Toán A5 - Khoa Toán - Thống kê ď Chuong 5 Chuoi so

10/3/2014 Chương Chuỗi 5.1 Định nghĩa 5.2 Chuỗi số không âm 5.3 Chuỗi đan dấu 5.4 Chuỗi lũy thừa Chương LÝ THUYẾT CHUỖI I Khái niệm chuỗi số Định nghĩa, ví dụ Định nghĩa Cho dãy số thực un , n = 1, 2, Biểu thức +∞ u1 + u2 + + un + = ∑ un (1) n =1 đgl chuỗi số, un đgl số hạng tổng quát thứ n +∞ Tổng S n = u1 + u2 + + un đgl tổng riêng thứ n chuỗi - Nếu lim S n = S (hữu hạn) chuỗi (1) gọi Ví dụ Chuỗi cấp số nhân chuỗi hội tụ S gọi tổng chuỗi Sn ta viết: +∞ n n=0 * Nếu q < chuỗi n →∞ 1− q +∞ ∑q +∞ hội tụ có tổng +∞ ∑q 1− q n = n phân kỳ n=0 * Nếu q ≥ chuỗi n n=0 ∑q S = ∑ un n =1 ∑q n=0 - Chuỗi không hội tụ gọi chuỗi phân kỳ Ví dụ Xét hội tụ chuỗi Ví dụ Tính tổng chuỗi +∞ ∑ n =1 n ( n + 1) +∞  1 ∑ ln 1 + n  n =1 10/3/2014 Điều kiện cần để chuỗi hội tụ +∞ Định lý Nếu chuỗi ∑u n =1 n Ví dụ Xét hội tụ chuỗi sau hội tụ lim un = n −1 n =1 3n + +∞ a) ∑ n →∞ Hệ +∞ b) ∑ ( n + 1); Nếu lim un ≠ (hoặc khơng tồn tại) chuỗi n →∞ n =1 +∞ ∑ un phân kỳ +∞ n =1 c ) ∑ sin n n =1 Các tính chất chuỗi +∞ Định lý Cho chuỗi un , n =1 Khi ấy, chuỗi ∑ +∞ ∑ cun , n =1 +∞ ∑u n =1 n +∞ ∑v n =1 n hội tụ + hội tụ +∞ +∞ n =1 n =1 ∑ cun = c.∑ un , +∞ ∑u n =1 n +∞ +∞ n =1 n =1 + = ∑ u n + ∑ II.Chuỗi số không âm (chuỗi số dương) +∞ Định nghĩa Chuỗi ∑u n =1 n gọi chuỗi số không âm un ≥ 0, ∀ n ∈ ℕ Nếu un > 0, ∀ n ∈ ℕ, chuỗi số dương (thực sự) Chuỗi un +1 + un + + + um + đgl chuỗi dư chuỗi (1) Định lý Chuỗi (1) hội tụ chuỗi (2) hội tụ Hệ Tính hội tụ hay phân kỳ chuỗi số không đổi ta bớt thêm vào chuỗi số số hữu hạn số hạng Các tiêu chuẩn hội tụ chuỗi số dương Tiêu chuẩn so sánh 1.+∞ +∞ un , thỏa mãn Cho hai chuỗi số dương ∑ n =1 ∑ n =1 n =1 < un ≤ , ∀n ∈ ℕ Khi đó: +∞ +∞ ∑u (2) n gọi i) Nếu ∑ hội tụ n =1 +∞ ii) Nếu +∞ ∑u n =1 ∑ un phân kỳ n =1 n hội tụ +∞ ∑v n =1 n phân kỳ 10/3/2014 Ví dụ Xét hội tụ chuỗi số n +1 ∑ n =1 n +∞ i) k = : 3n ∑ n n n =1 + + 2(−1) n +3 n =1 +∞ ∑ n +1 ∑ 2 n +3 n =1 n +1 ∑ 2n5 + n =1 ∑v n n =1 +∞ ∑ hội tụ ∑ un hội tụ n =1 iii) k = +∞ : n =1 +∞ +∞ ∑u , ∑v +∞ n +∞ +∞ ∑ un , +∞ ii) < k < +∞ : Ví dụ Xét hội tụ chuỗi số sau +∞ n =1 u lim n = k Khi đó: n →∞ v n +∞ +∞ Tiêu chuẩn so sánh Cho hai chuỗi số dương ∑u n =1 n n =1 n n =1 n hội tụ chất +∞ ∑v n =1 n hội tụ Tiêu chuẩn tỷ số D’Alembert +∞ Cho chuỗi số dương i) Nếu D < 1, ii) Nếu D > 1, +∞ ∑ u Đặt: D = lim n =1 ∑u n =1 +∞ n =1 n→∞ un+1 un hội tụ n ∑u n n phân kỳ iii) Nếu D = 1, chưa thể kết luận Ví dụ Xét hội tụ chuỗi số sau: +∞ n ∑e n =1 +∞ +∞ Cho chuỗi số dương n +∞ ∑ u Đặt: C = lim n =1 n i) Nếu C < 1, ∑u n hội tụ ii) Nếu C > 1, ∑u n phân kỳ (n !) n =1 (2 n )! ∑ Tiêu chuẩn số Cauchy n =1 +∞ n =1 n→∞ n un iii) Nếu C = 1, chưa thể kết luận 10/3/2014 Ví dụ Xét hội tụ chuỗi số sau: +∞  1 1+  n   n n =1 ∑ Tiêu chuẩn tích phân Cho hàm f hàm liên tục, dương, giảm [ k , +∞) Khi chuỗi số dương n +∞ +∞ n=k n= k ∑ un = ∑ f ( n) +∞ nn n n =1 2.∑ ∫ tích phân suy rộng +∞  4n +  3.∑   n =1  3n +  +∞ f ( x)dx hội tụ k phân kỳ n Chuỗi có dấu Ví dụ Khảo sát hội tụ chuỗi sau: +∞ +∞ 1 ∑ n ln n n=2 • Chuỗi ∑u với un ∈ ℝ gọi chuỗi có dấu n n =1 tùy ý +∞ ∑ sin (n ) = sin + sin + sin + VD 19 +∞ ∑ α ,α ∈ ℝ n =1 n n =1 +∞ n =− + − + n +1 n ∑ (−1) n =1 04/11/2012 Chuỗi có dấu +∞ Mệnh đề Nếu ∑u Chuỗi có dấu +∞ hội tụ n n =1 ∑u VD 20 Xét hội tụ chuỗi +∞ ∑ (−1) n n =1 04/11/2012 n ( +∞ ) n +1 Mã MH: C01004- Chương ( ) n4 + =∑ n =1 2n + n ( ) n +1 23 +∞ n ( 04/11/2012 ) n +1 2n + n ( ) ∼∑ n =1 +∞ n n n hội tụ 4/3 n n =1 =∑ hội tụ n4 + 2n + n ⇒ ∑ (−1) n =1 +∞ 2n + +∞ ⇒∑ n =1 2n + n ∑ n =1 Giải ∑ (−1) Ta có: 2n + n n =1 Xét chuỗi: +∞ hội tụ n n =1 +∞ 22 Mã MH: C01004- Chương n ( ) hội tụ n4 + Mã MH: C01004- Chương 24 10/3/2014 Chuỗi có dấu Chuỗi có dấu +∞ cos (n n ) hội tụ ∑ n2 n =1 +∞ VD 21 Chuỗi +∞ Lưu ý Khi chuỗi ∑u ∑u hay α = lim n n n →+∞ hội tụ ta nói n Đặt α = lim n →+∞ un +1 un un Khi n =1 • Nếu α < chuỗi cho hội tụ hội tụ tuyệt đối n ∑u n =1 +∞ có n n =1 +∞ chuỗi ∑u Định lý Cho chuỗi n =1 • Nếu α > chuỗi cho phân kỳ 04/11/2012 25 Mã MH: C01004- Chương 04/11/2012 Chuỗi có dấu Chuỗi có dấu +∞ n +∞ VD 22 Khảo sát tính hội tụ chuỗi: (−3) ∑ n3 n =1 Chuỗi đan dấu: Dạng un +1 un n →+∞ = lim n →+∞ (−3) ⇒∑ n3 n =1 04/11/2012 Tiêu chuẩn Leibnitz 3n (n + 1) Nếu {un } dãy số dương, giảm hội tụ = 3>1 +∞ chuỗi đan dấu 27 Mã MH: C01004- Chương 04/11/2012 +∞ n (−1) VD 24 Khảo sát hội tụ chuỗi: ∑ ln (n + 1) n +∞ n =1 Giải Giải (−1) n n =1 ⇒∑ dãy dương, giảm, tiến n • Ta thấy un = ln (n + 1) chuỗi hội tụ i lim un = lim n →+∞ 04/11/2012 Mã MH: C01004- Chương 28 Chuỗi có dấu (−1) VD 23 Khảo sát hội tụ chuỗi: ∑ n n =1 n un hội tụ Mã MH: C01004- Chương Chuỗi