Công thức hình học 11

Trang 1

›) Mega BOOK chuyén Gia Sach Luyén Ti MEGABOOK.VN 1 CHƯƠNG I : PHÉP DỜI HÌNH VA PHEP DONG DANG TRONG MAT PHANG §1 MỞ ĐẦU VỀ PHÉP BIẾN HÌNH A PHÉP BIẾN HÌNH

" Phép biến hình (trong mặt phẳng) là một quy tắc để với mỗi điểm M thuộc mặt phẳng, xác định được một điểm duy nhất M' thuộc mặt phẳng ấy Điểm M' gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình đĩ

" Nếu điểm M' là ảnh của điểm M qua phép biến hình F thì ta viết : M' = F(M) hoặc F(M) =M' " Để chứng minh hình H' là ảnh của hình H qua phép biến hình F ta cĩ thể chứng minh :

Với điểm M tùy ý,MeH & M’ =F(M) € H’

" Phép biến hình biến mỗi điểm M của mặt phẳng thành chính nĩ được gọi là phép đơng nhất B PHÉP DỜI HÌNH

" Phép dời hình là phép biến hình khơng làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ

" Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và khơng làm thay đổi thứ tự ba điểm đĩ, biến một đường thẳng thành đường thẳng, biến một tia thành một tia, biến một đoạn thẳng thành đoạn

thẳng bằng nĩ, biến một tam giác thành tam giác bằng nĩ, biến một đường trịn thành đường trịn cĩ cùng bán kính, biến một gĩc thành gĩc bằng nĩ,

" Nếu thực hiện liên tiếp hai phép dời hình thì được một phép đời hình

§2 PHÉP TỊNH TIẾN

1) ĐINH NGHĨA

Cho vectơ u, phép tịnh tiến theo vectơ u, ký hiệu là T-, là phép biến hình biến mỗi điểm M thành một

điểm M' xác định, sao cho MM" = u Vectơ u được gọi là vectơ tịnh tiến, ? i T.(M)=M’ <= MM’ =u 2 ^ 2) BIEU THUC TOA ĐỘ 3 > x'=xta Trong mat phang toa d6 Oxy cho diém M(x ; y), u = (a; b), Goi M’(x’ 3 y’)= T (M) Khi đĩ : | y=y+b 3) TÍNH CHẤT Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M và N lân lượt thanh hai diém M’ va N’ thiM’N’ = MN §3 PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC 1) ĐINH NGHĨA

Cho đường thẳng d Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nĩ, biến mỗi điểm M khơng

thuộc d thành điểm M' sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM' được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d hay phép đối xứng trục d (ký hiệu là Dy)

a) Néu Dy(M) = M’ thi D4(M’) = M M

b) Nếu M e d thì Đạ(M) =M d ML—x x4 M’

c) Néu Da(M) = M’ v6i M # M’ thi trục đối xứng d là đường trung trực của đoạn MM'

HIIHIIIHIIIHIIHHIIIHIIIIIHIIIIIHHIIIHIIHIHIIHHIHHIIHIHHIIHHIIHIIIHIRHIIIHHHIIHHHIHIIIHIIIHIHHIHHHHHIIHHHIIIIIIHIIHIIIHIHHIIHHIIIHHIHIHIIIHHIIHIHIHIHI

Trang 2

›) Mega BOOK œ2; cía sác Luyện Mi MEGABOOK.VN 2) BIỂU THỨC TỌA ĐỘ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, với mỗi điểm M( ; y), gọi M'= Ðạ (M) = &' ; y°) x'=X y=-y X=-X Nếu chọn d là trục Ox, thì : | yoy , con néu chon d là trục Oy, thì : 3) TINH CHAT Đường thẳng d được gọi là trục đối xứng của hình H nếu cĩ phép đối xứng trục Ðạ biến H thành chính nĩ, tức là Ðạ(Œ) =H §4 PHÉP ĐỔI XỨNG TAM 1) ĐINH NGHĨA

