chuyên đề luyện thi đại học lượng giác

chuyen de luyen thi dai hoc luong giac

Trang 2

enooktoan.com

- TRẦN VĂN HẠO (Chủ biên)

NGUYEN CAM - NGUYEN MONG HY - TRAN ĐỨC HUYỆN

CAM DUY LE - NGUYEN SINH NGUYEN - NGUYEN VU THANH

CHUYEN DE LUYEN THI VAG BAI HOC

LUONG GIAC

BIEN SOAN THEO CHUONG TRINH TOAN THPT NANG CAO HIEV HANH

(Tái bản lần thứ năm có chỉnh li va bé sung)

Trang 4

ebooktoan.com

Loi noi dau

Bộ sách Chuyên đề luyện thi vào Đại học được biên soạn nhằm mục đích giúp các em học sinh lớp 12 có thêm tài liệu tham khảo, nim vững phương pháp giải các dạng bài toán cơ bản, thường gặp trong các kì thi tuyên sinh vào các trường Đại học và Cao đăng hàng năm

Nội dung bộ sách bám sát theo chương trình bộ mơn Tốn THPT

nâng cao hiện hành và Hướng dẫn ôn tập thi tuyển sinh vào các trường Đại

học và Cao đăng mơn Tốn của Bộ Giáo dục và Đào tạo Bộ sách gôm 7 tập, tương ứng với 7 chuyên đề : 1 Đại số 2 Lượng giác 3 Hình học không gian 4 Hình học giải tích 5 Giải tích - Đại số tô hợp 6 Khảo sát hảm số 7 Bất đăng thức Tập sách "Chuyên đề luyện thì vào Đại học : Lượng giác" này, gồm 2 phân :

Phân I : Kiến thức cơ bản — Ví dụ áp dụng : có 6 chương thuộc phần

Lượng giác Mỗi chương gồm nhiều đơn vị kiến thức (§), được biên soạn

thông nhât pgôm các mục :

A Kiến thức cơ bản : Tóm tắt, hệ thông kiến thức trọng tâm

B Ví dụ áp dụng : gồm nhiều ví dụ, có hướng dẫn giải Mỗi ví dụ là

một dạng bài tập cơ bản, thường gặp trong các kì thi tuyển sinh vào các trường Đại học và Cao đăng

Trong mỗi (§) có phần Luyện tập : gồm nhiều bài tập, giúp học sinh

Trang 5

Phan II : Hướng dẫn giải —- Câu hỏi trắc nghiệm ôn tập : Phân này gồm hướng dẫn giải bài tập hoặc cho đáp số của phần luyện tập ở mỗi (§) và câu hỏi trắc nghiệm ôn tập, có trả lời ; giúp học sinh tự kiểm tra, đánh giá kết

quả giải bài tập của mình

Cuối sách có phân phụ lục : Trích giới thiệu một số đề thi tuyến sinh

Đại học (2005 — 2008) Đây là phần trích giới thiệu một số đề thi tuyển

sinh Đại học đã ra từ 2005 đến 2008 — mơn Tốn, có liên quan đến phan

Lượng giác, có hướng dẫn giải ; giúp học sinh làm quen với các dạng câu hỏi của để thi tuyến sinh Đại học

Tập thể tác giả trân trọng giới thiệu với các em học sinh 12, bộ sách Chuyên để luyện thi vào Đại học Chúng tôi tin tưởng bộ sách này, sẽ góp phần giúp các em học sinh 12, nâng cao chất lượng học tập và đạt được kết quả mĩ mãn trong kì thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đăng

Chủ biên

Trang 6

enooktoan.com

CAU TRUC DE THI TUYỂN SINH DAI HOC

CAO BANG 2009, MON TOAN

!

II PHÂN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 DIEM)

Câu I (3 điểm) :

— Khảo sát, vẽ đỗ thi của hàm số

~ Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm SỐ : chiều biến thiên của hàm số Cực trị Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số Tiếp tuyến, tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị hàm số Tìm trên đỗ thị những điểm có tính chất cho trước, tương giao giữa hai đỏ thị (một trong hai để thị là đường thang) ;

Câu II (2 điểm) :

— Phương trình, bất phương trình ; hệ phương trình đại số ; — Công thức lượng giác, phương trình lượng giác

Câu III (1 điểm) :

— Tìm giới hạn

— Tìm nguyên hàm, tính tích phân

- Ứng dụng của tích phân: tính điện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay

Câu IV (1 điểm) :

Hình học không gian (tông hợp) : Quan hệ song Song, quan hệ vuông góc của đường thắng, mặt phẳng Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay ; tỉnh thể tích khối lăng trụ, khối ,chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ

tròn xoay ; tính điện tích mặt cầu và thể tích khối cầu

Câu V (1 điểm) :

Bài tốn tơng hợp

II PHAN RIENG (3 ĐIỂM) :

Thí sinh chỉ được làm một trong 2 phần (phần I hoặc 2)

1 Theo chương trình chuẩn :

Câu VLa (2 điểm) :

Trang 7

— Xác định toạ độ của điểm, vectơ

— Đường tròn, elip, mặt cầu

— Viết phương trình mặt phẳng, đường thang

— Tính góc ; tính khoảng cách từ diém đến mặt phẳng Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phăng và mặt cầu

Câu VII a (1 điểm) :

Nội dung kiến thức :

- Số phức

~ Tổ hợp, xác suất, thông kê

— Bắt đăng thức Cực trị của biéu thức đại SỐ 2 Theo chương trình nâng cao :

Câu VI.b (2 điểm) : Nội dung kiến thức :

Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng và trong không gian :

— Xác định toạ độ của điểm, vectơ

~ Đường tròn, ba đường cônic, mặt câu

— Viết phương trình mặt phẳng, đường thăng

— Tính góc ; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng

cách giữa hai đường thăng, Vị trí tương đôi của đường thắng, mặt phãng và mặt câu

Câu VII.b (1 điểm) :

Nội dung kiến thức : - Số phức ax” +bx+c px +q - Để thị hàm phân thức hin ti dang y = và một số yêu tổ liên quan - Sự tiếp xúc của hai đường cong — Hệ phương trình mi va légarit

— Tế hợp, xác suất, thông kê

Trang 8

ebooktoan.com Phan | KIEN THUC CO BAN — Vi DY AP DỤNG Chương 1 | BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIAC A KIEN THỨC CƠ BẢN

Học sinh cần năm vững định nghĩa các giá trị lượng giác sina, cosa, tand, cotœ và các tính chất cơ bản của chúng như :

¡ Dâu của các giá trị lượng giác

2 Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt

3 Các hệ thức lượng giác cơ bản

4 Tính chất tuần hoàn và chu kì của các hàm số lượng giác

5 Sy biến thiên của các hàm số lượng giác

CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Hệ thức giữa các giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt * Cung đối nhau

cos(—x)= cosx sin(—x})= —sỉn x tan (—x) = - tan x cot(—x)=—cotx

* Cung bù nhau

sin(—x}=sinx _ cos(n— x) =—cosx tan(n—x)=—tanx cotÍ£~—x)=—cotx

* Cung hơn kém Hhqw 7£

sin{x + x) =—sinx cos(x +) =-—cosx tan(x + 7) = tan x cotÍx + %4) = cot x

* Cung phụ nhau

l5 lễ )

sinl —T—x |=cosx cos} ——x |=sinx

Trang 9

TL T tan( 5x ]=eotx co| 5 ~x ]=tanx 2 2 , 7 * Cung hơn kém nhau 5 ols] bea} sin] X+— |=cosx, cos| x +— |=~—sinx 2 2 T4 T1 tan| x+ 5 ]= ~eotx, cot[ x+2 ]= =tanx Công thức cộng

cos(a + b) =cosacos b + sinasin b, cos(a + b) =cosacos b — sin asin b sin(a+b)=sinacosb+cosasinb, sin(a — b) = sỉn acosb — eosa sin b

tan a + tan b ` ftana-tanb

tan(a—b) =

tan(a+b}=———————, ———

l— tan atanb Ì+ tanatanb

Cơng thức nhân đôi sin2a = 2sinacosa _ 2 - 2 2 _ - 2 cos 2a =cos a—sin’a=2cos' a-l=1-2s8in‘a ? tana tan 2a =—————— 1—tan” a Hệ quả : Công thức hạ bậc 2 cos a =2 (1+cos2), sin? a= lq —cos2a) 2 ˆ oo a Cong thu tinh sina, cosa, tana theo t = tans 4 2t sina = ——,, cosa = ——_.,, fana= 5 l+t J+t |—t

Công thức biến đỗi tích thành tông

Trang 10

enooktoan.com `, Œ+B., a- cosa —cosf = —2sin P sin B 2 2 ~ at œ— sin œ + sin B = 2sin P cọc PB 2 2 a+B a- sina -sinB = 2cos 27 P gin 2B 2 2 sin (a + sin(a —

tano: + tanp = St(@+B) tanơ — tang = ŠIP(œ =B)

cos œ cos cos œcos Công thức rút gọn asinx + bcosx, acosx + bsinx

¬ b „ m oT ,

* Giả sử a > 0 Đặt tan =— với ec “535 Tacd:

a

asinx + beosx = Va’ +b’ sin(x +9)

acos x + bsinx = Va? +b” cos(x—@) * Đặc biệt : snx+eosx = v2 sin| x+ T Ì= V5 em x~) 7 1 sin x ~cosx = ¥25in X- 7 , COSX —SINX = ¥2C0S ket B VÍ DỤ ÁP DỤNG § 1 CHỨNG MINH ĐÀNG THỨC LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG PHÁP

Muốn chứng minh một đẳng thức lượng giác, ta dùng công thức lượng giác

Trang 11

Il

* sin? 2x = il —cos4x} (công thức hạ bậc)

* sinˆ2x =4sin? xcos” x (Công thức nhân đôi)

Tuỳ theo mỗi bài toán, ta chọn công thức thích hợp đề biến đối

VÍ DỤ ÁP DỤNG

Vi du I: Ching minh các công thức sau (công thức nhân ba) : 1) cos3a = 4cos”a — 3cosa ; 2) sin3a =3sina—4sin’a;

_ tan a(3~ tan? a)

3) tan3a = I—3tanˆa

Hướng dẫn giải

1) cos3a = cos(2a + a) = cos2acosa — sin 2a sin a

=(2cos?a ~l}cosa — 2cosa(1 —€co0s” a) =ÁcosÌa —3cosa 2) Chứng minh tương tự t + 3) tan3a = tan(2a +a) = an 2a + tan a 1 — tan 2a tan a 2tan a

_]I-inla CA 3tana-tana tana(3-tan°a) ˆ ¡— 2fan a- — l-3tana I1-3tana I—tan2a Vi du 2: Chimg minh: 1) cotx + tanx = 2) cotx —tanx = 2cot2x; sin 2x ` 3) cot x —cot2x =— sin 2x Hướng dân giải : 3 2 cosx SMX cos X+Sin^x | 2 1) cotx + tanx =— + = - =— = SINX COSX sin X COSX siInxcosx sin2x 2) Chứng mình tương tự 2

COSX CoS2X 2COS X—COS2X 3) cot x — cos tan 2x = _ =

sinx sin2x sin 2x

_1l+cos2x—cos2x |

Trang 12

enooktoan.com Vi dy 3: Chimg minh : 1 3 1) sin’ x+cos°x=-Lcos4x+ 3; 2) SỈNẾ X +eoSẼ x =2 cos4x +; 4 4 § 8 3) sin® x + cos® x = + cos8x +—-cos 4x +2> 64 16 64 Hướng dẫn giải w 4 2 2Ý 2 2 I) sin’ x + cos x =(sin xX + COS x) —2s51n* XCos” x

=1~ Lgin 2x =] ~ cos 4x) = bcos 4x +3 2 4 4 4 4 á 6 : 2) sinéx+cos®x =(sin? x +cos?x) —3sin? xcos? x(sin? x + cos? x) 2 =l—3sin? xeos” x =1—-3 sin’ 2x =1—-2(1—cos4x) = >cos 4x 42 4 8 8 8 2 3) sin? x +cos® x = (sin* x +cos*x) —2sin‘* xcos* x _ 2 ‹ _ 4 4

