Thông tin tài liệu
Kênh Youtube:NĐT OFFICIAL Page Góc Tốn Học: Facebook.com/Thaygiaodepzai Chun đề I: SỐ CHÍNH PHƯƠNG I ĐỊNH NGHĨA: Số phương số bình phương số nguyên II TÍNH CHẤT: Số phương có chữ số tận 0, 1, 4, 5, 6, ; khơng thể có chữ số tận 2, 3, 7, Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phương chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn Số phương có hai dạng 4n 4n + Khơng có số phương có dạng 4n + 4n + (n N) Số phương có hai dạng 3n 3n + Khơng có số phương có dạng 3n + (n N) Số phương tận chữ số hàng chục chữ số chẵn Số phương tận chữ số hàng chục Số phương tận chữ số hàng chục chữ số chẵn Số phương tận chữ số hàng chục chữ số lẻ Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia hết cho chia hết cho 25 Số phương chia hết cho chia hết cho 16 III MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG A DẠNG1: CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài 1: Chứng minh với số nguyên x, y A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 số phương Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 = (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4 Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t ( t Z) A = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 –y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2 V ì x, y, z Z nên x2 Z, 5xy Z, 5y2 Z x2 + 5xy + 5y2 Z Vậy A số phương Bài 2: Chứng minh tích số tự nhiên liên tiếp cộng ln số phương Gọi số tự nhiên, liên tiêp n, n + 1, n+ 2, n + (n N) Ta có n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + = (n2 + 3n)( n2 + 3n + 2) + (*) Đặt n2 + 3n = t (t N) (*) = t( t + ) + = t2 + 2t + = ( t + )2 = (n2 + 3n + 1)2 Vì n N nên n2 + 3n + N Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + số phương Bài 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + k(k+1)(k+2) Chứng minh 4S + số phương 1 k(k+1)(k+2).4 = k(k+1)(k+2).[(k+3) – (k-1)] 4 1 = k(k+1)(k+2)(k+3) - k(k+1)(k+2)(k-1) 4 1 1 S = 1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 +…+ k(k+1)(k+2) 4 4 1 (k+3) - k(k+1)(k+2)(k-1) = k(k+1)(k+2)(k+3) 4 Ta có k(k+1)(k+2) = 4S + = k(k+1)(k+2)(k+3) + Theo kết k(k+1)(k+2)(k+3) + số ph ương Bài 4: Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889; … Dãy số xây dựng cách thêm số 48 vào số đứng trước Chứng minh tất số dãy số phương Ta có 44…488…89 = 44…488 + = 44…4 10n + 11…1 + n chữ số n-1 chữ số n chữ số n chữ số n chữ số n chữ số 10 n 10 n 10n + +1 9 4.10 n 4.10 n 8.10 n 4.10 n 4.10 n = = 9 n 2.10 = = Ta thấy 2.10n +1=200…01 có tổng chữ số chia hết chia hết cho n n-1 chữ số 2.10 Z hay số có dạng 44…488…89 số phương Bài 5: Chứng minh số sau số phương: A = 11…1 + 44…4 + 2n chữ số n chữ số B = 11…1 + 11…1 + 66…6 + 2n chữ số n+1 chữ số n chữ số C = 44…4 + 22…2 + 