Cho điểm I, Phép biến hình biến điểm I thành chính nĩ, biến mỗi điểm M khác I thành M' sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng MM' được gọi là phép đối tâm (ký hiệu là Đ¡) Điểm I được gọi là tâm của phép đối xứng đĩ(tâm đối xứng)

e Nhân xét :

a) Nếu Đ(M) =M' thì Đ(M')=M, I

b) NéuM =I thi M? =I ML—X—t+X—\M:'

c)Nếu M #l thìI là trung điểm của doan MM’, 2) BIỂU THỨC TỌA ĐỘ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm I(xo ; yo) Khi đĩ biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm I biến X'=2X,T—X điểm MŒx ; y) thành điểm M'(x' ;y”) là :4 , y=2y,—y §5 PHÉP QUAY 1) ĐINH NGHĨA

Cho điểm O và gĩc lượng giác œ Phép biến hình biến O thành chính nĩ, biến mỗi điểm M khác O thành

điểm M' sao cho OM’ = OM vA gĩc lượng giác (OM ; OM') bằng ơ được gọi là phép quay tâm © gĩc quay ơ Điểm O được gọi là tâm quay, œ được gọi là gĩc quay Phép quay tâm O gĩc œ ký hiệu là Q/o„

2) BIỂU THỨC TỌA ĐỘ

Ẩ + x'= xcosa— ysina M’

a) Anh M’ cua M(Xo ; yo) qua phép quay Qo.) 14: M’:

y'= ycosa+ xsin a

= Néu géc quay 90° thi M’(-y ; x) va néu géc quay —90° thi M’(y ; —x)

b) Anh M’ cia M(xo ; yo) qua phép quay Qạ„; (với lía ; b)) là :

., |X =(%, —a)cosa-(y, —b)sina+a O

, fe (yạ — b)€os œ + (Xạ — a)sinœ +b

c) Phép quay tâm O gĩc quay œ = (2k + I)z với k nguyên, chính là phép đối xứng tâm O, đ) Phép quay tâm O gĩc quay œ = 2kz với k nguyên chính là phép đồng nhất,

§6 PHÉP VỊ TỰ

1) ĐỊNH NGHĨA

Cho một điểm O cố định và một số k khơng đổi, k # 0 Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao

Trang 3

›) Mega BOOK chuyén Gia Sach Luyén Thi

MEGABOOK.VN

" Phép vị tự tỉ số k biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài được nhân lên với | k |, biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng là | k |, biến đường trịn cĩ bán kính R thành đường trịn cĩ bán kính | k |R

" Ảnh M' của MŒ ; yo) qua phép vị tự Vạ;¡ với lía ; b) là : M'kx, +(— k)a; ky, +(1— k)b) §7 PHÉP ĐỒNG DẠNG

1) ĐINH NGHĨA

Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k > 0) nếu với hai điểm M,N bất kỳ và ảnh M',N'

Trang 4

»))) Mega BOOK cuyén Gia Sach Luyén Thi

MEGABOOK.VN

O CHUGNG II: BUGNG THANG VA MAT PHANG TRONG KHONG GIAN QUAN HE SONG SONG

À ^ $ ee 2

§1 ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THANG VA MAT PHANG I MỞ ĐẦU VỀ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN

1) Mặi phẳng

_ Mặt hồ nước yên lặng, một tấm gương phẳng, mặt bảng, như là một phần của mặt phẳng

_ Để biểu diễn cho một phần của mặt phẳng người ta thường vẽ một hình bình hành

_ Để ký hiệu mặt phẳng người ta dùng 1 chữ cái đặt trong dấu ngoặc ( ) : mặt phẳng (P) hoặc mp(P) hoặc mp(ABC) hoặc cĩ thể đơn giản là (P)

2) Tương quan cơ bản giïa điểm, đường thẳng, mài phẳng t1 FY Điểm A Đường thẳng a Mặt phẳng (P) Be Ký hiệu : Ae (P)vaB ¢€ (P) ac (P) 3) Cách xác định mặt phẳng Một mặt phẳng được xác định khi biết một trong các yếu tố sau : 1) Ba điểm khơng thẳng hàng

2) Một điểm và một đường thẳng khơng đi qua điểm ấy

3) Hai đường thẳng cắt nhau

4) Hai đường thẳng song song

SN J/ =V/

II CÁC TÍNH CHẤT THỪA NHÂN CỦA HÌNH HỌC KHƠNG GIAN

1) Các tính chất thừa nhân của hình học khơng gian

a) Tính chất 1 : Cĩ một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước

b) Tính chất 2 : Cĩ một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm khơng thẳng hàng cho trước

c) Tính chất 3 : Tổn tại bốn điểm khơng cùng nằm trên một mặt phẳng

d) Tinh chat 4 : Nếu hai mặt phẳng phân biệt cĩ một điểm chung thì chúng cĩ một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đĩ

e) Tính chất 5 : Trong mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết của hình học phẳng đều đúng 2) Một số định lý của hình học khơng gian

a) Định lý 1: (Giao tuyến của hai mặt phẳng)

