Đồng nhất thức newton girard và ứng dụng

23 2.3 çng nh§t thùc cõa Newton-Girard cho têng lôy thøa nghi»m cõa a thùc... MÐ †Uçng nh§t thùc Newton-Girard cho ta mèi li¶n h» giúa têng lôy thøac¡c bi¸n v c¡c a thùc èi xùng cì b£n..

„I HÅC THI NGUY–NTR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC

BÒI THÀ HƒI Y˜N

ÇNG NH‡T THÙC NEWTON - GIRARD

V€ ÙNG DÖNG

LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC

THI NGUY–N - 2017

„I HÅC THI NGUY–NTR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC

BÒI THÀ HƒI Y˜N

ÇNG NH‡T THÙC NEWTON - GIRARD

V€ ÙNG DÖNG

Chuy¶n ng nh: Ph÷ìng ph¡p To¡n sì c§pM¢ sè: 60 46 01 13

LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC

NG×ÍI H×ÎNG DˆN KHOA HÅC

TS TR†N NGUY–N AN

THI NGUY–N - 2017

Möc löc

1.1 a thùc nhi·u bi¸n 3

1.2 Chuéi lôy thøa h¼nh thùc 9

1.3 a thùc °c tr÷ng v  ành lþ Cayley-Hamilton 13

2 çng nh§t thùc Newton-Girard v  ùng döng 16 2.1 ành lþ cì b£n cõa a thùc èi xùng 16

2.2 çng nh§t thùc cõa Newton-Girard 23

2.3 çng nh§t thùc cõa Newton-Girard cho têng lôy thøa nghi»m cõa a thùc 31

2.4 çng nh§t thùc Newton-Girard v  ành lþ sè ngô gi¡c 34

2.5 Ùng döng cõa çng nh§t thùc Newton-Girard 36

2.5.1 T½nh gi¡ trà cõa biºu thùc èi xùng 36

2.5.2 Ph¥n t½ch a thùc èi xùng th nh nh¥n tû 41

2.5.3 Gi£i ph÷ìng tr¼nh v  h» ph÷ìng tr¼nh èi xùng 42

2.5.4 T¼m nghi»m nguy¶n 44

2.5.5 Chùng minh ¯ng thùc 46

2.5.6 Chùng minh b§t ¯ng thùc 48

2.5.7 Tröc c«n thùc ð m¨u 49

MÐ †U

çng nh§t thùc Newton-Girard cho ta mèi li¶n h» giúa têng lôy thøac¡c bi¸n v  c¡c a thùc èi xùng cì b£n Düa v o çng nh§t thùc n y tabiºu di¹n ÷ñc têng lôy thøa c¡c nghi»m cõa a thùc P (x) qua c¡c h»

sè cõa nâ çng nh§t thùc n y ÷ñc t¼m ra bði Isaac Newton v o n«m

1666, þ t÷ðng n y công ÷ñc cho l  xu§t hi»n trong cæng tr¼nh tr÷îc âcõa Albert Giard Do â ta th÷íng gåi l  çng nh§t thùc Newton-Girard

çng nh§t thùc Newton-Girard câ nhi·u ùng döng trong nhi·u l¾nh vüccõa to¡n håc nh÷ Lþ thuy¸t Galois, Lþ thuy¸t b§t bi¸n, Lþ thuy¸t tê hñpcông nh÷ nhi·u l¾nh vüc kh¡c cõa íi sèng Luªn v«n n y t¼m hiºu mët sèc¡ch chùng minh çng nh§t thùc Newton-Girard v  ùng döng trong gi£ito¡n sì c§p

Luªn v«n ÷ñc chia l m hai ch÷ìng Ch÷ìng 1 tr¼nh b y mët sè ki¸nthùc chu©n bà v· a thùc, chuéi lôy thøa h¼nh thùc, ma trªn v  a thùc °ctr÷ng, ành lþ Cayley-Hamilton Ch÷ìng 2 l  ch÷ìng ch½nh tr¼nh b y v·

çng nh§t thùc Newton-Girard v  mët sè ùng döng º câ c¡ch nh¼n têngquan v· a thùc èi xùng, möc ¦u cõa ch÷ìng tr¼nh b y ành lþ cì b£ncõa a thùc èi xùng v  mët sè thuªt to¡n cì b£n biºu di¹n mët a thùc

èi xùng qua c¡c a thùc èi xùng cì b£n çng nh§t thùc Newton-Girardvîi nhi·u c¡ch chùng minh v  nhi·u d¤ng kh¡c nhau ÷ñc tr¼nh b y trongmöc th÷ hai cõa ch÷ìng n y °c bi»t mët sè ùng döng nh÷ chùng minh