=(1—2sin? xcos’x) —2sin‘ xcos x

=}—4sin* xcos* x + 2sin’ xcos* x 3 =l—sin? 2x + Lsin^ 2x =[_ 1 €os4x In] 8 2 gL 2 = HU — 2cos4x "=> 2 2 32 = cossx +p cos4x +22 64 -_ lế 64 Ví dụ 4 : Chứng minh :

1) sin(a + b)sin(a — b) = cos” b— cos” a ;

Trang 13

2) cosa + b)eos(a — b) = 5 (£08 2a + cos 2b)

| 2 3

= 5 (2cos? a ~1+2cos”b ~ 1) =cos’a+cos’ b-| Vĩ dụ $ : Chứng minh :

3 3 3 1) cos3xsin x +sin3xcos x = 7sin 4x ; 2) cos3xcos’ x +sin3xsin? x =cos? 2x

1) Ta có : 4cos” x =cos3x +3cos x,

4sin” x = 3sin x — sin3x,

Do đó, ta tính 4 lần về trái (VT)

4(VT) = cos3x (3sin x ~ sin 3x) + sín 3x(eos3x + 3cos x)

= 3(cos3xsin x + sin3xcosx) =3sin 4x

Suy ra công thức phải chứng minh

2) 4(VT) =cos3x(cos3x + 3cosx) + sin 3x (3sin x — sin 3x)

3 2 :

=cos” 3x —sinˆ 3x + 3(ecos3xeos X + sin 3x sin x}

= cos6x + 3cos2x

= 4cos? 2x (Do cos6x =4cos” 2x - 3cos 2x)

Trang 14

enooktoan.com bì 1 | 27 2) cosxcos| —- x |cos} —+ x |=—cosx| cos 2x + cos — 3 3 2 3 l ] l l l

= — cos 2 x cos2x ~—cosx =—(cos3x + cosx}——cosx =—cos3x 4 4 4 4

3) Từ kết qua bai | va bài 2, suy ra kết qua bai 3 Sau đây là cách giải trực tiếp bài 3 [; l V43—-tanx x/3+tanx tan x tan | ——x |ftan| —+x | = tan x- 3 3 1+ J3 tanx 1— V3 tanx _ tanx(3-tan? x) _ tan? tan 3x — 3tan“ x Ví dụ 7 : Chứng minh : l) sin 5x — 2sinx {cos 4x + cos2x) = sin x ; 3X 3x _ 7x, xX 2) cos —cps— + sin—sin— =cosxcos2x 2 2 2 2 Hướng dẫn giải

I) VT = sin 5x — 2sm xcos 4x — 2 sin xeos 2x

=sinSx— (sin 5x —sin 3x) - (sin 3x - sin x} = sin x 2 2) cos-* cos 3% 4 sin * sin =-Ì(€os4x +cos x)+-L(eos3x —cos4x) 2 2 2 2 2 ] = 2 (eos3x + cosx) =cos2xcosx Vi du 8 : Chứng minh rằng :

- : atb bie cta

1) sina+sinb+sinc —sin(a+b+c)= 4sin sin——sin—_ 5

a+b b+c c+a 2) cosa + cosb + cosc + cos(a +b+c}= 4cos cos cos

2 2

Các bài toán nảy thuộc dạng biến đôi tổng số thành tích số

1)sỉn a + sin b + sine — sin (a + b + c) =(sín a + sin b} + [sin e — sin (a + b + €)]

a—b a+b+2c _ a+b — 2?cos———— Si a+b

= 2s!'n cos

Trang 15

25 a-b —= = 2sIn cos - —C€OS—— 2 2

a+b atc —b-c a+b_ b+e., c+a = —4sin sin sin — Asin sin sin

2 2 2 2 2 2

2) cosa + cosb + cosc + cos(a + b+c)

a+b a—b a+b+2c a+b =2cos cos +2€0§—————cos 2

a+b a—b a+b+2c a+b b+c c+a = 2cos cos + COS —————_ | = 4cos cos 5 cos 2 Vĩ dụ /9 : Cho a # k2r, k e Z Chứng minh rằng : na (n+l)a sỉn——sin —— 1) sina + sin 2a + sin 3a + + sin na = a sin — 2 na (n+l)a sin — cos > 2} cosa +cos2a + coS 3a + + c0s na = a sin — 2 Hướng dẫn giải

Đặt : Š = sin a + sin 2a + sin 3a + + sinnia Ta có :

Trang 16

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 ebooktoan.com

2) Đặt : t=cosa + cos2a + cos3a + + cosna Ta có :

[2sinŠ ]T =2sin5 eosa + 2sin 2 eos2a + + 2sin5 cosna =

2 2 2 2

3a 3 [ sa, a) ( Ja, ‘a

=| sin — —sin— |+| sin— — sin — |+| sin — — sin— |+ 2 2 2 2 2 2 [xm(s+2)s-sm[n~ 2 Ìà +| sin| ñ+— Ja—sin| n-— la 2 2 (n+l)a na si ; ( ] a =sin| n+— |a -sin— = 2cos 2 2 na (n+l)a Sin~~€OS- Suy ra: T= 5 2 sin— 2 LUYEN TAP Chứng minh :

1) cos(x +n) =(-1)" cosx (ne N);

2) sin(x tnx) =(-1)" sinx (ne N)

Chứng minh :

1) cos? (a — b)— cos” (a + b) = sin 2sin 2b ; 2) cos? (a —b) -sin? (a + b) = cos 2acos 2b

Chứng minh :

1L) sin” x(I+ cotx)+ cos” x(I+ tan x}= sỈn x + coS x ;

2) sin3x — 2sin” 3x + cos2xsin x = cos 5xsin 4x ; 3) sin”x +cosf [x ra] =2- Y? sin{ 2x +] 4) 4 2 4

Chứng minh :

1) cos4a = 8cos‘ a —8cosˆa + Ï ;