Nếu hai mặt phẳng phân biệt cĩ một điểm chung thì chứng cĩ một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung

của hai mặt phẳng đĩ

b) Định lý 2: Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt

của một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều năm

trong mặt phẳng đĩ mp(Ø) > mp(B) =a

IIIHIIIIHHHIIIIHHIIIIIILLIILHIIHHIHIIHIHIHIIIHIHIIIIILIHIIIIHIHIIHHIHHIHIHHHIIIILIHHIIIIIIIILLIHIHIHHIHIIHIIIIHIHIIIIIIIHIHIIHIHHIHIHHIHHIHHIIIIILIIHIIHIHIHIHIHHHIIHIHHIIIIILIIHIILIIHIIIIHIHIHHIIHIHIIIIIIIIIIIL

Trang 5

»))) Mega BOOK cuyén Gia Sach Luyén Thi IEGABOOK.VN Ill HINH CHOP 1) Dinh nghia

Cho hình chĩp S.A¡AaA+ Aa thì cần hiểu

rằng đa giác AiA2As Aa nằm trong mặt

phẳng (P) và điểm S khơng thuộc mặt phẳng (P)

" Điểm S gọi là đỉnh của hình chĩp " Đa giác AiA2Aa3 Aa gọi là đáy của hình chĩp

" Các tam giác SA¡A2, SA2Aa, , SAnaAi gọi là các mặt bên của hình chĩp

_ Hình chớp cĩ bốn mặt đều là những tam giác gọi là hình tứ diện Tứ diện cĩ tất cả các cạnh bằng nhau

gọi là tứ diên đều,

_ Thiết diện của một hình chĩp cắt bởi một mặt phẳng, tùy thuộc vào vị trí của mặt cắt, nhìn chung là một

đa giác

IV MỘT VÀI DANG TỐN THƯỜNG GẶP

1) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng : Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ta chỉ cần tìm hai điểm chung của chúng và vẽ đường thẳng đi qua hai điểm đĩ

s Cách khác :

Giao tuyến theo phương ›

Nếu hai mặt phẳng (ơ) và (B)

cĩ một điểm chung M và lân @ acta)

lượt chứa hai đường thẳng song [> bcøØ) =(œ)¬()=MIL//a//b

song a và b thì giao tuyến của a//b

(@) và (Bì là đường thẳng c đi Ne Me(@)©()

qua M và song song với a và b

ĐINH LÝ BỔ SUNG

2) Tìm giao điếm của một đường thẳng và mơt mặt phẳng :

_ Muốn tìm giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (ơ), ta tìm giao

điểm của đường thẳng d với một đường thẳng d` nằm trong mặt phẳng Ss

(a)

_ Nếu đường thẳng d' chưa cĩ sẵn trên hình vẽ thì ta tìm mặt phẳng (B) chứa đường thẳng d và cắt mặt phẳng (œ) rồi xác định giao tuyến d' của mặt phẳng (œ) và mặt phẳng (B) Khi đĩ giao điểm I của d' và d là giao điểm của d và mặt phẳng (ơ)

3) Tìm thiết điên của hình chĩp cắt bởi mơt mặt phẳng : Muốn tìm thiết

diện của hình chĩp cắt bởi một mặt phẳng, ta tìm các đoạn giao tuyến của

mặt phẳng với các mặt bên và đáy của hình chớp Đa giác giới hạn bởi

các đoạn giao tuyến này chính là thiết diện cần tìm

4) Chúng mình nhiều điểm thẳng hàng : Muốn chứng minh nhiễu điểm c thẳng hàng, ta chứng minh chúng cùng là điểm chung của hai mặt phẳng

phân biệt, rồi kết luận chúng thẳng hàng trên giao tuyến của hai mặt phẳng đĩ

Š) Chứng mình 3 đường thẳng đồng qui:

Trang 6

yp Mega book Chuyén Gia Sach Luyén Thi

k MEGABOOK.VN

§2 HAI ĐƯỜNG THẮNG SONG SONG

I VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN

Cho hai đường thẳng a và b trong khơng gian Cĩ thể xảy ra hai trường hợp :

1) ø về b khơng cùng nằm trên mơi mặt phẳng nào cả Khi đĩ ta nĩi rằng a và b chéo nhau

2)à và b cùng nềm trên một mặt phẳng nào đĩ Khi đĩ ta nĩi rằng a và b đồng phẳng Theo kết quả của

hình học phẳng, nếu a và b đồng phẳng thì cĩ thể xảy ra một trong ba trường hợp sau :

a) a và b cắt nhau : cĩ duy nhất một điểm chung

b) a và b song song với nhau : cùng thuộc một mặt phẳng và khơng cĩ điểm chung c) a và b trùng nhau : cĩ hai điểm chung phân biệt

CT EY EF fe ava b cheomlan aab=M a/b a=b © Chi

" Hai đường thẳng gọi là đồng phẳng nếu chúng cùng nằm trong một mặt phẳng " Hai đường thẳng được gọi là cbéo høu nếu chúng khơng đồng phẳng

" Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và khơng cĩ điểm chung e Dinh lf Menélaus : Giả sử đường thẳng A cắt các cạnh (hoặc phần kéo dài) BC, CA, AB tương ứng tại các điểm A', B', C thì AB BC CA ta cĨ: ——-——-—— = A'C BA CB II HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

CAC TINH CHAT VA BINH LY HINH VE MINH HOA

e Tinh chét 1 : Trong khong gian, qua mot

điểm nằm ngồi một đường thẳng cho trước, a-| 02 M,Mgd = ủng nhất

cĩ một và chỉ một đường thăng song song ix dđ⁄d

với đường thẳng đĩ

e Tính chất 2 : Hai đường thẳng phân biệt

cùng song song với một đường thẳng thứ ba d/A did

thì song song với nhau /> đ/A

e Định lý : (về giao tuyến của ba mặt phẳng) (œ)¬)=a ()¬(y)=bÌ=a b, c đồng qui (œ)¬()=c Hoặc : (z)¬(y)=e ()¬)=b}‡=a/bức (œ)¬(B)=a Nếu ba mặt phẳng đơi một cắt nhau theo ba

giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy

hoặc đồng quy hoặc đơi một song song e Hệ quả : Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần

lượt đi qua hai đường thẳng song song thì 4 (œ)¬()=d

giao tuyến của chúng song song với hai | ƒ: d, //d,

Trang 7

»))) Mega BOOK cuyén Gia Sach Luyén Thi

IEGABOOK.VN

§3 ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG

I VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MAT PHANG

Trong khơng gian, giữa đường thẳng và mặt phẳng cĩ ba vị trí tương đối :

1) Đường thẳng song song với mặt phẳng : Đường thẳng và mặt phẳng khơng cĩ điểm nào chung

2) Đường thẳng cắt mặt phẳng : Đường thẳng và mặt phẳng chỉ cĩ một điểm chung duy nhất 3) Đường thẳng nằm trong mặt phẳng : Đường thẳng và mặt phẳng cĩ vơ số điểm chung a d L / ¿ X/ đ/mp(œ) đa mp(œ) =M đc mp(œ) ® Định nghĩa : Một đường thẳng và một mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng khơng cĩ điểm chung Il DIEU KIEN DE MOT DBUGNG THANG SONG SONG VGI MOT MAT PHANG CAC TINH CHAT VA BINH LY HINH VE MINH HOA ¢ Dinh 16 1: Néu một đường thẳng d khơng nằm trong mặt phẳng (œ) và đ song song với dự mp(œ)

một đường thẳng đ' nào đĩ nằm trong mặt d//d = d//mp(a phẳng (œ) thì đường thẳng d song song với d'C mp(o)

mặt phẳng (o

với mp(œ) Nếu mp() di qua a và cắt mp(œ) a//mp(œ)

thì giao tuyến của mặt phẳng (œ) và (B) song ac mp() => b/⁄a song với đường thẳng a mp(œ) ¬ mp(B) = b

cùng song song với một đường thẳng thì giao mp(œ) > mp(B) = đ

tuyến của chúng cũng song song với đường d//mp(œ) =d!⁄d

thẳng đĩ d/mp(

chéo nhau Khi đĩ cĩ một và chỉ một mặt duy nhất phẳng đi qua đường thẳng này và song song a chéo b > J mp(a) ;quaM

với đường thẳng kia ib e Chú ý : Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nĩ song song với một đường thẳng nào đĩ trong mặt phẳng