ành lþ sè ngô gi¡c, t½nh mët sè biºu thùc èi xùng, gi£i ph÷ìng tr¼nh, h»ph÷ìng tr¼nh, ph¥n t½ch a thùc th nh nh¥n tû, chùng minh ¯ng thùc,chùng minh b§t ¯ng thùc, tröc c«n thùc ð m¨u, công ÷ñc tr¼nh b ytrong ch÷ìng

T i li»u tham kh£o ch½nh l  cuèn s¡ch [2] cõa GS L¶ Thanh Nh n v c¡c b i b¡o [6], [7], [8] v  mët sè t i li»u æn thi håc sinh giäi ð phê thæng

Trong qu¡ tr¼nh l m luªn v«n, tæi nhªn ÷ñc sü h÷îng d¨n v  gióp

ï tªn t¼nh cõa TS Tr¦n Nguy¶n An Tæi xin ÷ñc b y tä láng bi¸t ìn s¥us­c ¸n th¦y

Tæi xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh ¸n quþ th¦y cæ gi£ng d¤y lîpCao håc khâa 9 ¢ truy·n thö ¸n cho tæi nhi·u ki¸n thùc v  kinh nghi»mnghi¶n cùu khoa håc.

Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn!

Th¡i Nguy¶n, th¡ng 9 n«m 2017

Bòi Thà H£i Y¸n

f (x1, , xn) = X

i∈N n 0

aixi

th nh têng cõa c¡c tø æi mët khæng çng d¤ng, trong â ch¿ câ húu h¤n

tø kh¡c 0 (tùc l  h» sè cõa tø kh¡c 0), v  biºu di¹n n y l  duy nh§t n¸ukhæng kº ¸n thù tü c¡c h¤ng tû Méi tø kh¡c 0 xu§t hi»n trong biºu di¹nch½nh t­c cõa a thùc ÷ñc gåi l  mët tø cõa a thùc â

Hai a thùc P

i∈N n 0

aixi v  P

i∈N n 0

bixi l  b¬ng nhau n¸u ai = bi vîi måi

i ∈ Nn0 Bªc cõa mët tø kh¡c 0 l  bªc cõa ìn thùc cõa tø â Bªc (hay bªctêng thº) cõa a thùc f(x1, , xn) 6= 0, k½ hi»u bði deg f(x1, , xn), l  sèlîn nh§t trong c¡c bªc cõa c¡c tø cõa f(x1, , xn) Ta khæng ành ngh¾abªc cho a thùc 0 a thùc h¬ng l  a thùc 0 ho°c a thùc bªc 0 C¡c athùc bªc 1 ÷ñc gåi l  a thùc tuy¸n t½nh a thùc thu¦n nh§t bªc m (haymët d¤ng bªc m) l  mët a thùc m  c¡c tø cõa nâ ·u câ bªc m a thùcthu¦n nh§t bªc hai ÷ñc gåi l  d¤ng to n ph÷ìng Vîi méi k ∈ {1, , n},bªc theo bi¸n xk cõa mët a thùc l  sè lîn nh§t trong c¡c sè mô cõa xk

xu§t hi»n trong c¡c tø cõa a thùc â

ành ngh¾a 1.1.1 K½ hi»u V [x1, , xn]l  tªp c¡c a thùc n bi¸n x1, , xn

vîi h» sè trong V Vîi i, j ∈Nn0, trong â i = (i1, , in) v  j = (j1, , jn),

aixi+ X

i∈N n 0

bixi = X

i∈N n 0

(ai+ bi)xi;

X

i∈N n 0

aixi X

i∈N n 0

bixi = X

k∈N n 0

aixi, P

i∈N n 0

bixi ∈ V [x1, , xn] V nh V [x1, , xn] ÷ñcgåi l  v nh a thùc n bi¸n x1, , xn vîi h» sè trong V

Nhªn x²t 1.1.2 B¬ng quy n¤p, v nh a thùc n bi¸n V [x1, , xn] vîih» sè trong V ch½nh l  v nh a thùc mët bi¸n xn vîi h» sè trong v nh

V [x1, , xn−1]

Tø ành ngh¾a, ta câ c¡c t½nh ch§t sau ¥y v· bªc cõa a thùc

Bê · 1.1.3 Cho f1(x1, , xn), f2(x1, , xn) ∈ V [x1, , xn] l  c¡c athùc kh¡c 0 sao cho têng v  t½ch cõa chóng ·u kh¡c 0 Khi â

