Slide_chuong 1. Ma tran va he pttt

9/28/2016 NỘI DUNG Chương 1: Ma trận hệ phương trình tuyến tính Chương 2: Vi tích phân hàm biến Chương 3: Vi phân hàm hai biến Chương MA TRẬN HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH A MA TRẬN I Ma trận phép toán Một số định nghĩa: Định nghĩa 1.1.1: Một ma trận A loại m × n bảng hình chữ nhật m hàng n cột với m.n phần tử, có dạng sau:  a a12 … a1n  11 a a 22 … a n  A =  21 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮     a m1 a m … a mn  −3 1 Kí hiệu: A = (aij ), i = 1, m ; j = 1, n , phần tử aij số thực, phức, hàm số… A m × n Nếu m = n , A gọi ma trận vuông cấp n Trong ma trận vng cấp n có đường chéo (đường chéo) gồm phần tử a ii , i = 1, n đường chéo phụ gồm phần tử a i ( n − i + 1) , i = 1, n Ma trận chéo cấp n ma trận vuông cấp n mà tất phần tử nằm ngồi đường chéo ( aij = 0, ∀i ≠ j ; i , j = 1, n ) Ví dụ 1.1.1 Xét ma trận 1  A= 1  3 2  0 −1   −4  Ví dụ 1.1.2 α1  A=    Các phần tử đường chéo chính: 1,4,1,-4 Các phần tử đường chéo phụ: 2,1,2,3 0 α2 0 α3 0      α4  9/28/2016 Một ma trận tam giác (tam giác dưới) ma trận vng mà tất hệ số nằm phía (phía trên) đường chéo Nếu phần tử đường chéo ma trận chéo cấp n ma trận đgl ma trận đơn vị cấp n Kí hiệu: I n hay I ( aij = 0, ∀1 ≤ j < i ≤ n ; Ví dụ 1.1.3 I = I4   =     0 0 0 0 0 0       Ví dụ 1.1.4 A, B t.ư ma trận tam giác (dưới)  a11 …   a11 a12 … a1n      a21 a22 …  a22 … a2n    B = A= ⋮ ⋮ ⋱ ⋮  ⋮ ⋮ ⋱ ⋮       an1 an2 … ann   0 … ann  Ví dụ 1.1.5 Định nghĩa 1.1.2: Các phép biến đổi sau hàng ma trận đgl phép biến đổi sơ cấp hàng: Nhân tất phần tử hàng với số khác (α ≠ 0, hi → α hi ) Cộng phần tử hàng nhân cho số vào phần tử t.ư hàng khác, 1  2    h1→2h1   A =  −2  → −2  3  3      1 2  1 2    h3 →h3 −3h1   B =   →  3       0 −3  (h j → h j + α hi , i ≠ j ) Đổi vị trí hai hàng ( hi ↔ hk ) aij = 0, ∀1 ≤ i < j ≤ n ) Định nghĩa 1.1.3: Ma trận đgl có dạng bậc thang thỏa mãn hai điều kiện sau: Các hàng (nếu có) phải nằm hàng khác Phần tử sở hàng phải nằm phía phải so với phần tử sở hàng Hàng 0: tất phần tử hàng Hàng khác 0: có phần tử hàng khác Phần tử sở: phần tử khác hàng (tính từ trái sang phải) 11 10 Ví dụ 1.1.6 Cho ma trận sau 2  A = 0 0  2  C = 0 0  1  1    B = 0  −  0 1  8  1  D = 0  0 1  5  0     12 9/28/2016 Ma trận A, B có dạng bậc thang; Ma trận C, D khơng có dạng bậc thang Định lý 1.1.1: Mọi ma trận đưa dạng bậc thang nhờ phép biến đổi sơ cấp hàng Ví dụ 1.1.7 Đưa ma trận sau dạng bậc thang  1   3 A =  , 3    B =  −1 0  3   13 Ví dụ 1.1.9 Đưa ma trận sau dạng bậc thang rút gọn 1 1   A =  0,  0 3   0  0 3 1  0 0 15 n k =1 ik 16 Định lý 1.1.3 Với ma trận A, B, C số λ , β ta có mệnh đề sau (giả thiết phép toán hợp lệ) Định nghĩa 1.1.8: Cho ma trận A = ( a ik ) loại m × n ma trận B = (bkj ) loại n × p Tích hai ma trận A B ma trận loại m × p