§4 HAI MAT PHANG SONG SONG

I VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI MẶT PHẲNG Giữa hai mặt phẳng cĩ ba vị trí tương đối :

1) Hai mặt phẳng song song : Khơng cĩ điểm chung (khơng cĩ đường thẳng chung)

HIHIHIHIIHTHIIIIIIHTIIHIIIHIHHIHEIHIHIHTHIHIHHIHTIIHIIIIHTHIIHTIIHHIHIHTIHIHIHIHTIIHHIIIHTIIHHIHTIIHIHTIIHHIHEIHTIIIIHHIIHHIHTIIIIHIIHTIIHTIHTHIHIHIHIIHIIIHTIIHIIHI

Trang 8

› Mega BOOK cuuyén Gia Sach Luyén Tri MEGABOOK.VN 2) Hai mặt phẳng cắt nhau : Cĩ hai điểm chung phân biệt (cĩ một đường thang chung) 3) Hai mặt phẳng trùng nhau : Cĩ 3 điểm chung khơng thẳng hàng (cĩ 2 đường thẳng chung phân biệt) AO MO mp(P) // mp(Q) ra \ tag mp(P) cắt mp(Q)

II ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI MẶT PHẲNG SONG SONG mp(P) = mp(Q) CÁC TÍNH CHẤT VÀ ĐỊNH LÝ HÌNH VẼ MINH HỌA

® Định lý I : Nếu mặt phẳng (œ) chứa hai =— = ac(œ);bc(œ)

đường thẳng a, b cắt nhau và hai đường ¿ a anh @

thẳng này cùng song song với một mặt ¬ a//(B) = (0/8)

phang (B) cho truéc thi hai mat phẳng (œ) và / b/KB) (P) song song với nhau 8

trước nằm ngồi mặt phẳng (B) cho trước cĩ Ae( duy nhất một và chỉ một mặt phẳng (œ) song song với |: 3 mp(a) <quaA

mặt phẳng () kh / se) /mp()

e Hệ quả ï: Nếu trong một mặt phẳng cĩ hai w fas (œ);bc (œ)

đường thẳng cắt nhau lần lượt sơng sơng với />=<) a¬nb#@ hai đường thẳng cất nhau của một mặt [S</] a'<(B);b'c(p)

phẳng khác thì hai mặt phẳng đĩ song song t7 a'¬bsØ = (MB)

với nhau a//a'

b//b'

e Hé qué 2 : Nếu đường thẳng a song song =

với mặt phang (8) thi qua a c6 một và chỉ ¿ a aơ() duy nhất một mặt phẳng (œ) song song với mặt phẳng — - }= 3mp(œ) +4 chứaa

(8) / # |0 / mp()

song song với một mặt phẳng thứ ba thì song

seo AT |) one a |

¢ Tinh chét 3 : Nếu hai mặt phẳng (œ) và

(B) song song thì mợi mặt phẳng (y) đã cắt

mp(œ) đều phải cất (B) và các giao tuyến mp(œ) //mp(B)

của chúng song song mp(y) ¬mp(œ) = a: > a//b mmp(y)¬ mp(B) = b

IIIIIIIIIIIIIIIIIIHIIIIHIIHIIIIIIIIIIIIIITIHIIIHIITIHIIIIIITHIIIIIHTIIIIHIIIHIHIIIITHIIHIIIITIIIIIIIIHIHTIHIIIIIIIIHIIIIIIIHIIITIITIHIIHITIITIHIHIIIITIIIIIIHITIIIHIIIITIHIHIIIIIIIIIIHIIIIIIII

Trang 9

py») Mega book Chuyên Gia Sách Luyện

Thi

MEGABOOK.VN

e Hệ quả 4 : Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn thẳng bằng nhan (œ)/⁄) (y)¬(œ)= AA'L= AB= A'P' ()¬(B) = BB' e Định lý 2 : (Định lí Ta-Lét trong khơng gian)

