Công thức hình học 11

Giao hai mặt phẳng Cách 1: Tìm hai điểm chung phân biệt:  A   P  ; A   Q    P    Q   AB Hai điểm   B   P  ; B   Q  chung thường tìm cách kéo dài cạnh nằm mặt để tìm giao điểm chúng: Ví dụ  SAC    SBD   SO Giao đường thẳng – mặt phẳng Cách 1: Để tìm giao d  P  : S Q d   Q    Q    P   a  d   P   B  a  d  B Cách 2: Tìm mp  P  đường thẳng a d M P x A a D B Mà a  d  B  d   P   B O B C Cách 2: Nếu hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song giao tuyến có song song với hai đường thẳng a   P   b   Q    P    Q   Sx / / a / / b  a / / b S   P  ; S  Q   Ví dụ: Cho hình chóp S ABC Gọi I , H trung điểm SA, AB Trên SC lấy điểm K cho IK không song song với AC ( K khơng trùng với đầu mút) Tìm giao điểm E đường thẳng BC với mặt phẳng  IHK  C A H E B chứng minh E , N , J thẳng hàng A J A P M M N I P Từ 1 ,  2 ,  3 ta có E , J , N điểm chung hai măt phẳng  MPI   ACD nên chúng thẳng hàng Vậy PI , NJ , CD đồng quy E B Q E  C  E  PI   MPI  E  PI  CD   1 I   E  CD   ACD    N  MI   MPI   J  MP   MPI  J  MP  AD    2 N  MI  AC    3    J  AD   ACD   N  AC   ACD  Trong mặt phẳng  SAC  , IK không song I F D điểm chung thứ  ABC   IHK  K Ví dụ AB / /CD   SAB    MCD   Mx / / AB Chứng minh đường thẳng đồng quy: PP: Chỉ giao tuyến hai đường thẳng nằm đường thẳng thứ ba Ví dụ: Cho tứ diện ABCD Lấy M , N , P cạnh AB, AC , BD cho MN cắt BC I , MP cắt AD J Chứng minh PI , NJ , CD đồng quy HD: Trong mặt phẳng  BCD  , gọi E  PI  CD Ta B Chọn mặt phẳng phụ  ABC  chứa BC Ta có H S song với AC nên gọi F  IK  AC Ta có Suy F điểm chung thứ hai  ABC   IHK  Do  ABC    IHK   HF Trong mặt phẳng  ABC  , gọi E  HF  BC , mà HF   IHK  Vậy E  BC   IHK  Chứng minh điểm thẳng hàng PP: Ta điểm thuộc hai mặt  A   P  ; A  Q   B   P  ; B  Q  phẳng:   A, B, C thẳng hàng C   P  ; C   Q   D  Ví dụ: Cho tứ diện ABCD Gọi M , N N trung điểm AB, CD Mặt phẳng   qua MN C cắt AD BC P, Q Biết MP cắt NQ I Chứng minh ba điểm I , B, D thẳng hàng Hướng dẫn  I  MP   I   ABD  Ta có MP cắt NQ I     I  NQ   I   CBD   I   ABD   CBD   BD  I  BD Vậy I , B , D thẳng hàng HDedu - Page Tìm thiết diện PP: Tìm thiết diện tạo mặt phẳng cắt khối đa diện tìm giao điểm mặt phẳng với mặt khối đa diện Ví dụ: Cho hình chóp S ABCD Gọi E , F trọng tâm cáctam giác SBC , SCD M trung điểm SA Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng Hướng dẫn  MEF  TỔNG HỢP KIẾN THỨC HÌNH HỌC 11 – HỌC KÌ II Véc tơ không gian – đồng phẳng Quy tắc điểm: AB  BC  AC A' D' B' D Trong mặt phẳng  SBC  gọi H  SE  BC mặt phẳng  SCD  gọi N  SF  CD Quy tắc hình hộp: AB  AD  AA '  AC ' Nếu a , b phương a  k b C' A B C Quy tắc hình bình hành: AB  AD  AC Hiệu hai vecto: AB  AC  CB Tích vơ hướng hai vecto: a.b  a b cos  Nếu I trung điểm AB : IA  IB  ; MA  MB  2MI Trong mặt phẳng  ABCD  gọi I  AC  HN Khi I   SAC    SHN  Nếu G trọng tâm tam giác thì: GA  GB  GC  ; MA  MB  MC  3MG Trong mặt phẳng  SHN  gọi K  EF  SI Khi K   MEF    SAC  Nếu G trọng tâm tứ diện ABCD : Trong mặt phẳng  SAC  gọi P  SK  SC Khi P   MEF   SC Trong mặt phẳng  SBC  gọi R  PE  SB Khi R   MEF   SB Trong mặt phẳng  SCD  gọi Q  PF  SD Khi Q   MEF   SD  MEF    SAB   MR   MEF    SBC   RP Dựa vào hình vẽ ta có   MEF    SCD   PQ  MEF  SAD  MQ     Vậy thiết diện hình