88…8 + 2n chữ số n+1 chữ số n chữ số 10 n 2 ; Kết quả: A = 10 n 2 B = ; Bài 6: Chứng minh số sau số phương: a A = 22499…9100…09 n-2 chữ số n chữ số b B = 11…155…56 n chữ số n-1 chữ số a A = 224.102n + 99…9.10n+2 + 10n+1 + 2.10 n C = = 224.102n + ( 10n-2 – ) 10n+2 + 10n+1 + = 224.102n + 102n – 10n+2 + 10n+1 + = 225.102n – 90.10n + = ( 15.10n – ) A số phương b B = 111…1555…5 + = 11…1.10n + 5.11…1 + n chữ số n chữ số = n chữ số n chữ số 10 n 10 n 10 n 10 n 5.10 n 10n + +1= 9 = 10 2n 10 n 4.10 = n số phương ( điều phải chứng minh) Bài 7: Chứng minh tổng bình phương số tự nhiên liên tiếp khơng thể số phương Gọi số tự nhiên liên tiếp n-2, n-1, n , n+1 , n+2 (n N , n ≥2 ) Ta có ( n-2)2 + (n-1)2 + n2 + ( n+1)2 + ( n+2)2 = 5.( n2+2) Vì n2 khơng thể tận n2+2 khơng thẻ chia hết cho 5.( n2+2) khơng số phương hay A khơng số phương Bài 8: Chứng minh số có dạng n6 – n4 + 2n3 + 2n2 n N n>1 khơng phải số phương n6 – n4 + 2n3 +2n2 = n2.( n4 – n2 + 2n +2 ) = n2.[ n2(n-1)(n+1) + 2(n+1) ] = n2[ (n+1)(n3 – n2 + 2) ] = n2(n+1).[ (n3+1) – (n2-1) ] = n2( n+1 )2.( n2–2n+2) Với n N, n >1 n2-2n+2 = (n - 1)2 + > ( n – )2 n2 – 2n + = n2 – 2(n - 1) < n2 Vậy ( n – 1)2 < n2 – 2n + < n2 n2 – 2n + số phương Bài 9: Cho số phương có chữ số hàng chục khác chữ số hàng đơn vị Chứng minh tổng chữ số hàng chục số phương số phương Cách 1: Ta biết số phương có chữ số hàng đơn vị chữ số hàng chục số lẻ Vì chữ số hàng chục số phương cho 1,3,5,7,9 tổng chúng + + + + = 25 = 52 số phương Cách 2: Nếu số phương M = a2 có chữ số hàng đơn vị chữ số tận a a 2 a2 Theo dấu hiệu chia hết cho hai chữ số tận M 16, 36, 56, 76, 96 Ta có: + + + + = 25 = 52 số phương Bài 10: Chứng minh tổng bình phương hai số lẻ số phương a b lẻ nên a = 2k+1, b = 2m+1 (Với k, m N) a2 + b2 = (2k+1)2 + (2m+1)2 = 4k2 + 4k + + 4m2 + 4m + = 4(k2 + k + m2 + m) + = 4t + (Với t N) Khơng có số phương có dạng 4t + (t N) a2 + b2 khơng thể số phương Bài 11: Chứng minh p tích n số ngun tố p1 p+1 khơng thể số phương Vì p tích n số nguyên tố nên p 2 p không chia hết cho (1) a Giả sử p+1 số phương Đặt p+1 = m2 (m N) Vì p chẵn nên p+1 lẻ m2 lẻ m lẻ Đặt m = 2k+1 (k N) Ta có m2 = 4k2 + 4k + p+1 = 4k2 + 4k + p = 4k2 + 4k = 4k(k+1) mâu thuẫn với (1) p+1 số phương b p = 2.3.5… số chia hết cho p-1 có dạng 3k+2 Khơng có số phương có dạng 3k+2 p-1 khơng số phương Vậy p tích n số nguyên tố p-1 p+1 khơng số phương Bài 12: Giả sử N = 1.3.5.7…2007 Chứng minh số nguyên liên tiếp 2N-1, 2N 2N+1 khơng có số số phương a 2N-1 = 2.1.3.5.7…2007 – Có 2N 2N-1 không chia hết cho 2N-1 = 3k+2 (k N) 2N-1 không số phương b 2N = 2.1.3.5.7…2007 Vì N lẻ N không chia hết cho 2N 2N không chia hết cho 2N chẵn nên 2N không chia cho dư 2N khơng số phương c 2N+1 = 2.1.3.5.7…2007 + 2N+1 lẻ nên 2N+1 không chia hết cho 