Cơng thức Black – Scholes tốn tài Phạm Quang Khải Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Luận văn ThS Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán Mã số 60 46 15 Người hướng dẫn: PGS.TS Trần Hùng Thao Năm bảo vệ: 2013 Abstract Trình bày số khái niệm Toán Tài Chính Giải tích ngẫu nhiên liên quan đến đề tài luận văn Quyền chọn, Trái phiếu lãi suất, Tốn tử sinh cực vi, cơng thức Feynman – Kac … Trình bày chung phương trình vi phân ngẫu nhiên mà hệ số dịch chuyển (drift) µ hệ số khuếch tán (diffusion) σ phụ thuộc vào xích Markov Trình bày mơ hình Black – Scholes với hệ số µ σ phụ thuộc vào xích Markov, dẫn giải cách tìm cơng thức định giá Black – Scholes cho mơ hình quyền chọn thơng qua phương pháp Feynman – Kac Keywords Tốn học; Tốn tài chính; Lý thuyết xác suất; Cơng thức black; Công thức scholes Content LỜI MỞ ĐẦU Trong việc định giá gói tài sản tài thị trường chứng khốn mơ hình Black – Sholes đời vào năm 1973 đánh dấu bước ngoặt có tính chất cách mạng, làm thay đổi hẳn q trình tính tốn đầu tư thị trường tài Mỹ Châu Âu kể từ Mơ hình định giá quyền chọn gắn liền với tên tuổi Fischer Black, Myron Scholes Merton Miller sở cho giải thưởng Nobel kinh tế năm 1986 Để tới phương trình giá cơng thức định giá, tác giả mơ hình giả thiết biến đổi giá chứng khoán sở S t theo thời gian t trình chuyển động Brown hình học: 2 S t S exp t dW t, (0.1) hay dạng vi phân dS t S t dt S t dWt , hệ số (0.2) định giả thiết số, biểu thị tốc độ biến đổi trung bình giá chứng khốn S t gọi độ biến động, thể mức độ tham gia nhiễu ngẫu nhiên dWt Trong q trình ứng dụng sau, mơ hình Black – Sholes cổ điển tỏ có nhiều hạn chế, chưa phản ánh tốt phát triển thực tế việc định giá hợp đồng quyền chọn Các nhà nghiên cứu tốn học kinh tế tài mở rộng mơ hình cho phù hợp với thực tế Sự mở rộng phát triển theo hai hướng chính: 1.Hướng thứ nhằm thay q trình điều khiển Wiener (chuyển động Brown) Wt trình khác, chẳng hạn q trình khuếch tán có bước nhảy hay trình Lévy, hay trình tổng hợp nhiều loại chuyển động ngẫu nhiên hay q trình phân thứ Đã có nhiều thành cơng theo hướng này, phải kể đến cơng trình E.Eberlein, T.Bjork, D.Nualart… 2.Một khuynh hướng tự nhiên thứ hai không xem tốc độ biến đổi tốc độ biến động chứng khoán số mà phải xem chúng biến đổi theo thời gian t : t , t , biến ngẫu nhiên hàm ngẫu nhiên Theo hướng này, gần xuất cơng trình đặc biệt hai tác giả Richard J.Criego Anatoly V.Swishchuk, nghiên cứu mơ hình Black – Scholes với hệ số phụ thuộc vào xích Markov: trạng thái xích Markov xem giá chứng khốn tn theo mơ hình Black – Scholes cổ điển, theo thời gian với chuyển trạng thái xích Markov giá chứng khốn lại ứng với mơ hình Black – Scholes cổ điển khác Ta nói cách sơ lược ta có mơ hình Black – Scholes “nhúng” môi trường ngẫu nhiên tạo xích Markov Luận văn tổng hợp cách có hệ thống kết cơng trình Luận văn gồm chương: Chương I gồm kiến thức mở đầu, trình bày số khái niệm Tốn Tài Chính Giải tích ngẫu nhiên liên quan đến đề tài luận văn Quyền chọn, Trái phiếu lãi suất, Tốn tử sinh cực vi, cơng thức Feynman – Kac … Chương II trình bày chung phương trình vi phân ngẫu nhiên mà hệ số dịch chuyển (drift) hệ số khuếch tán (diffusion) phụ thuộc vào xích Markov Chương III trình bày mơ hình Black – Scholes với hệ số phụ thuộc vào xích Markov, dẫn giải cách tìm cơng thức định giá Black – Scholes cho mơ hình quyền chọn thơng qua phương pháp Feynman – Kac Phần cuối luận văn, ngồi Kết luận có Phụ lục liên quan tới kĩ thuật tính tốn nội dung luận văn, Phụ lục gồm Phương pháp độ đo xác suất rủi ro trung tính Phụ lục gồm Các định lý Girsanov biến đổi độ đo Luận văn hoàn thành sau thời gian dài nỗ lực tác giả với hướng dẫn nhiệt tình động viên liên tục thầy hướng dẫn PGS – TS Trần Hùng Thao Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy Trần Hùng Thao, người hết lòng bảo, động viên, giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến trường Đại học Khoa học Tự nhiên nơi tác giả học tập, nghiên cứu suốt trình học Cao học trình làm luận văn, cảm ơn trường Đại học Hàng hải Việt Nam nơi tác giả công tác tạo điều kiện tốt để tác giả tập trung học tập hồn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, động nghiệp giúp đỡ động viên tác giả suốt thời gian qua Tuy có nhiều cố gắng khả hạn chế, thời gian không dài nên luận văn khơng tránh khỏi sai sót Tác giả mong nhận góp ý thầy bạn đồng nghiệp Hy vọng sau luận văn tác giả có hội phát triển thêm nội dung khoa học thú vị luân văn Ngày 30 tháng 10 năm 2013 Học viên Phạm Quang Khải MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU Error! Bookmark not defined MỤC LỤC CHƢƠNG I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Error! Bookmark not defined 1.1 Trái phiếu, cổ phiếu, lãi suất Error! Bookmark not defined 1.1.1 Trái phiếu Error! Bookmark not defined 1.1.2 Cổ phiếu 1.1.3 Lãi suất 1.2 Thị trƣờng đầy đủ không đầy đủ Error! Bookmark not defined 1.2.1 Cơ hội có độ chênh thị giá Error! Bookmark not defined 1.2.2 Nguyên lý đáp ứng khái niệm thị trƣờng đầy đủ Error! Bookmark not defined 1.3 Quyền chọn mua kiểu Châu Âu Error! Bookmark not defined 1.4 Quá trình Markov, xích Markov tốn tử sinh cực viError! Bookmark not defined 1.4.1 Quá trình Markov Error! Bookmark not defined 1.4.2 Xích Markov Error! Bookmark not defined 1.4.3 Toán tử sinh cực vi Error! Bookmark not defined 1.5 Quá trình Poisson chuyển động Brown Error! Bookmark not defined 1.5.1 Quá trình Poisson Error! Bookmark not defined 1.5.2 Quá trình Poisson phức hợp Error! Bookmark not defined 1.5.3 Chuyển động Brown ( hay trình Wiener ) Error! Bookmark not defined 1.6 Công thức Feynman – Kac Error! Bookmark not defined CHƢƠNG II QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN ĐIỀU KHIỂN BẰNG XÍCH MARKOV……………………………………………………………… 30 2.1 Quá trình ngẫu nhiên đƣợc điều khiển xích Markov.Error! Bookmark not defined 2.2 Các kết Error! Bookmark not defined CHƢƠNG III MƠ HÌNH BLACK – SCHOLES ĐỐI VỚI THỊ TRƢỜNG KHÔNG ĐẦY ĐỦ (B,S,X) Error! Bookmark not defined 3.1 Công thức Feynman-Kac cho q trình tiến hóa ngẫu nhiên Z Error! Bookmark not defined 3.2 Phƣơng trình Black – Scholes cho thị trƣờng chứng khốn khơng đầy đủ B, S , X Error! Bookmark not defined 3.3 Quyền chọn mua kiểu Châu Âu thị trƣờng B, S , X Error! Bookmark not defined 3.4 Công thức Black – Sholes cho thị trƣờng B, S , X Error! Bookmark not defined Kết luận Error! Bookmark not defined PHỤ LỤC Error! Bookmark not defined Tài liệu tham khảo Reference Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Hữu – Vương Qn Hồng, Các phương pháp tốn học tài chính, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội, 2007 [2] Nguyễn Văn Nam, Vương Trọng Nghĩa, Giáo trình Thị trường chứng khốn, NXB Tài Chính, Hà Nội, 2002 [3] Nguyễn Duy Tiến, Các mơ hình xác suất ứng dụng Phần III Giải tích ngẫu nhiên, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội, 2005 [4] Trần Hùng Thao, Nhập mơn Tốn học Tài chính, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội, tái 2009 [5] I I Gihman and A V Skorohod, The theory of stochastic processes Springer-Verlag, New York-Heidelberg-Berlin, 1975, [6] Masaaki Kijima, Stochastic Processes with Application to Finance, Chapman & Hall/CRP, Florida, 2003 [7] Richard J.Criego and Anatoly V.Swishchuk, A Black – Scholes Formula for a Market in a Random Environment, 2000 [8] Shiryaev A.N, Essentials of Stochastic Finance, Facts, Models, Theory World Scientific, 1999 [9] Steve Shreve, Stochastic Calculus and Finance, 1996 ... trình bày mơ hình Black – Scholes với hệ số phụ thuộc vào xích Markov, dẫn giải cách tìm cơng thức định giá Black – Scholes cho mơ hình quyền chọn thơng qua phương pháp Feynman – Kac Phần cuối... gồm kiến thức mở đầu, trình bày số khái niệm Toán Tài Chính Giải tích ngẫu nhiên liên quan đến đề tài luận văn Quyền chọn, Trái phiếu lãi suất, Tốn tử sinh cực vi, cơng thức Feynman – Kac … Chương... Richard J.Criego Anatoly V.Swishchuk, nghiên cứu mơ hình Black – Scholes với hệ số phụ thuộc vào xích Markov: trạng thái xích Markov xem giá chứng khốn tn theo mơ hình Black – Scholes cổ điển,