có dấu +∞ n ∑ (−1) n =1 phân kỳ Ta thấy dãy un = un , un > n +∞ n ∑ (−1) n =1 Giải α = lim 26 Mã MH: C01004- Chương 29 04/11/2012 n →+∞ > 0, ∀n ≥ 1 = ln (n + 1) Mã MH: C01004- Chương 30 10/3/2014 Chuỗi có dấu i un +1 = Chuỗi hàm 1 < un = , ∀n ≥ ln (n + 2) ln (n + 1) • Cho dãy hàm số f1(x ), , fn (x ), xác định tập hợp D ⊂ ℝ Ta gọi tổng +∞ f1(x ) + f2 (x ) + + fn (x ) + ≡ ∑ fn (x ), (1) Vậy theo tiêu chuẩn Leibnitz, chuỗi cho hội tụ n =1 chuỗi hàm số (hay vắn tắt chuỗi hàm) 04/11/2012 31 Mã MH: C01004- Chương 04/11/2012 Chuỗi hàm 32 Mã MH: C01004- Chương Chuỗi hàm +∞ VD 25 ∑x n = x + x + x + + x n + • Tập hợp điểm hội tụ chuỗi hàm gọi n =1 miền hội tụ chuỗi hàm +∞ ∑e −nx =e −x +e −2x + + e −nx + n =1 +∞ ∑f • Nếu x ∈ D , n (x ) chuỗi số hội tụ n =1 (phân kỳ) ta nói x điểm hội tụ (điểm phân kỳ) chuỗi hàm (1) 04/11/2012 33 Mã MH: C01004- Chương 04/11/2012 Chuỗi hàm Chuỗi hàm +∞ VD 26 Tìm miền hội tụ chuỗi hàm ∑ ne −nx +∞ • Nếu x > ⇒ D < Khi đó, n =1 • Nếu x = chuỗi có dạng ∑ ne −nx0 n ne −nx = lim n →+∞ n ∑ ne ∑n Đây chuỗi phân kỳ ne −x = e −x Vậy, miền hội tụ chuỗi D = (0, +∞) +∞ • Nếu x < ⇒ D > Khi đó, hội tụ n =1 n =1 n →+∞ −nx +∞ +∞ Thay x = x ∈ ℝ, ta chuỗi số ∑ ne n =1 Giải D = lim 34 Mã MH: C01004- Chương −nx phân kỳ n =1 04/11/2012 Mã MH: C01004- Chương 35 04/11/2012 Mã MH: C01004- Chương 36 10/3/2014 Chuỗi hàm Chuỗi hàm x 2n ∑ n =1 n ! +∞ VD 27 Tìm miền hội tụ chuỗi hàm • Nếu x ≠ , ta có  x 2(n +1) x 02n  x 02  = lim = < C = lim  : n →+∞ n + n →+∞  (n + 1)! n !   Giải +∞ Thay x = x ∈ ℝ, ta chuỗi số x 02n ∑ n! Theo tiêu chuẩn tỷ số, ta suy chuỗi hội tụ n =1 • Nếu x = chuỗi hội tụ 04/11/2012 Vậy miền hội tụ chuỗi là: D = ℝ 37 Mã MH: C01004- Chương 04/11/2012 Chuỗi hàm Chuỗi hàm +∞ VD 28 Tìm miền hội tụ chuỗi hàm 38 Mã MH: C01004- Chương 1 ∑n x • Chuỗi lũy thừa chuỗi hàm dạng n =1 +∞ n ∑ c (x − a ) Giải n = c0 + c1 (x − a ) + c2 (x − a ) + , (2) n =0 • Với x > , chuỗi cho hội tụ với a, c1, c2 , , cn ∈ ℝ • Với x ≤ , chuỗi cho phân kỳ • Điểm a gọi tâm chuỗi lũy thừa (2) Vậy miền hội tụ chuỗi là: D = (1; +∞) • c1, c2 , , cn , 04/11/2012 Mã MH: C01004- Chương 39 04/11/2012 Chuỗi hàm gọi hệ số chuỗi (2) Mã MH: C01004- Chương 40 Chuỗi hàm • Bằng phép biến đổi tuyến tính, chuỗi lũy thừa Nếu chuỗi (3) phân kỳ x phân kỳ viết lại dạng: điểm x mà x > x +∞ ∑c