Bộ đề và đáp án toán học sinh giỏi lớp 9 tham khảo bồi dưỡng thi

Tập hợp các đề thi học sinh giỏi môn toán học lớp 9 có đáp án giúp các thầy cô và các em học sinh yêu thích môn hóa học ôn tập đạt được thành tích cao trong kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh.Tập hợp các đề thi học sinh giỏi môn toán học lớp 9 có đáp án giúp các thầy cô và các em học sinh yêu thích môn hóa học ôn tập đạt được thành tích cao trong kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh.

Tập hợp các đề thi học sinh giỏi môn toán học lớp 9 có đáp án giúp các thầy cô và các

em học sinh yêu thích môn hóa học ôn tập đạt được thành tích cao trong kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh.

Câu 1:

(6,0 điểm)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THANH OAI

TRƯỜNG THCS CAO DƯƠNG

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

Môn: Toán Năm học: 2015-2016

Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề

1.Chứng minh rằng: Bốn điểm A,E,M,O cùng thuộc một đường tròn và tứ giác APMQ là hình chữnhật.

2 Gọi I là trung điểm của PQ Chứng minh O,I,E thẳng hàng

3 Gọi K là giao điểm của EB và MP Chứng minh ∆EAO đồng dạng với ∆ MPB suy ra K là trungđiểm của MP

4 Đặt AP = x Tính MP theo x và R.Tìm vị trí của điểm M trên đường tròn (O) để hình chữ nhậtAPMQ có diện tích lớn nhất

Câu 5: (1điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

xy2 + 2xy – 243y + x = 0

-Hết -(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THANH OAI

TRƯỜNG THCS CAO DƯƠNG

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

Môn: Toán Năm học: 2015-2016

x x

+

=

−

0,25đ0,5đ

1 + z2 = xy + yz + xz + z2 =x ( y + z)+ z (y + z) = ( y +z) ( x +z)

2 2

2

2 2

2

2 2

1

1.1.1

11.1

11

z

y x

z y

x z

y x

z y x

A

+

++

++

+++

+

++

z y y x

y x z x z x z y y y

x z x

z x z y z y y x x

++

+++++

++

+++++

++

++++

=

0,25đ0,25đ

0,25đ0,25đ0,25đ

2 (2 đ)

Ta có: 46n + 296.13n = 46n - 13n + 297.13n = 46n - 13n + 9.33.13n = (46-13).(…) + 9.33.13n = 33 (…) + 9.33.13n 33 Lại có: 46n + 296.13n = 46n + 13n +295.13n = (46n +13n) + 5.59.13n =(46+13) (…) + 5.59.13n

= 59.(…) + 5.59.13n 59 

0.25đ0.25đ0.25đ0.25đ

0.25đ0.25đ

I K

Cao Dương ngày 20 tháng 10 năm 2015

DUYỆT CỦA BGH Người ra đề

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI

−

+

xy

xy y x xy

y x xy

y x

1

21

:1

1

a)Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức P.

b) Tính giá trị của P khi

32

b) Chứng minh bất đẳng thức sau:

930303030306

666

Bài 4: (5,0 điểm)

Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng xy không giao nhau Từ một điểm M tùy ý trên xy kẻ hai tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn (O), trong đó P, Q là các tiếp điểm Qua O kẻ OH vuông góc với xy, dây PQ cắt OH tại I, cắt OM tại K Chứng minh:

+

xy

xy y x xy

y x xy

y x

1

21

:1

−

−

−

−++

+

=

xy

xy y x xy xy

xy y

x xy y

x P

1

21

:1

11

1

2

+

=

=

x x

0,5

0,5 1,5

1

32232

13

2361324

13

1 1

1 1

=

x

x x

x P

c

(Dấu ‘=’ xảy ra khi x = 1 và y ≠ 1)

Vậy Max P = 1 khi và chỉ khi x = 1 và y ≠ 1, y≥ 0

0,25 Bài 3

(4điểm) a) Từ giả thiết 0 1 0 ⇒ , > 0 .

>

y x y

x xy

Ta có:

)

1(4

14

1

2

xy xy xy

y x

xy y

666

6 6 30 30

30 30

30 30

30 30

Cộng từng vế ta suy ra điều phải chứng minh.

