TÀI LIỆU HỌC TOÁN THẦY QUANG ď pt loga

TÀI LIỆU HỌC TOÁN THẦY QUANG ď pt loga tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả cá...

PHƯƠNG TRÌNH TR LOGARIT Ví dụ 1: Giải phương trình: ( − ) [ ( )] = ( − ) Bài giải: Điều kiện: − >  >2 Lấy logarit số hai vế ta đuợc: log [( [ − 2) [ ( )] ] = log [9( − 2) ] log [9( − 2)] log ( − 2) = + log ( − 2)  [2 + log ( − 2)] log ( − 2) = + log ( − 2) (1) Đặt = log ( − 2) Khi Phương trình tr (1)có dạng: (2 + ) = +  − −2 =  → log ( − 2) = −1 log ( − 2) =  Vậy phương trình có nghiệm = , = 11 Ví dụ 2: Giải phương trình ình sau: www.thayquang.edu.vn Page ( ).[ ] = +[ ] = Bài giải: Điều kiện < ≠ Viết lại phương trình dạng: + log [log ]  [log ] − log Đặt = log =1 − = (1) , Khi (1) có dạng: −2 −1=0  = ± √5 → log  = ± √5 =2 ±√ Vậy phương trình có nghiệm: Điều kiện < =2 ±√ ≠ Viết lại phương trình dạng: log log (5 ) + [log  Đặt = log  +  =0 =1 = −2 + [log ] =1 ] = (1) Khi phương trình (1) có dạng: 1− + 1+ =1 log → log log =0 =1 = −2 −2 =0 www.thayquang.edu.vn Page  =1 =5 = Vậy phương trình có nghiệm = 1, =5 = Ví dụ 3: Giải phương trình: ( − ) ( − )= Bài giải: Viết lại phương trình dạng: log (3 − 1) log [2(3 − 1)] =  log (3 − 1) [1 + log (3 − 1)] = (1) Điều kiện − >  >0 Đặt = log (3 − 1), khí (1) có dạng: (1 + ) =  + −2 =  → log (3 − 1) = log (3 − 1) = −2    Vậy phương trình có nghiệm: = 1, = log Ví dụ 4: Giải phương trình: www.thayquang.edu.vn Page ( − − ) ( + − )= − − Bài giải: Điều kiện: −1 ≥ − √ − > 0 +√ −1>0 ≥1 −√ −1 Nhận xét +√ +1 =1→ −√ −1 = ( +√ − 1) Khi phương trình đựơc viết dạng: log ( +  log ( + √ − 1) − 1) log ( + √ log ( + − 1) = log ( + − 1) = log ( + √ − 1) − 1) Sử dụng phép biến đổi: log ( + − 1) = log log ( + − 1) log ( + − 1) = log log ( + − 1) Khi phương trình viết dạng: log log ( + √ Đặt = log ( + √ − 1) log log ( + √ − 1) = log ( + √ − 1) (1) − 1) Khi (1) có dạng: (log log − 1) =  Với = → log ( + √    +√ +√ −√ − 1) = −1=1 −1=1 −1=1 =1 Với log log − = → log log log ( + www.thayquang.edu.vn − 1) − = Page  log log ( + √  log ( + √    +√ − 1) = − 1) = log −1=3 +√ −1=3 −√ −1=3 = (3 +3 ) = 1, Vậy phương trình có nghiệm = (3 +3 + )] + ( − ) ) Ví dụ 5: Giải phương trình: [ ( ( + )− = Bài giải: Đặt = log( + 1), điều kiện ≥ Khi phương trình trở thành: ∆= ( Với = → log(  + = 10  = ±√99999 Với = −   log( +( + ≥ nên log( + 5) − − 5) + 20 =( + 1) ≥ log = =0 + 5) → =5 =− + 1) = → log( + 1) = − + 1) = =0 =0 Vậy phương trình có nghiệm = ±√99999 , Ví dụ 6: Giải phương trình: =0 [ ( − ) ]+ ( − )− = Bài giải: www.thayquang.edu.vn Page Điều kiện ( − 1) >  >0 − >0 >1 