2) cos” xcos3x —sin? xsin 3x = eo 4x+ - cà Tt tT

Chimg minh: tanx + tan x rã] + tan| x = = 3tan 3x

Trang 17

1.6 1.7

18

sin(a+ b+c)

Chứng minh : tana + tan b + tan c = tan a lan bfan€ +—————————— €os acos beos c Chứng minh :

2 2

1-cos°a—cosˆ b— cosˆ°c + 2cosacosbcose

a+tb+c a+b-c b+c-a., ce+a-b

= 4sm sin sin sin 2 2 2 2 Cho a z k21, k e Z Chứng minh na (n+l)a €OS——SỈỉn — - : -= l) I+cosa + cos2a + + c0s na = sin — w 2 2) sinx +sin(x +a)+sin(x +2a)+ +sin(x+na) | | (n+l)a sin| X+ - |SI1 - —- 2 2 _ a: sin ~ 2 , > 3) cosx +cos(x +a)+cos(x +2a)+ +cos(x + na) | = (n+l)a cos| x + sin —-——— 2 2 - sin - 2 § 2 RÚT GỌN, TÍNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIÊU THỨC LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG PHÁP

* Muốn rút gọn một biếu thức lượng giác, ta dùng các công thức lượng giác

để biến đổi biểu thức đã cho

* Muốn tính giá trị của một biểu thức lượng giác, nói chung ta tìm cách rút

gọn biếu thức này Ngoài việc sử dụng các công thức lượng giác, nên xét xem biểu thức đã cho có dạng gì đặc biệt, từ đó có thể chọn cách giải

Trang 18

II enooktoan.com VÍ DỤ ÁP DỤNG Vĩ dụ 1 : Rút gọn các biểu thức sau : I) A= sin{ 2s + © Joos x +2 |-cosl = ~ x Jeos! 2x + z| : 3 3 3 3 2 2) B=cosx + eos{ x+22) + cos| x | Hướng dẫn giải 1) Nhận xét : [EBs ocala) X-~— |+| —-x |= — => cos] ——x |=sin| x-— 6 3 2 3 6 ` Do đó : A= sin| 2x +™ Jeos{ x-™}- cos{ 2x +2) sin{ x2) 3 6 3 6 n([2x+3)-{*-5)|=#m|+3) =sin| | 2x+— |-| x-— (>+3)(<-j)|=st(+3 ||=sin| x+— |=c0SXx 2) B =cosx +|c03( x+ 2)» eos{ x~28)|

= cosx + 2cosxcos =cosx —cosx =0 (Do cos F< 1),

Ghi cha + Goi M, N, P lan lượt là điểm ngọn của các cung có số đo X,X+ ` X =o trên đường tròn lượng giác Thế thì MNP là một tam giác

đều, do đó : OM +ON +OP =0

Chiếu đăng thức vectơ này trên trục cosin và trục sm, ta được :

Trang 19

Hướng dẫn giải Cách ! : _ [ 3Ề ( 3 | Á =sinˆ x+sin| X—— || sm| x—— |—sSinx 3 3 _ 4 Te rr Tt = sin® x + 2sin( x — Jeos| x jsin{ —= 3 6 6 ix sin x5 Jos| x —F =Sih xX—siIn] X —— |COS| X -—— 3 6 | _ 4 ] ` 3 ` l *) =sin’ x ——| sin} 2x —-— |+sin| -— 5 sin 2x—F)+sin( 4 + " 7 " l 3 =sin" x + cos2x ul =SIn“ x rare —2sin? x)+— =— 2 4 4 Cúch 2 - A “gi! —€OS2xX + Ỉ ~cos{ 2x -28\ + cos{ 2x2 |-cos% 2 3 3 3 = 3 gỊ 952% + cos{ 2x — =) _ cos{ 28 -]| (*) 4 2 3 3 = 3 -4) 0s 2x - 2sin( 2x-=}sin -)| 4 2? 2 6 = 3-3} cos2x-sin(2x-2)] -3 _ (os2x ~cos2x)=3 4 2 2 4 2 4 a Ghi chu (*):

Taco: cos{ 2x — B = -eod|2x + =|

Trang 20

enooktoan.com Hướng dẫn giải ] 1) A=——~ -4sin 70° =— sinl0 sin L0? — 4c0s 20° _1-4sin 10° cos]0° _1—2(sin30°-sin10°) _ 2sin10° =3

sin 10° sinl0° sin I0°

yy pet V3 cosl0° -43sin10°

sinl0° cosl0° sinlO° cost 0° Nhận xéi : Ta có ; cos10° ~ V3 sin L0® = 2eos(10® +60°})= 2eos 709 ọ ' 0 Suy ra: g- 4cos 70 _ 4sin 20 =4, sin 20° sin 20° Vi du 4 : Chúng minh các đăng thức : 1) sinxe€osxecos2xcos4x = = sin Bx :

2) sinxcosxc0s2xcos 4xcosÑx = na sin 16x

Trang 21

l

Suy ra: cos6°.B =sin 6° cos6° cos12° cos 24° cos 48° = va 96° = 1 vos 6°

Vậy : B=-L ay - l6

Mĩ dụ 5 : Tính giá trị các biéu thức sau ;

1) A=sin20° sin 40° sin 80° ; 2) B=sin10° sin 50° sin 70° Hướng dẫn giải

1) A =sin20” sin 40” sin 802 = ssn 20° (cos 40° ~cos120°)

= Lin 20° cos 40° + 1 sin 20° = Ì (gìn 60° — sin 20°) + | Sin 20°

2 4 4 4

_ 1 go M3

2 8

Ghỉ chú : Cách tính giá trị của biểu thức A trên đây giống như cách chứng minh đăng thức trong ví dụ 6 của Vẫn đề 1 ¬ ‘2 , É ] 1L, Sin xsin! ——x |sin| —+x |=—sin3x 3 3 4 2) B=sin10° sin 50° sin 70° l

Cach I : Tuong ty cau J, ta tinh duge B “em 30” =

Cach 2: Taco B=sin10° cos 20° cos 40°

I

Suy ra: cos10°B =sin10° cost0° cos 20° cos 40° = sin 80° = costo?

