Toán rời rạc - profthinh ď Chuong3-QuanHe tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả...
Chương 3: QUAN HỆ (Relations) Khoa CNTT ĐH GTVT TP.HCM Khoa CNTT (ĐH GTVT TP.HCM) Toán rời rạc / 28 Nội dung Khái niệm tính chất quan hệ Quan hệ tương đương Quan hệ thứ tự Dàn Bài tập Khoa CNTT (ĐH GTVT TP.HCM) Toán rời rạc / 28 Khái niệm tính chất quan hệ (1/7) Khái niệm (1/2): Giả sử A tập giảng viên, A = {gv1 , gv2 , gv3 }, B tập học phần, B = {hp1 , hp2 , hp3 , hp4 } Khi đó, mối quan hệ biểu diễn phân cơng giảng dạy mơ tả sau: hp1 hp2 gv1 gv2 hp3 hp4 gv3 A Khoa CNTT (ĐH GTVT TP.HCM) B Toán rời rạc / 28 Khái niệm tính chất quan hệ (2/7) Khái niệm (2/2): Hoặc biểu diễn dạng tập hợp: R = {(gv1 , hp1 ), (gv1 , hp2 ), (gv2 , hp2 ), (gv2 , hp3 ), (gv2 , hp4 ), (gv3 , hp4 )} Nhận xét: R tập tích Descartes A B, tức: R ⊆ A × B Tổng qt hóa ví dụ ta đến định nghĩa sau: Định nghĩa: Giả sử A B tập khác rỗng cho trước Khi đó, quan hệ A B tập R ⊆ A × B Nếu (a, b) ∈ R ta nói a có quan hệ R với b, viết aRb Vì quan hệ R tập tích Descartes tập hợp, nên gọi quan hệ ngơi Nếu R ⊆ A1 × A2 × A3 × An R gọi quan hệ n Khoa CNTT (ĐH GTVT TP.HCM) Toán rời rạc / 28 Khái niệm tính chất quan hệ (3/7) Ví dụ: VD1 : lấy A = {1, 2, 3, 4, 5} đó: R = {(1, 1), (1, 2), (2, 4), (3, 5)} quan hệ A VD2 : R = {(x, y ) ∈ Z × Z : x + y = 5} quan hệ Z Khoa CNTT (ĐH GTVT TP.HCM) Tốn rời rạc / 28 Khái niệm tính chất quan hệ (4/7) Chú ý: Trong phạm vi chương này, xét quan hệ ngơi tập Tức là: R ⊆ A × A với A tập cho trước Tính chất quan hệ Giả sử R quan hệ tập A Khi R có tính chất sau: Phản xạ Đối xứng Bắc cầu Phản xứng (phản đối xứng) Khoa CNTT (ĐH GTVT TP.HCM) Toán rời rạc / 28 Khái niệm tính chất quan hệ (5/7) Tính phản xạ: Định nghĩa: ∀x ∈ A, xRx Ví dụ: A = {1, 2, 3, 4}, R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2), (2, 4)} quan hệ có tính phản xạ Tính đối xứng: Định nghĩa: ∀x, y ∈ A xRy yRx Ví dụ: A = {1, 2, 3, 4}, R = {(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (1, 1), (4, 4)} quan hệ có tính đối xứng Khoa CNTT (ĐH GTVT TP.HCM) Tốn rời rạc / 28 Khái niệm tính chất quan hệ (6/7) Tính bắc cầu: Định nghĩa: ∀x, y , z ∈ A xRy yRz xRz Ví dụ: A = {1, 2, 3, 4}, R = {(1, 2), (2, 4), (1, 4), (4, 4)} quan hệ có tính bắc cầu Tính phản xứng: Định nghĩa: ∀x, y ∈ A xRy yRx x = y Ví dụ: Xét R quan hệ chia hết tập số nguyên dương Z+ Khi đó: ∀x, y ∈ Z+ , (x|y ) ∧ (y |x) → x = y ⇔ (xRy ) ∧ (yRx) → x = y Vậy R có tính phản xứng Khoa CNTT (ĐH GTVT TP.HCM) Toán rời rạc / 28 Khái niệm tính chất quan hệ (7/7) Hãy cho biết quan hệ sau có tính phản xạ, đối xứng, bắc cầu hay phản xứng khơng? Vì sao? a R = {(x, y ) ∈ Z × Z : xRy ⇔ x + y chẵn} b Quan hệ R Z: xRy ⇔ x − y lẻ c R = {(x, y ) ∈ R × R : xRy ⇔ sin2 x + cos y = 1} Cho A = {1, 