hệ thống công thức hình học

CÁC HỆ THỨC HÌNH HỌC HỆ THỨC TRONG TAM GIÁCHệ thức lượng trong tam giác vuônga2 = b2 + c2 (Định lí Pitago)h2 = a’ . b’b2 = a . b’c2 = a . c’bc = ah Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuôngb = a . sinB = a . cosCb = c . tgB = c . cotgCc = a . sinC = a . cosBc = b . tgC = b . cotgBBất đẳng thức tam giácAB + AC > ABAB+BC > ACAC + BC >ABCác hệ quả của bất đẳng thức tam giácAB > AC – BCAB > BC – ACAC > AB – BCAC > BC – ABBC > AB – ACBC > AC – ABAB – AC < BC < AB + AC Các tỉ số lượng giác của góc nhọn tg.cotg = 1sin2  + cos2 = 1 Tĩ số lượng giác hai góc phụ nhau  và  = 900  ( 0 <  < 900 )Sin = CosCos = Sintg = CotgCotg = tgTỉ số lượng giác hai góc bù nhau  và  = 1800  (0 <  < 1800 )Sin = SinCos = Cos

CÁC HỆ THỨC HÌNH HỌC HỆ THỨC TRONG TAM GIÁC Hệ thức lượng tam giác vng a2 = b2 + c2 (Định lí Pitago) h2 = a’ b’ b2 = a b’ c2 = a c’ bc = ah A c b h B b' c' H a 1 = 2+ 2 h b c Một số hệ thức cạnh góc tam giác vng b = a sinB = a cosC b = c tgB = c cotgC c = a sinC = a cosB c = b tgC = b cotgB Bất đẳng thức tam giác AB + AC > AB AB+BC > AC AC + BC >AB Các hệ bất đẳng thức tam giác AB > AC – BC AB > BC – AC AC > AB – BC AC > BC – AB BC > AB – AC BC > AC – AB AB – AC < BC < AB + AC Các tỉ số lượng giác góc nhọn sin α cos α cos α cot gα = sin α tgα = tgα.cotgα = sin2 α + cos2α = cot gα = tgα Tĩ số lượng giác hai góc phụ α β = 900 - α ( < α < 900 ) Sinα = Cosβ α C Cosα = Sinβ tgα = Cotgβ Cotgα = tgβ Tỉ số lượng giác hai góc bù α β = 1800 - α (0 < α < 1800 ) Sinα = Sinβ Cosα = - Cosβ tgα = - tgβ Cotgα = - Cotgβ Hệ thức lượng tam giác Định lí hàm số cosin a = b2 + c2 – 2bc cosA b2 = a2 + c2 – 2ac cosB c2 = a2 + b2 – 2ab cosC Định lí hàm số cosin suy rộng b2 + c − a 4S a + c2 − b2 cot gB = 4S a + b2 − c2 cot gC = 4S cot gA = Hệ định lí hàm số cosin A < 900  b2 +c2 – a2 > A = 900  b2 +c2 = a2 A >900  b2 +c2 – a2 < Định lí hàm số sin a b c = = = 2R sin A sin B sin C R bán kính đường tròn ngoại tiếp Định lí hàm số tang A+ B tg a+b = a − b tg A − B Các cơng thức tính diện tích tam giác S= 1 aha = bhb = chc 2 S= 1 b c sinA = a c sinB = a b sinC 2 Cho tam giác đồng dạng có tỉ số đồng dạng k S1 = k2 S2 abc S= 4R S = pr r bán kính đường tròn nội tiếp a+b+c p= R bán kính đường tròn ngoại tiếp S= p ( p − a) ( p − b) ( p − c) ( b c + a 2b + a c ) − ( a + b + c ) S = ( p − a ) = ( p − b ) rb = ( p − c ) rc S= S = 2R2 sinA sinB sinC Cho tam giác có chung cạnh đáy S h ’ , = , (với h,h đường cao tương ứng tam giác) S h Cơng thức tính độ dài đường trung tuyến ma2 = b2 + c2 – a2 = b2 + c2 +2 b c cosA mb2 = a2 + c2 – b2 = a2 + c2 + a c cos B mc2 = b2 + a2 – c2 = b2 + a2 + 2a b cosC