kí hiệu AB , với phần tử hàng i cột j là: ∑a 14 Định nghĩa 1.1.6: Tổng hai ma trận loại A = (aik ), B = (bik ) ma trận loại với A,B kí hiệu A+B, với phần tử hàng i cột k aik + bik , A + B = ( a ik + b ik ) Định nghĩa 1.1.7: Tích ma trận A = ( a ik ) với số λ ma trận loại kí hiệu λ A với phần tử hàng i cột k λ aik , λ A = (λ aik ) a i 1b1 j + a i b2 j + + a i n bnj = Ví dụ 1.1.8 Các ma trận sau có dạng bậc thang rút gọn 1 3 1 0      A = 0 2, B = 0  0 0 0 0      Các phép toán ma trận 2.1 Các phép toán Định nghĩa 1.1.5: Hai ma trận loại A = (aik ), B = (bik ) đgl a ik = bik với i,k Định lý 1.1.2: Mọi ma trận đưa dạng bậc thang rút gọn nhờ phép biến đổi sơ cấp hàng 1  B= 1  0 Định nghĩa 1.1.4: Ma trận đgl có dạng bậc thang rút gọn thỏa mãn hai điều kiện sau: Nó có dạng bậc thang; Phần tử sở hàng phần tử khác cột chứa bkj 17 A + B = B + A ( A + B) + C = A + ( B + C ) = A + B + C ( AB )C = A( BC ) ( A + B )C = AC + BC A( B + C ) = AB + AC 18 9/28/2016 2.2 Các phép toán phép biến đổi sơ cấp với ma trận Ví dụ 1.1.10 Xét ma trận (αβ ) A = α ( β A) α ( AB ) = (α A) B = A(α B ) α ( A + B ) = α A + α B 1  A = 2 1  (α + β ) A = α A + β A 19 −2 0 −1 1  ,  1  B = 2 2  −2 0 −2 1  2  1 0 E =    0 2   20 Phép biến đổi sơ cấp thứ nhất: nhân hàng thứ i với α Ta có: EA=B h3 → h3 A → B Vậy phép biến đổi sơ cấp thứ tương đương với việc nhân phía trái A với ma trận E Định lý 1.1.4 Các phép biến đổi sơ cấp 1,2,3 hàng ma trận A = ( aik ) loại m× n tương đương với nhân bên trái A ma trận vng (loại m× m ) cấp m có dạng tương ứng sau: 1 0   … E1 =  0  …  0 … … …  … … …  … … … … …  … α …  … … … … …  … … …  hàng i 21 Phép biến đổi sơ cấp thứ ba: đổi vị trí hàng i với hàng j Phép biến đổi sơ cấp thứ hai: cộng hàng i nhân α vào hàng j 1 0   … E2 =  0  …  0 22 … … …  … … …  … … … … …  … …  hàng i … … α  hàng j  … … …  23 … … …  1 0 … … …    … … … … …  E3 =   0 …  0 0 … …    … … …  0 Các ma trận E1 , E , E đgl ma trận sơ cấp 24 9/28/2016 2.3 Ma trận chuyển vị Định nghĩa 1.1.9 Cho ma trận A = (aik ) loại m × n Ma trận chuyển vị ma trận A ma trận loại n × m kí hiệu AT với phần tử hàng i T cột k aki , A = ( aki ) ( A T ) T = A ( A + B ) T = AT + B T ( AB ) T = B T A T Ví dụ 1.1.11 1 A= 4 Định lý 1.1.5 Đối với phép chuyển vị ma trận ta có (giả thiết phép tốn có nghĩa) 1 3  T , A = 2 6 3      ( λ A ) T = λ A T 25 Ma trận nghịch đảo 3.1 Khái niệm ma trận nghịch đảo (trong phần xét tập ma trận vuông cấp n) Định nghĩa 1.1.10 Ma trận vuông I cấp n đgl ma trận đơn vị AI = IA = A với ma trận vuông A cấp n Định nghĩa 1.1.11 Ma trận vuông B đgl ma trận nghịch đảo A (vuông cấp n), AB = BA = I Khi đó, A đgl khả đảo, kí hiệu ma trận nghịch đảo A−1 26 Định lý 1.1.6 Ta có mệnh đề sau: Nếu A, B khả đảo tích AB khả đảo ( AB)−1 = B−1 A−1; Nếu A khả đảo AT khả đảo (AT )−1 = ( A−1)T ; Nếu A khả đảo