Đang tải... (xem toàn văn)
Tập hợp các đề thi học sinh giỏi môn toán học lớp 9 có đáp án giúp các thầy cô và các em học sinh yêu thích môn hóa học ôn tập đạt được thành tích cao trong kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh.Tập hợp các đề thi học sinh giỏi môn toán học lớp 9 có đáp án giúp các thầy cô và các em học sinh yêu thích môn hóa học ôn tập đạt được thành tích cao trong kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh.
Tập hợp đề thi học sinh giỏi mơn tốn học lớp có đáp án giúp thầy em học sinh u thích mơn hóa học ơn tập đạt thành tích cao kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH OAI TRƯỜNG THCS CAO DƯƠNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP Mơn: Tốn Năm học: 2015-2016 Thời gian làm 150 phút khơng kể thời gian giao đề 1.a) Rút gọn biểu thức A = Câu 1: (6,0 điểm) x −9 x + x +1 − − x −5 x +6 x − 3− x b) Cho x, y, z thoả mãn: xy + yz + xz = Hãy tính giá trị biểu thức: A= x (1 + y )(1 + z ) (1 + z )(1 + x ) (1 + x )(1 + y ) + y + z (1 + x ) (1 + y ) (1 + z ) 2.Cho n số ngun dương n lẻ CMR: [( 46) n ] + 296.13 n 1947 Câu 2: (4 điểm) Giải phương trình x − 3x + + x + = x − + x + x − b ) Cho a, b, c số đơi khác thoả mãn: a b c + + =0 b-c c-a a-b a b c + + =0 Chứng minh rằng: 2 (b - c) (c - a) (a - b) Câu 3: (3 điểm) a) Tìm nghiệm ngun phương trình : 2x6 + y2 –2 x3y = 320 b) Cho x, y, z số dương thoả mãn Chứng minh rằng: 1 + + =6 x+ y y+z z+x 1 + + ≤ 3x + y + z 3x + y + 3z x + y + 3z Câu 4: (6 điểm) Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R Gọi M điểm thuộc đường tròn tâm O khác A,B.Các tiếp tuyến đường tròn tâm O A M cắt E Vẽ MP vng góc với AB(P∈ AB), vẽ MQ vng góc với AE ( Q∈ AE) 1.Chứng minh rằng: Bốn điểm A,E,M,O thuộc đường tròn tứ giác APMQ hình chữ nhật Gọi I trung điểm PQ Chứng minh O,I,E thẳng hàng Gọi K giao điểm EB MP Chứng minh ∆EAO đồng dạng với ∆ MPB suy K trung điểm MP Đặt AP = x Tính MP theo x R.Tìm vị trí điểm M đường tròn (O) để hình chữ nhật APMQ có diện tích lớn Câu 5: (1điểm) Tìm nghiệm ngun dương phương trình: xy2 + 2xy – 243y + x = Hết -(Cán coi thi khơng giải thích thêm) Câu Câu ( đ) 1.( 4đ) 1.a) Rút gọn biểu thức A = a) (2đ) Đáp án Điểm x −9 x + x +1 − − x −5 x +6 x − 3− x ĐKXĐ: x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 0,25đ x −9 x + x +1 A= − + x DẪN − CHẤM x − ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP x −TẠO xHƯỚNG −3 PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO 0,5đ9 THANH OAI Mơn: Tốn x − − x + + 2x − x − TRƯỜNG THCS CAO2DƯƠNG ( )( ( = = x −2 ) )( x− x −2 ( ( = ( )( x + 1) ( x − 2) ( = x +1 x −3 x −2 x −3 x −3 Năm học: 2015-2016 ) 0,25đ ) 0,25đ ) x − 3) x −2 0,5đ 0,25đ b) Cho x, y, z thoả mãn: xy + yz + xz = Hãy tính: b) ( 2đ) A= x (1 + y )(1 + z ) (1 + z )(1 + x ) (1 + x )(1 + y ) + y + z (1 + x ) (1 + y ) (1 + z ) Từ: xy + yz + xz = ⇔ + x2 = xy + yz + xz + x2 = y(x + z) + x(x + z) = (x + z)(x + y) Tương tự: + y2 = xy + yz +xz +y2 = y.