SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THPT LÝ THÁI TỔ Câu HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2015 - 2016 Mơn: Tốn – Lớp 10 – THPT Lời giải sơ lược Điểm 2,5 Hoành độ giao điểm d (P) nghiệm phương trình: x − x + = x + m ⇔ x − 3x + − m = (1) 0,5 Để d cắt (P) hai điểm phân biệt A, B ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ = − 4(2 − m) > ⇔ 4m + > ⇔ m > −1/ (*) Với điều kiện (*), gọi hai giao điểm A( x1 ; x1 + m), B ( x2 ; x2 + m) , x1 , x2 nghiệm 1,0 (1) Theo định lý Viet ta có: x1 + x2 = 3, x1 x2 = − m Ta có: OA2 + OB = 82 ⇔ x12 + ( x1 + m ) + x22 + ( x2 + m ) = 82 2 ⇔ ( x12 + x22 ) + 2m ( x1 + x2 ) + 2m = 82 ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 + m ( x1 + x2 ) + m = 41 m = ⇔ − 2(2 − m) + 3m + m = 41 ⇔ m + 5m − 36 = m = −9 Đối chiếu điều kiện (*) ta m = giá trị cần tìm 2.1 ĐKXĐ: x ≤ −2 ∨ x ≥ −1 Ta có: − x − x + = − (2 x − 1) + ≤ − < với x ∈ ¡ , nên 0,5 0,5 1,0 0,5 BPT ⇔ − x + x + < − x − x + ⇔ + x − x + < x + x + ⇔ x − x + + x − x + + < x + 3x + ⇔ x − x + + < x x > x > x > −1 + 13 ⇔ ⇔ ⇔ −1 + 13 −1 + 13 ⇔ x > 2 ∨x> x − x +1 < 4x 3 x + x − > x < 2 −1 + 13 ; +∞ ÷ Vậy BPT có tập nghiệm S = ÷ 2.2 ĐKXĐ: x ≥ −7 / Đặt: x − = t ⇒ x = t + t ≥ −4 / PT trở thành: ⇔ 3(t + 6) + = 5t + ⇔ 4(3t + 25) = (5 t + 4) 0,5 1,0 0,25 t ≥ −4 / t ≥ −4 / ⇔ ⇔ 2 12t − 25t − 40t + 84 = (t − 2)(12t − t − 42) = t ≥ −4 / t = ⇔ ± 2017 ⇔ + 2017 t= t = ∨ t = 24 24 Với t = ⇒ x = 14 0,5 + 2017 + 2017 ⇒ x = + Với t = ÷ ÷ 24 24 0,25 + 2017 Vậy phương trình có tập nghiệm là: S = 14; + ÷ ÷ 24 2.3 1,0 2 x = a + b x + y = a Đặt Khi đó: 2 2 2 x − y = b 2( x + y ) = ( x + y ) + ( x − y ) = a + b a + b + 2ab = 2ab = − (a + b) 2ab = − (a + b) ⇔ ⇔ HPT trở thành: 2 a + b = (a + b) − 2ab = (a + b) + (a + b) − 12 = 2ab = − (a + b) a + b = (thoả mãn) ab = 11/ (loại) ⇔ ⇔ ∨ a + b = ∨ a + b = −4 ab = a + b = −4 a + b = a = a = ⇔ ∨ * ab = b = b = a = x + y = x = / ⇒ ⇔ Với b = x − y = y = 1/ a = x + y = x = / ⇒ ⇔ Với b = x − y = y = −1/ 0,5 0,5 Vậy hệ có tập nghiệm là: S = ; ÷, ; − ÷ 2 2 3.1 1,0 B A Gọi E trung điểm đoạn DH Khi ABME hình bình hành suy ME ⊥ AD nên E trực tâm tam giác ADM suy AE ⊥ DM Mà AE//BM nên DM ⊥ BM H M E uuuur 12 D 22 14 C Phương trình đường thẳng BM qua M ; ÷ nhận DM = ; ÷ làm VTPT là: 5 5 12 22 14 x − ÷+ y − ÷ = ⇔ x + y − 16 = 5 5 5 3 x + y − 16 = x = ⇔ ⇒ B (4; 4) Toạ độ B nghiệm hệ: x − y + = y = Vậy B (4; 4) 3.2 0,5 0,5 1,0 BPT viết lại sau: x − x ( cos B + cos C ) + − cos A ≥ (*) B +C B −C A Xét ∆ ' = ( cos B + cos C ) − ( − cos A ) = cos ÷cos ÷− 4sin B+C π A = − Do A, B, C ba góc tam giác nên A + B + C = π ⇒ 2 2 0,5 0.5 A B+C ⇒ cos ÷ = sin Vì ∆ ' = 4sin A A B −C B −C A cos = 4sin cos ÷− 4sin ÷− ÷ 2 2 = −4sin A B −C sin ÷ ≤ 0, ∀A, B, C Do Bpt (*) nghiệm với giá trị thực x 1,5 Đặt P = − sin10 cos100 1 cos100 − sin100 ÷ cos10 − sin10 2 Ta có: P = = 0 sin10 cos10 sin 200 2sin(300 − 100 ) 4sin 200 = = =4 sin 20 sin 20 Với số thực dương a, b, c từ giả thiết ta có: abc = ab + bc + ca Khi đó: a2 a3 a3 a3 = = = a + bc a + abc a + ab + bc + ca (a + c )(a + b) Sử dụng bất đẳng thức AM-GM (cơsi) ta có: 1,0 0,5 1,0 0,5 a3 a + c a + b 3a a3 4a − b − c a2 4a − b − c (1) + + ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ (a + c)(a + b) 8 (a + c)(a + b) a + bc b2 4b − a − c c2 4c − a − b (2); (3) ≥ ≥ b + ac c + ab a2 b2 c2 a +b+c Cộng vế với vế (1), (2), (3) ta được: (đpcm) + + ≥ a + bc b + ac c + ab Dấu đẳng thức xảy a = b = c = Tương tự: Hướng dẫn chấm trình bày sơ lược cách giải Bài làm học sinh tiết, lập luận chặt chẽ, tính tốn xác tính điểm tối đa Với cách giải khác đáp án, tổ chấm trao đổi thống điểm chi tiết không vượt số điểm dành cho phần Mọi vấn đề phát sinh trình chấm phải trao đổi tổ chấm cho điểm theo thống tổ Điểm toàn tổng số điểm phần chấm, khơng làm tròn điểm 0,5 ... (*) nghiệm với giá trị thực x 1,5 Đặt P = − sin10 cos100 1 cos100 − sin100 ÷ cos10 − sin10 2 Ta có: P = = 0 sin10 cos10 sin 200 2sin(300 − 100 ) 4sin 200 = = =4 sin 20 sin 20 Với số thực... Bài làm học sinh tiết, lập luận chặt chẽ, tính tốn xác tính điểm tối đa Với cách giải khác đáp án, tổ chấm trao đổi thống điểm chi tiết không vượt số điểm dành cho phần Mọi vấn đề phát sinh q trình