 3x 18 x 28 x 24 x 45 5 x x CHỦ ĐỀ HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ Bài Với giá trị m hàm số sau hàm số bậc nhất? y = (m2 + 2m)x2 – (3m2 + m)x – Bài Cho hàm số y = (k2 – 4k – 5)x – a) Tìm giá trị k để hàm số đồng biến b) Tìm giá trị k để hàm số nghịch biến Bài Hàm số y = (4m2 – 4m + 3)x + hàm số đồng biến hay nghịch biến �? Bài a) Vẽ đồ thị hàm số y x x x x b) Dựa vào đồ thị, tìm GTNN, GTLN y Bài Cho đường thẳng có phương trình: ax + (2a – 1)y + = Chứng minh a thay đổi đường thẳng qua điểm cố định A Bài Cho hàm số y = −x2 (P) Tìm điểm thuộc (P) có tung độ gấp đơi hồnh độ 3 Bài Xác định công thức hàm số y = f(x) biết f(3a – 2) = a Bài Cho hàm số y = ax2 (P) a) Tìm a để đồ thị hàm số qua điểm ( 2; 6 ) b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình: −3x2 = m � � Bài Cho hàm số y = ax2 (P), biết đồ thị hàm số qua điểm A �1; � Hãy viết � 3� phương trình đường thẳng qua điểm A cắt (P) điểm B có hồnh độ −2 Bài 10 Cho Parabol y = −x2 (P) Tìm tọa độ điểm A thuộc (P) biết khoảng cách từ điểm A đến trục hoành lần khoảng cách từ điểm A đến trục tung Bài 11 Cho hàm số : y m 3 x a) Tìm giá trị m để hàm số nghịch biến khoảng �;0 b) Tìm giá trị m > để đồ thị hàm số qua điểm B(−1 ; 2) Bài 12 Cho đường thẳng (d) : y = k(x – 1) Parabol (P) : y x Tìm k để : a) (d) tiếp xúc (P) b) (d) cắt (P) điểm có tung độ hồnh độ dương Bài 13 Tìm GTNN hàm số y = 3x2 + 6x + Bài 14 Tìm GTLN hàm số y = −2x2 + 8x – Bài 15 Cho (P) : y =ax2 (d) : y = 3x – Biện luận theo a số giao điểm (P) (d) Bài 16 Cho Parabol (P) : y = 4x2 đường thẳng (d) : y = −2x + m Tìm m để (d) tiếp tuyến (P) Bài 17 Cho hàm số y x Viết phương trình đường thẳng (d) qua hai điểm A, B thuộc (P) có hồnh độ −1 ; Bài 18 Cho hàm số y = 2x2 + (k – 9)x + k2 + 3k + Tìm k để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành Bài 19 Cho hàm số y = 2mx2 + x + – 2m Chứng minh đồ thị hàm số cắt trục hoành Bài 20 Cho Parabol (P) : y = x2 đường thẳng (d) : y = 5x + Viết phương trình đường thẳng (d’) song song với (d) tiếp xúc với (P) Bài 21 Cho đường thẳng : x + y = (d1), x – y = (d2) (k + 1)x + (k −1)y = k + (với k �1 ) (d3) a) Tìm k để d1 d3 b) Tìm k để (d1), (d2), (d3) đồng qui c) Chứng minh k thay đổi (d3) luôn qua điểm cố định CHỦ ĐỀ ĐA THỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH A – PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) 2x2 + 3x – b) x4 + c) x3 – 6x2 + 11x – d) x3 + x – e) x(x + 1)(x + 2)(x + 3) – f) x5 + x – Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 2x2 – 7xy + 6y2 + 9x – 13y – Bài Cho a3 + b3 + c3 = 3abc Chứng minh a + b + c = hay a = b = c B – PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI: Bài Chứng minh với số thực a; b; c ba phương trình sau có nghiệm: ax2 + 2bx + c = 0; cx2 + 2ax + b = 0; bx2 + 2cx + a = Bài Chứng minh phương trình ax2 + 2bx + c = 0; có hai nghiệm dương x1 ; x2 phương trình cy2 + by + a = có hai nghiệm dương y1; y2 x1 + x2 + y1 + y2 �4 Bài Chứng minh ba số a; b; c dương thỏa mãn a + b + c = 12 thì ba phương trình sau có phương trình có nghiệm có phương trình vơ nghiệm: x2 + ax + b = 0; x2 + bx + c = 0; x2 + cx + a = Bài Tìm số thực p q thỏa hai điều kiện: a) Hai phương trình x2 + px + = x2 + qx + = có nghiệm chung b) Tổng p q nhỏ Bài Cho phương trình x2 + 3x + = có hai nghiệm x1 ; x2 Hãy tính giá trị biểu thức A x12 x12 x22 x22 ( x1 1) ( x2 1)2 Bài Cho phương trình x mx m Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 cho biểu thức x1 x2 P = x x 2( x x 1) 2 đạt giá trị lớn nhất? Nhỏ nhất? Bài Giải phương trình sau: a) (x2 – 4x)2 – 12(x2 – 4x) = b) (x3 + 1)2 – 2(x3 + 1) = c) (x2 – 4x)2 + 3(x2 – 4x) – = Bài Giải phương trình: 4 � � � 11 � a) �x � �x � � 2� � � b) x4 + x3 – 4x2 + x + = Bài Giải phương trình: a) 16x(x + 1) (x + 2) (x + 3) = b) 2 x x 5 x x c) (x + 