(x+ y) +z (x +y) = ( x+ y).(y+z) 0,25đ 0,25đ 0,25đ + z2 = xy + yz + xz + z2 =x ( y + z)+ z (y + z) = ( y +z) ( x +z) A = x (1 + y )(1 + z ) + y (1 + z )(1 + x ) + z (1 + x ).(1 + y ) (1 + x ) (1 + y ) (1 + z ) 2 2 2 2 0,25đ ( x + y )( y + z )( y + z )( x + z ) + y ( y + z )( x + z )( x + z )( x + y ) ( x + z )( x + y ) ( x + y )( y + z ) ( x + z )( x + y )( x + y )( y + z ) + z ( y + z )( x + z ) I 2 = x ( y + z ) + y ( x + z ) + z ( x + y ) M = = x.( y + z ) + y.( x + z ) + z.( x + y ) = xy + xz + xy + yz + xz + yz = 0,25đ = x n n n n n Ta có: 46 + 296.13 = 46 - 13 + 297.13 = 46n - 13n + 9.33.13n = (46-13).(…) + 9.33.13n B O (2 đ) K P 0,25đ 0,25đ Q 0,25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ E I x A = 33 (…) + 9.33.13n 33 Lại có: 46n + 296.13n = 46n + 13n +295.13n = (46n +13n) + 5.59.13n (46+13) (…) + 5.59.13n 0.25đ = 0.25đ Cao Dương ngày 20 tháng 10 năm 2015 Người đề DUYỆT CỦA BGH PHỊNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS BÍCH HỊA ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2015-2016 Mơn thi: Tốn Thời gian: 150 phút Bài : (5,0 điểm) x+ y x− y : 1 + x + y + xy + Cho biểu thứcP = − xy − xy + xy a)Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị P x = 2+ c) Tìm giá trị lớn P Bài 2: (4,0 điểm) a) Giải phương trình: x + x − + x − x − = b) Tìm số tự nhiên n ≥ cho 1! + 2! + 3! + 4! + … + n! số phương Bài 3: (4,0 điểm) a) Cho x.y > x + y = Chứng minh rằng: ( ) x + y + ≥ xy b) Chứng minh bất đẳng thức sau: + + + + + 30 + 30 + 30 + 30 + 30 < Bài 4: (5,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) đường thẳng xy khơng giao Từ điểm M tùy ý xy kẻ hai tiếp tuyến MP MQ với đường tròn (O), P, Q tiếp điểm Qua O kẻ OH vng góc với xy, dây PQ cắt OH I, cắt OM K Chứng minh: a) OI.OH = OK.OM = R2 b) PQ ln ln qua điểm cố định điểm M thay đổi xy Bài 5: (2,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A, đường cao AD, trực tâm H Tính độ dài AD biết AH = 14cm; BH = CH = 30cm -Hết - ĐÁP ÁN- THANG ĐIỂM Bài Bài (5điểm) Nội dung Điểm 0,5 a)ĐKXĐ: x ≥ 0; y ≥ 0; xy ≠ x+ y P = − xy ( + )( x− y : 1 + x + y + xy − xy + xy ) ( )( ) x + y + xy + x − y − xy − xy + x + y + xy : − xy − xy x = = x +1 P= b) x = ( 2+ ) = ( ) ( 2− = ) 1,5 0,5 −1 ; x = −1 1,0 −1 3+2 P= = 13 − +1 c) P = 0,5 0,5 x x +1 ≤ =1 x +1 x +1 (Dấu ‘=’ xảy x = y ≠ 1) 0,5 Vậy Max P = x = y ≠ 1, y≥ Bài (4điểm) 0,25 a) ĐKXĐ: x ≥ Nhân vế với ta được: ( 2x + + 2x − ) ó 2x + + 2x − + ó 2x + = + ( 2x + − 2x − ) =2 2x + − 2x − = 2 0,5 0,25 0,5 óx = Bài (4điểm) 0,5 (TMĐK) b)- Với n = 1! =1= 12 số phương - Với n = 1!