Biến đổi phương trình dạng: log  log ( Đặt − ) + log ( − log − ) log ( + log log ( − )−2=0 − )−2=0 = log ( − ) = log Khi phương trình trở thành: + − −2=0  ( − 1)( − 2) =  → log ( − ) = log =   = −1( ) =2 =4 = 2, Vậy phương trình có nghiệm =4 Ví dụ 7: Giải phương trình: + ( − + )+ − ( − + )= ( ) Bài giải: −4 +5>0 Điều kiện + log ( − + 5) ≥ 0 − log ( − + 5) ≥  − √29 ≤ Đặt −4 +5≤2  − − 27 ≤ ≤ + √29 = + log ( − + 5) = − log ( − + 5) điều kiện , ≥0 Khi phương trình chuyển thành: www.thayquang.edu.vn Page +2 =6 + =8   =6−2 (6 − ) + =8 =6−2 − 24 + 28 = =6−2  ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎢ ⎢ →⎢ ⎢ ⎢ ⎣  ( ( + log ( − + 5) = − log ( − + 5) = 2 + log ( − + 5) = 14 − log ( − + 5) = ) )   =1 =3  =2± −1 Vậy phương trình có nghiệm phân biệt Ví dụ 8: Giải phương trình: ( ) − ( )+ = Bài giải: Điều kiện: >0 Biến đổi phương trình dạng: (log ) − (2 + log www.thayquang.edu.vn ) log + log =0 Page Đặt = log , phương trình trở thành: − (2 + log ∆= (2 + log → ) + log ) − log =2 = log → =0 = (2 − log ) log = log log = log   Vậy phương trình có nghiệm = 1, Ví dụ 9: Giải phương trình: (log Điều kiện: >0  +1≥0 log Đặt = log Đặt = √ + 1, điều kiện ≤ = 100 ) + log +1=1 ≥ , phương trình chuyển thành: ≤ √2 → = +1 Khi phương trình chuyển thành hệ: =1− =1+ →  ( + )( − − = −( + ) + 1) =  Với = − , ta được: − −1=0 − √5 ⎡ = ⎢ ⎢ = + √5 ( ) ⎣ → log  =2 = − √5 √ www.thayquang.edu.vn Page Với − + = 0, ta được: + =0 →   Vậy phương trình có nghiệm =2 √ , = 1, = Ví dụ 10: Giải phương trình: ( ) +( ) − ( ) − − −2 −9 −9 = = Bài giải: Điều kiện: >0 Đặt = log , ta được: +  + 3 − Đặt − +2 =0 = 3, ta được: +3 − Xét phương trình bậc theo ta được: ∆=   + 4( −3 − (2 + ) =− −3 + (2 + ) = = = → − +2 + =0 − ) = (2 −2 → − 3=− 3= + ) −2 − ệ − −3 =  = ±√ → log = ±√ ±√  = 10 www.thayquang.edu.vn Page ±√ = 10 Vậy phương trình cho có nghiệm Ví dụ 11: CMR phương trình: Vậy phương trình có nghiệm ( + )= Bài giải: Điều kiện + > 0 >− (∗) Viết phương trình dạng: log (2 + 1) − = (2) Xét hàm số ( ) = log (2 + 1) − liên tục (− ; +∞) Ta có : (0) = − , (1) = log − = log → (0) (1) = − log < có nghiệm ∈ (0; 1) Ví dụ 12: Giải phương trình: ) +√ + = ) = Bài giải: ) Điều kiện >0 Vế trái phương trình hàm đồng biến (0; +∞) vế phải hàm hằng, phương trình có nghiệm nghiệm Nhận thấy với = 1thì: log + √2 + = Vậy phương trình có nghiệm ) Điều kiện =1 >0 Vế trái phương trình hàm nghịch biến (0; +∞)và vế phải hàm hằng, phương trình có nghiệm nghiệm Nhận thấy với = 1thì = Vậy phương trình có nghiệm www.thayquang.edu.vn =1 Page 10 Ví dụ 13: Giải phương trình: ( − )+ [ ( + )] = Bài giải: − > 0 +2>0 Điều kiện >2 Viết lại phương trình dạng: log (  log − 4) − log ( + 2) = − =3−  log ( − 2) = − Hàm số = log ( − 2) hàm đồng biến Hàm số =3− hàm nghịch biến Vậy phương trình có nghiệm nghiệm Nhận thấy = nghiệm phương trình Vậy phương trình có nghiệm =3 Ví dụ 14: Giải phương trình: ( ) +( − ) − + = ( ) Bài giải: Điều kiện >0 Đặt = log Khi phương trình (1) có dạng: + ( − 5) − + =  Với = → log  =2 =4 www.thayquang.edu.vn Page 11 Với = − → log =3− Hàm số = log hàm đồng biến Hàm số =3− hàm nghịch biến Vậy phương trình có nghiệm nghiệm Nhận thấy = nghiệm phương trình =2 Vậy phương trình có nghiệm Ví dụ 15: Giải phương trình: ( + )= Bài giải: >0 Điều kiện +3 Đặt = log → log (6 + ) =  >0 >0 = Phương trình chuyển dạng: (1) 6 +3 =2 3 +( ) =1 Hàm số = + ( ) hàm đồng biến, vế phải số Do phương trình (1) có nghiệm nghiệm Nhận thấy = −1 nghiệm phương trình Suy = −1là nghiệm phương trình (1) Suy log  = −1 = Kết luận: Vậy phương trình có nghiệm Ví dụ 16: Giải phương trình: www.thayquang.edu.vn √ ( − = − )= ( − − ) Page 12 Bài giải: − − > 0 −2 −3 > Điều kiện Viết lại phương trình dạng: log ( − − 2) = log (  log ( − − 2) = log ( Đặt = − − 3, (1) trở thành: log ( + 1) = log Lại đặt = log − − 3) − − 3) (1) (2) → = , phương trình (2) trở thành: log (4 + 1) = 4 +1=5  ( ) + ( ) = (3) Hám số = ( ) + ( ) hàm số nghịch biến Vế phải số, phương trình (3) có nghiệm nghiệm Nhận thấy = nghiệm phương trình (3) Suy Suy = →   = nghiệm phương trình −2 −3=4 −2 −7=0 = ± 2√2 thỏa mãn Vậy phương trình cho có nghiệm = ± 2√2 Ví dụ 17: Giải phương trình: + = ( ) Bài giải: Điều kiện Đặt = log >0 → =2 www.thayquang.edu.vn Page 13 Khi phương trình có dạng: (2 ) + = (2 ) 4 +3 =5 Chia vế phương trình cho ≠ ta được: ( ) +( ) =1 5 Vế trái phương trình hàm nghịch biến Vế phải phương trình hàm Do phương trình có nghiệm nghiệm Nhận thấy = nghiệm phương trình → = nghiệm Với = → log  =2 = thỏa mãn Vậy phương trình cho có nghiệm www.thayquang.edu.vn =4 Page 14 ... [log ] =1 ] = (1) Khi phương trình (1) có dạng: 1− + 1+ =1 log → log log =0 =1 = −2 −2 =0 www.thayquang.edu.vn Page  =1 =5 = Vậy phương trình có nghiệm = 1, =5 = Ví dụ 3: Giải phương trình: ( −... log (3 − 1) = −2    Vậy phương trình có nghiệm: = 1, = log Ví dụ 4: Giải phương trình: www.thayquang.edu.vn Page ( − − ) ( + − )= − − Bài giải: Điều kiện: −1 ≥ − √ − > 0 +√ −1>0 ≥1 −√ −1 Nhận... log ( + √    +√ +√ −√ − 1) = −1=1 −1=1 −1=1 =1 Với log log − = → log log log ( + www.thayquang.edu.vn − 1) − = Page  log log ( + √  log ( + √    +√ − 1) = − 1) = log −1=3 +√ −1=3