2, 3, 4} Hãy lấy quan hệ A thỏa mãn: a, Phản xạ, đối xứng không bắc cầu b, Bắc cầu không phản xạ c, Bắc cầu, phản xạ không đối xứng Khoa CNTT (ĐH GTVT TP.HCM) Toán rời rạc / 28 Quan hệ tương đương (1/3) Định nghĩa: Quan hệ R tập A quan hệ tương đương đồng thời thỏa mãn tính chất: Phản xạ Đối xứng Bắc cầu Ví dụ: Xét quan hệ R = {(x, y ) ∈ Z × Z : xRy ⇔ x + y chẵn} Khi R quan hệ tương đương Thật vậy: ∀x ∈ Z, x + x số chẵn, tức xRx (tính phản xạ) ∀x, y ∈ Z x + y chẵn y + x chẵn, suy tính đối xứng ∀x, y , z ∈ Z x + y chẵn y + z chẵn x + z chẵn, suy tính bắc cầu Khoa CNTT (ĐH GTVT TP.HCM) Toán rời rạc 10 / 28 Quan hệ thứ tự (2/8) Ví dụ: Xét tập A = {x, y } tập tập A kí hiệu P(A) Trên P(A) xét quan hệ bao hàm ⊂ Khi đó, (P(A), ⊂) thứ tự Thật vậy: ∀A ∈ P(A), A ⊂ A ⇒ phản xạ ∀A, B ∈ P(A), (A ⊂ B) ∧ (B ⊂ A) ⇒ phản xứng ∀A, B, C ∈ P(A), (A ⊂ B) ∧ (B ⊂ C ) → (A ⊂ C ) ⇒ bắc cầu Khoa CNTT (ĐH GTVT TP.HCM) Toán rời rạc 14 / 28 Quan hệ thứ tự (3/8) Khái niệm trội & trội trực tiếp: * Nếu x ≺ y y gọi trội x (và x bị trội y ) * Nếu x ≺ z y : x y z z gọi trội trực tiếp x Biểu đồ Hasse: Cho thứ tự (A, ≺), biểu đồ Hasse A gồm: * Mỗi đỉnh phần tử A * Mỗi cung nối phần tử A với trội trực tiếp Khoa CNTT (ĐH GTVT TP.HCM) Toán rời rạc 15 / 28 Quan hệ thứ tự (4/8) Ví dụ biểu đồ Hasse: Giả sử A = {1, 2, 3} (P(A), ⊂) thứ tự có biểu đồ Hasse sau: {1, 2, 3} {2, 3} {1, 3} {1, 2} {3} {2} {1} ∅ Khoa CNTT (ĐH GTVT TP.HCM) Toán rời rạc 16 / 28 Quan hệ thứ tự (5/8) Thứ tự toàn phần: Định nghĩa: Thứ tự (A, ≺) gọi thứ tự toàn phần khi: ∀x, y ∈ A : (x ≺ y ) ∨ (y ≺ x) Tức phần tử A so sánh với Định lý: Biểu đồ Hasse thứ tự tồn phần dây chuyền Ví dụ: xét tập A = {1, 2, 3, 4} Khi đó: (A, ) có biểu đồ: Khoa CNTT (ĐH GTVT TP.HCM) Toán rời rạc 17 / 28 Quan hệ thứ tự (6/8) Giả sử (A, ≺) thứ tự Khi đó: Max - min: Max(A) = M ∈ A : ∀x ∈ A, x ≺ M Min(A) = m ∈ A : ∀x ∈ A, m ≺ x Ví dụ: Xét thứ tự (P(A), ⊂) với A = {1, 2, 3} thì: Max(A) = A Min(A) = ∅ Tối đại - tối thiểu: M gọi tối đại A nếu: ∀x ∈ A, (M ≺ x) ⇒ x = M m gọi tối thiểu A nếu: ∀x ∈ A, (x ≺ m) ⇒ x = m Khoa CNTT (ĐH GTVT TP.HCM) Toán rời rạc 18 / 28 Quan hệ thứ tự (7/8) Tối thiểu - tối đại: Ví dụ: Cho thứ tự có biểu đồ sau: c b a d tối thiểu d tối đại b c Khoa CNTT (ĐH GTVT TP.HCM) Toán rời rạc 19 / 28 Quan hệ thứ tự (8/8) Định lý: Giả sử (A, ≺) thứ tự hữu hạn Khi đó: Mọi phần tử ln trội (tương ứng bị trội) phần tử tối đại (tương ứng tối thiểu) Nếu tối đại (tương ứng tối thiểu) max (tương ứng min) Ví dụ: * Gọi Un tập ước số nguyên dương n Trên Un ta xét thứ tự chia hết a ≺ b ⇔ a|b * Hãy tìm tối thiểu, tối đại, max U6 ? Khoa CNTT (ĐH GTVT TP.HCM) Toán rời rạc 20 / 28 Dàn (1/6) + Chặn trên, chặn dưới: Khái niệm: Giả sử có thứ tự (A, ≺) Xét B ⊂ A Khi đó: Phần tử s gọi chặn (chung) B nếu: ∀x ∈ B : x ≺ s Phần tử i gọi chặn (chung) B nếu: ∀x ∈ B : i ≺ x Gọi S I tập chặn chặn B * Nếu Min(S) tồn tại, gọi chặn (supremum) B, kí hiệu: SupB ∨ * Nếu Max(I ) tồn tại, gọi chặn (infimum) B, kí hiệu: InfBhoặc ∧ Khoa CNTT (ĐH GTVT TP.HCM) Toán rời rạc 21 / 28 Dàn (2/6) + Chặn trên, chặn dưới: Ví dụ 1: Xét thứ tự có biểu đồ sau: a c d e f g Khi đó: Sup{e, f } = c, Inf {c, d} = f , Khoa CNTT (ĐH GTVT TP.HCM) Sup{c, f } = a Inf {e, f } = g Toán rời rạc 22 / 28 Dàn (3/6) + Chặn trên, chặn dưới: Ví dụ 2: Xét thứ tự (P(A), ⊂) Khi ∀A, B ∈ P(A) ta có: * Sup{A, B} = A ∪ B * Inf {A, B} = A ∩ B Ví dụ 3: Xét thứ tự (Un , |) Khi ∀a, b ∈ Un ta có: * Sup{a, b} = BCNN(a, b) (Bội chung nhỏ nhất) * Inf {a, b} = UCLN(a, b) (Ước chung lớn nhất) Khoa CNTT (ĐH GTVT TP.HCM) Toán rời rạc 23 / 28 Dàn (4/6) Định nghĩa - Dàn (Lattice): * Thứ tự (A, ≺) gọi dàn với ∀x, y ∈ A sup{x, y } inf {x, y } tồn * (P(A), ⊂) (Un , |) ví dụ dàn * Một cách trực quan thấy mối quan hệ "Thứ tự" - "Dàn" "Thứ tự toàn phần" sau: Thứ tự thơng thường Khoa CNTT (ĐH GTVT TP.HCM) Dàn Tốn rời rạc Thứ tự toàn phần 24 / 28 Dàn (5/6) Phần tử bù & Dàn bù: * Giả sử (A, ≺) dàn, lấy x ∈ A Khi ∃x ∈ A : Sup{x, x} = max phần tử x gọi bù x Inf {x, x} = * (A, ≺) gọi dàn bù nếu: ∀x ∈ A, ∃x Dàn phân phối: Khi phép Sup (hay ∨) Inf (∧) (hay ∧) có tính x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y ) ∧ (x ∨ z) phân phối Tức là: x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y ) ∨ (x ∧ z) * Chú ý: Các phép ∧ ∨ có sẵn tính kết hợp (tự chứng minh) Khoa CNTT (ĐH GTVT TP.HCM) Toán rời rạc 25 / 28 Dàn (6/6) Ví dụ: Các dàn (P(A), ⊂) (Un , |) dàn phân phối (bởi tính phân phối phép toán: (∪, ∩) (BCNN, UCLN)) Khoa CNTT (ĐH GTVT TP.HCM) Toán rời rạc 26 / 28 Thảo luận * Xét tập giá trị logic B = {0, 1} với phép toán ∧, ∨ ¬ Khi đó: + B có phải dàn khơng? + B có tính chất bù phân phối khơng? * Có liên hệ võ sĩ vô địch quyền anh (theo hạng: nặng, trung, nhẹ, ruồi, ) với khái niệm cực đại (max), cực tiểu (min), tối đại, hay tối thiểu không? Khoa CNTT (ĐH GTVT TP.HCM) Toán rời rạc 27 / 28 Bài tập Các tập chương tài liệu Toán rời rạc - GS Nguyễn Hữu Anh Khoa CNTT (ĐH GTVT TP.HCM) Toán rời rạc 28 / 28 ... không? Khoa CNTT (ĐH GTVT TP.HCM) Toán rời rạc 27 / 28 Bài tập Các tập chương tài liệu Toán rời rạc - GS Nguyễn Hữu Anh Khoa CNTT (ĐH GTVT TP.HCM) Toán rời rạc 28 / 28 ... GTVT TP.HCM) Tốn rời rạc 25 / 28 Dàn (6/6) Ví dụ: Các dàn (P(A), ⊂) (Un , |) dàn phân phối (bởi tính phân phối phép toán: (∪, ∩) (BCNN, UCLN)) Khoa CNTT (ĐH GTVT TP.HCM) Toán rời rạc 26 / 28 Thảo... đại - tối thiểu: M gọi tối đại A nếu: ∀x ∈ A, (M ≺ x) ⇒ x = M m gọi tối thiểu A nếu: ∀x ∈ A, (x ≺ m) ⇒ x = m Khoa CNTT (ĐH GTVT TP.HCM) Toán rời rạc 18 / 28 Quan hệ thứ tự (7/8) Tối thiểu - tối