+2! = 1+1.2 = khơng số phương - Với n = 1! + 2! + 3! =1 + 1.2 + 1.2.3 =9 = 32 số phương - Với n ≥ 1! + 2! + 3! + 4! =1 + 1.2 + 1.2.3 +1.2.3.4 = 33 5!; 6!; 7!;…; n! có tận Do : 1! + 2! + 3! + 4! + … + n! có tận nên khơng số phương Vậy có hai số tự nhiên thỏa mãn n = 1; n = xy > ⇒ x, y > a) Từ giả thiết x + y = > Ta có: 1 = x + y ≥ xy ⇒ ≥ xy ⇒ ≥ 4(1) xy Lại có: ( ) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 2 x + y = 4.(12 + 12 ).( x + y ) ≥ 4.( x + y ) = (12 + 12 ).( x + y ) ≥ ( x + y ) = 4 Suy ra: 8.(x + y ) ≥ (2) 0,5 Từ (1) (2) suy ra: 8.( x + y ) + ≥ + = xy Ta có đpcm b) Vì 6< => 30 < nên 6+ 6+ 6+ 6+ < 6+ 6+ 6+ 6+3 = 30 + 30 + 30 + 30 + 30 < 30 + 30 + 30 + 30 + = Cộng vế ta suy điều phải chứng minh 0,5 0,5 0,5 0,5 Bài (5điểm) 0,5 O P I K Q x Câu (2điểm) M y H a) Δ OMH đồng dạng với Δ OIK (g-g), ta có: OM OH = suy OI.OH = OM.OK (1) OI OK Tam giác OPM vng P mà PK ⊥ OM nên: 1,0 R2 =OP2 = OK.OM (2) Từ (1) (2) suy ra: OI.OH = OK.OM = R2 1,0 0,5 R2 b)Từ câu a) suy OI= OH 1,0 Do R khơng đổi, OH khơng đổi nên OI khơng đổi, điểm I cố định Vậy điểm M thay đổi xy dây cung PQ ln ln qua điểm I cố định Gọi E điểm đối xứng với H qua BC Ta có BHCE hình thoi, ΔABE vng B nên BE2 = ED.EA Đặt DE =x Có hai trường hợp: TH1: BAˆ C < 90 A ta có:x(2x+ 14) = 302 Giải phương trình ta x =18 thỏa mãn Từ tính AD=32cm H 1,0 B D C x E 0,5 0,75 TH2: BAˆ C > 90 Ta có x(2x-14) = 302 Giải phương trình ta được: x= 25 thỏa mãn Từ tính AD = 11cm 0,75 H A B C x x D E Phòng GD huyện Thanh Oai Trường THCS Bình Minh Đề thi chọn học sinh giỏi lớp năm học 2015- 2016 Thời gian làm 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Bài 1: (6đ) a Cho biểu thức: x x P = + : − ÷ ÷ ÷ ÷ x +1 x −1 x x + x − x −1 1.Rút gon P 2.Tính P x=7+2 Tìm giá trị nhỏ P x>1 b Chứng minh rằng: Với n ∈ N Ta có 33n +3 − 26n − 27 M 169 Bài 2:(4đ) a.Giải phương trình: x + + 3x + = x + + x + b.Cho a,b,c ≠ a3b3+ b3c3 + c3a3 =3a2b2c2 a b c Tính A = 1 + ÷1 + ÷1 + ÷ b c a Bài 3:(3đ) a.Tìm nghiệm ngun phương trình (x+2)4 _ x4 = y3 2 1 1 b Cho x,y>0 x+y=1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A= x + ÷ + y + ÷ x y Bài 4:(6đ) Cho đường tròn tâm O bán kính R, từ điểm S ngồi đường tròn vẽ tiếp tuyến SA.SB ( A, B tiếp điểm) Kẻ đường kính AC (O), tiếp tuyến C cắt AB E Chứng minh: a) Bốn điểm A,O,S,B thuộc đường tròn b) AC2 = AB.AE c) SO // CB d) OE vng góc với SC Bài 5: (1đ) Tìm a,b số ngun dương cho: a + b2 chia hết cho a2b-1 Đáp án + biểu điểm Bài 1: a) (4đ) 1.