x n n ≡ c0 + c1x + c2x + + cn x n + , (3) n =0 Nếu chuỗi (3) hội tụ điểm x ∈ (−R, R ) phân Định lý Nếu chuỗi (3) hội tụ x hội tụ điểm ( ) x ∈ − x1 ; x1 04/11/2012 Định nghĩa Mã MH: C01004- Chương kỳ điểm x mà x > R R gọi bán kính hội tụ chuỗi (3) 41 04/11/2012 Mã MH: C01004- Chương 42 10/3/2014 Chuỗi hàm Chuỗi hàm Định lý Hệ +∞ Cho • Nếu chuỗi (3) hội tụ với x ∈ ℝ R = +∞ ∑a x n n Đặt r = lim n →+∞ n =0 an +1 hay r = lim n an n →+∞ an Khi đó, bán kính hội tụ cho bởi:    + ∞, R =  0,    ,  r • Nếu chuỗi (3) hội tụ x = R = 04/11/2012 43 Mã MH: C01004- Chương 04/11/2012 Chuỗi hàm +∞ r = lim n n →+∞ n an = +∞ Cho chuỗi lũy thừa n (−1) =n n n n n Để tìm miền hội tụ, ta tiến hành bước sau: Bước Tìm bán kính hội tụ R =1 n →+∞ n n an = lim Mã MH: C01004- Chương ∑a x n =0 • Nếu R = miền hội tụ D = {0} Bán kính hội tụ R = = r 04/11/2012 44 Mã MH: C01004- Chương Thuật tốn tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa n n ⇒ < r < +∞ n (−1) n x ∑ n n =1 Giải (−1) n r = +∞, Chuỗi hàm VD 29 Tìm bán kính hội tụ chuỗi Ta có an = r = 0, • Nếu R = +∞ miền hội tụ D = ℝ 45 04/11/2012 Chuỗi hàm Mã MH: C01004- Chương 46 Chuỗi hàm • Nếu < R < +∞ ta có khoảng hội tụ (−R; R ) • Chỉ hội tụ x = −R miền hội tụ D = [−R; R) Lúc ta chuyển sang bước Bước Xét tính hội tụ chuỗi x = −R, x = R • Khơng hội tụ x = ±R miền hội tụ (−R; R ) • Hội tụ x = ±R miền hội tụ D = [−R; R ] • Chỉ hội tụ x = R miền hội tụ D = (−R; R ] 04/11/2012 Mã MH: C01004- Chương 47 04/11/2012 Mã MH: C01004- Chương 48 10/3/2014 Chuỗi hàm n +∞ VD 30 Tìm miền hội tụ chuỗi (−1) n x n n =1 ∑ n +∞ VD 31 Tìm miền hội tụ chuỗi (x − 1) ∑ n 2n n =1 VD 32 Tìm miền hội tụ chuỗi ∑2 +∞ n xn n =1 -04/11/2012 Mã MH: C01004- Chương 49 ... ℝ, ta chuỗi số ∑ ne n =1 Giải D = lim 34 Mã MH: C0100 4- Chương −nx phân kỳ n =1 04/11/2012 Mã MH: C0100 4- Chương 35 04/11/2012 Mã MH: C0100 4- Chương 36 10/3/2014 Chuỗi hàm Chuỗi hàm x 2n ∑ n =1... chuỗi hàm số (hay vắn tắt chuỗi hàm) 04/11/2012 31 Mã MH: C0100 4- Chương 04/11/2012 Chuỗi hàm 32 Mã MH: C0100 4- Chương Chuỗi hàm +∞ VD 25 ∑x n = x + x + x + + x n + • Tập hợp điểm hội tụ chuỗi hàm... tụ i lim un = lim n →+∞ 04/11/2012 Mã MH: C0100 4- Chương 28 Chuỗi có dấu (−1) VD 23 Khảo sát hội tụ chuỗi: ∑ n n =1 n un hội tụ Mã MH: C0100 4- Chương Chuỗi có dấu +∞ n ∑ (−1) n =1 phân kỳ Ta