Chương 3 DÒNG CHẢY BAO

Chương DÒNG CHẢY BAO 3.1 NHẬN THỨC CƠ BẢN VỀ LỚP BIÊN 3.1.1 Khái niệm chung Một vật rắn đặt dòng chảy (ví dụ phẳng (H.4.1), mặt tiếp xúc với chất lỏng tốc độ chất lỏng không (điều kiện không trượt), xa bề mặt tốc độ dòng chảy tăng nhanh, hình thành khu vực chất lỏng gọi lớp biên bề mặt vật rắn Dòng chảy có tốc dộ V0 tiếp xúc với mặt phẳng, giảm tốc độ (khu vực gần phẳng), chất lỏng mặt thành phẳng có lực tiếp tuyến chống lại chuyển động chất lỏng, làm cho chất lỏng gần với thành rắn bị giảm tốc; lực đơn vị diện tích mặt là: u    y Hình 3.1 (3.1) Tại đầu lực lớn thay đổi tốc độ theo phương vng góc với lớn Song khu vực chảy tầng sát mặt phát triển làm cho thay đổi tốc độ giảm, lực tiếp tuyến giảm với dầy lên lớp biên  ( x) Vậy nói: lớp chất lỏng mặt vật rắn (tấm phẳng), dọc theo thành rắn dòng chất lỏng chảy tự phía ngồi có tốc độ V0 lớp biên mặt vật rắn Về lý thuyết, lớp biên dầy lên vô hạn vô hạn, song thực tế bị ngắn lại điều kiện cụ thể Hình 3.2 Phân phối tốc độ lớp biên tầng rối Hình 3.3 Dòng khí bao cánh máy bay LUDWTC PRANDTL (1904) Khi nghiên cứu dòng chảy ống, ta biết tốc độ chảy tăng từ không thành ống đến tốc độ lớn trục ống, dù chế độ chảy chảy tầng hay chảy rối, đồng thời phân bố tốc độ phụ thuộc số Reynolds, sử dụng số Reynolds để phân tích ảnh hưởng lực nhớt chất lỏng đến thay đổi tốc độ gần mặt thành rắn (H.3.1) phát triển lớp biên dọc theo phẳng bắt đầu khu vực chảy tầng, độ sang khu vực chảy rối Đối với  V  x phẳng, trơn nhẵn khu vực chảy tầng không vượt số Re x   105 tới 10  3.1.2 Định nghĩa chiều dày lớp biên Chiều dày lớp biên  thuật ngữ mang ý nghĩa vật lý, “là khoảng cách từ mặt thành rắn theo chiều vuông góc với mặt thành rắn (phương y) tới nơi có tốc độ 99% tốc độ dòng chảy tự dòng ngồi có tốc độ V coi dòng lý tưởng ( u  99%V hay u  0,99 )” V Hình 3.4 Tính chất dòng chảy nhớt, ổn định qua phẳng Thí nghiệm xác nhận: • chiều dày lớp biên  tăng  , x tăng;  , V giảm • chiều dầy lớp biên  giảm  , x giảm;  , V tăng 3.1.3 Chiều dày dịch chuyển  * “Chiều dày dịch chuyển  * khoảng cách mà đường dòng bị dịch chuyển tới hình thành lớp biên” (a) Hình 3.5 (a) xác định  * , (b) Phần tử chất lỏng biến dạng Thật xét biểu đồ phân phối tốc độ lớp biên (H.3.4(a)) Trong lớp biên, tốc độ điểm thua dòng ngồi ( u  V ), lưu lượng qua mặt cắt nhỏ thua lưu lượng với mặt cắt tính với tốc độ dòng ngồi V , tương đương với diện tích ABC Thể tích giảm chiều rộng đơn vị tích phân:   (V  u )dy (3.2) Nếu diện tích ABC diện tích ABED  *V chiều dầy dịch chuyển  * khoảng cách mà mặt có tốc độ V phải di chuyển dọc theo phương y để giảm lượng lưu lượng tương đương với hiệu thực lớp biên  V *   V  u  dy   0   dy  hay (3.3)  Hình 3.6 Xác định chiều dầy dịch chuyển  *  *   1  u V Do  * chiều dày lớp chất lỏng tưởng tượng có tốc độ v0 khối lượng lượng thiếu hụt thay đổi tốc độ lớp biên hay chiều dày tổn thất lưu lượng     * Vdy   udy Dòng chảy khơng nhớt vật thể  *  Hình 3.7 Minh họa chiều dày  * *   u V d y  V d y  u d y     *  0 0 0 0  V dy  (3.4) 3.1.4 Chiều dày