0,5

0,5 0,5

0,5

OM = suy ra OI.OH = OM.OK (1)

Tam giác OPM vuông ở P mà PK ⊥OM nên:

R2 =OP2 = OK.OM (2)

Từ (1) và (2) suy ra: OI.OH = OK.OM = R2

1,0

1,0 0,5

b)Từ câu a) suy ra OI=

OH

R2

Do R không đổi, OH không đổi nên OI không đổi, do đó điểm I cố

định Vậy khi điểm M thay đổi trên xy thì các dây cung PQ luôn luôn

đi qua điểm I cố định.

1,0

1,0

Câu 5

(2điểm)

Gọi E là điểm đối xứng với H qua BC Ta có BHCE là hình thoi,

ΔABE vuông tại B nên BE2 = ED.EA Đặt DE =x.

I

Phòng GD huyện Thanh Oai

Trường THCS Bình Minh Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 năm học 2015- 2016

Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian giao đề)

3 Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x>1

b Chứng minh rằng: Với mọi n∈ N Ta có 33n+3 − 26 n − 27 169 M

x

b Cho x,y>0 và x+y=1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=

2 2

0,5đ0,25đ

Do x>1⇒ x− >1 0 Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho 2 số dương ta có

P≥2 3 3+ Dấu “ =” xảy ra khi x= (1+ 3)2Vậy Min P= 2 3 3+ khi x= (1+ 3 )2

0,5đ0,25đ0,25đ

• Nếu x=y=z ⇒a=b=c ⇒A=8

0,75đ

0,25đ0,5đ0,5đ

0,5đ0,25đ

Chứng minh bất đẳng thức 2(a2 + b2 ) ≥ (a + b)2 với mọi a,b

1,5đ1,5đ

1,5đ1,5đ

E

PHÒNG GD & ĐT THANH OAI

TRƯỜNG THCS CỰ KHÊ

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9

MÔN TOÁN HỌC NĂM HỌC: 2015 - 2016

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1: ( 4đ )

Cho biểu thức

P =

x x x x x x

x

−+

+

+

2

1:

1

và Q = x4 −7x2 +15 ( với x > 0, x ≠ 1 ) a) Rút gọn biểu thức P

b) Với giá trị nào của x thì Q – 4P đạt giá trị nhỏ nhất?

Bài 2: ( 4đ )

Cho ba số dương a , b , c Chứng minh rằng

c b a

11

1 + + ≥ 3(

a c c b b

12

12

1

+

++

đi qua M và D cắt AB tại E Kẻ EG vuông góc với AD tại G

a) Chứng minh rằng: BDHC và AMEG cùng thuộc một đường tròn

b) Chứng minh rằng: AM2= AC AB

c) Chứng minh rằng: AE AB + DE DM = 4R2

Bài 5 ( 2đ)

Các góc nhọn của tam giác ABC thỏa mãn điều kiện

CosA + CosB + CosC = CosA.CosB + CosB.CosC + CosC.CosA

Chứng minh rằng tam giác ABC đều

Hết

PHÒNG GD & ĐT THANH OAI

TRƯỜNG THCS CỰ KHÊ

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9

MÔN TOÁN HỌC NĂM HỌC: 2015 - 2016

1/a

1

)1)(

1(

)1)(

1(.)1(

1

−

=

−+

=

++

−+

x x x x x

x x

x

0,5đ 0,5đ 1/b Q – 4P = x4 −7x2 +15−4x+4

2 Với x ,,y z > 0 ta có

x+ y+z ≥ 3 xyz, 1x+ 1y +1z ≥ 3.3 xyz1

 ( )(1 1 1)

z y x z y

ó 1x+1y+1z ≥ x+9y+z *

Áp dụng * ta có:

b b a

11

2

12

12

1

a c c b b

ó

c b a

11

2

12

12

1

a c c b b

Dấu đẳng thức xảy ra khi: a = b = c

0,5 0,5 0,5

1 0,5

0,5 0,5

3 Biến đổi phương trình ó [x2 +2x(y−1)+(y−1)2] – (4y2 +8y+4)+7=0

ó (x+ y−1)2 −(2y+2)2 +7=0

ó (3y+x+1)(y−x+3)=7

Do đó: 3y+x+1 và y−x+3 là ước của 7

1 1 1 0,5 0,5

Nên AH AD = AB AC

Áp dụng hệ thức lượng với tam giác vuôngMAD

0,5 0,5

0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

5 Đặt CosA = x, CosB = y, Cos C = z ( ta có x; y ; z > 0 )

Hay CosA = CosB = Cosc

 A = B = C

Vậy ∆ABC đều

0,25 0,25 0,25

0,5 0,25

0,25 0,25

•

Ban giám hiệu

x + y = Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P.