2N không chia hết 2N+1 không chia cho dư 2N+1 không số phương Bài 13: Cho a = 11…1 ; b = 100…05 2008 chữ số 2007 chữ số Chứng minh ab số tự nhiên 10 2008 Cách 1: Ta có a = 11…1 = ; b = 100…05 = 100…0 + = 102008 +5 2008 chữ số ab+1 = (10 2008 1)(10 2007 chữ số 2008 5) +1= (10 2008 ) 4.10 2008 chữ số 2008 59 = 10 2008 ab = 10 2008 2 10 2008 = 3 Ta thấy 102008 + = 100…02 nên nhiên 2007 chữ số 10 2008 N hay ab số tự Cách 2: b = 100…05 = 100…0 – + = 99…9 + = 9a +6 2007 chữ số 2008 chữ số 2008 chữ số ab+1 = a(9a +6) + = 9a2 + 6a + = (3a+1)2 ab = (3a 1) = 3a + N B DẠNG 2: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU THỨC LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài1: Tìm số tự nhiên n cho số sau số phương: a n2 + 2n + 12 b n ( n+3 ) c 13n + d n2 + n + 1589 Giải a Vì n + 2n + 12 số phương nên đặt n2 + 2n + 12 = k2 (k N) (n2 + 2n + 1) + 11 = k2 k2 – (n+1)2 = 11 (k+n+1)(k-n-1) = 11 Nhận xét thấy k+n+1 > k-n-1 chúng số nguyên dương, nên ta viết (k+n+1)(k-n-1) = 11.1 k+n+1 = 11 k=6 k–n-1=1 n=4 2 2 b Đặt n(n+3) = a (n N) n + 3n = a 4n + 12n = 4a2 (4n2 + 12n + 9) – = 4a2 (2n + 3) - 4a2 = (2n + + 2a)(2n + – 2a) = Nhận xét thấy 2n + + 2a > 2n + – 2a chúng số nguyên dương, nên ta viết (2n + + 2a)(2n + – 2a) = 9.1 2n + + 2a = n=1 2n + – 2a = a=2 c Đặt 13n + = y2 ( y N) 13(n – 1) = y2 – 16 13(n – 1) = (y + 4)(y – 4) (y + 4)(y – 4) 13 mà 13 số nguyên tố nên y + 13 y – 13 y = 13k (Với k N) 13(n – 1) = (13k )2 – 16 = 13k.(13k 8) n = 13k2 8k + Vậy n = 13k2 8k + (Với k d N) 13n + số phương Đặt n2 + n + 1589 = m2 (m N) (4n2 + 1)2 + 6355 = 4m2 (2m + 2n +1)(2m – 2n -1) = 6355 Nhận xét thấy 2m + 2n +1> 2m – 2n -1 > chúng số lẻ, nên ta viết (2m + 2n +1)(2m – 2n -1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41 Suy n có giá trị sau: 1588; 316; 43; 28 Bài 2: Tìm a để số sau số phương: a a2 + a + 43 b a2 + 81 c a2 + 31a + 1984 Kết quả: a 2; 42; 13 b 0; 12; 40 c 12; 33; 48; 97; 176; 332; 565; 1728 Bài 3: Tìm số tự nhiên n ≥ cho tổng 1! + 2! + 3! + … + n! số phương Với n = 1! = = 12 số phương Với n = 1! + 2! = khơng số phương Với n = 1! + 2! + 3! = 1+1.2+1.2.3 = = 32 số phương Với n ≥ ta có 1! + 2! + 3! + 4! = 1+1.2+1.2.3+1.2.3.4 = 33 5!; 6!; …; n! tận 1! + 2! + 3! + … + n! có tận chữ số nên khơng phải số phương Vậy có số tự nhiên n thỏa mãn đề n = 1; n = Bài 4: Tìm n N để số sau số phương: a n2 + 2004 ( Kết quả: 500; 164) b (23 – n)(n – 3) ( Kết quả: 3; 5; 7; 13; 19; 21; 23) c n2 + 4n + 97 d 2n + 15 Bài 5: Có hay khơng số tự nhiên n để 2006 + n2 số phương Giả sử 2006 + n2 số phương 2006 + n2 = m2 (m N) Từ suy m2 – n2 = 2006 (m + n)(m - n) = 2006 Như số m n phải có số chẵn (1) Mặt khác m + n + m – n = 2m số m + n m – n tính chẵn lẻ (2) Từ (1) (2) m + n m – n số chẵn (m + n)(m - n) Nhưng 2006 