A−1 khả đảo (A−1)−1 = A Nếu A khả đảo α ≠ ma trận α A khả đảo (α A) −1 = A−1 α 27 28 3.2 Tìm ma trận nghịch đảo nhờ phép biến đổi sơ cấp Định lý 1.1.7 Các ma trận sơ cấp khả đảo Cách tìm ma trận nghịch đảo phép biến đổi sơ cấp hàng Xét ma trận mở rộng ( A I ) Định nghĩa 1.1.12 Hai ma trận đgl tương đương hàng từ ma trận biến thành ma trận nhờ phép biến đổi sơ cấp hàng Biến đổi Định lý 1.1.8 Ma trận (vuông) A khả đảo tương đương hàng với ma trận đơn vị 29 ( A I )  → ( I A −1 ) Ví dụ 1.1.12 Tìm ma trận nghịch đảo ma trận 1  A = 1 0  1  3  30 9/28/2016 Ví dụ 1.1.13 Xét ma trận   A=  −1   −4 1 Định lý 1.1.9 Cho ma trận vuông A (cấp n) khả đảo Bn× p , Cm×n Xét phương trình ma trận A X = B YA = C Khi 1  3 1  2 A có khả đảo? i ) AX = B ⇔ X = A − B ; ii ) YA = C ⇔ Y = CA −1 31 II Định thức Một số định nghĩa: Với ma trận vng A, định thức ma trận A kí hiệu det A hay A Định nghĩa 1.2.1 Ta có định thức cấp 1, 2, 3: Cấp 1: A = (a) ⇒ det A = a Ví dụ 1.1.14 Giải phương trình ma trận sau: 1 1)  3 3 2)  5 2 3 X = 4 5 −1   X −2   5  9  14 16  =    10   2  5 3)  X =   4  2 32 Cấp 2: a  a A =  11 12  ⇒ det A = a11a22 − a12 a21  a21 a22  33 34 Định nghĩa 1.2.2 Cho A = (aik ) ma trận vuông cấp n Định thức ma trận A tính cơng thức sau: Cấp 3:  a11 a12 a13    A =  a21 a22 a23  a a a   31 32 33  ⇒ det A = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − det A = a11 A11 + a12 A12 + + a1n A1n , − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32 35 đó, Aik = (−1)i + k det M ik M ik ma trận vuông cấp (n-1) nhận từ A cách bỏ hàng thứ i cột thứ k Đại lượng Aik đgl phần bù đại số aik ; det M ik đgl định thức bù aik 36 9/28/2016 Định lý 1.2.1 Với ma trận vuông cấp n ≥ ta khai triển định thức theo hàng cột theo cơng thức sau: Ví dụ 1.2.1 Tính det A, với 1  A= 3  2 2  −1  2  3 5 n det A = ai1 Ai1 + Ai + + ain Ai n = ∑ aij Aij j =1 (theo hàng i, i = 1, n ) n det A = a1k A1k + a2k A2k + + ank Ank = ∑ aik Aik (theo cột k, k = 1, n ) 37 2 38 Các tính chất định thức Ví dụ 1.2.2 Tính det A, với   A=  −1   i =1 det A = det( AT ) Khi nhân số α vào hàng (cột) định thức nhân cho số α Ví dụ 1.2.3 Xét ma trận 1  1 5  0 1    A =  −1   −1    39 40 Với ma trận vng A cấp n, ta có: Ta có tính chất sau (định thức 0): det A, i = j ai1 A j1 + A j + + ain A jn =  i≠ j  0, i Nếu ma trận có hàng (cột) định thức ii Nếu ma trận có hai hàng (cột) định thức Định thức không đổi ta cộng vào hàng (cột) hàng (cột) khác nhân cho số Định thức đổi dấu ta đổi vị trí hai hàng (cột) iii Nếu ma trận có hai hàng (cột) tỉ lệ định thức 41 42 9/28/2016 Cho ma trận A có tính chất: phần tử hàng thứ i biểu diễn dạng: aik = aik(1) + aik( 2) Kí hiệu: A1 ma trận nhận từ A cách thay (1) hàng thứ i phần tử aik , A2 nhận từ A (2) cách thay hàng i phần tử aik Khi ta có: det A = det A1 + det A2 Nếu ma trận A có dạng tam