Toán rời rạc - profthinh ď Chuong4-DaiSoBool tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất...
Chương 4: ĐẠI SỐ BOOLEAN (Boolean Algebra) Khoa CNTT ĐH GTVT TP.HCM Khoa CNTT (ĐH GTVT TP.HCM) Toán rời rạc / 18 Nội dung Hàm boolean Dạng tuyển chuẩn tắc tối thiểu (TCTTT) Phương pháp Karnaugh Bài tập Khoa CNTT (ĐH GTVT TP.HCM) Toán rời rạc / 18 Hàm boolean (1/3) Khái niệm: * Phát biểu: "Nếu trời mưa tin báo thời tiết xấu khơng có xe tơi mang (dù) ngồi." * Mơ tả logic: (Mang ơ) = (NOT Có xe hơi) AND ((Trời mưa) OR (Thời tiết xấu)) * Biểu đồ: Trời mưa OR AND Thời tiết xấu Có xe Khoa CNTT (ĐH GTVT TP.HCM) Mang (dù) NOT Tốn rời rạc / 18 Hàm boolean (2/3) Khái niệm: * Các mệnh đề Trời mưa, Thời tiết xấu Có xe đặc trưng biến x, y z nhận giá trị tập B = {0, 1} * Khi việc Mang hay không trở thành hàm x, y z Kí thiệu f (x, y , z) gọi hàm boolean * Vậy định nghĩa hình thức hàm boolean n biến sau: f : Bn → B (x1 , x2 , , xn ) → f (x1 , x2 , , xn ) * Ví dụ: (khơng viết tường minh phép tốn hội ∧) a b c d f (x) = x f (x, y ) = x ∨ y f (x, y , z) = xy ∨ y f (x, y , z, t) = xyt ∨ xy z ∨ xy Khoa CNTT (ĐH GTVT TP.HCM) Toán rời rạc / 18 Hàm boolean (3/3) Cổng & Mạch logic: * Trong kỹ thuật điện tử để có bo mạch (vật lý), mơ hình logic phải phân tích thiết kế trước, chúng gọi mạch logic (logic circuit) * Mỗi mạch logic tương ứng hàm boolean * Xét cho cùng, mạch logic (dù phức tạp) cấu tạo từ mạch bản, gọi cổng (gate) Gồm: cổng and, cổng or cổng not Các cổng logic: OR Khoa CNTT (ĐH GTVT TP.HCM) AND Toán rời rạc NOT / 18 Dạng tuyển chuẩn tắc tối thiểu (1/3) Một số khái niệm: Giả sử x1 , x2 , , xn biến boolean Khi đó: * y1 y2 yn gọi hội sơ cấp biến x1 , x2 , , xn yi = xi yi = xi ∨(y y y ) (*) * Nếu f (x1 , x2 , , xn ) = n ta nói f (x1 , x2 , , xn ) biểu diễn dạng tuyển chuẩn tắc hội sơ cấp Nhận xét: * Mọi hàm boolean biểu diễn dạng (*) Khoa CNTT (ĐH GTVT TP.HCM) Toán rời rạc / 18 Dạng tuyển chuẩn tắc tối thiểu (2/3) Ví dụ (1/2) - Minh họa cho Nhận xét trên: Xét hàm boolean f (x, y , z) = xy ∨ xy z ∨ x(yz ∨ z) Ta có f (x, y , z) = xy ∨ xy z ∨ xyz ∨ xz Và có bảng biểu diễn f sau: x 0 0 1 1 y 0 1 0 1 Khoa CNTT (ĐH GTVT TP.HCM) z 1 1 xy 0 0 0 1 xy z 0 0 0 xyz 0 0 0 Toán rời rạc xz 0 0 1 f (x, y , z) 0 0 1 1 / 18 Dạng tuyển chuẩn tắc tối thiểu (3/3) Ví dụ (2/2) - Minh họa cho Nhận xét trên: Từ dòng f (x, y , z) có giá trị ta được: f (x, y , z) = xy z ∨ xy z ∨ xy z ∨ xyz Tức f (x, y , z) biểu diễn dạng tuyển chuẩn tắc Bài toán: - Cho hàm boolean f bất kỳ, yêu cầu tìm dạng tuyển chuẩn tắc tối thiểu - Ý nghĩa tốn: f tối thiểu ⇒ Mạch logic tối thiểu Khoa CNTT (ĐH GTVT TP.HCM) Toán rời rạc / 18 Phương pháp Karnaugh (1/9) Biểu đồ Karnaugh (K): * Biểu đồ K hình chữ nhật, gồm tập hợp ơ, biểu diễn hội sơ cấp tất biến * Nếu hàm boolean có n biến biểu đồ K có 2n * Biểu đồ K trường hợp biến: x x x x y y y y z z * Ví dụ: xy z Khoa CNTT (ĐH GTVT TP.HCM) Toán rời rạc / 18 Phương pháp Karnaugh (2/9) Biểu đồ Karnaugh: * Biểu đồ K trường hợp biến: x x x x z z z z t t t t y y y y * Ví dụ: xt Khoa CNTT (ĐH GTVT TP.HCM) Tốn rời rạc 10 / 18 Phương pháp Karnaugh (3/9) Nhận xét: + Mỗi hàm boolean f tồn biểu diễn Karnaugh + Ví dụ: hàm f (x, y , z) = xyz ∨ xy z ∨ xz có biểu diễn sau: f (x, y , z) Khái niệm tế bào & tế bào tối đại: + Tế bào ô biểu đồ Karnaugh phủ (vừa đúng) hội sơ cấp + Giả sử hàm f có biểu đồ tương ứng K Tế bào tối đại tế bào lớn phủ ô thuộc K Tế bào lớn ⇒ Số biến + Với hàm f có biểu đồ trên, ta có tế bào tối đại sau: xyz, xz, xy (Hãy tự vẽ biểu đồ cho tế bào!) Khoa CNTT (ĐH GTVT TP.HCM) Toán rời rạc 11 / 18 Phương pháp Karnaugh (4/9) Kết luận: - Tìm dạng tuyển chuẩn tắc tối thiểu f tìm số tế bào tối đại phủ kín f - Mỗi f phủ nhiều tế bào tối đại + Nếu ô f phủ tế bào ⇒ tế bào bắt buộc phải chọn dạng TCTTT + Ngược lại, cần chọn tế bào tối đại phủ ô - tế bào tùy chọn Khoa CNTT (ĐH GTVT TP.HCM) Toán rời rạc 12 / 18 Phương pháp Karnaugh (5/9) Thuật tốn: tìm tất dạng tuyển chuẩn tắc tối thiểu hàm boolean cho trước Tìm tất tế bào tối đại f Phủ f tế bào bắt buộc, chọn từ tế bào tối đại Chọn số tế bào tùy chọn để phủ lại f Mỗi f phủ kín, ta thu tuyển chuẩn tắc ⇒ danh sách dạng tuyển chuẩn tắc f Chọn (những) kết cực tiểu danh sách bước ⇒ (các) dạng TCTTT Khoa CNTT (ĐH GTVT TP.HCM) Toán rời rạc 13 / 18 Phương pháp Karnaugh (6/9) Ví dụ phương pháp Karnaugh với biến: Tìm dạng TCTTT hàm f có biểu đồ Karnaugh sau: Danh sách tế bào tối đại: xz yz xy x y z Cả tế bào thuộc nhóm bắt buộc chọn Vậy dạng TCTTT là: f (x, y , z) = xz ∨ yz ∨ xy ∨ x y z Khoa CNTT (ĐH GTVT TP.HCM) Toán rời rạc 14 / 18 Phương pháp Karnaugh (7/9) Ví dụ phương pháp Karnaugh với biến: Tìm dạng TCTTT hàm f có biểu đồ Karnaugh sau: Khoa CNTT (ĐH GTVT TP.HCM) Toán rời rạc 15 / 18 Phương pháp Karnaugh (8/9) Danh sách tế báo tối đại: f yz yt Khoa CNTT (ĐH GTVT TP.HCM) zt xz x y Toán rời rạc y z 16 / 18 Phương pháp Karnaugh (9/9) * Ghi chú: tế bào tô đỏ bắt buộc * Lựa chọn tế bào lại, suy có dạng TCTTT là: + f (x, y , z, t) = yz ∨ y z ∨ zt ∨ xz + f (x, y , z, t) = yz ∨ y z ∨ zt ∨ x y + f (x, y , z, t) = yz ∨ y z ∨ zt ∨ xz + f (x, y , z, t) = yz ∨ y z ∨ zt ∨ x y Khoa CNTT (ĐH GTVT TP.HCM) Toán rời rạc 17 / 18 Bài tập Các tập Chương (Đại số boolean) Toán rời rạc - GS Nguyễn Hữu Anh Khoa CNTT (ĐH GTVT TP.HCM) Toán rời rạc 18 / 18 ... x y Khoa CNTT (ĐH GTVT TP.HCM) Toán rời rạc 17 / 18 Bài tập Các tập Chương (Đại số boolean) Toán rời rạc - GS Nguyễn Hữu Anh Khoa CNTT (ĐH GTVT TP.HCM) Toán rời rạc 18 / 18 ... chuẩn tắc Bài toán: - Cho hàm boolean f bất kỳ, yêu cầu tìm dạng tuyển chuẩn tắc tối thiểu - Ý nghĩa toán: f tối thiểu ⇒ Mạch logic tối thiểu Khoa CNTT (ĐH GTVT TP.HCM) Toán rời rạc / 18 Phương... GTVT TP.HCM) Toán rời rạc 14 / 18 Phương pháp Karnaugh (7/9) Ví dụ phương pháp Karnaugh với biến: Tìm dạng TCTTT hàm f có biểu đồ Karnaugh sau: Khoa CNTT (ĐH GTVT TP.HCM) Toán rời rạc 15 / 18