không chia hết cho Điều giả sử sai Vậy không tồn số tự nhiên n để 2006 + n2 số phương Bài 6: Biết x N x>2 Tìm x cho x(x-1).x(x-1) = (x-2)xx(x-1) Đẳng thức cho viết lại sau: x(x-1) = (x-2)xx(x-1) Do vế trái số phương nên vế phải số phương Một số phương tận chữ số 0; 1; 4; 5; 6; nên x tận chữ số 1; 2; 5; 6; 7; (1) Do x chữ số nên x ≤ 9, kết hợp với điều kiện đề ta có x N < x ≤ (2) Từ (1) (2) x nhận giá trị 5; 6; Bằng phép thử ta thấy có x = thỏa mãn đề bài, 762 = 5776 Bài 7: Tìm số tự nhiên n có chữ số biết 2n+1 3n+1 số phương Ta có 10 ≤ n ≤ 99 nên 21 ≤ 2n+1 ≤ 199 Tìm số phương lẻ khoảng ta 25; 49; 81; 121; 169 tương ứng với số n 12; 24; 40; 60; 84 Số 3n+1 37; 73; 121; 181; 253 Chỉ có 121 số phương Vậy n = 40 Bài 8: Chứng minh n số tự nhiên cho n+1 2n+1 số phương n bội số 24 Vì n+1 2n+1 số phương nên đặt n+1 = k2 , 2n+1 = m2 (k, m N) Ta có m số lẻ m = 2a+1 m2 = 4a (a+1) + 4a ( a 1) m2 n= = = 2a(a+1) 2 n chẵn n+1 lẻ k lẻ Đặt k = 2b+1 (Với b N) k2 = 4b(b+1) +1 n = 4b(b+1) n (1) Ta có k2 + m2 = 3n + (mod3) Mặt khác k2 chia cho dư 1, m2 chia cho dư Nên để k2 + m2 (mod3) k2 (mod3) m2 (mod3) m2 – k2 hay (2n+1) – (n+1) n (2) Mà (8; 3) = (3) Từ (1), (2), (3) n 24 Bài 9: Tìm tất số tự nhiên n cho số 28 + 211 + 2n số phương Giả sử 28 + 211 + 2n = a2 (a N) 2n = a2 – 482 = (a+48)(a-48) 2p.2q = (a+48)(a-48) Với p, q N ; p+q = n p > q a+48 = 2p 2p – 2q = 96 2q (2p-q -1) = 25.3 a- 48 = 2q q = p-q = p = n = 5+7 = 12 Thử lại ta có: 28 + 211 + 2n = 802 Tính S100 =? Trong trình bồi dỡng học sinh giỏi , kết hợp dạng toán có liên quan đến dạng tính tổng để rèn luyện cho em , chẳng hạn dạng toán tìm x : 14, a, (x+1) + (x+2) + (x+3) + + ( x+100 ) = 5070 b, + + + + + x = 820 1 1989 c, + 10 x( x 1) 1 1991 Hay toán chứng minh chia hết liªn quan 15, Chøng minh : a, A = 4+ 2 +23 +24 + + 220 lµ luü thõa cña b, B =2 + 22 + + + 60 ; 7; 15 c, C = + 33 +35 + + 31991 13 ; 41 d, D = 119 + 118 +117 + + 11 +1 Chuyên đề V: PHÂN SỐ VÀ LIÊN PHÂN SỐ I KHÁI NIỆM PHÂN SỐ VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN SỐ: a) - Phân số có dạng a , a,b Z, b 0, a gọi tử, b b mẫu - Mọi số nguyên a viết dạng phân số với mẫu ( a ) b) - Có 02 tính chất phân số: a,b,mZ) (b,m 0, c) - Rút gọn phân số chia tử mẫu phân số cho ƯC (khác –1) chúng - Phân số tối giản phân số rút gọn Muốn rút gọn phân số đến tối giản ta chia tử mẫu cho ƯCLN chúng a/b tối giản ƯCLN (a;b)=1 d) Muốn quy đồng mẫu nhiều phân số có mẫu dương ta làm theo bước: Bước 1: Tìm BC mẫu (thường BCNN) để làm mẫu chung Bước 2: Tìm thừa số phụ mẫu cách lấy mẫu chung chia cho mẫu Bước 3: Nhân tử mẫu phấn số với thừa số phụ tương ứng Nếu mẫu phân số nguyễn tố mẫu chung tích mẫu Bài tập: Bài 1: Chứng với số tự nhiên n phân số phân số tối giản Gọi d ƯCLN (21n + ; 14n + ) (d N; d 1) Khi ta có: 2.