giác định thức tích số nằm đường chéo, det A = a11a22 ann Ví dụ: 1 0  −2 A=   −2 −2  0 0  0  4 43 Định lý Laplace Khai triển định thức theo r hàng (cột) Cho ma trận vuông A cấp n Xét k hàng i1 < i2 < < ik k cột j1 < j2 < < jk Kí hiệu:δ định thức ma trận vng cấp k gồm phần tử nằm giao k hàng k cột đó: ai1 j1 ai1 j2 … ai1 jk aik j2 … aik jk 44 β định thức ma trận vuông cấp ( n − k ) nhận từ A cách bỏ k hàng k cột đgl định thức bù δ Đại lượng ∆ = β (−1)i1 + +ik + j1 + + jk đgl phần bù đại số định thức δ δ =⋮ aik j1 45 Ví dụ 1.2.4 Cho ma trận vng cấp 1  2 A = 4  2 6  3 1 −1 1 46 Định lý 1.2.2 (Định lý Laplace) Định thức ma trận tổng tích định thức rút từ k hàng (cột) với bù đại số tương ứng chúng Ví dụ 1.2.5 Tính định thức cấp 4: 2  1 3  1  47 1  A= 4  7 2 0  3 2  0 48 9/28/2016 Ví dụ 1.2.6 Tính định thức cấp 5: 1  2 A = 5  8 4  0 0 1 −2 2 Ví dụ 1.2.7 Dùng khai triển Laplace, tính định thức sau: 0  0 2  5  0 −1 4 −1 −1 0 0 49 Ví dụ 1.2.8 Dùng t/c đth tính định thức sau: 2 a) 1 a b c b+c c+a a+b a 1 1 c) a 1 a 1 1 a a b) a b b c c 50 Cơng thức tính ma trận nghịch đảo Định thức tích hai ma trận 3.1 Ma trận biến đổi sơ cấp định thức tích hai ma trận det E1 = α ; det E2 = 1; det E3 = − det I = −1 Định lý 1.2.3 Với ba ma trận biến đổi sơ cấp hàng E , E , E ta có: det( Ei A) = (det Ei )(det A), i = 1, 2, 51 52 Định lý 1.2.4 Ma trận vuông A khả đảo det A ≠ Định nghĩa 1.2.3 Ma trận vuông A đgl không suy biến det A ≠ Ngược lại, A đgl suy biến Định lý 1.2.5 Định lý 1.2.6 Ma trận vuông khả đảo khơng suy biến det AB = (det A)(det B) 53 54 9/28/2016 Xét ma trận 3.2 Cơng thức tính ma trận nghịch đảo Cho ma trận  a11 a12  a a A =  21 22    an1 an  A11  A PA =  12    A1n … a1n   … a2n   …  … ann  A21 … A22 … … A2 n … An1   An    Ann  Aij phần bù đại số PA đgl ma trận phụ hợp A aij , ma trận 55 Đinh lý 1.2.7 Ta có : Ví dụ 1.2.9 Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau: APA = PA A = (det A)I A−1 = Nếu A khả đảo, 56  0   A =  4  −2    PA det A 57 Hạng ma trận 4.1 Khái niệm hạng ma trận Xét Am×n Các phần tử nằm giao k hàng k cột tạo ma trận vng loại k × k Định thức đgl định thức cấp k Ví dụ 1.2.10 Cho ma trận loại × 1  A = 3 4  −1 −2 2  5  59 58 Xét ma trận 3    −2  δ = có định thức det δ = − 10 định thức cấp 60 10 9/28/2016 Định nghĩa 1.2.4 Hạng ma trận cấp cao định thức khác Nói cách khác, hạng ma trận A r tồn định thức cấp r khác định thức cấp cao r Kí hiệu: rA rank A hạng ma trận A Ví dụ 1.2.11 Tính hạng ma trận sau: 1 −2    A=2  1 −1 −3    61 Ví dụ 1.2.12 Cho ma trận dạng bậc thang 1  A= 0  0 Ví dụ 1.2.13 Cho ma trận dạng bậc thang −1 2 0 62 1  B = 0  0 0  1 −2   0 −1 0 0 0  1 −2   0 63 Định lý 1.2.8 Ma trận bậc thang có r hàng khác có hạng r Định lý 1.2.9 Các phép biến đổi sơ cấp khơng làm thay đổi hạng ma trận 64 Ví dụ 1.2.14 Tính hạng ma trận sau: 