động lượng  hay chiều dày tổn thất xung lượng Tương tự chiều dầy dịch chuyển, chiều dày động lượng chiều sâu dòng ngồi mà động lượng dòng chảy qua đơn vị chiều rộng thông qua độ sâu tương ứng với tốc độ V tương đương với động lượng thiếu hụt lớp biên, chiều dầy tưởng tượng có tốc độ V  V 2    u V  u  dy  u u 1   dy V  V   Đối với phẳng Blasius cho lời giải đủ áp dụng thực tế: Tại  x u *  1, 73  0,992 V V ta có   0, 664  (3.5)  x V x  x V 3.1.4 Chiều dầy động  ** Chiều dày động  ** tích phân (3.6) u u **   1    V   V     dy  (3.6) 3.2 Phương trình tích phân động lượng mặt cắt tổng quát lớp biên Xét mặt cắt dọc theo lớp biên đơn vị chiều rộng (Hình 4-31) giới hạn thể tích kiểm tra ABCD, mặt lớp biên đường dòng BC Lưu lượng qua CD lưu lượng qua AB (vì BC đường dòng) Sự thay đổi động lượng vào mặt kiểm tra dọc theo lớp biên theo phương x lực ma sát bề mặt vật rắn Dấu trừ vế phải lực ma sát ngược chiều với tốc độ chuyển động Lực ma sát đơn vị  số mà thay đổi theo x lớp biên dầy lên theo x, phương trình tích phân động lượng lực ma sát   QCD   udy  QAB   udy   0 u dy  0 v0 udy   Fs L Fs    dx  V 2 (3.7)  Hình 3.8 Mặt cắt dọc theo lớp biên    u u 1   dy  V  V V  Fs    Vu  u dy  V  (3.7) Để giải phương trình (3.7) cần biết   , song hai lại phụ thuộc vào phân phối tốc độ lớp biên, tốc độ lại phụ thuộc vào chất dòng chảy tầng hay rối 3.2.1 Đối với dòng chảy tầng Trong dòng chảy tầng ta có dạng phương trình phân phối tốc độ tiêu biểu là: u  y  y   A  B   V       2  y u u  y   y  y      1   dy    A  B    1   A  B    dy V V                0   du d  y VA  y   A 2By   V A  B       V   dy dy     y 0      y 0  (3.8) (3.9) Nếu A B xác định tích phân (3.8) xác định Thay (3.8) (3.9) vào (3.7) ta có lời giải 3.2.2 Đối với dòng chảy rối Thí nghiệm quy luật số mũ phân phối tốc độ phía ngồi lớp mỏng chảy tầng có dạng: n` u  y   V   (  n  11 ) (3.10) Theo Pandtl (Pơrantơ) n  , ta có Thay (3.11) vào (3.5)  u  y   V   (3.11) Tuy nhiên tìm  từ (3.11) vì: Do đó, ta sử dụng quan hệ: d  y 7   0 dy    y 0 0  0, 023V  Re  (3.12) m Phương trình (3.12) rút từ quan hệ: u  u y m  8,7 r  ur    đó: y   u  V ; Re  V   3.3 Phương trình lớp biên Prandtl (Pơrantơ) Phương trình lớp biên thể phương trình Navier-Stokes (Navie-stốc) với phương trình liên tục Trường hợp đơn giản trục x trùng với phương chảy, song song với mặt thành rắn, trục y vng góc với mặt thành rắn, bỏ qua ảnh hưởng độ cong dòng chảy ổn định hai chiều có mật độ  , độ nhớt  số trọng lượng dòng bỏ qua, phương trình chuyển động theo x là:   2u x  2u x  ux ux p ux  uy      x y  x y   x (3.13a) Phương trình theo phương y là:   uy  uy  u u p  u x y  uy y      x y  y  x y  (3.13b) Do chiều dày lớp biên - chiều dài thành rắn, bỏ qua đạo hàm bậc hai theo x so với đạo hàm bậc hai theo y, tức 2 2  x y Từ phương trình liên tục ta có: u x uy  0 x y (3.14) u x dy x y giả thiết uy y  ta có: Nếu xấp xỉ u y   u V0  x L   uy ( x,  )  V0    L uy mặt lớp biên y   ta có: uy   V0 L hay Kết thay đổi áp suất theo phương y vng góc với thành rắn tỷ lệ với   , L L p  hay