(i) deg(f1(x1, , xn) + f2(x1, , xn)) 6 max

i=1,2{deg fi(x1, , xn)}

(ii) deg f1(x1, , xn)f2(x1, , xn) 6 deg f1(x1, , xn) + deg f2(x1, , xn),

v  ¯ng thùc x£y ra khi V l  mi·n nguy¶n

ành lþ 1.1.4 (ành lþ B²zout) Cho R l  mët mi·n nguy¶n v  a thùc

f (x) ∈ R[x], α ∈ R i·u ki»n c¦n v  õ º α l  mët nghi»m cõa f(x) l 

f (x) chia h¸t cho (x − α)

Tø k¸t qu£ tr¶n ta câ sì ç chia Hocner: chia a thùc f(x) cho

x − a Gi£ sû R l  mi·n nguy¶n f(x) = anxn + · · · + a1x + a0 l  mët

a thùc trong R[x] Chia f(x) cho x − a, a ∈ R, ta ÷ñc th÷ìng d¤ngg(x) = bn−1xn−1+ · · · + b1x + b0, d÷ r ∈ R V¼ f(x) = (x − a)g(x) + r n¶n

an an−1 a1 a0

α bn−1 bn−2 b0 r

ành ngh¾a 1.1.5 (Nghi»m bëi) Cho f(x) ∈ R[x], α ∈ R, k ∈ Z, k ≥ 1

Ta gåi α l  nghi»m bëi k cõa f(x) n¸u f(x) chia h¸t cho (x − α)k nh÷ngkhæng chia h¸t cho (x − α)k+1 ngh¾a l :

(

f (x) = (x − α)kg(x), ∀x ∈ R,g(α) 6= 0

N¸u k = 1, ta gåi α l  nghi»m ìn hay cán gåi nghi»m, n¸u k = 2, ta gåi

α l  nghi»m k²p

Bê · 1.1.6 Cho f(x) ∈ R[x] Ph¦n tû a ∈ R l  nghi»m bëi k cõa f(x)n¸u v  ch¿ n¸u f(x) = (x − a)kg(x) vîi g(x) ∈ R[x] v  g(a) 6= 0.

ành lþ 1.1.7 Cho R l  mët mi·n nguy¶n Cho 0 6= f(x) ∈ R[x] v 

a1, a2, , ar ∈ R l  c¡c nghi»m ph¥n bi»t cõa f(x) Gi£ sû ai l  nghi»mbëi ki cõa f(x) vîi i = 1, 2, , r Khi â ta câ

f (x) = (x − a1)k1(x − a2)k2 (x − ar)krg(x)trong â g(x) ∈ R[x] v  g(ai) 6= 0 vîi måi i = 1, , r

H» qu£ 1.1.8 Cho R l  mët mi·n nguy¶n v  f(x) ∈ R[x] l  mët a thùckh¡c 0 Khi â sè nghi»m cõa f(x), méi nghi»m t½nh vîi sè bëi cõa nâ,khæng v÷ñt qu¡ bªc cõa cõa f(x)

H» qu£ 1.1.9 Cho R l  mi·n nguy¶n v  f(x), g(x) ∈ R[x], trong âdeg(f (x)) 6 n v  deg(g(x)) 6 n N¸u f(x) v  g(x) câ gi¡ trà b¬ng nhaut¤i n + 1 ph¦n tû kh¡c nhau cõa R th¼ f(x) = g(x)

ành lþ 1.1.10 (ành lþ Viete thuªn) Gi£ sû

Chó þ K¸t qu£ tr¶n cán óng tr¶n mët mi·n nguy¶n v  h» sè caonh§t cõa f(x) l  kh£ nghàch

V½ dö 1.1.11 (i) N¸u x1, x2 l  hai nghi»m cõa a thùc bªc hai

P

i 1 <i 2 < <i n−1

αi1αi2 αin−1 = a1

α1α2 αn = a0

Khi â α1, , αn l  c¡c nghi»m cõa a thùc

f (x) = xn − an−1xn−1 + · · · + (−1)na0.Ti¸p theo, chóng ta tr¼nh b y t½nh ch§t phê döng cõa v nh a thùcnhi·u bi¸n

M»nh · 1.1.13 Gåi j : V → V [x1, , xn] cho bði j(a) = a vîi måi

a ∈ V l  ph²p nhóng tü nhi¶n Vîi måi v nh giao ho¡n S, måi h» gçm nph¦n tû s1, , sn cõa S v  måi çng c§u ϕ : V → S, tçn t¤i duy nh§t mët