1 −2    A=2  1 −1 −3    Để tìm rank A, đưa A → ma trận bậc thang B, rank A = rank B 65 66 11 9/28/2016 đây: x1 , x2 , , xn ẩn phải tìm Nếu đặt B HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH I Khái niệm chung Hệ phương trình tuyến tính Hệ phương trình tuyến tính tổng qt (m phương trình, n ẩn) có dạng: a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1 a x + a x + … + a x = b  21 22 2n n   am1 x1 + am x2 + … + amn xn = bm  a11  a21 A= …   am1 (1) a12 a22 … am2 … a1n   b1   x1       … a2n  b2  x2  , b= , X =  ⋮  ⋮  … …       … amn   bm   xn  hệ (1) viết dạng ma trận: AX = b 67 Định nghĩa 2.1.1 Nghiệm hệ phương trình (1) n số : x1 = α1 , x2 = α , , xn = α n thỏa mãn hệ 68 Định lý 2.1.1 Các phép biến đổi sau chuyển hệ phương trình tuyến tính thành hệ tương đương: 1) Nhân hai vế phương trình cho số khác 2) Cộng phương trình nhân cho số vào phương trình khác 3) Đổi vị trí hai phương trình Định nghĩa 2.1.2 Hai hệ phương trình có số ẩn đgl tương đương tập nghiệm chúng trùng (tức nghiệm hệ nghiệm hệ ngược lại) 69 70 Hệ phương trình tuyến tính ma trận Ma trận hệ số vế trái hệ phương trình: Ví dụ 2.1.1 Giải hệ phương trình tuyến tính sau:  x1 + x2 + x3 =  3 x1 + x2 + x3 =  x + x + x = −5  1  3 2  Ma trận mở rộng: (Nghiệm : 1,3,-2) 71 1  3 2  1  1     −  72 12 9/28/2016 Dùng phép biến đổi sơ cấp hàng đưa ma trận mở rộng A b dạng: Tổng quát: Xét ma trận mở rộng hệ (1):  a11 a12  a a ( A b) =  ⋮21 ⋮22   am1 am2  c11   c21  ⋮   cm1 … a1n b1   … a2n b2  … ⋮ ⋮   … amn bm  ( c12 c22 ⋮ cm2 ) … c1n d1   … c2n d2  … ⋮ ⋮   … cmn dm  73 74 Khi đó, hệ (1) tương đương với hệ: Phương pháp Gauss: Đưa ma trận mở rộng A b → ma trận bậc thang… c11 x1 + c12 x2 + …+ c1n xn = d1 c x + c x + …+ c x = d  21 22 2n n   cm1 x1 + cm2 x2 + …+ cmn xn = dm ( ) Lưu ý: Qua phép biến đổi sơ cấp hạng ma trận không thay đổi 75 76 Số nghiệm hệ phương trình tuyến tính Định lý 2.1.3 Cho hệ phương trình AX = b Khi ấy: 1) Nếu rank ( A b ) ≠ rank ( A ) hệ vơ nghiệm 2) Nếu rank ( A b ) = rank ( A ) ( = r ) hệ có nghiệm 2.1 Nếu ( r = n ) (số ẩn) hệ có nghiệm 2.2 Nếu ( r < n ) hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc ( n − r ) tham số Định lý 2.1.2 (Định lý Kronecker – Capelli) Hệ phương trình (1) có nghiệm rank ( A b ) = rank ( A) 77 78 13 9/28/2016 Ví dụ 2.1.3 Giải hệ phương trình Ví dụ 2.1.2 Giải hệ phương trình:  x1 + x + x3 2 x + x + x    x1 + x + x3  x1 + x + x3  x + y + z = 10  3 x + y + z =  x + y + 2z =  =4 =6 =6 = 13 79 80 Ví dụ 2.1.4 Giải hệ phương trình VD 2.1.2 (Nghiệm : 3, -2, 2) VD 2.1.3 (Hệ vô nghiêm) VD 2.1.4 −3 − 4α −α ; x2 = ; x3 = α Hệ có vơ số nghiệm: x1 = 3 α (với số bất kỳ)  x1 + x2 + x3 =   x1 + x2 + x3 = 4 x + x + x =  81 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình - Bước 1: Đưa ma trận mở rộng A b dạng bậc thang nhờ phép biến đổi sơ cấp với hàng - Bước 2: Xét hạng ma trận bậc thang đó: ( ) r( Ab) ≠ rA : hệ vô nghiệm r( Ab) = rA = r : hệ có nghiệm: 82 Ví dụ 2.1.5 Giải biện luận hệ phương trình sau theo tham số m  x + 2y + z =  3z = 2 x + 3x + y + mz =  • r = n (số ẩn): hệ có nghiệm • r < n : xđ r ẩn sở phụ thuộc (n-r) ẩn tự (hệ có vơ số nghiệm) 83 84 14 9/28/2016 Ví dụ 2.1.6 Giải hệ λ ≠ 1, λ ≠ −2 : r( A b ) = rA = 3, x = − λ x + y + z =  x + λ y + z = λ x + y + λ z = λ  λ = 1: r( A b ) = rA = 1, x = − α − β , y = α , z = β λ = − : r( A b ) = 3, rA = 2, hệ vô nghiệm 85 Hệ phương trình Là hệ phương trình có dạng: Hệ 2.1.1 Nếu hệ phương trình có số phương trình ẩn số hệ có nghiệm khơng tầm thường Hệ ln có nghiệm: x1 = x2 = = xn = Nghiệm đgl nghiệm tầm thường 87 II Hệ phương trình Cramer, pp định thức Phương pháp ma trận nghịch đảo Xét n phương trình n ẩn: với dạng ma trận AX = b 86 Định lý 2.1.4 Hệ phương trình AX = có nghiệm khơng tầm thường rank A < n (số ẩn số)  a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn =  a x + a x + + a x =  21 22 2n n    am1 x1 + am x2 + + amn xn = a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 a x + a x + + a x = b  21 22 2n n   an1 x1 + an x2 + + ann xn = bn 1+ λ (1 + λ ) ,y= ,z = 2+λ 2+λ 2+λ 88 Định nghĩa 2.2.1 Hệ (2) đgl hệ Cramer det A≠ Định lý 2.2.1 Hệ Cramer AX = b có nghiệm X = A−1b (2) 89 90 15 9/28/2016 Xét định thức ∆k nhận từ định thức A cách thay cột thứ k cột vế phải Công thức Cramer Ta có:  A11   A12 X = A−1b = det A  …   A1n A21 … A22 … … … A2 n … An1   b1    An   b2  …  ⋮    Ann   bn  a11 a12 … b1 … a1n ∆k = Vậy a21 a22 … b2 … a2n … … … … … … an1 an2 … bn … ann ↑ xk = ( A1k b1 + A2 k b2 + + Ank bn ) , k = 1, n det A (cột thứ k) 91 Khai triển định thức ∆ k theo cột thứ k : (phần bù đại số bi phần bù đại số aik ) 92 Định lý 2.2.2 Nếu hệ n phương trình n ẩn AX = b có định thức ∆ = det A ≠ hệ có nghiệm xác định công thức : ∆ k = b1 A1k + b2 A2 k + + bn Ank x1 = Vậy xk = ∆k , k = 1, 2, , n det A ∆ ∆1 ∆ , x2 = , , xn = n ∆ ∆ ∆ ∆k định thức nhận từ ∆ cách thay cột thứ k cột vế phải 93 Định lý 2.2.3 Hệ n phương trình tuyến tính n ẩn AX = có nghiệm khơng tầm thường det A = 95 94 Ví dụ 2.2.1 Giải hệ phương trình  x + y + z = 10  3 x + y + z =  x + y + 2z =  96 16 ... (trong phần xét tập ma trận vuông cấp n) Định nghĩa 1.1 .10 Ma trận vuông I cấp n đgl ma trận đơn vị AI = IA = A với ma trận vuông A cấp n Định nghĩa 1.1 .11 Ma trận vuông B đgl ma trận nghịch đảo... với ma trận đơn vị 29 ( A I )  → ( I A −1 ) Ví dụ 1.1 .12 Tìm ma trận nghịch đảo ma trận 1  A = 1 0  1  3  30 9/28/2016 Ví dụ 1.1 .13 Xét ma trận   A=  −1   −4 1 Định lý 1.1 .9...   … … …  0 Các ma trận E1 , E , E đgl ma trận sơ cấp 24 9/28/2016 2.3 Ma trận chuyển vị Định nghĩa 1.1 .9 Cho ma trận A = (aik ) loại m × n Ma trận chuyển vị ma trận A ma trận loại n × m kí