Định lý thuận : Ba mặt phẳng đơi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kỳ các đoạn

thẳng tương ứng tỉ lệ

Định lý đảo : Giả sử trên hai đường thẳng chéo nhau d và đ' lần lượt lấy các điểm A,

B, Cva A’, B’, C’ sao cho:

AE BO 2S mh đĩ, ba đường thẳng

AE BC CA

AA', BB', CC lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song song, tức là chứng cùng song song với một mặt phẳng d¬(P)=A d¬(Q)=B d¬(R)=C đz{P)=A' đz{Q)=B đ~{R)=C AB_BC_ CA =—=>——— — —— AB BC CA

§5 PHEP CHIEU SONG SONG

Trong khơng gian cho mp(œ) và đường thẳng A cắt mp(@)

Với mỗi điểm M trong khơng gian ta đựng đường thẳng qua M và cùng phương với đường thẳng A, đường thẳng này cắt mp(œ) tại M' Ta cĩ phép chiếu song song lên mp(Œœ) theo phương của đường thẳng A _ Mat phang (a) gọi là mặt phẳng chiếu

_ Phương của A gọi là phương chiếu

_M' là hình chiếu của M trên mp(œ) theo phương đường thẳng A

e Định lý 1 : Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm

thẳng hàng và khơng làm thay đổi thứ tự của ba điểm đĩ

e Hệ quả : Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng

CÁC TÍNH CHẤT HINH VE

e Tính chất 1 : Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau

e Tính chất 2 : Phép chiếu song song khơng làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng

Trang 10

»))) Mega BOOK cuyén Gia Sach Luyén Thi MEGABOOK.VN CO) CHUGNG III: VECTG TRONG KHONG GIAN - QUAN HE VUONG GOC

§1 VECTO TRONG KHONG GIAN SU BONG PHANG CUA CAC VECTO

| GOC GIGA HAI DUONG THANG BAT Ki TRONG KHONG GIAN

1) Vectơ chỉ phương của đường thẳng : Vectd u#z0 được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của vectd u song song hoặc trùng với đường thẳng d

® Nhận xĩt :

_ Nếu ư là vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì yectơ ku (k#0) cũng là vectơ chỉ phương của d

_ Một đường thẳng d trong khơng gian được hồn tồn xác định nếu biết một điểm A thuộc d và một vectd chỉ phương 1 của nĩ,

_ Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi chúng là hai đường thẳng phân biệt và cĩ hai vectd chỉ phương cùng phương

2) Gĩc giữa hai đường thẳng : Gĩc giữa hai đường thẳng a, b bất kì trong khơng gian được ký hiệu (a , b) hay (b, a) là gĩc giữa hai đường thẳng a', b' cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b

se Nhận xét:

_ Nếu u, v lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a, b và (ý) = ơ thì gĩc giữa hai đường

thẳng a và b bằng œ nếu 0° < œ < 90° và bằng 180° — œ nếu 90° < œ < 180° Nếu a và b song song hoặc trùng nhau thì gĩc giữa chúng bằng 0°, cs 2 - ^ˆ ^ a 4 iid UV _ Đề tính gĩc giữa hai vectở u và v ta dựa vào cơng thức : cost > arc uHv ^ 2 ^ ‘

§2 HAI ĐƯỜNG THĂNG VUƠNG GOC

Il HAI DUONG THẲNG VUƠNG GĨC

e Dinh nghia : Hai đường thẳng a và b gọi là vuơng gĩc với nhau nếu gĩc giữa chúng bằng 90°, Nếu a và b

là hai đường thẳng vuơng gĩc với nhau, ta ký hiệu a L b Như vậy :a.L b © (a, b)= 90° © uv=0 e Nhén xét : Muốn chứng mỉnh hai đường thẳng a và b vuơng gĩc với nhau ta cần tìm các vectơ chỉ phương u, V của mỗi đường thẳng đĩ và chứng minh uv=0,

lll LIÊN HỆ GIỮA QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ VUƠNG GĨC CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

® Định lý : Cho hai đường thẳng song song Đường thẳng nào vuơng gĩc với đường thẳng thứ nhất thì cũng vuơng gĩc với đường thẳng thứ hai (a//b và cLa =cLb)

1) Hai đường thẳng vuơng gĩc trong khơng gian thì hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau,

3) Trong mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt cùng vuơng gĩc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau, nhưng trong khơng gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuơng gĩc với một đường thẳng thứ ba thì khơng phải khi nào cũng song song với nhau,