tứ giác MRPQ Chứng minh hai đường thẳng song song a / / b  a / / b Cách 1:  Cách 2: a   P  ; b   Q   a / /b / / c (Hình 1)  b / /c a / / c   P    Q   c Cách 3: + Định lí giao tuyến mặt: mặt phẳng cắt đơi giao tuyến song song trùng a dùng tính chất hình học phẳng: Hai cạnh P đối hình bình hành, ……, đường trung bình hệ định lí Talet c a / /  P  ; a / /  Q  b  a / /b (Hình 2) Cách 4:  Q  P    Q   b Hình  a / /  P  ; a   Q  ;  a / /b (Hình 3) Cách 5:    P    Q   b Cách 6: Nếu  P  / / Q  ;     P   a;    Q   b  a / /b (Hình 4) GA  GB  GC  GD  ; MA  MB  MC  MD  4MG Nếu AB  k AC với điểm M ta có: MA  MB  k MC 1 k Sự đồng phẳng vecto: Ba vecto đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng Để chứng minh vecto đồng phẳng có PP sau: - Ba vecto nằm mặt phẳng song song đồng phẳng - Nếu vecto vecto đồng phẳng - Nếu hai vecto phương vecto đồng phẳng - vecto a, b, c đồng phẳng, ta a  m.b  n.c Để chứng minh điểm A, B, C thẳng hàng ta AB  k AC  k  0 a P P P a b b Q Hình b a Q Hình α Q Hình HDedu - Page TỔNG HỢP KIẾN THỨC HÌNH HỌC 11 – HỌC KÌ II Chứng minh hai đường thẳng chép Dùng phương pháp phản chứng : Giả sử a, b không chéo nhau, suy a, b nằm mặt phẳng Từ điều kiện cho vơ lí Chứng minh hai đường thẳng vng góc + Sử dụng kiến thức cấp 2: Góc nội tiếp, Pytago… Chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng a / /b Cách 1:   a / /  P  (Hình 1) a   P  ; b   P  a   Q  Cách 2:   a / /  P  (Hình 2)  Q  / /  P  a  b  Cách 3: b   P   a / /  P  (Hình 3)  a   P  a   Q   Cách 4:  Q    P   a / /  P  (Hình 4)  a   Q  a a Q b P P Hình Hình + Chỉ góc  a; b   900 a Q + Chỉ tích vơ hướng a.b  a / / c + Nếu  ab b  c a b a   P  + Nếu   a  b b   P  P P a / /  Q   b / /  Q  Cách 1:    P  / /  Q  (Hình 1) a c¾t b  a, b   P    P  / /  Q    P / /  R Cách 2:   R  / /  Q  Hình Chứng minh hai mặt phẳng song song a / /  P  + Nếu   a b b   P  + Sử dụng định lí đường vng góc: Nếu a  hình chiếu a lên  P  Hình a b P mà b   P  ; b  a  b  a P Q  P   a   P  / /  Q  (Hình 2) Cách 3:   Q   a Q a Hình Hình Đường thẳng vng góc mặt phẳng a  b; a  c  Cách 1: b, c   P   a   P  (Hình 1) b c¾t c   Q    P  ;  R    P   a   P  (Hình 2) Cách 2:   Q    R   a  P    Q  ;  P    Q   b  a   P  (Hình 3) Cách 3:  a   Q  ; a  b Q R c b a Q a P b a Hình P Hình P Hình HDedu - Page TỔNG HỢP KIẾN THỨC HÌNH HỌC 11 – HỌC KÌ II Đường thẳng vng góc mặt phẳng  a / / b Cách 4:   a   P  (Hình 4)  b   P  a b a   Q  Cách 5:   a   P  (Hình 5)  Q  / /  P  P P Hai mặt phẳng vng góc a    P Cách 1:   Q    P  a   Q  a   P   Cách 2: b   Q    Q    P  a  b  Cách 3: Chỉ góc  P   Q  900 Q a Hình Hình Góc hai đường thẳng a, b Cách 1: Từ điểm O a kẻ đường Q a thẳng c / / b Khi  a; b    a; c    (Hình 1) a  c  Cách 2: b  d   a; b    c; d  c c¾t d  (Hình 2) * Để tính góc  ta thường sử dụng định lí hàm số sin, cosin; tỉ số lượng giác góc nhọn tích vơ hướng b φ P b Hình c d φ a a Q b a c Hình Hình P Hình Góc  đường thẳng mặt phẳng Góc hai mặt phẳng Cách 1: a   P     90 a   P   Cách 1:      a; b  (Hình 1)  b  Q b Cách 2: Nếu a khơng vng góc với  P  góc a  P  góc a hình chiếu a  a lên  P  P a P φ a d b a Q Q Hình φ Hình  P  / /  Q    Cách 2:   P    Q   P    Q   d  Cách 3: a   P  ; a  d     a; b  (Hình 2)  b   Q  ; b  d a' P HDedu - Page TỔNG HỢP KIẾN THỨC HÌNH HỌC 11 – HỌC KÌ II Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d + Từ A kẻ AH  d H Khi khoảng cách AH +Chuyển tính gián tiếp qua điểm khác (Thường chân đường vng góc) + Sau để tính khoảng cách ta dùng định lí hàm số sin, cosin, Pytago, Talet… Khoảng cách đường thẳng a  P  với a / /  P  Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  P  S cách AH + Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng chứa đường cao: Từ điểm dựng đoạn vng góc với cạnh đối diện H A K A D d  C;  SAD    CK Ví dụ: SA   ABCD    (Hình 1) d  C;  SAB    CH D H M Là khoảng cách từ điểm a đến  P  : + Nếu điểm cần tính khoảng cách chân đường vng B góc : Từ chân đường vng góc ta kẻ vng góc với C B Hình  a / /  P   d  a;  P    d  A;  P     A a A Phương pháp: Từ A kẻ AH   P  Khi khoảng S Hình cạnh đối diện M , kẻ AH  SM  khoảng cách S AH (Hình 2) + Ngồi đưa tính khoảng cách qua điểm a gián tiếp, Ví dụ: SA   ABCD  A D d  B;  SCD    d  A;  SCD    (Hình 3) AB / /CD   d  O;  SCD    d  A;  SCD    O P B C Hình Khoảng cách hai đường thẳng chéo Khoảng cách hai mặt phẳng xong song Là khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng   P  / /  Q   d   P  ;  Q    d  O;  Q     O   P  S A b P A O P D b a' B O B P C Hình Q a c A B a c Hình Hình Cách 1: Dùng đường vng góc chung: Là đường thẳng vng góc với a, b cắt a, b A, B Khi khoảng cách d  a; b   AB Ví dụ SA   ABCD  với ABCD hình thoi, d  SA; BD   SO (Hình 1) Cách 2: + Dựng  P  chứa b  P  / / a , dựng a  hình chiếu a lên  P  , dựng B  b  a  , qua B dựng c   P  , c  a  A (Hình 2) Cách 3: Nếu a chéo b a  b + Qua b dựng  P   a , Tìm A  a   P  ,  P  dựng c qua A c  b B (Hình 3) HDedu - Page TỔNG HỢP KIẾN THỨC HÌNH HỌC 11 – HỌC KÌ II Các cơng thức hay dùng tam giác a a b c Định lí hàm số sin:    R hay a  R.sin A hay sin A  2R sin A sin B sin C Định lí hàm số cos: a  b  c  2bc.cos A; b  a  c  2ac.cos B; c  a  b  2ab.cos C A b2  c2  a Hoặc cos A  Nếu góc A nhọn cos A  , tù cos A  2bc Công thức trung tuyến: ma2  b2  c a  ; mb2  a  c b2  ; mc2  b a  b2 c  c Và AB  AC  BC.MH ( với M trung điểm BC , H chân đường cao) Phân giác trong: la  Diện tích: SABC  2bc.cos bc A 2; lb  2ac.cos ac B 2; lc  2ab.cos ab C B H ma M C a 1 1 1 a.ha  b.hb  c.hc  ab.sin C  ac.sin B  bc.sin A 2 2 2 SABC  p.r   p  a    p  b  rb   p  c  rc  abc  4R p  p  a  p  b  p  c  Hệ thức lượng hay dùng tam giác vuông + ABC vuông A, đường cao AH , kẻ HF  AC; HE  AB : * AB  AC  BC ; AH  BH CH * AB  BH BC ; AC  CH BC * 1   ; AB AC  AH BC 2 AH AB AC *S  * CF HB  EB HC  AH BC * sin C  AB BC cos C  AC BC * tan C  1 AB AC  AH BC 2 C F H BE  CF  BC AB AC A E B HDedu - Page ... a  b Q R c b a Q a P b a Hình P Hình P Hình HDedu - Page TỔNG HỢP KIẾN THỨC HÌNH HỌC 11 – HỌC KÌ II Đường thẳng vng góc mặt phẳng  a / / b Cách 4:   a   P  (Hình 4)  b   P  a b a... điểm A, B, C thẳng hàng ta AB  k AC  k  0 a P P P a b b Q Hình b a Q Hình α Q Hình HDedu - Page TỔNG HỢP KIẾN THỨC HÌNH HỌC 11 – HỌC KÌ II Chứng minh hai đường thẳng chép Dùng phương pháp phản... Ví dụ: Cho hình chóp S ABCD Gọi E , F trọng tâm cáctam giác SBC , SCD M trung điểm SA Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng Hướng dẫn  MEF  TỔNG HỢP KIẾN THỨC HÌNH HỌC 11 – HỌC KÌ II