Ì Vay: B=- ay 8

Vỉ dụ 6 : Tính giá trị các biểu thức sau :

Trang 22

enooktoan.com Hướng dẫn giải 1) A= cos + [cos 5 + cos | = coS + 2008 cos 9 9 9 9 9 9 = cos —cos~ =0 9' 9 2) B= cosa + cost ÿ vọy ỐT 7 7 7 7 2 Nhận xéi : B có dạng cosa + cos 2a + cos3a với: a = >

Ta tinh 2sin>.B (xem ví đụ 6 Vấn đề 1) Ta có :

2sin1,B=2sin eos” ¿ 2sin Zcos “ ¿ 2sia Zcọs 5 7 7 7 7 7 7 7 3m T15 5N 3n Sn = sin — — sin— + sin — — Sin — + Sin x — sin — 7 7 7 ¬ ¬- =~sin~ +sinm = ~sỈn ~ l Suy ra: B=-— y 2 4 3) C= cos” — cng" + cos=™ = ~ cose — cos 2™ ~ cos =-B= 1 7 7 7 7 7 2

Ví dụ 7 : Chứng minh các biêu thức sau đây không phụ thuộc x : l) A=cos”x—2eosacosxeos(x + a) + cos” (x+a);

2) B=cos” x —2sinaecos xsin(x +a}+sinˆ(x+a) Hướng dẫn giải

1} A =cos” x+cos? (x+a) ~cosa[2cos xcos(x +a)|

1

=l+ 29s 2x +cos(2x+2a)|~ cosa[cos(2x +a}+ cos a]

=†+cos(2x +a)cosa — cosacos(2x + ä)— cos?a =!—cos’a=sin’a 2) B=cos? x+sin?(x +a)—sina[2sin(x +a)cos xÌ

=1+ = [cosdx —cos(2x + 2a)]-sina[sin (2x +a)+sing]

=1 —sin(2x +a)sin(—a}~— sin a sin (2x + a}— sin”a =1 —sin? a =cos?a

Trang 23

HI 21 2.2 2.3 2.4 2.5

Ví dụ 8 : Với giả tri nào của œ thì biểu thức

E =cos’ x + cos" (x +a) —-cosxcos(x + a)

không phụ thuộc x 2?

2E=2cos” x+ 2cos”x + œ}—~ 2cos(x + œ})cos x =1+cos2x +1+cos(2x + 2a) -cos(2x + a) - cosa =2~cosa +[cos2x + cos(2x + 2a) ~ cos(2x + œ)]

=2-cosa+[2cos(2x + œ)cosơ —cos(2x + œ)]

= 2-cosa+2cos(2x +a)[ cose -*) Biểu thức E không phụ thuộc x khi và chỉ khi cosg =2 co g— +5 + k?n, keZ Khi đó : E=cos xr c0s"| x | ~cosneos| x2 )= 2 LUYEN TAP Rút gọn không còn dầu căn thức : A=wd2+v2+2cosư (<œư<2m) Rút gọn các biểu thức sau : 1) A=sin‘ x +cos* xsin' (x4 | cos [x+ *); ` 2) B=sin xeod[2x + * )cos{ 2x — =| + sin xsin{ x +E sin| =2] 6 6 6 6 Tính giá trị các biểu thức sau : 87m nm Sn 7T 1) A= cos cost cos 1 cos 8% ; 2) B=cos—cos — cos— ; 15 15 15 15 9 9 9 3) C=cot10° tan 20° tan 40° x , = , tA , tan xX — sin X Z Cho tan— =m Tỉnh theo m giá trị của biêu thức A =——————— Tham sô 2 tan x +sIn x

m phải thoả mãn điều kiện gì ?

Chứng minh biểu thức sau đây không phụ thuộc x :

¬ [ 3 ( = =) ‘n

E =simx —sin| X+— |+sm| x +— |- sin| x +— |+sin| x +— ];

Trang 24

enooktoan.com

§ 3 HỆ THỨC GIỮA CÁC CUNG, CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC THOẢ MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC

I, PHUONG PHAP

* Nói chung, ta dùng công thức lượng giác để biến đổi các điều kiện cho

trước thành hệ thức phải chứng minh

* Cần phải xét điều kiện xác định, nếu có, của hệ thức phải chứng minh

II VÍ DỤ ÁP DỤNG

Ví dụ † : Cho x + y + z= nx,n e N Chứng minh rằng :

| cos’ x + cos’ y +cos* 2-1 =(-1)" 2cos xcos ycosz (1) Hướng dẫn giải

Gọi biểu thức ở về trái của (1) là A Ta cổ

A = cos” x + +€c0s2y +1+cos2zZ} — Í

2

= Cos’ x +2 (eos2y +cos2z) =cos” x + cos(y + z)cos(y — z}

Từ giả thiết x + y + z = nữ, suy ra :

cos x =cos(nt - y —z)=cos{y +z—nn) =(-1)" cos(y +z) cos(y +z) =cos(nn~ x) = cos(x — nx) =(-1)” cos x

Do đó : A = cosx| (-1)" cos(y + z)|+(-1)" coxcos(y —z)

Trang 25

Ta có : (1) <= sin 2b= sin 2a, (2) & cos2b= 3sin? a Do đó : cos(a + 2b) = cosa cos 2b — sin a sin 2b

=cosa(3sin? a)~sina| 3sin 2a] = 3sin? acosa ~ 3sin asinacosa = 0

Suy ra : a+2b= 2 +km (3)

Vi a va b là hai góc nhọn nên ta có : O<a+2b<2%

Do do, tir (3) suy rak = 0 =>a+2b= 2 Ví dụ 3 : Chứng minh rằng nếu -

sin x =2sin (x + y) (1)

xtye > tke keZ (2)

thi : tan(x +y)=——— (3)

coS y — 2

(Trích đê thì Đại học Thương mại, năm 1998) Hướng dẫn giải

# Do giá thiết x + y z 5 + km, keZ và do cos y — 2 +40, nén (3) duoc xác định

* Ta có : sin x = sin(X +-y — y) = sin(x + y)cos y ~ cos(x + y)sin y Do đó, từ (1) > (cosy — 2)sin(x + y) =cos(x + y)siny