§3 BUONG THANG VUONG GOC VOI MAT PHANG CÁC ĐỊNH LÝ HÌNH VỆ MINH HỌA

với hai đường thẳng b, c cắt nhau nằm trong alb,ale

mặt phẳng (P) thì a vuơng gĩc với mọi b,ec(Ð |>aLd,vdc(®)

đường thẳng d nằm trong mp(P) b¬czØ

e Hệ quả : Nếu một đường thẳng vuơng gĩc h

đi hai iš mad iác thì cũ A : al AB

với hai cạnh của một tam giác thì cũng @—— | salBC

Trang 11

(P) đi qua một điểm O cho trước và vuơng

gĩc với một đường thẳng cho trước

điểm O, A cho trước

3mp(P)qua Ovà mp(P)_L A

e Tính chất 2 : Cĩ duy nhất một đường thẳng A đi qua một điểm O cho trước và

vuơng gĩc với một mặt phẳng (P) cho trước

điểm O,mp(P)cho trước

3đAquaOvà A L mp(P)

e Miặt phẳng truns trực của một đoạn thẳng Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là

mặt phẳng vuơng gĩc với AB tại trung điểm

O của đoạn thẳng AB mp(P) 1 ABtai O Olà trung điểm đoạn AB

a) Mặt phẳng nào vuơng gĩc với một trong mp(P) La Fm) hai đường thẳng song song thì cũng vuơng

gĩc với đường thẳng cịn lại al mp(P)

nhau

a) Đường thẳng nào vuơng gĩc với một ee Dy [=a

trong hai mat phang song song song thicting

vuơng gĩc với mặt phẳng cịn lại mp(P)La

b) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuơng gĩc

với một đường thẳng thì song song với nhau mpQ)la ;=>mpfP)/⁄/mp(Q) mp(P)4mpQ)

a) Cho đường thing a va mp(P) song song

với nhau Đường thẳng nào vuơng gĩc với

1np(P) thì cũng vuơng gĩc với a

b) Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng

(khơng chứa đường thẳng đĩ) cùng vuơng

gĩc với một đường thẳng thì chúng song

song với nhau a//mp(P) bla bi mp(P) agmp(P) alb => a//mp(P) mp(P) Lb s Định lý ba đường vuơng gĩc Cho đường thẳng a khơng vuơng gĩc với mp(P) và đường thẳng b nằm trong mp(P)

Khi đĩ, điều kiện cần và đổ để b vuơng gĩc với a là b vuơng gĩc với hình chiếu a” cửa a trên mp(P) bc mpŒ) và a' là hình chiếu cửa a trên mp(P)) Nếu : eblas>bla ebla >bla e Gĩc giữa đường thẳng và mặt phửn, Cho đường thẳng a khơng vuơng gĩc với mp(ŒP) Gĩc giữa đường thẳng a và mp(ŒP) là gĩc giữa đường thẳng a và hình chiếu a' cửa nĩ trên mp(P) s(a, mpŒP)) =(a, a`) s02 <(a, (P)) <90° sía.®)c08c> 1/0 (a, (P)) = sical ® (a, (P)) = 90° al (P)

TTT LOAD O LOO LUUOUUO UU UO LUAU UOMO UOC LOAD LUA DOR LUO UCe ULL

Trang 12

»))) Mega BOOK cuyén Gia Sach Luyén Thi IEGABOOK.VN §4 HAI MẶT PHẲNG VUƠNG GĨC CÁC ĐỊNH NGHĨA - ĐỊNH LÝ - HỆ QUÁ HÌNH VẼ

© Định nghĩa : Gĩc giữa hai mặt phẳng là gĩc giữa hai đường thẳng lần lượt vuơng gĩc với hai mặt phẳng đĩ MINH HỌA aLmpP) — ¬ {Pe PHO e 0% (P, Q) <90° (®)/@) F =0 ae | eto + (P,Q)=90° © ()L (Q) © Định lý 1 : Nếu một tam giác cĩ diện tích