çng c§u ϕ∗ : V [x1, , xn] → S sao cho ϕ∗(xi) = si vîi måi i ∈ {1, , n}

v  ϕ∗j = ϕ

Ti¸p theo, chóng ta giîi thi»u kh¡i ni»m nghi»m cõa a thùc v  h m

a thùc nhi·u bi¸n Cho n ∈ N Gi£ thi¸t S l  mët v nh chùa V K½ hi»u

Sn l  tªp c¡c bë n ph¦n tû cõa S

ành ngh¾a 1.1.14 Bë n ph¦n tû (α1, , αn) ∈ Sn ÷ñc gåi l  mëtnghi»m cõa a thùc f(x1, , xn) ∈ V [x1, , xn] n¸u f(α1, , αn) = 0.Khi â ta công nâi (α1, , αn) l  mët nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh

f (x1, , xn) = 0

ành ngh¾a 1.1.15 Cho a thùc f(x1, , xn) ∈ V [x1, , xn] Khi â ta

câ ¡nh x¤ f : Vn → V cho ùng méi ph¦n tû (a1, , an) ∈ Vn vîi ph¦n tû

f (a1, , an) ∈ V Ta gåi f l  h m a thùc n bi¸n tr¶n V t÷ìng ùng vîi athùc f(x1, , xn)

K¸t qu£ quan trång sau ¥y cho ph²p ta câ thº çng nh§t méi athùc vîi mët h m a thùc Tø â, ta câ thº li¶n h» c¡c èi t÷ñng ¤i sè(trong v nh a thùc V [x1, , xn]) vîi c¡c èi t÷ñng h¼nh håc (trong tªp

Chó þ r¬ng n¸u V câ húu h¤n ph¦n tû th¼ ¡nh x¤ trong ành lþ1.1.16 nh¼n chung khæng l  song ¡nh Thªt vªy, n¸u V = {a1, , ar} th¼vîi méi sè tü nhi¶n n, ta câ a thùc n bi¸n kh¡c 0 vîi h» sè tr¶n V

1.2 Chuéi lôy thøa h¼nh thùc

Trong suèt ch÷ìng n y cho C l  tr÷íng c¡c sè phùc Ta t¼m hiºuchuéi lôy thøa h¼nh thùc vîi h» sè phùc Chó þ r¬ng ta câ thº ành ngh¾achuéi lôy thøa h¼nh thùc vîi h» sè tr¶n mët v nh gi¡o ho¡n b§t ký

ành ngh¾a 1.2.1 Mët chuéi lôy thøa h¼nh thùc tr¶nCl  mët biºu thùc câd¤ng a = a(x) =

C èi vîi ph²p to¡n cëng trong C[[x]] v  ph²p nh¥n c¡c ph¦n tû cõa

C[[x]] vîi mët sè z ∈ C èi vîi ph²p nh¥n, C[[x]] câ ph¦n tû ìn và l 

tû cõa C[[x]] vîi mët sè z ∈ C thäa m¢n h» thùc sau:

z[a(x)b(x)] = [za(x)]b(x) = a(x)[zb(x)]

i·u â chùng tä r¬ng C[[x]] lªp th nh mët ¤i sè tr¶n C

N¸u vîi n ∈ N, chuéi lôy thøa h¼nh thùc a(x) câ an 6= 0 v  aj = 0cho måi j > n, th¼ a(x) ÷ñc gåi l  a thùc bªc n v  ÷ñc ìn gi£n vi¸t l 

n

X

j=0

ajxj hay a0 + a1x + + anxn Hìn th¸ núa, n¸u ai = 0 cho mët i n o

â cõa tªp 0, 1, 2, , n − 1, th¼ sè h¤ng aixi công khæng c¦n vi¸t; cán n¸u

ai = 1 cho mët i n o â cõa tªp {0, 1, 2, , n − 1} , th¼ aixi ÷ñc ìn gi£nvi¸t l  xi Ph¦n tû 0(x) =

D¹ th§y r¬ng ϕ :C1[x] → C, a(x) → a0 l  ¯ng c§u ¤i sè V¼ th¸ ta

câ thº çng nh§t a0 vîi a(x) ∈ C1[x] v  coi C nh÷ l  mët ¤i sè con cõa

C[[x]] Khi â ph²p nh¥n mët ph¦n tû cõa C[[x]] vîi mët sè z ∈ C câ thºxem nh÷ l  mët tr÷íng hñp ri¶ng cõa ph²p to¡n nh¥n trong C[[x]]

M»nh · 1.2.2 Chuéi a(x) ∈ C[[x]] l  kh£ nghàch khi v  ch¿ khi a0 6= 0 Chùng minh Gi£ sû b(x) =

ð ¥y b0, b1, , bn l  c¡c ©n sè D¹ th§y r¬ng h» n y câ nghi»m khi v  ch¿khi a0 6= 0.