áp suất số dọc theo phương vng góc với lớp biên, hay y V u V u V áp suất p thay đổi theo phương x p  px Ngồi có x ~ x ~ hay L x x y  2 u u V V  Đã biết uy ~ V0 u x x ~ uy x ~ có độ lớn x L L y L đủ nhỏ, lấy Phương trình cuối lớp biên dọc theo phương x (đối với chất lỏng không chịu nén) là: u y  u x  2u x dp  uy   u x y  dx y  x   u x  u y   y  x (3.15) (3.14) Phương trình áp dụng chung cho lớp biên tầng lớp biên rối Tuy nhiên mức độ rối lớn ta nên sử dụng phương trình dạng  u u     u x '2  ' '  (3.16) u x x  uy x      u u  p  u x   x y    y  y x y  x   việc bổ sung  u ' x cường độ rối tạo Nếu lớp biên chảy tầng phẳng có V0  C hệ phương trình là: Với điều kiện biên:  u  2u x u  uy  u x y y  x   u x  u y   y  x u x x,0   u y x,0    u x x, y     V0 Kết Bài giải Blasius (1908) cho uy Re x V0  u  x V (3.17) (3.14)  0.81 y  0, 664 V V2  0 x       0,332 Re    Cf   y x 2   y 0 Re x2 3,32 Cf  Re     Re x Khi: Áp lực lên phẳng có chiều rộng b là: L F  b    x  dx  1,328 V V2  bL  C  bL f 2 Re x 3.4 Dòng chẩy bao trụ tròn 3.4.1 Chất lỏng lý tưởng 3.4.1.1 Hàm dòng, tốc độ Hàm dòng   V0 y  m sin  r (3.18) Gọi hình trụ có đường kính d, bán kính a xác định thông qua điểm dừng (r=a) y  a sin  Tại mặt trụ sin    V0a sin   m (3.19) a Cho   mặt trụ V0a = m/a, m = V0a2 hay a  m / V0  a2  Hàm dòng   V0 y 1    r  Thế tốc độ:   V0 r cos   (3.20) m cos  r (3.21) Thành phần tốc độ  a2   a2  vr  V0 1   cos ; v  V0 1   sin   r   r  (3.22) Hình 3.9 Dòng chẩy bao trụ tròn Các điểm dừng điểm có v  Tại mặt trụ r = a, v  2V0 sin    0= 00  0= 1800; góc  = 900  = 2700 có giá trị v ( max)  2V0 3.4.1.2 Áp lực lên trụ Áp suất nén tác dụng lên phần tử diện tích ds = rdθ df = pds = p rdθ, thành phần lực theo trục x df = - p rdθcosθ (3.23) Tích phân cho tổng áp lực lên đơn vị chiều sâu trụ 2 f    pr cos  d Hình 3.10(a ) Đường dòng bao trụ (lý tưởng) Sử dụng hệ số áp suất: Cd  f V02 D 2 Cd    , Cp  p  p0 V02   2 p  pr cos  d cos    C p   d 2  V0 D V0  2   Vì thành phần thứ hai tích phân khơng, 2  Cd   C p cos  d Hình 3.10(b) Sơ đồ tính áp lực lên trụ (3.24) Hình 3.11 Quan hệ thành phần tọa độ xoy tọa độ cực 3.4.2 Chất lỏng thực- có nhớt 3.4.2.1 Khái niệm chung Lý thuyết dòng cho tổng lực lên vật dòng chẩy khơng (Ft=0), song chất lỏng thực dù nhớt nhỏ (  , song  0) thí nghiệm chứng minh Ft  Trong thực tế lực chất lỏng tác dụng lên vật gồm hai thành phần: lực áp suất lực tính nhớt dòng chẩy Ft = Fp + Fτ đó: ˆ ˆ F    tds (3.25) Fp   pnds S S A-diện tích chịu lực vật, nˆ , tˆ -là véc tơ đơn vị theo phương pháp tuyến tiếp tuyến với mặt vật thể Các vật thể khơng có dạng đường dòng (hình trụ, cầu, chữ nhật,…) tạo xốy sau vật Fp  Ft Các vật dạng đường dòng khơng tạo xốy sau vật, lực nhớt F chiếm ưu Phân tích thứ nguyên cho hệ số áp lực dòng chẩy lên vật hình cầu đặt dòng chẩy có đường kính d là: CD  CD  Re  CD  Fp  Fp d4  V     Vd V tỷ số lực quán tính V lực nhớt , đại lượng không đơn vị Re   D V A (3.26) Dòng chẩy bao vật (hình trụ, hình cầu, hình chữ nhật,…) có tượng tách dòng khỏi bề mặt vật xoáy sau vật Áp suất