S thì hình chiếu của nĩ cĩ diện tích S' bằng

tích của S với cosin của gĩc @ giữa mặt

phẳng cửa tam giác và mặt chiếu

S’ =S.cosp

S là diện tích cửa AABC, S' là diện tích của AABC' là hình

chiếu của AABC trên mp(P) va @ là gĩc giữa mp(P) và mp(ABC) ® Định lý 2 : Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuơng gĩc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đĩ vuơng gĩc với ac mp(P) = mp(P).L mp(Q) nhau al mp(Q)

® Định lý 3: Nếu hai mặt phẳng vuơng gĩc

với nhau thì bất cứ đường thẳng nào năm mp(P) L mp(Q)

trong mặt phẳng này và vuơng gĩc với giao tuyến thì vuơng gĩc với mặt phẳng kia mp(P) > mp(Q) =c 5-H) =>a lmp(Q) ale Hồ quả 1 : Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q)

vuơng gĩc với nhau và A là điểm nằm mp(P).1 mp(Q)

en mp) th đường thẳng a đi qua A và Aemp(P) =5 A HEBER) vuơng gĩc với mp(Q) sẽ năm trong mp(P) Aea

a1 mp(Q)

e Hê quả 2: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau

và cùng vuơng gĩc với một mặt phẳng thứ mnfP)=¬mp(Q)=a

ba thì giao tuyến của hai mặt phẳng đĩ cùng mp(P).L mp(R) =>almp(R)

vuơng gĩc với mặt phẳng thứ ba mp(Q) L mp(R)

® Hệ quả 3 : Qua một đường thẳng a

khơng vuơng gĩc với mp(P) cĩ một và chỉ ac mp(Q)

một mp(Q) vuơng gĩc với mp(P) a/mp(Q) | => d!mp(P) 1 mp(Q)

000/000000)0/000000000000000000)000/00/0/0/)0/0/000)0/0/000//)0/000/)0/0//0//00/)0/0000/0//00/0000)/0//)00)/0/)0/0/0/))00/0/0/00/0//)0/)0/0/00/0/0/)0/0/0//)0)0/)/)0/)/0//)0/)0/0/)0)0/)0/))))/)/))//)10/)0))01)0))

Trang 13

»))) Mega BOOK cuyén Gia Sach Luyén Thi §5 KHOANG CACH IEGABOOK.VN

CÁC ĐỊNH NGHĨA - ĐỊNH LÝ - HỆ QUÁ HÌNH VỆ MINH HỌA

hang - ¬ So M ø MH là nhỏ nhất so với khoảng

fhe Hin: Mi va Gating hang hình chiếu ella M lên A Độ dài doan thang về, C201) đã cách từ M đến mọi diểm của A eMH=0 MeA

MH được gọi là khoảng cách từ điểm M 1 đến đường thẳng a H 7 e Khoảng cách từ một điểm đến mội mặt M phẳng e MH là nhỏ nhất so với khoảng Cho điểm O và mp(P) Gọi H là hình chiếu cách từ M đến mọi điểm cửa của O lên mp(P) mp(P) Độ dài cửa đoạn thẳng OH được gọi là eMH=0 Me mp(P) khoảng cách từ O đến mp(P) © Khoảng cách giữu đường thẳng và mặt Be phẳng song song

Khoảng cách giữa đường thẳng a và mpŒP) song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đĩ của a đến mp(P) Nếu a / mp(P) thì đ(A ; (mp(P)) = d(B ; (np(P)) © Khoản lữu hai mặt phần son

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kỳ của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia cách Nếu mp(P) / mp(Q) thi d(mp(P) ; mp(Q)) = = d(A ; (mp(Q)) = d(K ; (mp) ® Đường vuơng gĩc chung của hưi đường thẳng chéo nhau a và b

Đường thẳng c cắt cả a và b đồng thời vuơng gĩc với cả a và b nên đường thẳng c là đường vuơng gĩc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b le a i a pe _— {fb ca=l cla=l cb=J cLb=]

thì c là đường vuơng gĩc chung của hai đường thẳng chéo nhau a va b

e Đoạn vuơng sĩc chung của hai đường

thẳng chéo nhau

Nếu đường vuơng gĩc chung cắt hai đường thẳng chéo nhau tại I và J thi doan thang IJ gọi là đoạn vuơng gĩc chung cửa hai đường thẳng LF a h SỞ ) Vila IJ Lb chung của hai đường thẳng chéo } = HD là đoạn vuơng gĩc nhau a và b © Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Định dạng
Số trang	13
Dung lượng	4,95 MB