Chó þ 1.2.3 Chùng minh t÷ìng tü ta câ g(x) ∈ R[[x]] vîi R l  v nh giaoho¡n b§t ký kh£ nghàch khi v  ch¿ khi a0 kh£ nghàch

N¸u a(x) l  ph¦n tû kh£ nghàch cõa C[[x]] th¼ ph¦n tû nghàch £ocõa nâ s³ ÷ñc k½ hi»u l  (a(x))−1 hay 1

a(x) hay a−1(x) N¸u a(x) v  b(x)

l  c¡c a thùc vîi a0 6= 0, th¼ ph¦n tû b(x)a−1(x) công th÷íng ÷ñc vi¸t l b(x)

a(x) v  ÷ñc gåi l  h m sè húu t

Vîi måi a(x) ∈ C[[x]] ta ành ngh¾a

a0(x) := 1,

an(x) := a(x)a(x) a(x)

| {z }

n

cho måi sè nguy¶n d÷ìng n

N¸u a(x) l  ph¦n tû kh£ nghàch v  a−1(x) l  ph¦n tû nghàch £o cõaa(x), th¼ ta ành ngh¾a

Ta câ mët sè t½nh ch§t sau cõa a thùc tr¶n

M»nh · 1.2.4 Vîi måi z ∈ C v  0 6= n, k ∈ N, ta câ

!

zjxnj.Chùng minh Ta câ

xj

1.3 a thùc °c tr÷ng v  ành lþ Cayley-Hamilton

Cho K l  mët tr÷íng, mët ma trªn c§p m×n tr¶n K l  b£ng sè h¼nhchú nhªt câ m dáng v  n cët -Ma trªn A cï m × n

ành ngh¾a 1.3.1 Cho ma trªn vuæng A c§p n tr¶n K Sè λ ∈ K ÷ñc gåi

l  gi¡ trà ri¶ng cõa A n¸u tçn t¤i vectì x ∈ Kn v  x 6= 0 sao cho Ax = λx.Khi â, vectì x ÷ñc gåi l  vecto ri¶ng ùng vîi gi¡ trà ri¶ng λ

ành ngh¾a 1.3.2 Cho ma trªn vuæng A c§p n tr¶n K a thùc det (A − λI)

÷ñc gåi l  a thùc °c tr÷ng cõa A v  ÷ñc kþ hi»u l  PA(λ) Ph÷ìng tr¼nh

PA(λ) = 0 ÷ñc gåi l  ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng cõa A

Chó þ 1.3.3 (i) λ l  gi¡ trà ri¶ng ⇔ AX = λX ⇔ (A − λI) X = 0 cânghi»m X 6= 0 ⇔ |A − λI| = 0.

an1 an2 ann− X

= (a11− X) (ann − X) +

= (−1)nXn+ bn−1Xn−1 + + b1X + b0

Ta câ λ l  gi¡ trà ri¶ng cõa A khi v  ch¿ khi λ l  nghi¶m cõa PA(X)

(iii) N¸u PA(X) = 0 câ n nghi»m λ1, , λn th¼ tr(A) = Pn

DT = D0 + D1X + + Dn−1Xn−1,trong â D0, D1, , Dn−1 l  c¡c ma trªn c§p n Gi£ sû

PA(X) = (−1)n(c0 + c1X + + Xn)

Ta câ

(A − XIn)(D0 + D1X + + Dn−1Xn−1) = (−1)(c0 + c1X + + Xn)In

(−1)n(c0In + c1A + + cn−1An−1 + An) = Ohay PA(A) = O.