(2đ) Tìm ĐK: x ≥ 0; x ≠ , 0,25đ P= x +1+ x x : − ÷ ÷ x +1 x − ( x − 1)( x + 1) 0,5đ P= x + x +1 x +1− x : x +1 ( x − 1)( x + 1) 0,5đ P= x + x + ( x − 1)( x + 1) x +1 ( x − 1)2 0,5đ P= x + x +1 x −1 0,25đ (1đ) Ta có x= + = ( + 1) ⇒ x = + Thay vào biểu thức ta có P = Ta có P = P= + + +1+1 + 6 + = = +1−1 x + x +1 3 = x +2+ = x −1 + +3 x −1 x −1 x −1 Do x>1 ⇒ x − > Áp dụng bất đẳng thức Cơ Si cho số dương ta có P ≥ + Dấu “ =” xảy x= (1+ )2 Vậy Min P= + x= (1+ ) 0.5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ b Đặt A= 33n+3 - 26n – 27 = 27.27n – 26n - 27 =27.(27n – 1) -26n = 27(27-1)(27n-1 + 27n-2 +…+27+1) - 26n =26( 27n+27n-1+27n-2+…+27 – n) n n −1 n −2 =26 (27 − 1) + (27 − 1) + (27 − 1) + + (27 − 1) =26.bội số của26 M169(đpcm) Bài 2:(4đ) a) (2đ) −1 ĐK: x ≥ Biến đổi: 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ ⇔ x + − x + = x + − 3x + Giả sử vế phương trình dấu, bình phương vế ta (4 x + 5)( x + 3) = (2 x + 7)(3 x + 1) 0,5đ 0,5đ 0,25đ ⇔ x + 17 x + 15 = x + 23x + ⇔ x + x − = ⇔ ( x + 4)( x − 1) = 0,5đ x = −4loai ⇒ x =1 b)(2đ) Đặt ab=x;bc=y;ca=z Ta có x3 + y3 + z3 = 3xyz Biến đổi ta được: ( x + y + z ) ( x − y ) + ( y − z ) + ( z − x) = x + y + z = ⇒ x = y = z • Nếu x+y+z=0 ⇒ ab + bc + ca = ⇒ • Nếu x=y=z ⇒ a=b=c ⇒ A=8 A=-1 0,75đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ Bài 3: (3điểm) a 1,5d) Giải: (x+2)4 –x4 =y3 ⇔ x4 +8x3 +24x2 + 32x + 16 –x4 = y3 ⇔ 8x3+24x2 +32x +16 =y3 Vì 12x2 + 22x +11 = 11(x+1)2 + x2 >0 12x2+ 26x +15 = 11(x+1)2 + (x+2)2>0 Ta có : (8x3 +24x2 + 32x +16) - (12x2 + 22x +11) < y3 < (8x3 +24x2 + 32x +16) + ( 12x2+ 26x +15) ⇔ (2x+1)3 OE // O/F b) Góc EOB= Góc FO’D (góc đồng vị) => góc EAO = góc 0,5 đ FCO’ Do MA // FN, mà EB MA => EB FN Hay góc ENF = 900 Tứ giác MENF có , nên MENF hình chữ nhật Gọi I giao điểm MN EF; H giao điểm MN 0,5 đ PHỊNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HỐ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2013-2014 MƠN THI: TỐN NgàyIFN thi: =28/10/2013 nhật, nên góc góc INF Thời gian:/ 150 phút ( Khơng kể thời gian giao đề) AD Vì MENF hình chữ Mặt khác, đường tròn (O ):góc IFN= góc FND = ½ sđ cung FC =>góc FDC = góc FDC Suy đồng dạng (g – g) => góc NHC= góc DFC = 900 hay MN AD 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ c) 0,5 đ Do MENF hình chữ nhật, nên góc MFE = FEN Trong đường tròn (O) có: góc FEN = góc EAB =1/2 sđ cung EB 0,5 đ =>gócMEF = EAB Suy đồng dạng (g – g) 0,5 =>hay ME.MA = MF.MD (Đề thi