2) Cho x + 3 2 = Tính giá trị của biểu thức: B x = −5 3 x4− 3 x3+ 6 x2 − 20 x + 2020

Bài 2: ( 4 điểm )

1) Cho hàm số y = ( m- 1) x + m2 -1 ( m là tham số) Tìm m để đồ thị hàm số là đường thẳng cắt hai trục tạo độ tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB là tam giác cân 2) Giải phương trình : 2 ( x2− + = 3 x 2 ) 3 x3+ 8

1 Chứng minh I là trung điểm của EF và K, M, I, N thẳng hàng.

2 Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác COD Chứng minh 1 1

r R

< <

3 Gọi r1 , r2 lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác COE và DOE Chứng minh rằng 2 2 2

0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ

0,5đ

0,5đ 0,25đ 0,25 đ

Bài

2

(5đ)

+ HS lập luận được để đồ thị hàm số là đường thẳng cắt 2 trục tọa độ tại 2

điểm A và B sao cho tam giác OAB cân tại O thì đồ thị hàm số đã cho song

song với đường thẳng y = x ( hoặc y = - x )

+ Từ đó dẫn đến 2 1 1

1 0

m m

Biến đổi pt đưa về pt 2 ( x2− 2 x + − 4 ) 2( x + = 2) 3 ( x + 2)( x2 − 2 x + 4)

Nếu x= -2 không là nghiệm của pt

Nếu x≠ −2 Biến đổi đưa pt về: 2. 2 2 4 2 3 2 2 4

Từ đó tìm được x = ± 3 13

Kết hợp đk và kết luận nghiệm

S = ± { 3 13 }

0,5đ 0,25đ 0,25đ

0,25 đ

0,25 đ 0,25đ

1 2

1 + kéo dài BE cắt Ax tại Q

+ chứng minh được ∆ CEQ cân tại C và ∆ CAE cân

0,5đ 0,25đ 0,5đ

0,5đ

0,5đ

3 + gọi P là nửa chu vi tam giác

r là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác

S là diện tích tam giác

Vì hpt (I) có nghiệm a,b nên tồn tại cặp số thực để a+b = 1

Vậy để thỏa mãn các dữ kiện của đề bài thì chỉ tồn tại 2 giá trị nguyên của a+ b

= 1 ; hoặc a+b =2

0.25

1đ

0,5đ 0,25đ

Người ra đề Tổ chuyên môn Ban giám hiệu

Nguyễn Mai Phương

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

b) Với những giá trị nào của a thì biểu thức N 6

M

= nhận giá trị nguyên

2.( 2đ) Tính giá trị của biểu thức E 1 xy 1 xy

1.(2đ) Tìm các số nguyên (x,y) thỏa mãn: 5x2 + 13y2 + 6xy = 4(3x – y)

2.(2đ) Cho a, b, c là các số lớn hơn 1 Chứng minh bất đẳng thức sau:

Câu 4 : (5 điểm)

Cho điểm M nằm trên nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R (M không trùng với A và B) Trong

nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn có bờ là đường thẳng AB, kẻ tiếp tuyến Ax Đường thẳng BM cắt Ax tại I; tia phân giác của ·IAM cắt nửa đường tròn O tại E, cắt IB tại F; đường thẳng BE cắt AI tại H, cắt AM tại K.

a) Chứng minh 4 điểm F, E, K, M cùng nằm trên một đường tròn.

-PHÒNG GD& ĐT THANH OAI

a M

⇒ < = < do đó N nguyên thì N = 1

2 2

0,250,250,25

Vậy 4 điểm F, E, K, M cùng nằm trên đường tròn đường kính FK 0.25

K là trực tâm của ∆ AFB nên ta có FK ⊥ AB suy ra FK // AH (2) 0.25

Do đó FAH · = · AFK mà FAH · = FAK · (gt) cho nên · AFK = FAK · 0.25

Suy ra AK = KF, kết hợp với (1) ta được AH = KF (3) 0.25

Từ (2) và (3) ta có AKFH là hình bình hành nên HF // AK Mà AK ⊥ IB suy ra

Nên MA + MB đạt giá trị lớn nhất bằng AB 2 khi và chỉ khi

Vậy khi M nằm chính giữa cung AB thì C∆AMB đạt giá trị lớn nhất Khi đó

Nếu y ≥ 1, ta có ( 2x + 1 2 ) ( x+ 2 2 ) ( x + 3 2 ) ( x+ − 4 ) 5y chia hết cho 5 mà

11879 không chia hết cho 5 nên y ≥ 1 không thỏa mãn, suy ra y = 0. 0.25

Chú ý: HS có thể giải theo cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.

Giáo viên ra đề

Nguyễn Đình Tuấn

Tổ ký duyệt Ban giám hiệu duyệt

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI

TRƯỜNG THCS DÂN HÒA ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2015 - 2016

+

xy

xy y x xy

y x xy

y x

1

21

:1

a, Chứng minh 4 điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn.

b, Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O,R)

c, Chứng minh K là trung điểm CH

d, Xác định vị trí của C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất

đó theo R.

Câu 5: (1 điểm)

Tìm tất cả các số nguyên dương x, y, z thoả mãn

++

10010

98

11

z y x

z y x

Hết

-Lưu ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI

TRƯỜNG THCS DÂN HÒA

HD CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9

MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút

−

+

xy

xy y x xy

y x xy

y x

1

21

:1

1

xy y x xy xy

xy

xy y

x xy y

x

−

+++

−+

−

−

−++

+

1

21

:1

1

11

=

xy

xy y x xy

x y y x y x x y y x y x

−

++

++

1

1:

1 =

(1 )( 1)

11

22

++

−

−

+

y x

xy xy

x y

x

x y

x

y x

+

=++

+

1

21

1

12

0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ

Mỗi số hạng trong ngoặc đều chia hết cho 50 nên A chia hết cho 50 (2)

Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 101 và 50 nên A chia hết cho B

0,5đ

0,5đ

0,5đ 0,5đ

Bài 2

( 4đ)

2x− +3 5 2− x =3x −12x+14 (1) ĐKXĐ: 3 5

Vì - (x + y)2 ≤ 0 với mọi x, y nên: (y - 1)(y + 4) ≤ 0 ⇔ - 4 ≤ y ≤ 1

0,5đ 0,5đ 0,5đ

Bài 4

( 6đ)

a) Chứng minh OI⊥AC ⇒ ∆OIC vuông tại I

⇒ I thuộc đường tròn đường kính OC

Lại có CH⊥AB (gt) nên ∆CHO vuông tại H

⇒H thuộc đường tròn đường kính OC.

Do đó I, H cùng thuộc đường tròn đường kính OC.

Hay 4 điểm C, I, O, H cùng thuộc một đường tròn 0,5đ

Lại có: góc CBO = góc OCB ( vì ∆OCB cân tại O)

Góc OCB = góc COM ( so le trong) (2)

Từ (1) và (2)⇒ góc AOM = góc COM

⇒ ∆AOM = ∆COM (c.g.c) ⇒ góc MCO = góc MAO = 900

⇒ MC⊥CO

⇒MC là tiếp tuyến của (O;R)

c) ∆MAB có KH//MA (cùng vuông góc với AB)

⇒

R

HB AM AB

HB AM KH AB

HB AM

HB AM CH HB

AO CH

⇒K là trung điểm của CH

c) Chu vi ∆ACB là P ACB=AB+AC+CB=2R+AC+CB

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi AC = CB

⇒ C là điểm chính giữa cung AB

Vậy để chu vi ∆ACB đạt giá trị lớn nhất là 2R(1+ 2)

⇔C là điểm chính giữa cung AB

0,5đ 0,5đ

0,5đ 0,5 đ 0,5 đ

0,5 đ 0,5 đ

Theo giả thiết x+y+z > 11, do ( x+y+z ) nguyên nên 0,5đ

=++

42

12100

1098

12

z y

z y x z

y x

z y x

Từ y + 2z =4 suy ra z =1 (do y,z > 0)

Khi z=1 thì y=2 và x=9 Thay x=9; y=2; z=1 thấy thoả mãn yêu cầu bài

toán

0,5đ

* Chú ý: Hs giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.