sau vật vùng xoáy nhỏ với áp lực mặt vào trụ phía trước trụ Nói chung loại vật thể này: 1  Fp  F , Fp  CD A  V  2  (3.27) Hệ số áp lực phụ thuộc số Reynolds (Re) vật, nghĩa có hai chế độ phân biệt chế độ tách lớp biên tầng tách lớp biên rối Vùng chuyển tiếp từ tầng sang rối tương tự dòng chẩy phẳng (a)Chế độ tách biên tầng (đối với hình cầu có mặt nhẵn) Re(khơng tách dòng) < Re < Rephân giới  5.105  2.106 Hình 3.12 (a) Chế độ tách biên tầng Hình 3.12 (b)Chế độ tách biên rối Chế độ tách biên rối Re > Rephân giới Đối với hình trụ, Rephân giới  5.105  2.106 CD  Fp / L V d (3.28) Hình 3.13 Điểm tách dòng cố định Đối với phẳng hay đĩa có điểm tách dòng xác định, CD  1.2 Hình 3.14 Tách dòng chẩy bao quanh vật đầu tù,phía sau thn nhỏ;bao mặt cong 3.4.2.1 Tách dòng chẩy lớp biên bao trụ Xét dòng chẩy dọc theo mặt vật thể với áp suất tăng dọc theo chiều chuyển động (do chệch hướng đường dòng) Lớp biên hình thành vật thể ảnh hưởng đến dòng tượng tách lớp biên khỏi mặt trụ tạo ra, gradient áp suất ngược nơi dòng chẩy có xu chẩy chậm lại Điều giải thích nhờ phương trình Béc-nu-li: p1 u12 p u2     g 2g  g 2g Trong trường hợp không nhớt (năng lượng không đổi), u1  u2  p1  p2 Các phần tử chất lỏng chuyển động chậm lại đường dòng bị chệch hướng (gần mặt vật thể), diện tích mặt cắt tăng lên, tốc độ giảm (theo phương trình liên tục) Biết chất lỏng không nhớt     khơng có lớp biên, mơ hình đường dòng rút từ dòng  trường tốc độ  phân phối áp suất Thực tế dòng chẩy có nhớt, mặt vật thể: V y 0 y 0 Để giải vấn đề lớp biên tách dòng, trước hết xét phương trình lớp biên Prandtl đề nghị Trong dòng chẩy hai chiều phương trình lớp biên gồm: Phương trình liên tục: u x u y  0 x x (3.29) Phương trình chuyển động theo trục x: u x u x  2u x dp ux  uy   x x  dx y (3.30) Phương trình có lời giải xác cho phẳng (tác giả: Blasius) phương pháp gần (tác giả :Karman-Pohlhausen) Không bàn đến lời giải, ta quan tâm đến kết luận rút ra: “khi lớp biên phát triển hệ số áp lực nhớt giảm” Điều ma sát chất lỏng tăng lên so với đầu làm nhiều lớp chất lỏng chẩy chậm lại Xét hai mặt cắt (1) (2) có chiều dày lớp biên 1  Ứng suất tiếp (2) nhỏ (1) vì: u x y  (2) u x y (1) Biết C f ( x)  Rex   , ứng suất tiếp mặt  0?, khác tính chất vật lý vấn đề gì? Hình 3.15 So sánh chiều dầy lớp biên mặt cắt (1) và(2) phẳng Câu trả lời hình dạng vật thể Đối với phẳng C f  Rex   hay x   , điều khơng thể, song nhờ vào tăng gradient áp suất dẫn đến C f  dễ dàng, chẳng hạn dòng thực bao hình trụ (hình 2.9), ngồi lớp biên dòng chẩy theo quy luật dòng thế, coi dòng lý tưởng Trong dòng lý tưởng điểm dừng A C Dọc theo mặt trụ khu vực A đến B  dp  A đến D dòng tăng tốc    (x phương tiếp tuyến dọc theo mặt trụ) Khu vực từ B đến C  dx   dp  D đến C khu vực gradient áp suất ngược    Tại θ ≈ 900 gradien áp suất ngược xẩy  dx  p p 0  , trạng thái chuyển từ lớp biên tầng sang lớp biên rối song chưa tách dòng (Hình x x 3.16) Hình 3.16 Chuyển từ lớp biên tầng sang lớp biên rối Hình 3.17a,b Hệ số áp suất song chưa tách dòng dòng dòng thực 0 Đối với 90 < θ