có bài, gồm 01 trang) Bài 1: (4,0 điểm) x+2 x x −1 + + Cho biểu thức: P = Với x > 0, x ≠ ÷ ÷: x x − x + x + 1 − x a Rút gọn biểu thức P ĐỀ CHÍNH THỨC b Tìm x để P = c So sánh: P 2P Bài 2: (4,0 điểm) a Tính giá trị biểu thức: A = 7−4 + 4−2 b Chứng minh a, b, c ba số thỏa mãn a + b + c = 2013 1 1 + + = ba số a, b, c phải có số 2013 a b c 2013 Bài 3: (4,0 điểm) a Giải phương trình: x − x = x + − 30 b Cho a, b, c > Tìm giá trị nhỏ biểu thức: ab + bc + ca (a + b + c )3 P= + abc a + b2 + c2 Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vng A, AH ⊥ BC, HE ⊥ AB, HF ⊥ AC ( H ∈ BC, E ∈ AB, F ∈ AC) a Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC; BH = BC.cos2B AB3 BE b Chứng minh rằng: = AC CF c Chứng minh rằng: BC = CF + BE d Cho BC = 2a Tìm giá trị lớn diện tích tứ giác AEHF Bài 5: (2,0 điểm) Chứng minh với k số ngun 2016k + khơng phải lập phương số ngun Hết Họ tên thí sinh: Chữ kí giám thị:1: Số báo danh: Chữ kí giám thị 2: Giám thị khơng giải thích thêm PHỊNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HỐ HƯỚNG DẪN THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2013-2014 MƠN : TỐN Hướng dẫn chấm có 03 trang Bài I u cầu chung: Học sinh giải cách khác cho điểm tối đa tương ứng Bài hình học sinh khơng vẽ hình vẽ hình sai khơng cho điểm II u cầu cụ thể: Nội dung cần đạt Điểm a (2,0đ)Ta có: x + + x − x − x − x −1 x −1 P = ÷ 1,0đ ÷: ( x − 1)( x + x + 1) x − x +1 2 = ( x − 1)( x + x + 1) x − x + x + b.(1,5đ) 2 P= ⇔ = ⇔ x+ x −6 = x + x +1 (4điểm) ⇔ x − ( x + 3) = 1,0đ ⇔ x = ( x + > ) ⇔ x = ( Thỏa mãn điều kiện) Vậy x = c (0,5đ) 0.25đ 0,25đ 0.25đ = ( ) 0,5đ 0,25đ * Do x + x + = x + ÷ + > nên P > 2 * Với x > x + x > nên x + x + > 1 2p + = (là số ngun tố) 4p + = 13 số ngun tố; 1,5 2) Ta có: 2( x + y ) + = xy ⇔ xy − x − y = ⇔ y (3 x − 2) − (3 x − 2) = + ⇔ (3 x − 2)(3 y − 2) = 19 3 Do x, y ngun dương nên x − ≥ 1; y − ≥ mà 19 = 1.19 = 19.1 3 x − = (I) 3 y − = 19 nên ta có khả sau: ; 3x − = 19 (II) 3 y − = Giải hệ phương trình trên, ta đươc nghiêm ngun phương trình (x; y) ∈ { (1; 7); (7; 1)} 1,5 Câu (4,0 điểm): x + x ≥ ⇔ 1) A xác định 2 x + x + x ≠ 0; x − x + x ≠ x + x ≥ ⇔ x ≤ −2; x ≥ x + x + x ≠ 0; x − x + x ≠ ⇔ x ≠ Vậy A xác định ⇔ x ≤ −2 x > 2) A = 2,0 ( x − x2 + x )2 − ( x + x2 + x )2 ( x − x + x )( x + x + x ) −4 x x + x A= = x2 + x −2 x 2,0 Câu (4,0 điểm): (x − 1)3 + x + (x + 1) = (x + 2)3 1) ⇔ x3 - 3x2 + 3x - + x3 + x3 + 3x2 + 3x + = x3 + 6x2 + 12x + ⇔ x3 - 3x2 - 3x - = ⇔ x3 - - 3x2 - 3x - = ⇔ (x-1)(x2 + x + 1) - 3(x2 + x + 1) = ⇔ (x2 + x + 1)(x - 4) = 2,0 2) Cách 1: 1+ x − x2 = x + − x ( ) ⇔ 1 + ( x − x2 ÷ = ( x + 1− x ) ) ⇔ x − x2 − x − x2 = ⇔ x − x2 x − x2 − = x − x2 = x = ⇔ ⇔ x = x −Dx = A Đối chiếu điều kiện ta nghiệm phương trình cho x = 0, x = I Cách 2: Q E 2,0 t2 −1 Đặt t = x + − x ≤ t ≤ ⇒ x − x = P K Phương trình trở thành: 1+ B t = x = t2 − = t ⇔ ⇔ x + 1− x = ⇔ C t = ( không thỏa mãn ) x = 2,0 Câu (7,0 điểm): 1) a) D C nhìn IK hai góc (góc nội tiếp chắn hai cung ) Suy tứ giác DIKC nội tiếp 1,25 b) sđ (QDC + QPC) = ½sđ (BE + CB) + ½ sđ (ADC + BE) = ½ sđ( BE + CB + ADC + BE ) = 1800 Nên tứ giác CDQP nội tiếp 1,0 c) sđ API = ½ sđ( CB + AE ) = ½ sđ ( CB + BE ) = sđ CDK = sđ CIK = ½ sđ CK Từ suy IK // AB 1,25 d) EAQ = ADQ ( góc nội tiếp chắn cung ) Suy AE tiếp tuyến 0,5 2) A N I O E 1,25 H K B D M a) E, D nhìn AB góc vng nên tứ giác AEDB nội tiếp đường tròn đường kính AB có I (trung điểm AB) tâm C b) Ta thấy : ABE = ADE ( chắn cung AE ) mà ABE = AMN ( chắn cung AN ) nên ADE = AMN hay DE // MN 1,25 c) Kẻ thêm hình vẽ Dựa vào góc nội tiếp tứ giác AEBD suy CN = CM nên OC ⊥ MM ⇒ OC ⊥ DE Tứ giác HDCE nội tiếp đường tròn tâm K (trung điểm HC) đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE ⇒ KD = KE ID = IE nên IK ⊥ DE hay IK // OC OI // CK nên OIKC hình bình hành ⇒ KC = OI khơng đổi Câu (2,0 điểm): Ta có : (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 ≥ ∀a,b,c 2 ⇔ a + b + c ≥ ab + ac + bc (1) áp dụng bất đẳng thức (1) ta có : B = x16 + y16 + z16 = (x8)2 + (y8)2 + (z8)2 ≥ x8y8 + y8z8 + z8x8 ⇔ B ≥ x8y8 + y8z8 + z8x8 ⇔ B ≥ (x4y4)2 + (y4z4)2 + (z4x4)2 ≥ x4y4 y4z4+ x4y4 z4x4 + y4z4 z4x4 ⇔ B ≥ x4y8z4 + x8y4z4 + x4y4z8 ⇔ B ≥ (x2y4z2)2 + (x4y2z2)2 + (x2y2z4)2 ≥ x6y6z4 + x6y4z6 + x4y6z6 ⇔ B ≥ (x3y3z2)2 + (x2y3z3)2 + (x3y2z3)2 ≥ x5y6z5 + x6y5z5 + x5y5z6 ⇔ B ≥ (xyz)5.x + (xyz)5.y + (xyz)5.z = x + y + z = (do xyz = x + y + z = 3) ⇒ Bmin = ⇔ x = y = z = 0,5 2,0 PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN HÀ ĐƠNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2015-2016 ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN THI: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút ( khơng kể thời gian giao đề) ( Đề thi gồm 01 trang) 2x + x −1 2x x + x − x − + Câu 1( 5,5 điểm) Cho biểu thức: P = ÷ ÷: ÷ x − x 1+ x x 1− x 1) Rút gọn P 2) Tính giá trị P với x = + 2 − 3) Tìm x để biểu thức Q = + + 18 − − + nhận giá trị ngun P Câu 2( 4,5 điểm) 1) Tìm x biết: a) x − 16 − x − = b) (x+3)(x+4)(x+5)(x+6) = 24 2) Tìm số ngun x, y thỏa mãn: 10y2 + x2 – 6xy - 5y +6 = Câu 3( điểm) 1 1 1) Cho a, b, c số dương Chứng minh: ( a + b + c ) + + ÷ ≥ a b c 2) Cho x, y, z số dương x + y + z = 2 1 1 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x + ÷ + y + ÷ + z + ÷ x y z Câu 4( điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Các đường cao AD, BE, CF cắt H 1) Chứng minh: ∆AEF ∆ABC đồng dạng; S∆AEF = cos A.S ∆ABC 2) Gọi M trung điểm BC Đường thẳng vng góc với HM H cắt AB, AC P Q Chứng minh: PH = QH 3) Chứng minh: cot A + cot B + cot C ≥ Câu 5( điểm) Cho bảy số ngun khác a 1, a2, , a6, a7 có tổng 100 Chứng minh có ba số có tổng khơng nhỏ 50 Hết - ( Giám thị coi thi khơng giải thích thêm) Họ tên thí sinh:………………………………SBD:…… Trường THCS:………… Họ tên giám thị 1:…………………………………Chữ kí:……………………….…… [...]... (1 + 100) + (2 + 99 ) + + (50 + 51) = 101 50 0,5 chng minh A chia ht cho B ta chng minh A chia ht cho 50 v 101 Ta cú: A = (13 + 1003) + (23 + 99 3) + +(503 + 513) = (1 + 100)(12 + 100 + 1002) + (2 + 99 )(22 + 2 99 + 99 2) + + (50 + 51) (502 + 50 51 + 512) = 101(12 + 100 + 1002 + 22 + 2 99 + 99 2 + + 502 + 50 51 + 512) chia ht cho 101 Li cú: 3 3 3 (1) 3 0,5 3 3 A = (1 + 99 ) + (2 + 98 ) + + (50 + 100... kớnh cỏc ng trũn ngoi tip cỏc tam giỏc 1 1 4 ABD v ABC Chng minh : 2 + 2 = 2 R r a Ht -( Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm) phòng Giáo dục & Đào tạo Thanh oai TRNG THCS HNG DNG CU í 1 a)(2) Bi 1 (6) 1 b)2 Hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi lớp 9 Năm học 2015 - 2016 Môn thi : Toán NI DUNG CN T KX: x 0; x 3 x 3 3 3 + 3 + + 1 A = 2 3 x x + x 3 + 3 x 27 2 x + x 3 + 3 3 3 +... a b a b 2 2 a +b Vy 2 2 a b 2 2 (1) abc = 100a + 10b + c = n 2 1 Vit c cba = 100c + 10b + a = n 2 4n + 4 (2) T (1) v (2) ta cú 99 ( a c ) = 4n 5 => 4n 5 + 99 (3) Mt khỏc : 100 n 2 1 99 9 101 n 2 1000 11 n 31 39 4n 5 1 19 (4) T (3) v (4) => 4n 5 = 99 => n = 26 Vy s cn tỡm abc = 675 0,75 0,75 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 K: 0 (*) a)(2) Bi 3 (4) b)(2) 0,25 t t = (x-3) , suy ra (x-3)(x+1)... x=4 ; y=3 Nu k 2 2( x + y ) 2( xy + 2) x + y xy + 2 ( x 1)( y 1) + 1 0 vụ lớ (loi) Vy x=4 y=3 Chỳ ý: Nu hc sinh lm cỏch khỏc ỳng vn cho im 1,0 PHềNG GD & T THANH OAI THI HC SINH GII CP HUYN LP 9 TRNG THCS C KHấ MễN TON HC NM HC: 2015 - 2016 Thi gian lm bi: 150 phỳt (khụng k thi gian giao ) Bi 1: ( 4 ) Cho biu thc P= x +1 : 1 x x +x+ x x x 2 v Q = x 4 7 x 2 + 15 ( vi x > 0, x 1 ) a) Rỳt... phòng Giáo dục & Đào tạo Thanh oai TRNG THCS HNG DNG GIO VIấN RA Nguyn Th Thy THI HC SINH GII CP HUYN LP 9 Mụn : Toỏn Nm hc : 2015-2016 Thi gian 150 phỳt ( khụng k thi gian giao ) Bi 1(6): x 3 3 3 + 3 + 1, Cho biu thc Q = 2 ữ ữ 3 x + 1ữ ữ x + x 3 + 3 x 27 a/ Rỳt gn biu thc Q b/ Tớnh giỏ tr ca biu thc Q khi x = + 5 3 29 12 5 2, Tớnh giỏ tr ca biu thc B = x3 - 3x + 2000 với x = Bi 2: (4) a)... 