(21n + 4) d 3.(14n + 3) d Hay 42n + d 42n + d Theo tính chất hiệu chia hết tổng (hiệu) thì: (42n + 9) – (42n + 8) = d Suy ra: d = Vậy phân phân số tối giản với n N Bài 2: Chứng minh phân số số tự nhiên n tối giản với Gọi d ƯCLN ( ; ) (d N ; d 1) Ta có: Khi (n4 + 3n2 +1 - n4 - 2n2) = n2 + d n.(n2 + 1) d Ta lại có: đó: Suy ra: (n3 + 2n - n3 - n) = n d n.n = n2 d n + - n2 = d d=1 Vậy phân số phân số tối giản Bài Tìm tất số tự nhiên n để phân số phấn số tối giản Giải Ta có: Ta thấy: ; 3n + ; 3n + 6n + đôi nguyên tổ Để tối giản 6n + 7 Suy n 7k + ( k N) Bài Tìm số nguyên x, y, z biết: Ta có Khi x = Giải x = 12 = 36 = (-6)2 = (6)2 x = - x = Vậy II SO SÁNH PHÂN SỐ: Trong hai phân số có cùn mẫu dương phân số có tử lớn lớn - Muốn so sánh hai phân số không mẫu ta viết chúng dạng phân số có mẫu dương so sánh tử Phân số có tử lớn lơn - Trong hai phân số có tử, phân số có mẫu nhỏ lớn - Nếu tử nhỏ mẫu phân số nhỏ Nếu tử lớn mẫu phân số lớn 2) Bài tập: Bài 1: So sánh hai phân số: Đặt a = 5555555557 ; b = 6666666669 a < b Hai phân số cho viết : hay Ta cần so sánh Ta có : 5.a = 555555555557 > 55500000000 = 27500000000 4b = 46666666669 < 46700000000 = 26800000000 5a > 4b hay Vậy: Bài 2: Tìm giá trị lớn nhỏ phân số: Ta có : Để K lớn a/b nhỏ b nhận giá trị nhỏ nhất, mà b chữ số hàng đơn vị số nên b = Khi a nhận giá trị đến Giá trị lớn K = 10 Để K đạt giá trị nhỏ a/b lớn nhất, b nhận giá trị lớn nhất, a nhận giá trị nhỏ khác a = 1, b = Giá trị nhỏ K = 19/10 Bài 3: Người ta viết thêm chữ số vào hai chữ số số có hai chữ số, sau lập tỉ số số có ba chữ số số cho Hỏi giá trị số số tự nhiên lớn nhất, nhỏ tỉ số bao nhiêu? Giải Gọi số ban đầu ; a, b chữ số a Viết thêm chữ số vào hai số ta Đặt Ta có: Để K lớn a nhỏ nhất, suy ra: b = 0, a lấy giá trị tuỳ ý b từ đến Giá trị lớn K = 10 Để K nhỏ a/b lớn nhất, b nhận giá trị lớn nhất, a nhận giá trị nhỏ a = 1, b = mà K N nên K = Giá trị nhỏ K = III PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ: Kiến thức: Tổng hai phân số mẫu phân số có tử tổng tử mẩu mẫu chung Muốn cộng hai phân số không mẫu Ta viết chúng dạng phân số có mẫu dương cộng tử giữ nguyên mẫu Tính chất phép cộng phân số: + Tính chất giao hốn: + Tính chất kết kợp: + Cộng với số 0: Muốn trừ phân số a/b cho phân số c/d ta cộng phân số a/b với số đối phân số c/d Bài tập: Bài 1: Chứng minh rằng: Tổng phân số tối giản với phân số tối giản Gọi a/b phân số tối giản Cần chứng minh hay Giả sử phân số tối giản không tối giản Gọi ƯCLN (a + b; b) = d > Khi đó: a+ b : d b : d a + b – d = a : d a/b không tối giản (trái với giả thiết) Vậy tối giản Bài 2: Chứng minh rằng: Giải Ta có: hay Vậy: Bài 3: Chứng minh rằng: Giải Ta có: Do đó: Hay Bài 4: Tính tổng: a) 3 2.5 5.8 17.20 b) 5.5 5.5 5.5 + +…+ 