Stan(x+y)=2 —2

Chỉ chiz : Néu hai géc x va y thoa man gia thiét (1) thi x+y + 5 +kn Thai

Trang 26

enooktoan.com Trong trường hợp để bài chỉ cho giả thiết (1) học sinh phải biết suy ra điều kiện xey#2 +km ke Z Vi dụ 4 : Cho cos(a +b}= mcos(a — b) (1) m # —1, cos(a—b) #0 (2) , l-m Chứng mính : tana tan b =—-— (3) l+m Hướng dẫn giải

Ta có : 2cosacosb =cos(a + b}+ cos(a — b)

| =(m+1)cos(a—b) #0 (do gia thiét (2))

Vay tana và tan b đều được xác định

(1) coSa cos b — sỉn asin b = m(eosacosb + sin asin b)

—> (1+m)sinasinb=(1—m)cosacosb

l—m

= tan a tan b —

l+m

Ví dụ 5 : Cho atb+c=2 (1) Chứng minh :

sin”a +sin b + sin? c = | — 2sin asin bsin c (2)

Đảo lại, tìm mối liên hệ giữa a, b, c biết răng chúng thoả mãn hệ thức (2) Hướng dẫn giải a+b+c=——> i sina = cos(b+c) cosa =sin(b+c) Dat E=sin°a+sin?b+sin2c—l Ta có : E=sin°a+ “(i ~cos 2b +1-cos2c)—-l =sin7a —2 (eos2b +cos 2c) 2

=sin?a ~ecos(b + e})cos(b — c) = sin” a — sina cos(b — c) = sinalcos(b +c}—cos(b—c)] =-2sinasinbsine (dpcm)

Đảo lại, giả sứ a, b, c thoả mãn điều kiện (2), ta có : (2) © 1 —sin” a — sìn” b — sin” e— 2sin asin bsin c = Ũ

Trang 27

<>(cosacosb) —(sinasinb+sinc) =0

<> (cosa cosb + sin asin b + sinc})(eosacos b — sin a sin b — sinc) = Ơ

©> [eos(a —b)+ sin e |[eos(a + b) — sỉn c|= 0 1) cos(a — b}= —sinc = cos{ t] a -b=c+z+ k2z c ,keZ a-b==e— +k2n 2) cos(a + b} = sin c = ¬ _ e] a+b=~e+k2zx & 2 ,keZ a+b=c +kờn Tóm lại, giữa a, b, c ta có một trong 4 hệ thức sau : atb+c=2 +k2n;a~b=e=2 + k2m; bTc-a= 2 +k2#:;cca~b=s +k2m (ke Z) 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 26 LUYEN TAP

Cho (1+ tana)(I + tan b) =2 Chứng mình : a+b =7t ka (ke Z)

Trang 28

enooktoan.com

Chuong 2

PHUONG TRINH LUONG GIAC

A KIEN THUC CO BAN PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

Ộ Xx=a+k2n

sinx =sina & (ke Z) ° X=n-a+k2n

COSX = CoSŒœ €> x = tơ + k2z (k € Z) tanx =tana @ x=a+kn (k € Z) cotx =cota @x=a+knx (ke Z)

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC DUA VE DANG CO BAN

Phương trình bậc nhất đối với sinx va cosx

Phương trình bậc nhất đổi với sinx và cosx là phương trình có dạng : asinx +beosx =c | (1) hoặc : acosx+bsinx =c (2) Cách † : Dùng góc phụ Đặt © — tan với ee =) a * 2'2}) Nếu a > 0 thì ta có :

asin x + bcosx =c œ Va” + b sin(x +@)=c acos x + bsinx =c ©@ Va” + bỈ cos(x —@)=e Cách 2 : Ding an phụ

Xét phương trình khi x = m+k2n, ke Z

Với xzm+k2m,ke7Z, dat t= tan ta được phương trình bậc hai theo t:

(c+b)t” ~2at+c—b=0

hoặc (c+a)t -2bt+c-a=0

Trang 29

HII

Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác

Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác là phương trình có dạng :

f [u(x)] =0

voi u(x) =sinx hodc u(x)=cosx hodc u(x) = tanx

Dat t= u(x), ta duoc phvong trinh f(t) =0 Phương trinh cé dang f(sinx + cosx, sinxcosx = 0)

Đặt : t= sin x + cosx = |tl< 2 Ta dugc phuyong trinh đại số theo t

Phuong trinh dang cap theo sinx va cosx

* Phương trình đăng cấp bậc hai :

Phương trình đăng cấp bậc hai cỏ dạng 7 - asin” x + bsin xeosX +ccos” x = d ] Cách ¡ : Thay sìn” x = sú —cos2x), cos” x = su +cos 2x), 1,

sin Xcos xX = —sin 2x,

ta dugc phuong trinh bac nhat doi véi sin2x va cos2x Cách 2 : Xét phương trình khi x = 5 +kr, ke Z c= Tt ` a A + ` ` 4 Với xz 5 +kn, k € Z, chia hai về của phương trình cho cos’ x #0 roi dat t= tanx * Phương trình đẳng cấp bậc cao : Dùng ân phụ t = tanx sau khi đã xét phương trình khi x = 21 kn, k € Z GHI CHU

Nói chung, việc giải phương trình lượng giác cũng được tiến hành như khi giải phương trình đại số một ẩn, gồm các bước sau :

a) Đặt điều kiện ban đầu (nếu có); b) Rút gọn phương trình đã cho ;

c) Giải phương trình cuỗi cùng :

Trang 30

H

enooktoan.com

Phương pháp dùng an phụ : Khi sử dụng phương pháp dùng ân phụ, các

bước thực hiện như sau :