3 xyz x y z 1 1 1 ( x + y + z )( x + y + z ) 9 1 1 1 9 ú x + y + z x+ y+z * x+ y+ z 3 im 1 xyz , 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 p dng * ta cú: 1 1 1 9 1 1 1 9 1 1 1 9 + + , + + , + + a b b a + 2b b c c b + 2c c a a c + 2a Cng v ta c: 1 1 1 1 1 1 + + ) a b c a + 2b b + 2c c + 2a 1 1 1 1 1 1 + + ) ú + + 3( a b c a + 2b b + 2c c + 2a 3( + + ) 9( 3 Du ng thc xy ra khi: a = b = c Bin i phng... y: HS co th gii theo cỏch khỏc, nu ỳng võn cho im tụi a Giỏo viờn ra T ký duyt Ban giỏm hiu duyt Nguyn ỡnh Tun PHềNG GD&T THANH OAI TRNG THCS DN HềA THI CHN HC SINH GII LP 9 NM HC 2015 - 2016 Mụn: Toỏn Thi gian: 150 phỳt (khụng k thi gian giao ) thi gm cú: 01 trang Cõu 1: (6 im) x+ y 1.Cho P = 1 xy + x y : 1 + x + y + 2 xy 1 xy 1 + xy a Rỳt gn P b Tớnh P khi x = 23 + ( 3 1) 6 + 2... ACB t giỏ tr ln nht? Tỡm giỏ tr ln nht ú theo R Cõu 5: (1 im) Tỡm tt c cỏc s nguyờn dng x , y , z tho món x + y + z > 11 8 x + 9 y + 10 z = 100 - Ht Lu y: Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm! PHềNG GD&T THANH OAI TRNG THCS DN HềA Bi HD CHM THI CHN HSG LP 9 MễN: TON Thi gian lm bi: 150 phỳt Ni dung 1 a) iu kin P cú ngha l : x 0 ; y 0 ; xy 1 x+ y x y x + y + 2 xy : 1 + 1 xy 1 xy 1... món cỏc d kin ca bi thỡ ch tn ti 2 giỏ tr nguyờn ca a+ b = 1 ; hoc a+b =2 Ngi ra T chuyờn mụn Ban giỏm hiu Nguyn Mai Phng PHềNG GD& T THANH OAI TRNG THCS NG THI CHN HC SINH GII LP 9 NM HC 2015-2016 MễN : TON Thi gian: 150 phỳt (khụng k thi gian giao ) Cõu 1: (6 im) 1.(4) Cho biu thc: M = a + 1 a a 1 a2 a a + a 1 + + a a a a a a vi a > 0; a 1 a) Rỳt gn M b) Vi nhng giỏ tr no ca a thỡ biu thc N... nht l 2R(1+ 2 ) C l im chớnh gia cung AB Bi 5 ( 1 0,5 Ta cú : 100 = 8x+9y+10z > 8x+8y+8z = 8(x+y+z) x+ y+z < Theo gi thit 25 2 x+y+z > 11, do ( x+y+z ) nguyờn nờn 0,5 x+y+z =12 x + y + z = 12 x + y + z = 12 8 x + 9 y + 10 z = 100 y + 2z = 4 Vy ta cú h T y + 2z =4 suy ra z =1 (do y,z > 0) Khi z=1 thỡ y=2 v x =9 Thay x =9; y=2; z=1 thy tho món yờu cu bi toỏn * Chỳ y: Hs gii cỏch khỏc ỳng võn cho ... (2 + 99 )(22 + 99 + 99 2) + + (50 + 51) (502 + 50 51 + 512) = 101(12 + 100 + 1002 + 22 + 99 + 99 2 + + 502 + 50 51 + 512) chia ht cho 101 Li cú: 3 (1) 0,5 3 A = (1 + 99 ) + (2 + 98 ) + + (50... a = n 4n + (2) T (1) v (2) ta cú 99 ( a c ) = 4n => 4n + 99 (3) Mt khỏc : 100 n 99 9 101 n 1000 11 n 31 39 4n 1 19 (4) T (3) v (4) => 4n = 99 => n = 26 Vy s cn tỡm abc = 675 0,75... ( Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm) phòng Giáo dục & Đào tạo Thanh oai TRNG THCS KIM TH CU í 1a) (2) Bi (5) HNG dẫn chấm thi học sinh giỏi lớp9 Năm học 2015 - 2016 Môn thi : Toán IM NI DUNG