Chú ý: Các tính chất nhớ tính chất “ Trong hình bình hành tổng bình phương hai đường chéo tổng bình phương cạnh hình bình hành” AM = ma ; AD = 2ma ; AD2 + BC2 = 2(AB2 + AC2) Cho tam giác đồng dạng có tỉ số đồng dạng k d1 = k (với d1,d2 đường trung tuyến tương ứng tam giác đồng dạng) d2 Cơng thức tính độ dài đường phân giác trong: la = A = bcp ( p − a) b+c b+c 2bc cos lb = lc = 2ac cos a+c 2ab cos a+b B = C = acp ( p − b) a+c abp( p − c ) a+b Cho tam giác đồng dạng có tỉ số đồng dạng k m = k (với m,m, đường phân giác tương ứng tam giác đồng dạng ) m, Cơng thức tính phân giác ngồi: la = lb = lc = 2bc sin b−c 2ac sin a−c 2ab sin a −b A B C ĐK: a > b > c Các hệ thức góc tam giác: A B C cos cos 2 A B C cos A + cosB + cos C = + 4sin sin sin 2 A B C sin A + sin B − sin C = 4sin sin cos 2 A B C cos A + cosB − cos C = cos cos sin − 2 sin A + sin B + sin 2C = 4sin A sin B sin C sin A + sin B − sin 2C = cos A cos B sin C sin A + sin B + sin C = cos sin A + sin B + sin C = 2(1 + cos A cos Bco s C ) tgA + tgB + tgC = tgAtgBtgC A B C A B C cot g + cot g + cot g = cot g cot g cot g 2 2 2 A B B C A C tg tg + tg tg + tg tg = 2 2 2 cot gA cot gB + cot gB cot gC + cot gA cot gC = Các bất đẳng thức tam giác: 3 cos A + cos B + cos C ≤ cos A cos B cos C ≤ A B C 3 cos + cos + cos ≤ 2 2 sin A + sin B + sin C ≤ A B C sin + sin + sin ≤ 2 2 A B C tg + tg + tg ≤ 2 cot gA + cot gB + cot gC ≤ sin A + sin B + sin C ≤ Dấu “=” xảy bất đẳng thức ∆ABC tam giác Cơng thức tính bán kính đường tròn nội tiếp: B C A C A B sin b sin sin c sin sin 2 = 2 = 2 r= A B C cos cos cos 2 A B C r = ( p − a)tg = ( p − b)tg = ( p − c )tg 2 A B C r = R sin sin sin 2 a sin Cơng thức tính bán kính đường tròn bàng tiếp: B C cos A 2 = ptg = A cos A C b cos cos B 2 rb = ptg = B cos A B c cos cos C 2 rc = ptg = C cos a cos HỆ THỨC LƯỢNG TRONG ĐƯỜNG TRỊN Phương tích điểm đường tròn P I/(O) = IA.IB = d − R (IAB cát tuyến tùy ý (O)) Tứ giác nội tiếp: Tứ giác ABCD có AC cắt BD I ABCD nội tiếp  IA.IB = IC.ID Điều kiện tiếp xúc: Cho tam giác ABC có I điểm ngồi đoạn AB IC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC C  IA.IB = IC Trục đẳng phương - Tâm đẳng phương: Trục đẳng phương vng góc với đường nối tâm N mà: O1 N = d r12 − r22 d r2 − r2 + O2 N = + 2 2d 2d Với d = O1O2, r1, r2 bán kính Tâm đẳng phương ba đường tròn giao điểm ba trục đẳng phương cập đường tròn đó: TÍNH ĐỘ DÀI VÀ DIỆN TÍCH I/ PHƯƠNG PHÁP: Tìm mối liên hệ biết với độ dài cần phải tinh1qua định nghĩa, tính chất ,định lí, …, cơng thức cho Lưu ý đến tính chất tam giác cân ,đều,vng có góc 300 , tính chất đường trung tuyến, phân giác ,đường cao, trung trực tam giác, 2tam giác T/C hình tứ giác học Vận dụng đlí : đường trung bình tam giác, đường trung bình hình thang AD đlí Pitago, đlí Talet CM tam giác đồng dạng để suy đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ biết cách biến đổi đoạn thẳng tỉ lệ độ dài đoạn thẳng cần tình T/c đường cao, phân giác, trung tuyến tam giác đồng dạng AD hệ thúc lượng tam giác vng tma giác thường Đn tỉ số lượng giác góc nhọn để suy hệ thức cạnh cac góc tam giác vng Các cơng thúc tính độ dài đường tròn ,độ dài cung tròn II/ CƠNG THỨC TÍNH ĐỘ DÀI VÀ DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH Hình hộp chữ nhật: Sxq= 2(a+b).c Stp= 2(ab + ac +bc) V = abc Hình lập phương: Sxq = 4a2 Stp = 6a2 V = a3 Hình chóp đều: Sxq = Sd.d V= Sd h Stp = Sxq + Sd (Sd diện tich đáy, d trung đoạn) Hình chóp cụt: S xq = ( p + p ')d Stp = S xq + B + B ' V = h( B + B '+ BB ') Với p,p’:chu vi đáy, B,B’:diện tích đáy, d: đường cao mặt bên, h đường cao hinh chóp cụt Diện tích hình tròn: Diện tích hình tròn S = π R2 Diện tích hình quạt tròn: π R n lR S= = 3600 Diện tích hình trụ: Stp = 2π rh + 2π r S xq = 2π rh Với r:bán kính, h: chiều cao Diện tích hình nón: Stp = π rl + π r S xq = π rl π r 2h V= Với l: đường sinh ,r: bán kính Diện tích hình nón cụt S xq = π ( r1 + r2 ) l V= πh r1 + r2 + r1r2 ) ( Với r1,r2: bk đáy, l: đường sinh ,h: chiều cao Diện tích hình cầu: S = 4π R = π d V = π R3 Tam Giác S= 1 aha = bhb = chc 2 S= 1 b c sinA = a c sinB = a b sinC 2 Cho tam giác đồng dạng có tỉ số đồng dạng k S1 = k2 S2 abc S= 4R S = pr r bán kính đường tròn nội tiếp a+b+c p= R bán kính đường tròn ngoại tiếp S= p ( p − a) ( p − b) ( p − c) ( b c + a 2b + a c ) − ( a + b + c ) S = ( p − a ) = ( p − b ) rb = ( p − c ) rc S= S = 2R2 sinA sinB sinC Cho tam giác có chung cạnh đáy S h (với h,h’ đường cao tương ứng tam giác) , = S h, Diện tích tứ giác H vng: S=a2 Hcn: S=a*b H thang: S=(a+b)*h/2 Hbh: S= a*h H thoi: S=d1*d2/2 với d1,d2 đường chéo CÁC BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: a) Tìm cơng thức tính diện tích tam giác cân biết độ dài cạnh b) Tìm cơng thức tính diện tích tam giác biết độ dài cạnh Gợi ý: A a) Tính AH (Định lí Pitago) => SABC b) Tương tự câu b C B H Bài 2: a Cho tam giác ABC, I điểm nằm tam giác Chứng minh tổng khoảng cách từ I đến cạnh tam giác đường cao tam giác Gợi ý: A Gọi ha, hb, hc độ dài đường cao đỉnh I tam giác IBC, IAC, IAB tính SABC, SIBC, SIAB, SIAC  h = + hb + hc hc I hb h C B a Bài 3: Chứng minh tổng cạnh ngũ giác lồi nhỏ tổng đường chéo Gợi ý: Áp dụng bất đẳng thức tam giác tam giác ABR , BCQ , CDP , DNE => Cộng vế với vế bất đẳng thức A B R M E Q N P D C => Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh Bài 4: Cho hình vng ABCD Trên cạnh BC lấy điểm M, AM cắt DC N Chứng minh: AM BM = AN BA 1 = + b) 2 AB AN AM a) A B M Gợi ý: a) Chứng minh ∆ABM đồng dạng ∆NDA  Tỉ số đồng dạng  Thay DA = AB  Điều cần chứng minh D N C BM BM = hay = b) Từ cmt => AN AM BA AN AM BA2 2  Cộng vế với => Thay BM + AB = AM (Định lí Pitago) AM  Điều cần chứng minh Bài 5: Cho hình thang ABCD (AB // CD), có AB = 6cm, đường cao 9cm Đường thẳng qua B song song với AB cắt CD E, chia hình thang ABCD thành hình bình hành ABED tam giác BEC có diện tích Tính diện tích hình thang Gợi ý: A B Tính SABED, SBCE Do SABED = SBCE => CE = 2DE => SABCD D 1, Cho tam giác ABC.Trên tia đối BA lấy điểm M cho AC) a, Biết MN = 2,7cm Tính BC ; b, Biết BC = 1,7cm Tính MN ; E H C AB = Vẽ MN//BC (N ∈ BM Hướng dẫn AB AB = ⇒ = Từ BM AM Do BC // MN nên áp dụng đònh lý Ta-let cho tam giác: ∆ ABC ∆ AMN ⇒ tỉ lệ AB BC ⇒ BC MN = cạnh AM MN  2, Cho tam giác cân ABC có B =120 , AC=6cm Tính độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác Hướng dẫn :    Từ B =120 ⇒ A = C = ? AC =? Dựa vào công thức lượng giác tam giác vuông AHB AH  Cos A = AB ⇒ AB=? H trung điểm AC ⇒ AH= Ta có BOˆ A = 2.BCˆ A = 2Cˆ = ? ⇒ ∆AOB ⇒ OB=AB=? ⇒ Độ dài đường tròn : C =2 π OA =? 3, Cho tam giác ABC vuông A có cạnh AB=6cm AC=8cm Các đường phân giác góc B cắt đường thẳng AC tai M N Tính đoạn thẳng AM AN Hướng dẫn: Tính BC=? (Đònh lý Pitago) Sử dụng tính chất đường phân giác BM ⇒ AM CM = AB CB AM AB AM AB = ⇒ = ⇒ AM = ? CM CB AM + CM AB + CB Xét ∆BMN : BM BN đường phân giác B ⇒ BM ⊥ BN ⇒ ∆BMN vuông B BA =? Mà BA = AM AN ⇒ AN = AM ⇒ [...]... 2 2  Cộng vế với 2 => Thay BM + AB = AM (Định lí Pitago) AM  Điều cần chứng minh Bài 5: Cho hình thang ABCD (AB // CD), có AB = 6cm, đường cao bằng 9cm Đường thẳng đi qua B song song với AB cắt CD tại E, chia hình thang ABCD thành hình bình hành ABED và tam giác BEC có diện tích bằng nhau Tính diện tích hình thang Gợi ý: A B Tính SABED, SBCE Do SABED = SBCE => CE = 2DE => SABCD D 1, Cho tam giác...=> Biến đổi về bất đẳng thức cần chứng minh Bài 4: Cho hình vng ABCD Trên cạnh BC lấy điểm M, AM cắt DC tại N Chứng minh: AM BM = AN BA 1 1 1 = + b) 2 2 AB AN AM 2 a) A B M Gợi ý: a) Chứng minh ∆ABM đồng dạng ∆NDA  Tỉ số đồng dạng  Thay DA... AMN ⇒ tỉ lệ các AB BC ⇒ BC hoặc MN = cạnh AM MN  2, Cho tam giác cân ABC có B =120 0 , AC=6cm Tính độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác đó Hướng dẫn :    Từ B =120 0 ⇒ A = C = ? AC =? 2 Dựa vào công thức lượng giác trong tam giác vuông AHB AH  Cos A = AB ⇒ AB=? H là trung điểm AC ⇒ AH= Ta có BOˆ A = 2.BCˆ A = 2Cˆ = ? ⇒ ∆AOB đều ⇒ OB=AB=? ⇒ Độ dài đường tròn : C =2 π OA =? 3, Cho tam giác ABC vuông