1) (x + 2) (x – 6)(x – 7) = 180 d) 1 x 3x 2 x x Bài 10 Giải phương trình: a) 3x x b) x x c) m 1 x 3mx 2m m �1 Bài 11 Giải phương trình: a) x 10 x3 25 x2 36 b) x x x c) x 21x 74 x 105x 50 CHỦ ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài Giải hệ phương trình: � �x y x y � a) � � 20 � �x y x y � x 1 y � b) � x y 15 � ( x 3) y � c) � 3( x 3) y � Bài Giải hệ phương trình: � 1 x y 1 2 � a) � y 1 x �x y � �x y y b) � �y x �1 �x y � �1 c) � �y z �1 � 5 �z x �x my m mx y 3m � Bài Cho hệ phương trình (tham số m): � a) Giải biện luận hệ phương trình theo m b) Trong trường hợp hệ có nghiệm nhất, tìm giá trị m để tích xy nhỏ �2mx y Giải biện luận hệ �mx y Bài Cho hệ phương trình hai ẩn x, y: � phương trình theo tham số m �1 1 �x y z � Bài Giải hệ phương trình: � �2 � �xy z Bài Cho đường thẳng: (d1): 3x + y + = (d2): x + y − = (d3): 2x + m y + 3(1 – m) = Tìm m để đường thẳng đồng qui �2mx y m có nghiệm �x y m Bài Tìm giá trị nguyên m để hệ phương trình � ngun Tìm nghiệm ngun (m 1) x my 2m � Bài Cho hệ phương trình : � mx y m � Tìm giá trị m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn xy đạt giá trị lớn Bài Giải hệ phương trình : �x y z 19 �y z t 28 � a) � �z t x 27 � t x y 25 � �1 �x y 12 � �1 b) � 17 �y z �1 � 15 �z x Bài 10 Cho x, y hai số nguyên dương thỏa mãn hệ phương trình : �xy x y 71 �2 �x y xy 880 Tính : x2 + y2 Bài 11 Giải hệ phương trình : �x y a) � �x y �x y � b) � �x y �x y � c) � �x y 1 �mx y Với giá trị m hệ có x my � Bài 12 Cho hệ phương trình: � nghiệm (x; y) thỏa x y m2 m2 2a 3b � 3a 4c � Bài 13 Tìm số nguyên a, b, c thỏa mãn hệ phương trình: � CHỦ ĐỀ PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN Bài Tính tổng : S1 1 1 1.3 3.5 5.7 2012.2013 S2 1 1 2.4 4.6 6.8 2010.2012 S3 1 1 1 1 1.2 1.3 2.3 3.5 3.4 5.7 100.101 199.201 S4 1 1 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 97.98.99.100 Bài a) Chứng minh với giá trị dương n ta ln có 1 � �1 � � (n 1) n n n � n n 1 � b) Tính tổng : S= 1 1 2 2 33 4 2012 2013 2013 2012 Bài Chứng minh rằng: 15 2499 50 16 2500 a) S = b) 2005 2004 2003 2002 501,5 CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUN Bài Tìm nghiệm ngun phương trình: a) 2x + 3y = b) 5x + 7y = c) 7x + 4y = 23 Bài Tìm cặp số (x ; y) nguyên thỏa x2 x y x 1 Bài Tìm nghiệm nguyên dương phương trình 3x + 4x = 5x Bài Tìm nghiệm nguyên phương trình: 1 a) y x y b) xy – 2x – 3y + = c) + x + x2 = y2 CÁC BÀI TỐN TỔNG HỢP Bài Tìm GTNN GTLN A x4 ( x 1) Bài Tìm GTNN biểu thức: A x x x Bài Tính : A 1 1 1 100 99 99 100 Bài Chứng minh bất đẳng thức : x y z �3 x y z Bài Xác định p để phương trình 2x2 = (3p + 1)x có nghiệm ngun dương bé Bài Giải phương trình: (x – 8)(x – 4)(x – 2)(x −1) = 4x2 Bài Cho a + b + c = 1; a2 + b2 + c2 = 1; x y z a b c Chứng minh xy + yz + zx = (k 1) x (3k 1) y k � x ( k 2) y � Bài Cho hệ phương trình ẩn (x; y): � Tìm k để hệ phương trình có nghiệm (x; y) mà x, y nguyên Bài Cho n số nguyên thỏa n �2 Chứng minh : 1 n 1 2 n n Bài 10 Cho biểu thức: A x x x x Tìm GTNN A Bài 11 Giải phương trình: x x x 2 � m �2 Bài 12 Tìm giá trị nguyên nhỏ m để hàm số y �2 �x � � đồng biến x < Bài 13 Cho abc = Chứng minh: a b c 1 ab a bc b ca c Bài 14 Tìm số nguyên k để phương trình: kx2 – (1 – 2k)x + k – = có nghiệm số hữu tỉ ... c) + x + x2 = y2 CÁC BÀI TỐN TỔNG HỢP Bài Tìm GTNN GTLN A x4 ( x 1) Bài Tìm GTNN biểu thức: A x x x Bài Tính : A 1 1 1 100 99 99 100 Bài Chứng minh bất đẳng... NGUN Bài Tìm nghiệm nguyên phương trình: a) 2x + 3y = b) 5x + 7y = c) 7x + 4y = 23 Bài Tìm cặp số (x ; y) nguyên thỏa x2 x y x 1 Bài Tìm nghiệm nguyên dương phương trình 3x + 4x = 5x Bài. .. tung độ hồnh độ dương Bài 13 Tìm GTNN hàm số y = 3x2 + 6x + Bài 14 Tìm GTLN hàm số y = −2x2 + 8x – Bài 15 Cho (P) : y =ax2 (d) : y = 3x – Biện luận theo a số giao điểm (P) (d) Bài 16 Cho Parabol