1.6 6.11 26.31 Giải a) Ta có: 1 2.5 1 5.8 1 17.20 17 20 3 … + 2.5 5.8 17.20 1 1 1 1 10 5 17 20 20 20 20 5.5 5.5 5 5 150 26 b) + +…+ =5( + +…+ )=5(1- )= =4 1.6 6.11 26.31 1.6 6.11 26.31 31 31 31 Bài 5: Tìm x: 11 11 11 11 ) x 1 12 12.23 23.34 89.100 a) ( 2 221 ) x4 2 11 13 13.15 19.21 231 b) ( Giải a) Tính tổng: Do đó: 11 11 11 11 12 12.23 23.34 89.100 1 1 1 1 12 12 23 23 34 89 100 1 99 100 100 99 x 1 100 99 x 100 500 99.3 x 300 203 x 300 Vậy: x b) Ta có: 203 300 2 1 1 1 11.13 13.15 19.21 11 13 13 15 19 21 1 21 11 10 11 21 11 21 231 10 221 x4 2 231 Do đó: 231 5 x x 5 x Vậy : x 2 3 IV PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA: Kiến thức: a) Quy tắc phép nhân phân số: a c a.c b d b.d (a, b, c, d Z; b, d 0) b) Quy tắc phép chia phân số: a c a d a.c : b d b c b.d c d a.d a : a d c c a a :c b b.c (b, c 0) với Bài tập: Bài 1: Thực phép tính: d c nghịch đảo c d 1 4 1 4 27 : 49 343 a) 182 2 1 2 1 27 49 343 1 (0,3 ).1 (6 ) : 0,03 20 2 b) : 2 20 2,65).4 (1,88 ) 20 25 80 1 1 1,5 0,25 : 0,8 : 50 c) 2,2.10 0,4 1: : 91919191 80808080 Giải 1 1 1 1 (1 ) 27 27 a) Ta có: 2 1 2 2.(1 ) 27 27 4 1 4 4.(1 ) 49 343 49 343 4 1 1 1 1 (1 ) 49 343 49 343 91919191 1010101 91 91 80808080 1010101 80 80 Biểu thức cho viết lại: 182.( : 4) : 91 80 182 20 80 91 b) Đáp số: 10 c) Đáp số: 11 Bài 2: Tìm x biết x (1,6 154,66 : 70,3) : 1,9 2,625 a) Đáp số 11 (5,2 1,4) : (2 1,3) : 4,3 x 1 (2,7 0,8).2 2 b) (11 13 13.15 19.21).462 [2,04 : ( x 1,05)] : 0,12 19 Đáp số x=15,95 V CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ PHÂN SỐ: Kiến thức bản: a) Muốn tìm giá trị phân số số cho trước ta nhân số cho trước với phân số b) Muốn tìm số biết giá trị phân số ta chia giá trị cho phân số c) Tỉ số số a b thương phép chia a cho b (b 0) i) Tìm tỉ số phần trăm a b a.100 % b ii) Muốn tìm tỉ lệ xích vẽ biết khoảng cách a hai điểm vẽ khoảng cách b hai điểm tương ứng thực tế, ta tính T a b Bài tập: Dạng Bài 1: Hiện tổng số tuổi anh em 58 tuổi Hỏi tuổi người, biết ¾ số tuổi người em út số tuổi người thứ ½ số tuổi người anh Gọi a,b,c số tuổi anh cả, thứ hai, em út Ta có: a + b + c = ½ a 9c = 8b = 6a Thay (2) vào (1) ta : (2) a+ ¾ a + 2a = 58 a = 24, b = 18, c= 16 Vậy tuổi anh 24, anh thứ hai 18, em út 16 Bài 2: Trong lớp chuyên toán gồm hai loại học sinh giỏi Cuối học kì I SỐ học sinh giỏi số học sinh Đến cuối năm học có học sinh xếp vào loại giỏi nên số học sinh giỏi số học sinh Tính số học sinh lớp (Đáp số: 36 hs) Bài 3: Tìm a) 2.5% (85 83 ).2 30 18 0,04 Đs: 11 24 3 (6 ).5 b) 5% 14 Đs: 0,125 (21 1,25) : 2,5 Dạng 2: b a , biết : 3 : 0,09 : (0,15 : ) a= 0,32.6 0,03 (5,3 3,88) 0,67 Bài 4: Tìm 12% b= (2,1 1,965) : (1,2.0,045) : 0,25 0,00325 : 0,013 1,6.0,625 Đáp số: 0,69 Bài 5: Ba tổ học sinh phải trồng số xung quanh trường Tổ thứ trồng ¼ số cây, tổ thứ hai trồng 40% số lại, tổ thứ trồng 140 cây, so với quy định tổ trồng nhiều 5cây Hỏi tổ trồng cây? Đáp số: 305 Dạng 3: Bài 6: Ba tổ học sinh trồng 179 xung quanh vườn trường Số tổ I trồng số tổ II trồng số tổ III 11 10 trồng Hỏi tổ trồng ? Đáp số: Đội I trồng 42 (cây) Đội II trồng 77 (cây) Đội III trồng 60 (cây) Bài 7: Tổng luỹ thừa bậc ba ba số tự nhiên 1009 Biết tỉ số số thứ số thứ hai thứ ba , số thứ với số Tìm ba số đó? Đáp số: (4; 6; 9) Bài 8: Tìm hai số biết tỉ số chúng phương hai số 4736 Đáp số: (40; 56) VI LIÊN PHÂN SỐ: tổng bình Kiến thức cần nhớ: a) Định nghĩa: Một liên phấn số hữu hạn cấp n biểu thức có dạng qo + q1 + q2 + q3 + … + qn-1 + 1/ qn Trong qo số ngun, q1, q2, q3 … qn số nguyên dương qn >1 - Số qs với S = 0,1, … , n số hạng thứ liên phân số cho - Cách viết gọn liên phấn số là: [qo, q1, q2,…, qn] b) Cách viết phân số dạng liên phân số hữu hạn Giả sử ta có x= a b (a,b Z; b 1) Ta dùng thuật toán O’cơlit hai số a b a = bqo + r1 ( < r1 < b ) b = r1q1 + r2 ( < r2 < r1) r1= r2 q2 + r3 ( < r3 < r2) … … … …… r n – = rn - qn - + rn < r n< r n–1 r n – 1= rn qn Suy ra: a r 1 q q q b r b b q r r = qo + q1 + q2 + … + qn-1 + 1/ qn c) Cách viết liên phân số dạng phân số: (gọi giản phân cấp s ) A = q Và A1= q1 q0 + B0= B1= q1 As= qs As-1 + As Bs= qs Bs - + B s - r1= r2 q2 + r3 Với s Phân số tìm có dạng: a = As/ Bs b Cách lập bảng: s … K-2 K-1 K … qs q0 q1 q2 … qk-2 qk-1 qk … As q0 A1 A2= q2 A1 + A0 … Ak-2 Ak-1 Ak= qk Ak-1 + Ak-2 … Bs B1 B2= q2 B1 + B0 … Bk-2 Bk-1 Bk= qk Bk-1 + Bk-2 … Bài tập: Dạng 1: Biểu diễn số hữu tỉ thành liên phân số: Dùng thuật toán O’cơlit 47 a) 48 2 = [-3; 2; 1; 1; 3] 1 1 b) 5544 [ 4;1;1;1;1;1;2;2] 1200 2)Hãy biểu diễn số hữu tỉ sau thành liên phân số: a) 127 52 b) 38 117 c) 258 175 d) 1657 367 e) 3,14 Dạng 2:3) Tìm phân số biểu diễn liên phân số sau: [4; 1; 1; 1; 1; 1; 2; 2] s qs 1 1 2 As 14 23 37 97 231 Bs 1 21 50 Vậy phân số cần tìm 231 50 4) Tìm phân số biểu diễn liên phân số sau: a) [3, 7,15,1, 292] b) [1; 2; 2; 2; 2] c) [-2; 1; 1; 2; 2] d) [a; a; a; a] ... M100 Mặt khác: 51 6 − M4 5( 516 − 1) M20 51 7 = 5( 516 − 1) + = 20k + 351 7 = 320k + = 35( 320k − 1) + 35 = 35( 320k − 1) + 243, có hai chữ số tận 43 Vậy số dư phép chia 351 7 cho 25 18 Trong trường... 158 9 = m2 (m N) (4n2 + 1)2 + 6 355 = 4m2 (2m + 2n +1)(2m – 2n -1) = 6 355 Nhận xét thấy 2m + 2n +1> 2m – 2n -1 > chúng số lẻ, nên ta viết (2m + 2n +1)(2m – 2n -1) = 6 355 .1 = 1271 .5 = 2 05. 31...Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t ( t Z) A = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 –y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2 V ì x, y, z Z nên x2 Z, 5xy Z, 5y2 Z x2 + 5xy + 5y2 Z Vậy A số phương
Ngày đăng: 21/12/2017, 11:19
Xem thêm:
