DSpace at VNU: Espaces [W(k)2,anpha (...)]M et probleme de Dirichlet - Poisson pour un systeme des equations aux derivees partielles elliptiques d'ordre 2K

V N U J O U R N A L OF SCIENCE, Nat ESPACES Sci , t X V , n ^’ - 1999 ET P R O B L E M E D E D IR IC H L E T -PO ISSO N POUR UN SYSTEM E DES EQ U ATIO NS A U X D E R I V E E S P A R T I E L L E S E L L I P T I Q U E S D ’O R D R E 2K Vu V an K h u o n g Jnstitiit (ỈC la ConiniiiiiicHtioii et des Transports de Hanoi C hìí G ỉhv - Til Lieiii - H h Noi IN T R O D U C T IO N Dans C(‘ travail, on présoiitc luie m ét h o d e pour résoudre le problème de Dirichlet - Poisson pour im systèm o des óquatioiis aux đéiivóes partielles elliptiques d ’ordre 2k L(‘S s u p p o s i t i o n s f a i t e s ici s o i i t c e l l o s I i ti l i b é e s ( I a n s la n i é t h o d e v a r i a t i o n n e l l e , p a r t a n t la notion (le^ trace Le doinaiiu' considéió a la fiontiere lipchitzienno et les coefficients (ies equations soiit bornés ot Iiiesural)les On (léiiioiitre ici 1Vxi.staiicp cl'uiK' uniqu(‘ solution dll pioblènie de Dirichlet - Poisson A/ (Ians Tesparr loisqu'on S(' donno sa trace sur la frontiero La niéĩhode CO travail est très ] ) r o c l u ' ('(‘llo M I Visllik (cf [2]), oil appiianf sur line ii,0u('ratioii (lu tlióoièiiH' (Ir P.D.Lax - A ([1]) (Supposant \a\ < 1) A/ T R A C E DES V E C T E U R S D E On (1(’.SÌỊ2,U('pai On (lit ( 1111 ' // > 1, I'i'spact* eucliiluMi av('c-les coonloiiéos [.Ti, /'2 , ,.r„] — X ììOiiit'' o (líiìis F, , rpi'il ('St iln ( < on I'ori'it {) si 1) [1 c x i s t c /// s y s t è n i o s (!(' ((JordoiiiUH^s ( I a n s E n ('Ĩ ÌÌÌ f o i i c t i o n s a,, ( le s u i t e q i i ' o i i p(Mit Ị)1 (’\ s('nt('I t o u t p o i n t (!(' hi I r oi it i( ' it ‘ s o n s la f o r n u ' : ) ••■ ) ?Q'ri^ri ^r2 Í ••• ) ) 6n bref X r i -r[Xr) L(^S foiii-tioijs n, satisfont la coỉKÌitioii (le Lipsrhitz (laiis la boule A; - \Xj.\ < fv, c (1 - n,.(VV)| < c\x,- - Yr\ pom Xj.Yr G A, 2) il oxiste un Iioiiibre ^3 tel quo lf\s points [ Y ; , \Xr\ < a a r { X r ) ~ l i < Trn < a, i X, - ) sont rin to iio u r ii, tandis quo Ifvs points [.Y,., |.Y,-| < a , a,.(A',.) < Vri) < ^0 !it ['(’xíériíMir (lo íỉ 45 Vu Van K h u ô n g 46 I V 's o i U i a i s u n Ỉ K ' c o i i s i d ò i ( ' CI I K' ỉ c s (loniiiiiii's (lu ĩv p (' A/ N o u s p o i i v o n s COỊIÍCMUI (lu ( k ' n i o u t 1Í'1 t l i ó o r ò iu r CỊ UC 1(' S V ( ' c l c u i C'i'St 1(‘ s u iv a iit T h é o r è i n e 2.1 Soji íì e tiHỉiSÍonncìlìoỉi (lf‘s 11ac c qui juiu'ia un iulí‘ piiucÌỊml tlaiis Cí’ ( ị u i \a stii\ ĩc ('11 a])Ị^u\aiii siir 1('S iiu'^aliti'S d(’ H a n l\ (cf G H H a n l y G P o l v a [G] c M u z o x a i a [9]) O i l (h'-si-iu' p a r des f o i i c r i o i i s v ec te ur i( *l l( 's ( l o u t 1(M11S f o m p o s H u t s s o i i t (1(* Ị> [L ;,,/,;,(0 )]-'^ r e s p a c c ì ì i ú s s a n c í ' s o i u n i a b l e Slu chaqiu^ compact cơntoĩiu (laus ii T liéu rèiiu i 3.2 1 r “ c.à í/ II Si^ií iií S'i t M ' ((ivnvcrs € ÍÌỈỈ s c ỉ i s Ị / / , - I Ị , ( ^ ) ] ‘^ ^ ' (/ c ‘ (ỈCS ( l ị s t i ì ỉ ì i ì t ì O ỉ i s ì ỈÌÌOÌS Uf'/ í > ost ^ Ỉ’ ỈI [ỉ^p.n G ỉìỉ ì í ị t i ỉ ì ỉ i c ì i i c i i t ' “ petit n Lcs > /> - ìỉtiineisioìis (lìi continues T h é o r è i n e 3.3 sòit íì a < p - l On ã ãỉors M M c ỉ < < k LES O P E R A T E Ư R S EL LIPTIQ U ES Oil coi is idÒK' ( l a u s la su i t ( ' M p ó r a t p u r s d i ẩ ó m i t i o l s d(' l a forme A'" ^ y Ị/|.ỈH^ ^ ,A/ , A^'^'J = ,jn ) ^vec co m p o san ts entiors, Iiégativos non I/ = / +/-2 H- < |/| < Ẳ' Ij I = + J2 + | j | < k, < Ẳ- > ■- ■ + Jt> • l 0^'hi (i“^ Hont cles foiutions nipsuiablos, honiérs On fait C’oim spondip ail systèine (4.2) une forme bilinóairo de la foinie (4.3) O n clit q i u ’ le s y s ĩ ò n i e ^ ( ) est elliptiqiio p o u r le p r o b l è n i e \FỈ{^,^n)\ > d (‘ D irich lf't - P o i s s o n si I ' o n G [D(i2)]-'^ a (4.4) On a mainte'iiaiii le thóorèiue siiivaiit ciui a nil rol(‘ iiapoiĩaiit Ị) o u i 1(' próseiit travail T h é o r è i n e 4.1 S u ppos e qìie le svstèỉiỉC (4.2) soit cllipĩique (ui nvj t , tenué s c i n i o i ì v e r t ) J des a < teỉs ( ị ì ị ' ! ì ỉìit \Ỉ3(Ụ\^) o ù I ’ esỊ ỈIỈÌ vvctcììi Le plus grãnd ỉỉitcivMỈỈe M > r ( a ) | ^ c o n v v n n h lo ỉìic iit c lio is i M D{í ì) ( ic , V V' í v-i (4-5) / ~1 tcls cỊỉíon iìỉt V '* )| > 1^2, - v o ìsiiiã g e d c Si B(ý\ D e ĩ n o ĩi s tr a t io n : pose y^e[D{n) ( q ) | v/ p| j^ , ) coij\'eija/jJeiiiCijí chuỉsi, |ỉ/’* f ơù V’* G O a c* ỉ/ ’ =