DUYỆT CỦA BAN GIÁM HIỆU GIÁO VIÊN RA ĐỀ

Nguyễn Thị Hà Nguyễn Thị Thủy

phßng Gi¸o dôc & §µo t¹o

Thanh oai

TRƯỜNG THCS HỒNG DƯƠNG

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9

Môn : Toán Năm học : 2015-2016

Thời gian 150 phút( không kể thời gian giao đề)

b/ Tính giá trị của biểu thức Q khi x = + 5− 3− 29 12 5− .

2, Tính giá trị của biểu thức B = x3 - 3x + 2000 víi x = 3 3+ 2 2 + 3 3−2 2

12

Cho đường tròn tâm O đường kính AB M là điểm thuộc đoạn thẳng OA, vẽ đường tròn tâm O’ đườngkính MB Gọi I là trung điểm đoạn thẳng MA, vẽ dây cung CD vuông góc với AB tại I Đường thẳng BC cắtđường tròn (O’) tại J.

a) Chứng minh: Đường thẳng IJ là tiếp tuyến của đường tròn (O’)

b) Xác định vị trí của M trên đoạn thẳng OA để diện tích tam giác IJO’ lớn nhất

( Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

phßng Gi¸o dôc & §µo t¹o

Thanh oai

TRƯỜNG THCS HỒNG DƯƠNG

Híng dÉn chÊm thi häc sinh giái líp 9

N¨m häc 2015 - 2016 M«n thi : To¸n

3327

33

x x

−

++

x x x

x x

x

33)

33)(

3(

33

3

2 2

x x

x

3

33)

33)(

3(

33)3

1

b)2đ

Ta có :

x = + = + = + = + = + 1 Thay x = 3+ 1 vào A ta có:

100 ≤n2− ≤1 999⇔101≤n2 ≤1000⇔ ≤ ≤11 n 31

39 4n 5 119

⇔ ≤ − ≤ (4)

Từ (3) và (4) => 4n – 5 = 99 => n = 26 Vậy số cần tìm abc=675

0,5

0,5

0,50,5(1)

* Với t= -3, ta được : (x-3) = -3 ⇔ ⇔

⇔ ⇔ x = 1- , thoả mãn điều kiện (*)

( y+3+x)+(y+3-x) = 2(y+3) là số chẵnSuy ra 2 số ( y+3+x ) và (y+3-x) cùng tính chẵn lẻ Ta lại có tích củachúng là số chẵn, vậy 2 số ( y+3+x ) và (y+3-x) là 2 số chẵn

Ta chỉ có cách phân tích -16 ra tích của 2 số chẵn sau đây:

Ta có : IDM IMDˆ + ˆ =900(vì DIMˆ =900)

Mà ˆIJM =IDMˆ (do IC = IJ = ID : ∆CJD vuông tại J có JI là trung

∆JIO’ vuông tại I : IJ2 + O’J2 = IO’2 = R2

Mà IJ2 + O’J2 ≥2IJ.O’J = 4SJIO’

Do đó SJIO’

24

R

≤

SJIO’ =

24

R

khi IJ = O’J và ∆JIO’ vuông cân có cạnh huyền IO’ = R nên :

2O’J2 = O’I2 = R2 ⇒O’J = 2

Bài 5

(2đ)

I E

K M

D

O

B

Tứ giác ABCD là hình thoi nên AC là đường trung trực của đoạn thẳng

BD, BD là đường trung trực của AC Do vậy nếu gọi M,I,K là giao điểmcủa đường trung trực của đoạn thẳng AB với AB,AC,BD thì ta có I, K làtâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ADB, ABC

Từ đó ta có KB = r và IB = R Lấy một điểm E đối xứng với điểm I qua

M Ta có BEAI là hình thoi ( vì có hai đường chéo EI và AB vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi

đường)

Ta có : = mà =900

⇒ =900 Xét ∆EBK cã =900 đường cao BM.Theo hệ thức trong tam giác vuông

Thời gian làm bài: 150 phút

ĐỀ BÀI Câu 1 (6 điểm)

Cho P =  − − + + 

+

4323

38

33

46

x x

+

x x

x

33

1

33

-Người ra đề: Nguyễn Thị Thu Hường

Người kiểm tra đề: Hà Thị Thủy

ĐÁP ÁN CHẤM TOÁN 9 Năm học: 2015 – 2016

1

điểm) a, P =  − − + + 

+

4323

38

33

46

x x

x

x

33

1

33

0

x x

−

−

+

4323

38

3

463

x x

x x

x

x

33

++

−

−

−+

x x

x

x x x

33

1

33131

P = ( 3 2)(3 2 3 4)

32346

++

−

+

−+

x x

x

x x

x

(1 - 3x + 3x - 3x)

P = ( 3 2)(3 2 3 4)

4323

++

−

++

x x

x

x x

0,5đ

0,5đ 0,5đ 0,5đ

12322

−

+

−+

−

=

x

x x

P = ( 3x- 2) + 2 +

23

Z n n x

)1(23

)(

123

33

)(3

loai x

TM x

Vậy với x = 3 thì P có giá trị nguyên.

0,5đ

0,5đ 0,5đ 0.5đ

0,5đ 0,5đ

0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

−

023

01

2 2

=

−

023

01

5

4cos

5

3sin

4

3tan

αα

Vậy

4

3tanα = nếu

Hoặc

3

4tanα = nếu

0,25đ

0,25đ 0,25đ 0,75đ

0,25đ 0,25đ

(a+b a+c ≤ a+b+a+c

2

1))(

(b+a b+c ≤ b+a+b+c

2

1))(

+

=+

+

=+

=++

b c a c

c b a b

c a b a

c b

⇔ a = b = c =

31

0,25đ 0,25đ

0,5đ

0,25đ 0,5đ

b, Ta có: 0 < x < 1 ⇒ 1 – x > 0

Và

x

x x x

x x x

x

1

51

+

−+

−

=+

−

5(1 ) 5

1

5)1(5

−

=+

−+

−

=

x

x x

x x

x x

x x

x A

12)1(5

−

≥

−+

x x

x x

x x

x

x

)1(51

10

Kết luận: giá trị nhỏ nhất của A là (5 + 2 5) khi x =

4

5

5−

0,25đ 0,25đ

0,25đ

0,5đ 4

Do đó chọn y1009 = (2n+1) (n∈Z )

Thì 2013 y2018 = 2013 (2n+1)2 = 2013 (4n2 + 4n + 1)

= 4 2013 (n2 +n) +2013

Nên 2012.x2015 + 2013 y2018 chia cho 4 dư 1

Còn số 2015 chia cho 4 dư 3 (vô lí)

Vậy không có số nguyên x, y nào mà

2012x2015 2013.y2018 = 2015

0,25đ 0,5đ

phßng Gd & §t Thanh oai

TRƯỜNG THCS KIM THƯ

( Đề gồm 01trang)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9

Môn : Toán Năm học : 2015-2016

Thời gian 150 phút( không kể thời gian giao đề)

b/ Tìm giá trị nguyên của x để A đạt giá trị nguyên

2, Tính giá trị của biểu thức B = x3 - 3x + 2000 víi x = 3 3+ 2 2 + 3 3−2 2

Bài 4: (5 đ) Cho đường tròn (O,R) và một điểm A ở ngoài đường tròn, từ một điểm M di động trên đường

thẳng d ⊥ OA tại A, vẽ các tiếp tuyến MB,MC với đường tròn (B,C là tiếp điểm) Dây BC cắt OM và OA lần lượt tại H và K

a) Chứng minh OA.OK không đổi từ đó suy ra BC luôn đi qua một điểm cố định

b) Chứng minh H di động trên một đường tròn cố định

c) Cho biết OA= 2R Hãy xác định vị trí của M để diện tích tứ giác MBOC nhỏ nhất Tính giá trị nhỏnhất đó

Câu 5 ( 1.0 đ):T×m a,b lµ c¸c sè nguyªn dư¬ng sao cho: a + b2 chia hÕt cho a2b - 1

-Hết -