Giải phương trình f[u(x)]=0 (1)

a) Dat t= u(x)

b) (1) > f()=0 (2)

c)(2) cteT

đ)(1) œu(x)eT

Ta còn gặp một số phương trình lượng giác mà ta không thể biến đỗi về đạng

cơ bản Các phương trình này sẽ được xét trong Vẫn đề 5 dưới đây

Chẳng hạn, với phương trình sin ax + cosbx = 2, (a có cách giải như sau : sin ax =1 Sinax + cosbx = 2 © cosbx =] B VÍ DỤ ÁP DỤNG § 4 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƯA VỀ DẠNG CƠ BẢN PHƯƠNG PHÁP

* Dùng công thức lượng giac, biến đổi phương trình đã cho về đạng cơ bản

Trong quá trình bien đôi, nêu phát hiện thừa số chưng thì đưa phương trình

ave

* Dang án phụ nêu phương trình có dạng quen thuộc

Vi DU AP DUNG

Vi da I: Cho phương trình

sin” 4x — cos” 6x = sin(10,5r + 10x) (1)

Tìm các nghiệm thuộc khoảng [0 : :]

(Trích đê thì Đại học Dược Hà Nội, năm 1999)

Nhận xét : xe(0;5]>eosx >0 (*)

Trang 31

Ta có: sin(10,5x + 10x)= si 10+ + 10x, + TT = sin[ 10x +) =cost0x Do đó : (1) eo —eos8x)= 2 + cos12x) = cosl0x | # c> 2(cosl2x +eosĐx}+ cosl0x =0 ‹©> coslxeos2x + cosl0x = 0 © cosl0x(eos2x+[}=0 © cosl0xcos” x =0 - © cosl0x =0 (cosx > 0, vxe[ 0 : 5) <9 10x => + km exam {k € Z) 10 , a, ar as 3 ~ vÀ ta 71 ~ ‘

* Các giá trị này phải thoả mãn điều kiện 0< x <> nghĩa là :

Trang 32

ebpooktoan.com * Nhận xét : [x+§}+( Fox} js eot x5] tml Es] X+— |+| ~X|=—=cCot| x+— |=tan| ——-x 3 6 2 3 6 =cot[x+Š jsøtE =x =I 3 6 # + " % ¬" * Ta có : sín'x+cos”x=l—2sin” xcos” x ~1-+ sin? 2x =] 1 cos 4x) = cos 4x +> 2 4 4 Do dé : (1) ca Lcos4x + 2= c>cos4x= L<eos2 4 4 8 2 3 c>4x=+„+k2nc©x =4% Xn (k € Z) 3 12 2

Các giá trị này đều thoả mãn điều kiện ban đầu, nên được chập nhận

Vi dụ 3 : Giải phương trình : $oos)| x+ =) =cos3n (1)

(Trích đề thì Đại học Quốc gia Hà Nội, Khỗi 4, năm 1999) Hwéng dan giai

- T4 Tt

Dat t= xi x = t= cos 3x = cos(3t— m) = —cos3t

Phương trình (]) trở thành ;

8§cos” t + cos3t = 0 8cos? t +(4cos” t— 3cost) =0

Trang 33

Tóm lại, nghiệm của phương trình ( [) là :

x=kX;x= +kR;x=—+kz (k € Z)

6 3

Vỉ dụ 4 : Giải phương trình

cos? 2x + 2(Ssin x + cosx)” —3sin 2x — 3 =0 (1)

(Trích da thi Dai hoc Quốc gia Tp HCM, Khối A, năm 1999) Hướng dẫn giải Cách I Nhận xét : PP 2x =cos” x—sin? x =(cosx -sinx)(cos x +sinx) ' 3 sin2x +1 =(sinx +cosx) , 1 2 3 3 Do đó : (1) @ (sinx + cosx)” (cosx —sinx) +2(sin x +cosx) 1 3 -3(sinx+cosx} =0 o> (sinx + cosx)” [ (cos x —sinx)’ +2(sinx + cosx) — 3 | =0 a) sinx + cosx = Ũ €è tấn X = —Ï Cọ XE =2 + kữ, (k € Z)

b) (cosx —sinx) +2(sinx +cosx)—-3=0

<> 1~2sinxcosx + 2(sinx +cosx)-3=0 |

Trang 34

enooktoan.com

a) (= 0.49 sinx +cosx = N=—7 tke (k € Z) b) t=] sinx +cosx =] c>ý2eos| x~ Ì=l T T x= +k2n c> eosl x2] - cos => 2 (ke Z) 4 4 x=k2n Tóm lại, nghiệm của phương trình (1) la: x=—=-+kn:x=—+k2m;x=k2w (ke Z) 4 2 Vi du 5 : Giai phuong trình 3sinx+ 2cosx = 3(I + tan x)— (l) COS X (Trích dé thi Cao dang Sư phạm Hà Nội, năm 1999) Hướng dẫn giải

* (1) & cosx(3sinx + 2cosx) = 3sin x + 3cos x — 1

b) 3sinx + 2cosx—-1=0 (2)

Nhận xét :

x=z#+k2r (k e Z) không phải là nghiệm của phương trình (2)

Trang 35

Gọi œ va fi la hai gdc thudc [- ; =) sao cho 3-23 3 , tanB = 3423 3 tana = x=2a+k2n Tac6:(2) x=2B+k2m x tan— = tana ce Z2) Xx fans = tanB Tóm lại, nghiệm của phương trình (1) là : x=k2mr;x = 2œ +k2x;x=2B+k2x (ke Z) V† dự ố ; Giải phương trình

4(sin3x — cos2x) = 5(sinx —1) (1)

(Trích đề thì Đại học Luật Hà Nội, năm 1999)

(1) © 4(3sinx— 4sinŸ x)}—~ 4ÍI— 2sin? x}~ 5(sin x — 1) =0 Đặt †= sinx => T—I <t<l, Từ (]) suy ra : I2t 16t) 4+Đt5t+5=0 â tt 81” ~7t—1=0 ©(t—1)(16t° +8t+1)=0 ©(t~I)(4t+1} =0 T4 a) tasinx=lox= > 4+k2n (k = Z) X=atk2n b)tasinx=-Lo) (k € Z) x=7-œ+k2r (xe|~5 ‘ 5| va sina = ly 2 2 4 Ví dụ 7 : Giải phương trình

sin? x(tanx +1) =3sinx (cos x —sinx) +3 (1)

