Nội dung TRR-LTĐT - Võ Tấn Dũng (votandung) Chuong4 DoThi

TRƯỜNG CAO ĐẲNG CƠNG NGHỆ THƠNG TIN TP.HCM MƠN TỐN RỜI RẠC Chương CÁC KHÁI NIỆM VỀ ĐỒ THỊ GV: Võ Tấn Dũng ĐƠN ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG Đơn đồ thị vô hướng G = (V,E) gồm hai tập hợp V E V tập đỉnh (vertices) E tập cạnh (edges), cạnh cặp khơng có thứ tự gồm đỉnh khác tập V Ví dụ: Đơn đồ thị G1 = (V1, E1), V1={a, b, c, d, e, f, g, h}, E1={(a,b), (b,c), (c,d), (a,d), (d,e), (a,e), (d,b), (f,g)} a f b h e c g d Đồ thị G1 ĐA ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG Đa đồ thị vô hướng G= (V, E) bao gồm V tập đỉnh, E tập cặp khơng có thứ tự gồm hai phần tử khác V gọi cạnh Hai cạnh e1 e2 gọi cạnh song song chúng tương ứng với cặp đỉnh Ví dụ: Đa đồ thị G2 = (V2, E2), V2={a, b, c, d, e, f, g, h}, E2={(a,b), (b,c), (b,c), (c,d), (a,d), (d,e), (a,e), (a,e), (a, e), (d,b), (f,g)} a Cạnh song song b f h e c g d Đồ thị G2 Cạnh song song, cạnh vòng  Cạnh song song (cạnh bội)  Hai hay nhiều cạnh phân biệt tương ứng với cặp đỉnh  Cạnh vòng (cạnh loop):  Một cạnh tương ứng với hai A đỉnh trùng  Đơn đồ thị Đồ thị khơng có vòng cạnh song song  Đa đồ thị  Các đồ thị đơn đồ thị  B x C D y z ĐỒ THỊ CĨ HƯỚNG Đơn đồ thị có hướng G = (V, E) bao gồm V tập đỉnh E tập cặp có thứ tự gồm hai đỉnh khác V gọi cạnh (cung) G = (V, E)  Tập đỉnh V  Tập cạnh (cung) E = { (a, b) | a,b  V } e = (a, b)  E Ký hiệu: e =ab  e có hướng từ a đến b  a: đỉnh đầu; b: đỉnh cuối  e cạnh vòng  ab  CÁC THUẬT NGỮ CƠ BẢN Hai đỉnh u v đồ thị vô hướng G gọi kề (u,v) cạnh đồ thị G Nếu e = (u, v) cạnh đồ thị ta nói cạnh cạnh liên thuộc với hai đỉnh u v (hoặc nói nối đỉnh u đỉnh v) Đồng thời đỉnh u v gọi đỉnh đầu cạnh (u, v) BẬC CỦA ĐỈNH Ta gọi bậc đỉnh v đồ thị vô hướng số cạnh liên thuộc với ký hiệu deg(v) deg(a) = 1, deg(b) = 4, deg(c) = 4, deg(f) = 3, deg(d) = 1, deg(e) = 3, deg(g) = Đỉnh bậc gọi đỉnh cô lập Đỉnh bậc gọi đỉnh treo Trong ví dụ đỉnh g đỉnh lập, a d đỉnh treo Bậc đỉnh  Đỉnh đồ thị G có bậc n kề với n đỉnh khác  Ký hiệu: deg(v) hay d(v)  Mỗi vòng kể cạnh tới đỉnh  Đỉnh cô lập  deg(v)=0  Đỉnh treo  deg(v)=1  Cạnh treo có đầu mút đỉnh treo  Đồ thị rỗng: deg(v)=0 v a g f e b c d MỘT SỐ DẠNG ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ Đồ thị đầy đủ Đồ thị hai phía Đồ thị hai phía đầy đủ ĐỒ THỊ ĐẦY ĐỦ Đồ thị đầy đủ Kn  Đơn đồ thị  Số đỉnh: |V| = n  Bậc: deg(v) = n – v V  Số cạnh: |E| = n(n - 1) / K1 K2 K3 K4 K5 K6 Đồ thị đầy đủ Kn có tất n(n-1)/2 cạnh, đơn đồ thị có nhiều cạnh 37 ĐỒ THỊ LƯỠNG PHÂN (HAI PHÍA) Một đồ thị G gọi đồ thị lưỡng phân tập đỉnh G phân thành tập hợp không rỗng, rời cho cạnh G nối đỉnh thuộc tập đến đỉnh thuộc tập Ký hiệu: Km,n 38 ĐỒ THỊ LƯỠNG PHÂN ĐẦY ĐỦ Đồ thị hai phía gọi đồ thị hai phía đầy đủ đỉnh phía có cạnh nối đến đỉnh phía Và ký hiệu Km,n Ví dụ: K2,3, K3,3, K3,4 cho hình ĐỒ THỊ PHẲNG Đồ thị gọi đồ thị phẳng ta vẽ mặt phẳng cho cạnh khơng cắt ngọai trừ đỉnh Ví dụ đồ thị K4 phẳng CÔNG THỨC EUCLER Euler chứng minh rằng: cách biểu diễn phẳng khác đồ thị phẳng, chia mặt phẳng thành số miền Euler tìm mối liên hệ số miền, số đỉnh số cạnh đồ thị phẳng sau Giả sử G=(V,E) đồ thị phẳng liên thông với | V| đỉnh, |E| cạnh Gọi |R| số miền mặt phẳng bị chia biểu diễn phẳng G Khi Ví dụ: Cho G đồ thị phẳng liên thơng với 20 đỉnh, đỉnh có bậc Hỏi mặt phẳng bị chia làm phần biểu diễn phẳng đồ thị G? Giải Do đỉnh đồ thị có bậc 3, nên tổng bậc đỉnh 3x20=60 Từ suy số cạnh đồ thị |E|=60/2=30 Vì vậy, theo cơng thức Euler, số miền cần tìm |R|=30-20+2=12 MA TRẬN KỀ Xét đơn đồ thị vô hướng G=(V,E), với tập đỉnh V={ 1, 2, ,n} , tập cạnh E={ e1, e2, .,em} Ta gọi ma trận kề đồ thị G ma trận vuông A={ ai,j : i,j=1, 2, ,n} Với phần tử xác định theo qui tắc sau đây: Ví dụ ma trận kề Ví dụ ma trận kề Lưu ý ma trận kề đồ thị có hướng khơng phải ma trận đối xứng TÍNH CHẤT MA TRẬN KỀ Các tính chất ma trận kề: 1) Rõ ràng ma trận kề đồ thị vô hướng ma trận đối xứng, tức a[i,j]=a[j,i], i,j=1,2, .,n 2) Tổng phần từ dòng i (cột j) ma trận kề bậc đỉnh i (đỉnh j) Ma trận kề đồ thị có hướng định nghĩa cách hồn toàn tương tự MA TRẬN TRỌNG SỐ Trong nhiều vấn đề ứng dụng lý thuyết đồ thị, cạnh e=(u,v) đồ thị gán với số a(e) [còn viết a(u,v)] gọi trọng số cạnh e Đồ thị trường hợp gọi đồ thị có trọng số Trong trường hợp đồ thị có trọng số, thay mà trận kề, để biểu diễn đồ thị ta sử dụng ma trận trọng số MA TRẬN TRỌNG SỐ Hết chương ... Ta gọi bậc vào đỉnh v đồ thị có hướng số cung đồ thị vào ký hiệu deg-(v) deg-(a)=1, deg-(b)=2, deg-(c)=2, deg-(d)=2, deg-(e) = deg+(a)=3, deg+(b)=1, deg+(c)=1, deg+(d)=2, deg+ (e)=2 Định lý:... thị có hướng Khi đó: Ví dụ b kề tới c c kề từ b b c a deg-(a) = deg+(a)= a- đỉnh nguồn f d deg-(d) = deg+(d)= e deg-(f) = deg+(f)= deg-(e) = deg+(e)= e – đỉnh đích (target) ĐỒ THỊ ĐẲNG CẤU Ví... n số ngun dương, đồ thị vơ hướng G = (V, E) dãy x0, x1,…, xn-1, xn Đường nói biểu diễn dạng dãy cạnh: (x0, x1), (x1, x2), …, (xn-1, xn) Đỉnh u gọi đỉnh đầu, đỉnh v gọi đỉnh cuối đường Đường