Ch֓ng 2

çng nh§t thùc Newton-Girard v  ùng döng

2.1 ành lþ cì b£n cõa a thùc èi xùng

Trong möc n y ta luæn gi£ thi¸t V l  mi·n nguy¶n v  V [x1, , xn]

l  v nh a thùc n bi¸n x1, , xn vîi h» sè trong V K½ hi»u Sn l  tªp c¡csong ¡nh tø tªp {1, 2, , n} ¸n ch½nh nâ (tªp c¡c ph²p th¸ bªc n)

ành ngh¾a 2.1.1 a thùc f(x1, , xn) ∈ V [x1, , xn] ÷ñc gåi l  athùc èi xùng n¸u f(x1, , xn) = f (xπ(1), , xπ(n)) vîi måi π ∈ Sn, trong

â ta hiºu f(xπ(1), , xπ(n)) l  a thùc ÷ñc suy ra tø f(x1, , xn) b¬ngc¡ch thay xi bði xπ(i) vîi måi i = 1, , n

V½ dö 2.1.2 C¡c a thùc sau ¥y l  c¡c a thùc èi xùng ìn gi£n nh§t,

do â chóng ta gåi chóng l  c¡c a thùc èi xùng sì c§p hay a thùc èixùng cì b£n

i 1 <i 2 < <i k

xi1xi2 xik;

σn = x1x2 xn

M»nh · 2.1.3 Tªp c¡c a thùc èi xùng lªp th nh mët v nh con cõa

V [x1, , xn]

Chùng minh K½ hi»u D l  tªp c¡c a thùc èi xùng trong V [x1, , xn].

Rã r ng −1 ∈ D V¼ vªy ta ch¿ c¦n chùng minh D âng k½n vîi hai ph²pto¡n cëng v  nh¥n Cho f(x1, , xn), g(x1, , xn) ∈ D Khi â

f (x1, , xn) = f (xπ(1), , xπ(n))g(x1, , xn) = g(xπ(1), , xπ(n)),vîi måi π ∈ Sn Do â têng v  t½ch cõa f(x1, , xn) v  g(x1, , xn) công

l  c¡c a thùc èi xùng

Chó þ r¬ng n¸u f(x1, , xn) l  mët a thùc th¼ f(σ1, , σn) l  athùc èi xùng Ta s³ chùng minh i·u ng÷ñc l¤i: N¸u f(x1, , xn) l  mët

a thùc èi xùng th¼ nâ biºu di¹n ÷ñc th nh mët a thùc cõa c¡c athùc èi xùng cì b£n, tùc l  tçn t¤i mët a thùc g(x1, , xn) sao cho

f (x1, , xn) = g(σ1, , σn) º chùng minh k¸t qu£ n y, chóng ta c¦ns­p x¸p mët a thùc th nh têng cõa c¡c tø tø cao xuèng th§p Chóng takhæng thº sû döng bªc thæng th÷íng º s­p x¸p v¼ trong mët a thùc câthº câ nhi·u tø câ còng bªc, ch¯ng h¤n a thùc

f (x1, x2) = 5x71 − 3x1x2 + 4x21 + 3x22 ∈ Q[x1, x2]

câ ¸n 3 tø khæng çng d¤ng còng câ bªc 2 D÷îi ¥y chóng ta giîi thi»umët c¡ch s­p x¸p c¡c ìn thùc, ÷ñc gåi l  thù tü tø iºn, cho ph²p chóng

ta s­p x¸p ÷ñc c¡c tø º thüc hi»n ÷ñc i·u mong muèn

ành ngh¾a 2.1.4 (Thù tü tø iºn) Cho u = axi 1

(ii) N¸u u6 v th¼ uw 6 vw vîi måi u, v, w ∈ Mon(U)

Chùng minh Rã r ng 6 l  mët quan h» thù tü to n ph¦n tr¶n Mon(U).Gi£ sû E l  mët bë phªn khæng réng cõa Mon(U) N¸u E = {0} th¼ 0 l ph¦n tû nhä nh§t cõa E Gi£ sû E 6= {0} Chån a1 sè tü nhi¶n b² nh§ttrong sè c¡c bªc theo bi¸n x1 cõa c¡c ìn thùc kh¡c 0 trong E (luæn chån

÷ñc v¼ måi bë phªn khæng réng trong tªp sè tü nhi¶n ·u câ ph¦n tû nhänh§t) Goi E1 l  tªp con cõa E gçm c¡c ìn thùc câ bªc a1 theo bi¸n x1.Khi â E1 6= ∅ Chån a2 l  sè tü nhi¶n b² nh§t trong c¡c bªc theo bi¸n x2

cõa c¡c ìn thùc trong E1 Goi E2 l  tªp con cõa E1 gçm c¡c ìn thùcbªc a2 theo bi¸n x2 Khi â E2 6= ∅ Cù ti¸p töc qu¡ tr¼nh tr¶n, ¸n b÷îcthù n ta s³ chån ÷ñc tªp En gçm óng mët ìn thùc v  nâ ch½nh l  ph¦n

i1 = j1, , im−1 = jm−1 v  im < jm Suy ra

i1 + k1 = j1 + k1, , im−1 + km−1 = jm−1 + km−1

v 

im + km < jm + km.V¼ th¸ u + w < v + w

Theo Bê · 2.1.5, thù tü tø iºn tr¶n tªp Mon(U) l  thù tü to nph¦n, v¼ th¸ ta câ thº vi¸t méi a thùc f(x1, , xn) ∈ V [x1, , xn] th nhtêng cõa c¡c tø tø cao xuèng th§p K½ hi»u In(f) l  tø lîn nh§t trong c¡c

tø cõa f(x1, , xn) Ta gåi In(f) l  tø d§u cõa f(x1, , xn) Tø Bê ·2.1.5 (ii) ta câ k¸t qu£ sau

H» qu£ 2.1.6 Cho f(x1, , xn) v  g(x1, , xn) l  hai a thùc N¸u V

l  mi·n nguy¶n th¼ ta câ In(fg) = In(f) In(g)

ành l½ sau ¥y th÷íng ÷ñc gåi l  ành lþ cì b£n cõa a thùc èixùng ành l½ n y ½t nh§t ¢ ÷ñc h¼nh dung v  sû döng bði Newton, tuynhi¶n ch÷a câ mët chùng minh thüc sü v  công ch÷a câ mët ph¡t biºuch½nh x¡c M¢i ¸n Th¸ k¿ 19 ành l½ n y mîi trð n¶n quen bi¸t

ành lþ 2.1.7 Cho f(x1, , xn) ∈ V [x1, , xn] l  mët a thùc èi xùng

Khi â tçn t¤i duy nh§t a thùc ϕ ∈ V [x1, , xn] sao cho

Tr÷îc h¸t, ta kh¯ng ành i1 ≥ i2 ≥ ≥ in Thªt vªy, vîi méi sè

tü nhi¶n m vîi 1 6 m 6 n − 1, khi thay xm bði xm+1, thay xm+1 bði xm

v  giú nguy¶n c¡c xk vîi måi k 6= m, m + 1, tø cao nh§t aixi1

ch¿ câ húu h¤n bë sè nguy¶n khæng ¥m (k1, , kn) thäa m¢n kt 6 α1 vîimåi t = 1, , n Do â qu¡ tr¼nh n y ph£i k¸t thóc sau mët sè húu h¤nb÷îc V¼ vªy ¸n b÷îc thù s n o â ta câ

fs(x1, , xn) = fs−1(x1, , xn) − akσk1 −k 2

1 σkn−1 −k n

n−1 σkn

n = 0,trong â In(fs−1) = akxk1

l  biºu di¹n cõa f(x1, , xn) d÷îi d¤ng mët a thùc cõa σ1, σn

B¥y gií ta chùng minh t½nh duy nh§t cõa biºu di¹n Gi£ sû

f (x1, , xn) = g1(σ1, , σn) = g2(σ1, , σn),trong â g1(x1, , xn), g2(x1, , xn) l  hai a thùc kh¡c nhau °t

çng d¤ng vîi b§t cù tø n o kh¡c V¼ vªy a thùc g(σ1, , σn) (x²t nh÷

a thùc theo c¡c bi¸n x1, , xn) l  a thùc kh¡c khæng, m¥u thu¨n.H» qu£ 2.1.8 Cho V l  mi·n nguy¶n v  f(x) ∈ V [x] l  a thùc (mët bi¸n

x) bªc n vîi h» sè cao nh§t kh£ nghàch Gi£ sû f(x) câ n nghi»m α1, , αntrong mët mi·n nguy¶n chùa V Cho g(x1, , xn) ∈ V [x1, , xn] l  mët

a thùc èi xùng Khi â g(α1, , αn) ∈ V

Chùng minh Gi£ sû f(x) = anxn+ + a1x + a0 Theo ành lþ 2.1.7, tçnt¤i a thùc h(x1, , xn) ∈ V [x1, , xn] sao cho

Ta cán câ thº biºu di¹n a thùc èi xùng tr¶n tr÷íng thüc R qua c¡c

a thùc èi xùng cì b£n b¬ng c¡ch çng nh§t c¡c h» sè Chóng ta mæ t£ph÷ìng ph¡p n y trong chó þ sau

Nhªn x²t 2.1.10 Cho f(x1, xn) l  mët a thùc èi xùng K½ hi»u Sn l tªp c¡c ho¡n và cõa n ph¦n tû 1, 2, , n Khi â n¸u aixi1

1 xi2

2 xin

n l  mët tø cõa f(x1, , xn) V¼ th¸ º biºu di¹n

f (x1, , xn) qua c¡c a thùc èi xùng cì b£n, chóng ta ch¿ c¦n biºu di¹nc¡c a thùc èi xùng thu¦n nh§t O(aixi1

¥y ta s³ t¼m ÷ñc c¡c sè thüc ak 1 , ,k n

V½ dö d÷îi ¥y minh håa ph÷ìng ph¡p çng nh§t h» sè mæ t£ trongChó þ 2.1.10, º biºu di¹n a thùc èi xùng qua c¡c a thùc èi xùng cìb£n

V½ dö 2.1.11 Cho f(x1, x2, x3) = x31+ x32+ x33+ x21x2x3+ x1x22x3+ x1x2x23.Khi â f(x1, x2, x3) l  a thùc èi xùng Vîi k½ hi»u nh÷ trong Chó þ 2.1.10

ta câ f = O(x3

1) + O(x21x2x3) Ta c¦n t¼m c¡c sè thüc a, b, c thäa m¢nO(x31) = x31 + x32 + x33 = aσ13 + bσ1σ2 + cσ3

Cho x1 = 1 v  x2 = x3 = 0 ta ÷ñc a = 1 Cho x1 = x2 = 1 v  x3 = 0 ta

÷ñc b = −3 Cho x1 = x2 = x3 = 1 ta ÷ñc c = 3 Do â

O(x31) = σ13 − 3σ1σ2 + 3σ3.Ti¸p theo, chóng ta c¦n t¼m c¡c sè thüc a, b, c, d sao cho

O(x21x2x3) = x21x2x3 + x1x22x3 + x1x2x23 = aσ14 + bσ12σ2 + cσ1σ3 + dσ22.Cho x1 = 1 v  x2 = x3 = 0 ta ÷ñc a = 0 Cho x1 = 1, x2 = −1 v 

x3 = 0 ta ÷ñc d = 0 Cho x1 = x2 = 1 v  x3 = 0 ta ÷ñc b = 0 Cho

x1 = x2 = x3 = 1 ta ÷ñc c = 1 Do â

O(x21x2x3) = σ1σ3.V¼ th¸ biºu di¹n c¦n t¼m l 

f (x1, x2, x3) = σ31 − 3σ1σ2 + 3σ3 + σ1σ3

Nhªn x²t 2.1.12 V¼ f èi xùng n¶n ta câ f ph¥n t½ch ÷ñc th nh têngcõa c¡c a thùc thu¦n nh§t V¼ vªy ta °t ra b i to¡n biºu di¹n a thùcthu¦n nh§t f bªc k qua c¡c a thùc èi xùng cì b£n Theo ành lþ 2.1.7

Theo ành lþ 2.1.7 måi a thùc èi xùng ·u biºu di¹n ÷ñc qua c¡c

a thùc èi xùng cì b£n Trong möc n y chóng ta chùng minh c¡c çng

nh§t thùc cõa Newton v· biºu di¹n a thùc èi xùng xk

1 + + xkn quac¡c a thùc èi xùng cì b£n C¡c çng nh§t thùc n y ÷ñc kh¡m ph¡ bðiNewton v o nhúng n«m 1666, trong khi â chóng ¢ xu§t hi»n trong mëtcæng tr¼nh sîm hìn cõa Albert Girard (1595-1632), nh  to¡n håc sinh t¤iPh¡p V¼ th¸ çng nh§t thùc n y cán ÷ñc gåi l  cæng thùc Newton-Girard

ành lþ 2.2.1 (çng nh§t thùc cõa Newton-Girard) °t sk = xk1+ .+xknvîi k ∈ N Khi â

n

P

r=1

(−1)r+1σrsk−r.Chùng minh L§y y l  bi¸n khæng x¡c ành Khi â, theo cæng thùc Viete

ω(z)σ(z) = −z − σ1 + 2zσ2 − 3z2σ3 + (−1)nnzn−1σn

= σ1z − 2σ2z2 + 3σ3z3 + + (−1)n+1nσnzn.Vîi k 6 n, çng nh§t c¡c h» sè cõa zk ð hai v¸ cõa ¯ng thùc tr¶n ta câ(−1)k+1kσk = sk − σ1sk−1 + σ2sk−2 + + (−1)k−1σk−1s1 Do â

sk = (−1)k+1kσk+ σ1sk−1− σ2sk−2 + + (−1)kσk−1s1