Trang 36

enooktoan.com

tan” x(tan x +1) = 3 tan x(I tan x) + 3ÍI+ tan? x)

Đặt t = tan x, ta được phương trỡnh : tè+t? =3t3t)+3+3 ât+t31-3=0 t=-] â(t+)(?3)=0ôằ|t=v3 t=-v3 x=——+k2m tan x = Ì 4 & tanx = V3 > Karke (k € Z) tanx = 3 x=——+kRt 3 Ví dụ 8 : Giải phương trình -

5+ cos2x = 2(2 — cos x)(sin x — cos x) (1)

(Trích đề thi Đại học Hàng hải Tp HCM, năm 1999)

& 2sin xcosx — 4(sin x —cosx)+ 4= 0 (2)

Trang 37

Vi du 9: Giai phuong trinh

sinx - 4sin’ x + cos x = Ô (1) (Trích đề thi Đại học Y Hà Nội, năm 1999)

“Hướng dẫn giải

Có thể xem (I) là phương trình đăng cấp bậc ba Nhận xét : cosx =0 không thoả mãn phương trình ( Í),

Chia hai về của phương trinh (1) cho cos’ x, ta dugc: tanx (tan? x +1) —4tan? x + tan? x + 1=0

Đặt t = tan x, ta được phương trình : P+t-4P4+1-003t t-1=0 = (1-131? + 2t4+1) =0 ©t=l (vì 3t`+2t+l>0, vi) T © tan x = Ï =x= rkn (k € Z)

Vi du 10: Giai phuong trinh

2sin” x — eos 2x + cosX = 0 (1)

(Trich dé thi Dai hoc Nông nghiệp I, Khoi A, ndém 1999)

Trang 38

1II 4,1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 enooktoan.com

<> sinx + cosx =0 (do |sin x +eosx|< V2)

<> tan x = —Ï xsi tke {k € Z) Tém lai, phuong trinh (1) cé nghiém là :

x=k2n va xe kn (ke 7) Ghi chu (*):

Co thé giai bang cach dat : 1 =sinxcosx, |tl < V2 Ta được phương trình ; tÝt+2)=0e>t=0

LUYỆN TẬP

Giai phuong trinh : sin® x + cos® x = 2(sin® x + cos® x)

"(Trích đề thi Đại học Quốc gia Hà Nội, năm 1999)

" nh sài 7

Giải phương trình : sin” x +eos° x =——

(Trích để thi Đại học Huế, năm 1999)

Giải phương trình : sin” xcos3x + cos” xsin 3x = sin” 4x

(Trích dê thì Đại học Ngoại thương, Khối A, nam 1999) Cho phương trình : eos2x - tan” x = CO5 x~-ens x-I

COS” x a) Giat phuong trinh trén

b) Tỉnh tông tất cả các nghiệm của phương trình trên thoả mãn 0 < x < 99, (Trích dé thi Dai hoc Thai Nguyên, Khái A & B, năm 1999)

Giải phương trình : cos 2x — J3sin 2x— 43 sinx —cosx+4=0

(Trích đề thi Học viện Kĩ thuật quân sự, năm 1998)

ead ` x

Giải phương trinh ; 2+cosx = 2 tan —

(Trích đề thì Học viện Ngân hàng, năm 1998)

{ on

Giai phuong trinh : tan’ | x -2) = tan x~Ï

(Trích để thì Học viện Công nghệ BCVT Tp.HCM, năm: 1999)

Trang 39

4.8 Giải phương trình : cos` x + cos’ x +2sinx-2=0

(Trích đề thì Học viện Ngân hàng, năm 1999) 4.9 Giải phương trình : 3tan” x— tan x ,30 -SinX) g2 k -Š] =

cos” X

(Trích đề thì Đại học Kiến trúc Hà Nội, năm 1999)

4.10 Giải phương trình : cos” x + sin x— 3cos xsin” x = 0

(Trích để thì Đại học Huế, Khối A & B, nam 1998)

_§5, PHƯƠNG TRÌNH LUONG GIAC CHỨA ẢN Ở MẪU

I PHƯƠNG PHÁP

1 Cách giải phương trình chứa ân ở mẫu gồm ba bước :

a) Đặt điều kiện xác định ;

b) Rut gon phương trình đã cho rồi giải phương trình cuối cùng ;

e) Đối chiếu điều kiện xác định để chọn nghiệm

2 Đối với phương trình lượng giác, việc chọn nghiệm (nhận nghiệm nảo, loại

nghiệm nảo) đôi khi rât phức tạp Tuy theo từng bài toán, ta dùng phương

pháp đại sô hoặc phương pháp hình học Gia su rang :

» wk , ` m27 „ ` ` ˆ 4

Trang 40

II

ebooktoan.com

— Phirong phap hinh hoc:

VÀ 1z m2m

* Điêu kiện x # Xạ + có nghĩa là trên đường tròn lượng giác có p điểm G,,G;,G¿:, ,G, không thể là ngọn của bất cứ cung nghiệm nào của phương trình Đặt L ={G,, G;, G, , GÌ (tập các điểm bị loại) a om k2 ok x “ LA A * Hé nghiệm x, ¬ - được biêu diễn băng n ngọn cung nghiệm trên n

đường tròn lượng giác

Ngọn cung nảo thuộc L thì bị loại, trái lại thì được nhận VÍ DỤ ÁP DỤNG Ví dụ 1 : Giải phương trình 1+cot2x =1—Ê992X (1) sin’ 2x (Trích đề thi Đại học Sư phạm Vinh, năm 1998) Hướng dẫn giải * Điều kiện xác định : sin2x z0 © 2x #z mz (me Z2) mĩ €>X#—— (*) Tập các điểm bị loại gồm 4 điểm (Hình |) * Khi đo, ta có :

(dbo sin? 2x + cos 2x.sin 2x = 1 —cos 2x Hình I

a) cos2x =0 œ 2x =7 + kn (ke 2œx= + (nhận)

Định dạng
Số trang	210
Dung lượng	3,22 MB